正交试验结果的方差分析方法
计算公式和项目
试验指标的加和值=
,
试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的
(1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和
(2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和
(3)……
(4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数.
(5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均”
(6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值
(7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节
(8)偏差平方和
(4-1)
(9) f
j ——自由度.f
j
第j列的水平数－1.
(10）V
j
——方差.
Vj =S
j
/f
j
(4-2)
（11）V
e
——误差列的方差。
(4-3)
（12）F
j
——方差之比
(4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。
（14）总的偏差平方和
(4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即
(4-6) 式中，m为正交表的列数。
若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和
应引出的结论。
与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。
方差分析方法应用举例
例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。
表4-18例4-6的因素水平表
试验指标（y）为成品的总酸度。要求写出应用正交试验设计方法的全过程，用方差分析方法分析正交试验的结果。
解：
试验的目的：为改善猪发酵饲料的品质，寻找适宜的发酵条件。
试验指标（y）：成品的总酸度
因素水平表：见表4-18。
理论和经验都不知道有应该考虑的交互作用。
四个因素的水平数不完全相同，所以应选择混合水平正交表。因为3个因素是4
（43×26）正交表，见表4-19（a）
水平，1个因素是2水平，所以选L
16
表头设计：见表4-19（a）
表中数据的计算举例：（以第3列为例）
=y1+y6+y11+y16=6.36+5.39+8.03+16.54=36.32
I
3
II
=y2+y5+y12+y15=7.43+8.66+12.45+9.80=38.34
3
=y3+y8+y9+y14=10.36+19.53+12.08+10.77=52.74
III
3
IV
=y4+y7+y10+y13=11.56+15.50+13.13+13.49=53.68
3
k
=4
3
I
/k3=36.32/4=9.08
3
/k3=38.34/4=9.59
II
3
III
/k3=52.74/4=13.19
3
/k3=53.68/4=13.42
IV
3
极差D3=13.42－9.08=4.34
218.35
（43×26）的正交试验数据表表4-19(a)使用正交表L
16
偏差平方和
=4(9.08－11.32)2+4(9.59－11.32)2+4(13.19－11.32)2+4(13.42－11.32)2 =63.67
自由度f 3=4－1=3
方差
S e = S 总－(S 1+S 2+ S 3+ S 9)=218.35－(33.57+79.19+63.67+11.02)=30.9 f e =(16-1)－(3+3+3+1)=5
查F 分布数据值表得：
F (α=0.01, f 1=3, f 2=5)=12.06> F 3 F (α=0.05, f 1=3, f 2=5)=5.41> F 3 F (α=0.10, f 1=3, f 2=5)=3.62> F 3
F(α=0.25, f
=3, f2=5)=1.88< F3
1
所以，第3列对试验指标的影响在α=0.25水平上显著。
其它列的计算结果见表4-19(b)。
用方差分析方法分析正交试验结果，应该引出如下几点结论：
（1）关于显著性的结论
发酵时间（x2）对指标的影响在α=0.10水平上显著；初始的PH值（x3）和投曲量（x4）在α=0.25水平上显著；发酵温度(x1)在α=0.25水平上仍不显著。(2)试验指标随各因素的变化趋势：见图4-6
