毕业论文
题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉
指导教师：李博
职称：讲师
院系：理学院数学系
专业：数学与应用数学
班级：10级1班
日期： 2014年5月
傅里叶级数及其应用
摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎.
关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型
Fourier series and its applications
Abstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians.
Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model
目录
引言 (1)
1 傅里叶级数的起源 (2)
2 傅里叶级数的严密化 (5)
2.1 狄利克雷条件 (5)
2.2 黎曼引理 (5)
2.3 吉布斯现象与一致收敛 (6)
2.4 连续傅里叶级数的收敛性 (6)
3 傅里叶级数的应用 (8)
3.1 傅里叶级数在图案设计上的应用 (8)
3.2 傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用 (14)
3.2.1 傅里叶级数预测模型 (14)
3.2.2 实证分析 (16)
小结 (19)
致谢 (20)
参考文献 (21)
引言
在五千年的数学历史长河中，傅里叶级数的诞生和发展，构成了数学史上非常重要的部分.在无法进行理论证明时，采用直观推断的研究方法在早期的科学研究中已被广泛应用.由此带来了许多重要发现，傅里叶级数就是其中之一.
傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法，直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明.尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物理学的一个时代.
在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具.在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案.在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据.所以，探究傅里叶级数的起源发展及其应用，对于培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用.
1 傅里叶级数的起源
1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日，在给达朗贝尔的信中称3
2
x 可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到
()01cos 2k k a k x f x a l π∞=??=+ ???
∑
（1） 0
0,cos cos ,02
,0
l m n m x n x l dx m n l l l m n ππ≠???
==≠??==??? 因此推出了 ()02cos l k k x a f x dx l l π??
= ???
?， 观察此式的结果可知：
（1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为l 的偶函数，欧拉得到的三角级数与今天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.
（2）欧拉推出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.
尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法我们今天仍在使用.然而，他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：并非是任意的周期函数都可以表示为三角函数.
十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事热传导的研究.他在解如下偏微分方程：
2222222T T T T a x y z t
????++=???? 时得到，初始条件()(),0T x f x =必须有
()1
sin k k k x f x b l π∞
=??= ???∑
于是，傅里叶面临这样的问题：()f x 能表示成三角级数吗？特别是k b 能确定吗？不
妨取l π=，上式简化为
()1sin k k f x b kx ∞
==∑
傅里叶把等式左边()f x 和右边的sin kx 展开为幂级数，经过并不严格的推导得到
()0
2
sin k b f x kxdx π
π
=
?
傅里叶敏锐的观察到，()0
2
sin k b f x kxdx π
π=
?
就是函数
()2
sin f x kx π
在区间()
0,π上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：每一个周期函数都可表示为
()1sin k k f x b kx ∞
==∑，0x π<<
然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间(),ππ-上都可以表示为
()01
(cos sin ),2k k k a f x a kx b kx x ππ∞
==++-<<∑ （2）
傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange 坚决否认周期函数可以展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后的1822年，他终于出版了专著《热的解析理论》，直到此时人们才勉强地承认他的思想.
我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方法不够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质的方法要复杂得多.尽管存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且这种影响至今还在发展之中.
（1）傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题
的解的争论；
（2）傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数必须由一个解析表达式表示；
（3）傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来.泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函数.
2 傅里叶级数的严密化
随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许.但严格地讲并不是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.
2.1 狄利克雷条件
狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.1829年他在论文《关于三角级数的收敛性》中给定并证明了：当()f x 满足下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：
（1）()f x 是单值有界的；
（2）()f x 是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点； （3）()f x 是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个极值点.
今天的教科书中，条件（1）已放宽为绝对可积，使得工程上所遇到的绝大多数函数都满足狄利克雷条件.条件（2）和（3）排除了无穷间断点和无穷振荡的情形.