图4-6是用表4-18及表4-19（b）中的Ⅰj/k j, Ⅱj/k j, Ⅲj/k j, Ⅳj/k j值来标绘的。
（3）适宜的操作条件
在确定适宜操作条件时，对于F检验中α=0.25不显著的因素，如本例中的因素x
, 一方面因为图4-6 (a) 所示的“规律”不可靠，不能作为确定x1适宜水平1
的依据。另一方面，F检验不显著，F j太小，可能是因为V e太大，误差太大；也可能是因为V j太小，该因素对指标影响太小。所以，对于F检验不显著的因素，适宜的水平可以是任意的。如本例，可认为x1=（20~50）℃即可，不必非50℃不可。所以在本例中为提高总酸度，适宜的操作条件为：x1=（20~50）℃，x2=72 h, x3=4, x4=10%。
（4）对所得结论及进一步研究方向的讨论。
① 由图4-6(d)可见，投曲量x4这个水平为试验范围的边上（最大值或最小值）所以x4增大，成品的总酸度也增大的结论尚需作进一步的研究。应研究投曲量大于10%时试验指标随投曲量的变化规律。
② 从图4-6（c）可见，初始PH值等于5时的总酸度与初始PH值等于4时的总酸度差不多。但与令PH=4相比较，令PH=5，比较容易实现。所以进一步研究的方向之一，是研究令PH=5的好处和问题。
③ 从图4-6（b）可见，发酵时间愈长，成品的总酸度愈大，所以进一步研究的方向之一，是研究为提高总酸度而增长发酵时间的优缺点。
例4-7为了提高某种产品的产量,寻求较好的工艺条件。考虑三个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度。它们都取三个水平[见表4-20（a）]。
表4-20（a）例4-7的因素水平表
（313），依该表为考察3个因素间所有的两因素交互作用的影响，选正交表L
27
的表头设计表得到的表头设计如表4-20（b）所示。
表4-20（b）例4-7正交表表头设计
可见，3水平两因素的交互作用占两列。
试验结果见表4- 20（c）
试验结果的方差分析计算见表4-20（d）
①
总的偏差平方和161.02
② 两个三水平因素的交互作用占两列，它的S、f、V如何计算？以交互作用B×C为例。B×C占第8和第11列。
偏差平方和S B
×C =S
8
+S
11
=0.09187465+0.08907423=0.18095
表4-20（c）正交表L
27
（313）的试验设计计算表
表4-20（d）方差分析计算表=
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正交试验结果的方差分析方法 计算公式和项目 试验指标的加和值= , 试验指标的平均值与表4-13一样，第j列的 (1) I j”水平所对应的试验指标的数值之和 (2) II j——“ 2”水平所对应的试验指标的数值之和 (3)…… (4) k j——同一水平出现的次数。等于试验的次数除以第j列的水平数. (5)I j/k j——“水平所对应的试验指标的平均” (6)II j/k j——“2”水平所对应的试验指标的平均值 (7)……以上各项的计算方法，与“极差法”同，见4.1.7节 (8)偏差平方和 (4-1) (9) f j ——自由度.f j 第j列的水平数－1. (10）V j ——方差. Vj =S j /f j (4-2) （11）V e ——误差列的方差。 (4-3) （12）F j ——方差之比 (4-4)
（13）查F分布数值表（见附录6），做显著性检验。显著性检验结果的具体表示方法与第3章相同。 （14）总的偏差平方和 (4-5) （15）总的偏差平方和等于各列的偏差平方和之和。即 (4-6) 式中，m为正交表的列数。 若误差列由5个单列组成，则误差列的偏差平方和S e等于5个单列的偏差平方和之和,即：S e=S e1+S e2+S e3+S e4+S e5；也可用S e= S总－S’来计算，其中：S’为安排有因素或交互作用的各列的偏差平方和之和 应引出的结论。 与极差法相比，方差分析方法可以多引出一个结论：各列对试验指标的影响是否显著，在什么水平上显著。在数理统计上，这是一个很重要的问题。显著性检验强调试验误差在分析每列对指标影响中所起的作用。如果某列对指标的影响不显著，那么，讨论试验指标随它的变化趋势是毫无意义的。因为在某列对指标的影响不显著时，即使从表中的数据可以看出该列水平变化时，对应的试验指标的数值也在以某种“规律”发生变化，但那很可能是由于实验误差所致，将它作为客观规律是不可靠的。有了各列的显著性检验之后，最后应将影响不显著的交互作用列与原来的“误差列”合并起来，组成新的“误差列”，重新检验各列的显著性。 方差分析方法应用举例 例4-6为了提高猪发酵饲料的营养和猪爱吃的程度，选择了四个因素进行正交试验，其因素水平见表4-18。 表4-18例4-6的因素水平表
第三节正交试验设计及其方差分析 在工农业生产和科学实验中，为改革旧工艺，寻求最优生产条件等，经常要做许多试验，而影响这些试验结果的因素很多，我们把含有两个以上因素的试验称为多因素试验.前两节讨论的单因素试验和双因素试验均属于全面试验（即每一个因素的各种水平的相互搭配都要进行试验），多因素试验由于要考虑的因素较多，当每个因素的水平数较大时，若进行全面试验，则试验次数将会更大.因此，对于多因素试验，存在一个如何安排好试验的问题.正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种科学方法，它利用一套现存规格化的表——正交表，来安排试验，通过少量的试验，获得满意的试验结果. 1.正交试验设计的基本方法 正交试验设计包含两个内容：（1）怎样安排试验方案；（2）如何分析试验结果.先介绍正交表. 正交表是预先编制好的一种表格.比如表9-17即为正交表L4(23),其中字母L表示正交，它的3个数字有3种不同的含义： (1) L4（23）表的结构：有4行、3列，表中出现2个反映水平的数码1，2. 列数 ↓ L4 （23） ↑↑ 行数水平数 （2）L4（23）表的用法：做4次试验，最多可安排2水平的因素3个. 最多能安排的因素数 ↓ L4 (23) ↑↑ 试验次数水平数 (3) L4（23）表的效率：3个2水平的因素.它的全面试验数为23=8次，使用正交表只需从8次试验中选出4次来做试验，效率是高的. L4 (23) ↑↑ 实际试验数理论上的试验数 正交表的特点： （1）表中任一列，不同数字出现的次数相同.如正交表L4(23)中，数字1，2在每列中均出现2次. （2）表中任两列，其横向形成的有序数对出现的次数相同.如表L4（23）中任意两列，数字1，2间的搭配是均衡的.
第十一章正交设计试验资料的方差分析 在实际工作中，常常需要同时考察3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。 如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
先列出一个表格 三因素，三水平 正交表为4列，9行 正交表的作用: 对于同一个因素的任一个水平,当实验组合中含有这个水平时,其他的参数取值是均匀的,没有重复.如B 因素取90这个水平时有三个组合,这三个组合为 可以看出,在B 因素取90时,A 和C 因素分别取了没有重复的三个变量，即均匀的。 这有什么好处，下面引出方差分析中一些假设 1. 实验的结果有一个期望值E 0值，这个E 0 值是所用参数可能取值得到的计算结果的期望 值，而且假设计算结果是满足正态分布的。即),(~20σE N X i 。注意：E 0 不是这9个计算结果的平均值，这9个计算结果只是所有可能结果的9个样本而已，我们就是在用着9个样本来分析总体 2. 对于单个参数而言，由于单个参数的任一水平的计算结果只受该参数影响，而不受其他 参数的影响，所以单个参数的计算结果的期望和方差都应该满足）（20,σE N ，1、2这两条实际是为方差分析服务的。 3. 至于说在正交法中单个参数的计算结果只受该参数影响，而不受其他两个参数取值的影 响，涉及了另一个假设：假设各个参数对计算结果的影响是独立的，也就是说计算结果是3个参数的作用的加和，比如说在B=30，C=64时，A 取12对计算结果的贡献是8。当B=32，C=40时，A 取12对计算结果的贡献还是8。当然，这都是理想状态，参数之间的作用肯定是有互相影响滴，这种影响叫做交互作用，而且，每次试验都有误差的，不可能互相没有影响，两次试验中A 对计算结果的贡献肯定是不相等的。 我们在试验时一般不急于考虑交互作用，且在我们这个项目中交互作用的影响比较小，查的文献中直接对交互作用闭口不提，所以就不考虑了。 这样的话不就可以列出各个参数下的计算结果的表达式了以B=90这个例子为例。 X 1=31=Y(A=80)+Y ’(A=80)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=5) +Y ’(C=5) X 4=53=Y(A=85)+Y ’(A=85)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=6) +Y ’(C=6) X 7=57=Y(A=90)+Y ’(A=90)+Y(B=90) +Y ’(B=90)+Y(C=7) +Y ’(C=7) 其中Y （A=80）是理想状态下A 取80对计算结果的贡献，Y ’(A=80)是A 取80对计算结果贡献的实验误差。其他的值也是一样道理，此不赘述。