狄利克雷迈开了傅里叶级数严密化的坚实的第一步，以致黎曼尊称他为傅里叶级数理论的真正奠基者.关于傅里叶级数收敛性的研究持续到今天有很多结果，但狄利克雷条件在今天“信号与系统”教科书中使用最为广泛.
2.2 黎曼引理
黎曼曾在狄利克雷指导下研究傅里叶级数.1854年他在论文《用三角级数表示函数》中证明了：如果()f x 在周期[],ππ-上有界可积，则有
||||lim 0,lim 0,k k k k a b →∞
→∞
==
其中， ()1
cos ,k a f x kxdx π
ππ
-
=
?
()1
sin k b f x kxdx π
ππ
-
=
?
这就是黎曼引理.进一步将定理有界可积条件放宽为勒贝格绝对可积，该定理称为黎曼—勒贝格引理.黎曼同时还证明了()f x 在一点的收敛特性只依赖于()f x 在该点邻域中的特性.
黎曼—勒贝格引理是证明傅里叶级数收敛性的重要工具.1880年迪尼，给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：满足科普希茨条件的函数()f x 其傅里叶级数收敛.对该定理的证明就采取了黎曼—勒贝格引理.
2.3 吉布斯现象与一致收敛
1881年约当条件给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：有界变差函数()f x 的傅里叶级数收敛于
()()
002
f x f x ++-.
1898年，吉布斯发表文章证明了有界变差函数的傅里叶级数在间断点的振荡规律，因此这一现象称为吉布斯现象.这一现象展示了傅里叶级数在间断点收敛的不一致性.
记()f x 的傅里叶级数的部分和为()N S x ，级数在0x 收敛的定义为：
()()lim N N S x f x →∞
=；
级数在周期T 上的一致收敛的定义为：()(){}
lim max N x x T
f x S x →∞
∈-.关于函数()f x 的傅
里叶级数一致收敛的一个充分条件是：()f x 在一个周期上满足一致科普希茨条件.
2.4 连续傅里叶级数的收敛性
在狄利克雷的研究工作之后的约50年间，人们相信任何连续周期函数的傅里叶级数都收敛到该函数.然而在1873年雷蒙德给出了一个连续函数，其傅里叶级数在一点发散.
1904年费耶证明了可采用算术平方方法由任何连续周期函数的傅里叶级数（即使该级数发散）重构该函数，即任何连续周期函数()f x 的傅里叶级数在算术平方和的意义下总是收敛于该函数.记()f x 得傅里叶级数的部分和为()N S x ，上述结论用公式表示()()lim N N x f x σ→∞
=总是成立.
其中， ()()()()0111
[]N N x S x S x S X N
σ-=
++???+ . 雷蒙德指出连续函数的傅里叶级数在某些点发散，而费耶则证明了级数在算术平方和意义下总是收敛于该函数.关于连续函数的傅里叶级数的收敛问题似乎解决了.然而1926年柯尔莫果洛夫证明存在勒贝格可积的周期函数，它的傅里叶级数处处发散.1966年，卡亨和卡茨纳尔松指出在任意给定的零侧集上，存在连续周期函数的傅里叶级数在该集合上所有点都发散.关于连续周期函数的傅里叶级数的收敛性似乎又不乐观了.
然而在同一年卡尔松发表文章指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛.这是一个人们预料之外的好结果，因为连续周期函数在一个周期内是平方可积的.综合卡尔松和卡茨纳尔的结果，即连续周期函数的傅里叶级数只在零侧集上发散，亦即几乎处处收敛.至此关于连续函数傅里叶级数的收敛性问题就完全清楚了.
3 傅里叶级数的应用
傅里叶级数从产生到现在虽然只有短短的一百多年的时间，但是它的应用却是非常的广泛.他被广泛地应用在物理学、计算机、图案设计和预测模型等很多方面.下面就在图案设计和事件预测方面的应用做简单介绍.