正交试验设计中的方差分析 正交试验设计是一种常用的实验设计方法，用于研究多个因素对试验结果的影响。在正交试验设计中，方差分析是一种常用的统计工具，用于量化各个因素对试验结果的影响程度，从而帮助我们做出科学的决策。本文将介绍正交试验设计中方差分析的基本概念、方法和应用。方差分析是通过将数据的变异分解成各个因素或误差的效应，从而量化各个因素对试验结果的影响程度。方差分析的主要目标是确定因素效应的大小和显著性，以便在实验中剔除不显著的因素，并对显著因素进行进一步研究。 在正交试验设计中，方差分析可以按照以下步骤进行： 确定试验目的：在进行方差分析前，需要明确试验的目的和研究问题。例如，研究三种因素对产品产量的影响，以便优化生产工艺。 设计正交试验：根据试验目的，选择合适的正交表，确定实验方案。正交表是正交试验设计的基础，它是一张包括所有可能组合的表格，可以列出实验中需要考虑的所有因素和水平。 收集实验数据：按照实验方案进行实验，并记录各个组合下的实验结果。
进行方差分析：利用统计软件进行方差分析，得出各个因素效应的估计值和显著性水平。 得出根据方差分析的结果，确定显著因素和非显著因素，从而得出优化方案或建议。 在正交试验设计中，方差分析的应用非常广泛。例如，在工业生产中，可以通过正交试验设计和方差分析来优化生产工艺，提高产品质量和产量。在医学研究中，可以用来研究多个药物剂量对疗效的影响，以便找到最佳治疗方案。正交试验设计和方差分析是解决多因素问题的有效工具。 正交试验设计中的方差分析是一种非常重要的统计工具，它可以帮助我们量化各个因素对试验结果的影响程度，从而找到优化方案或建议。通过方差分析的应用，我们可以更加科学地解决多因素问题，提高决策的准确性和效果。在实际应用中，需要结合实际情况和专业知识进行具体操作和解释，以充分发挥其作用和价值。 在进行科学实验或调查研究时，常常需要对不同的因素进行方差分析，以便确定哪些因素对实验结果有显著影响。为了简化分析过程和提高可靠性，可以借助正交试验方差分析程序进行分析。
正交试验方差分析 1. 引言 正交试验是一种基于统计学原理的实验设计方法，通过对多个变量进行组合，从而解决多因素对结果的影响。方差分析是一种常用的统计方法，用于比较不同组之间的差异。正交试验方差分析是将正交试验方法与方差分析相结合，用于分析多因素对结果的影响，并确定各因素的主要影响因子。 2. 正交试验的基本原理 正交试验是一种通过设计矩阵来确定各个变量组合的方法。其基本原理是将多个因素独立地进行变化，并通过正交设计矩阵来确定各个因素的取值组合。通过选择合适的正交设计矩阵，可以降低试验的次数，提高试验效率。 3. 正交试验方差分析的步骤 正交试验方差分析主要包括以下几个步骤： 3.1 确定试验因素 首先需要确定需要进行试验的因素。这些因素可以是产品的不同设计参数、工艺的不同操作条件等。 3.2 构建正交设计矩阵 根据确定的试验因素，构建正交设计矩阵。正交设计矩阵是一种特殊的矩阵，能够保证各个因素之间的相互独立性，从而减少试验次数，提高试验效率。 3.3 进行试验并记录结果 根据正交设计矩阵确定的因素取值组合，进行实际试验并记录试验结果。试验结果可以是产品的性能指标、工艺的生产效率等。 3.4 进行方差分析 根据试验结果，进行方差分析。方差分析是一种通过比较组间差异和组内差异来确定因素对结果的影响程度的方法。 3.5 确定主要影响因子 根据方差分析的结果，确定各个因素的主要影响因子。这些主要影响因子可以作为进一步优化产品设计或工艺操作的依据。
4. 正交试验方差分析的优势 正交试验方差分析具有以下几个优势： •减少试验次数，提高试验效率。 •可以同时考虑多个因素对结果的影响，更全面地评估产品或工艺的性能。 •通过方差分析确定主要影响因子，为进一步优化设计或操作提供指导。 5. 总结 正交试验方差分析是一种将正交试验方法与方差分析相结合的统计分析方法。 通过选择合适的正交设计矩阵，可以降低试验次数，提高试验效率。正交试验方差分析可以同时考虑多个因素对结果的影响，并通过方差分析确定主要影响因子，为进一步优化设计或操作提供指导。这种方法在产品设计和工艺优化中具有重要的应用价值。
正交检验的极差分析和方差分析教材 正交检验的极差分析和方差分析 引言： 正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。 一、正交检验的极差分析 1.1 基本原理 正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。 1.2 应用方法 首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。 1.3 实例分析 以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，
通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。 然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。 接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。 最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。 二、方差分析 2.1 基本原理 方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。 2.2 应用方法 首先，确定研究的自变量和因变量，并确定不同组别。然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个组别的均值和方差。接下来，计算总体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间方差。最后，使用统计方法，计算F统计量，并比 较差异是否显著。 2.3 实例分析 以某品牌洗衣机不同温度下的洗涤效果为例，通过方差分析探究不同水平温度之间的差异是否显著。 首先，将实验数据按温度分组，计算每个组别的均值和方差。然后，计算整体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间
实验报告 实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析 课程名称 考查学期 姓名 学号 专业 成绩 任课教师
实验三：正交试验结果的极差分析与方差分析 一、实验目标 熟练使用Excel和SPSS软件进行正交试验设计和结果分析 二、实验要求 按照1人/组的样式，所有成员都应该根据实验内容完成相应的任务。 三、仪器设备 笔记本电脑与数据分析软件Excel、SPSS。 四、实验内容 1. 正交试验数据的极差分析（Excel） 大枣的微波干燥工艺研究，试验因素选取A微波功率（W）、B干燥时间（min）、C载样量（kg/m2），以干燥大枣中总黄酮的含量为指标（越高越好），试选出最优工艺条件。 表3-1. 因素水平表 水平 试验因素 A （微波功率/W） B （干燥时间/min） C （载样量/kg/m2） 1150105 22501510 33502015 表3-2. 干燥大枣中的总黄酮含量 试验号微波功率 A 干燥时间 B 空列载样量 C 总黄酮含量1 （mg/g） 总黄酮含量2 （mg/g） 11111272.6 278.9 21222251.7 250.3
31333245.2 247.2 42123289.7 279.6 52231275.8 268.8 62312258.7 257.7 73132246.6 246.2 83213231.4 232.1 93321222.1 228.6 表3-3 干燥大枣中的总黄酮含量极差分析 试验号 列号重复试样 指标和1 2 3 4 1 2 A B C 1 1 1 1 1 272.6 278.9 551.5 2 1 2 2 2 251.7 250. 3 502 3 1 3 3 3 245.2 247.2 492.4 4 2 1 2 3 289.7 279.6 569.3 5 2 2 3 1 275.8 268.8 544.6 6 2 3 1 2 258. 7 257.7 516.4 7 3 1 3 2 246.6 246.2 492.8 8 3 2 1 3 231.4 232.1 463.5 9 3 3 2 1 222.1 228.6 450.7 K11545.9 1613.6 1531.4 1546.8 K21630.3 1510.1 1522.0 1511.2 K31407.0 1459.5 1529.8 1525.2 k1257.650 268.933 255.233 257.800 k2271.717 251.683 253.667 251.867 k3234.500 243.250 254.967 254.200 R 37.217 25.683 1.567 5.933 较优水平A2B1C1 因为指标越大越好，所以为因素A的2水平，即A2较好。其他各列的统计分析以此类推。各因素对指标影响的主次为：A>B>C，即微波功率>干燥时间>载样量。较优参数组合为A2B1C1，即微波功率取0.245kW、干燥时间10min、载样量取5kg/m2搭配起来，干燥效果最好。 2. 正交试验数据的方差分析（SPSS） 为探讨啤酒酵母的最适自溶条件，选择三因素三水平正交试验，试验指标为自溶液中蛋白质含量（％，越高越好），因素水平如表3-3，试验结果如3-4所示，
第十一章正交设计试验资料的方差分析在实际工作中，常常需要同时考察 3个或3个以上的试验因素，若进行全面试验，则试验的规模将很大，往往因试验条件的限制而难于实施。 正交设计是安排多因素试验、寻求最优水平组合的一种高效率试验设计方法。 第一节、正交设计原理和方法 (一) 正交设计的基本概念 正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。 例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响： A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A3 3个水平； B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B3 3个水平； C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C3 3个水平。 这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。
如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。 但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。 如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。 正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。 正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。 如对于上述3因素每个因素3水平试验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9个水平组合，就能反映试验方案包含27个水平组合的全面试验的情况，找出最佳的生产条件。 一、正交设计的基本原理 表11-1 33试验的全面试验方案
第8 章正交试验设计的方差分析前面我们讨论了如何安排正交试验以及用极差分析法（即直观分析法）对试验结果进行计算分析. 极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少，便于普及推广.但这种方法不能把试验中由于试验条件的改变引起的数据波动，同试验误差引起的数据波动区分开来. 也就是说，不能区分因素各水平对应的试验结果间的差异，究竟是由于因素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，即不知道试验的精度. 同时，对影响试验结果的各个因素的重要程度，既不能给出精确的定量估计，也不能提供一个标准，用来判断所考察的因素的作用是否显著. 为了弥补极差分析法的不足，对试验结果的分析可采用方差分析法. 8.1 正交试验方差分析的基本步骤 在第 2 章中我们已经介绍过，方差分析的基本思想是将数据的总偏差平方和（S T）分解为因素的偏差平方和（S A、S B）和误差的偏差平方和（S e）,然后将偏差平方和除以相对应的自由度（f）得到方差 （V A、V B）, 最后利用因素方差与误差方差之比（V A/V e，V B/V e），作F 检验，即可判断因素的作用是否显著. 正交试验设计的方差分析也是按这样的步骤进行的，所不同的是这是考虑的是多因素试验的方差分析，而第2章中只考虑单因素和双因素试验的方差分析. 一、计算 1. 偏差平方和与自由度的计算
方差分析的关键是偏差平方和的分解，现在以最简单的L4（23）正交表上安排的试验为例来说明（见表8-1，板书）.不考虑哪些因素安排 4 (T 八片=Kn K21) im 在哪些列上（即表头设计时），设试验结果为X i、 X2、 X3 和 X4. 总的偏差平方 和： n _ n -p 2 S T二為(X j _X)2 * 4X i2-—— i 4 i 4 n 4 T 2 ■— 2 I “TT T= 2 =(X 2 +x2 +x3 +x4)- 4 (X 1 X2 X3 X4 ) 整理后可得=3 ( x；+ x；+ X4) 4 1 (X1X2 X1X3 X1X4 X2X3x2 x4 2 X3X4) 第1列各水平偏差平方和为 S=2(K“ -x)22(K2i - X)2 =2[(号T =2[桎T植T 1 1K11T 4 16 4 16 4 1 一严T] 1X3X4)