3.1 傅里叶级数在图案设计上的应用
艺术与数学有着极其丰富的普遍意义和极其深刻的美妙联系.多少世纪以来，艺术家在进行艺术的创作中，利用数学原理和数学方法而使画面充满了和谐与美感.古希腊雕塑家们黄金分割用在他们的许多作品的比例中.伟大的达芬奇在其绘画研究中运用黄金矩形、比例和射影几何，取得了非凡的成就.今天，数学在为艺术家提供创造和传达他们思想的灵感和工具方面仍然起着积极的作用.艺术家利用数学思想创造更深邃的艺术.事实上，有许多艺术家正在进行与数学思想——多维空间和计算机在现技术的数学思想有关的艺术探索.
数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成是“思维的自由想象和创造”.因此，美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位，以致在一定程度上数学就可被看成一种艺术.数学理论以逻辑的严密性和规律性，在艺术的领域里借助于直觉、想象等非逻辑思维.提出新的概念和理论.所以，数学不仅有利于发展人们的逻辑思维，而且有利于人们的创造活动中对审美、直觉的发展.
近代计算机技术更是将数学与美术这两者紧密地结合起来，形成了一门崭新的边缘学科——数学美术学.1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美术价值被曼德布鲁尔斯所发现，这就打开了数学美术宝库的大门，使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵.由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，可以用电脑根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案，在自动拓展设计出复杂的图案，广泛用于印染、针织、装潢.许多复杂设计的绘制过程和难以得到的视觉效果，在电脑中变得轻而易举.
现在绘制傅里叶级数的图形，以()f x x =为例，具体步骤如下：
（1）运用MATLAB软件，编写一个自定义的傅里叶级数的程序如下：function y=fly(f，k，l)
syms x n；
a0=int(f，x，-l，l)/l；
an=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；
bn=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；
for n=1：k
a(n)=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；
b(n)=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；
end
g=0；
for n=1：k
s=a(n)*cos(n*pi*x/l)+b(n)*sin(n*pi*x/l)；
g=g+s；
end
y=a0/2+g；
（2）编写画图函数程序：
syms x n
f=x；
fly(f，1，pi)%调用傅里叶函数
x=-pi：0.1：pi；
x=-pi：0.1：pi；
f1=2*sin(x)；
f2=-2*sin(x)；
f3=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)；
f4=-2*sin(x)+sin(2*x)-2/3*sin(3*x)；
f5=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)； plot(x，x，x，f1，x，f2，x，f3，x，f4，x，f5)；
得到的到傅里叶级数的图形，如图1：
图1 傅里叶级数图形在图1中将另一部分进行对称叠加达到对称的效果，如图2：
图2 傅里叶级数叠加效果图（3）对多余部分进行处理
findobj(allchild(gca)，'Type'，'line')
ans =
180.0021
179.0021
178.0021
177.0021
176.0021
175.0026
>> get(ans(1))
DisplayName： ''
Annotation： [1x1 hg.Annotation] Color： [0.7500 0.7500 0] LineStyle： '-'
LineWidth： 0.5000
Marker： 'none'
MarkerSize： 6
MarkerEdgeColor： 'auto'
MarkerFaceColor： 'none'
XData： [1x63 double]
YData： [1x63 double]
ZData： [1x0 double]
BeingDeleted： 'off'
ButtonDownFcn： []
Children： [0x1 double]
Clipping： 'on'
CreateFcn： []
DeleteFcn： []
BusyAction： 'queue'
HandleVisibility： 'on'
HitTest： 'on'
Interruptible： 'on'
Selected： 'off'
SelectionHighlight： 'on'
Tag： ''
Type： 'line'
UIContextMenu： []
UserData： []
Visible： 'on'
Parent： 174.0024
XDataMode： 'manual'
XDataSource： ''
YDataSource： ''
ZDataSource： ''
对其中的对象进行设置
set(ans(6)，'LineWidth'，7)
将对象加粗，找到需要删除的线
图3
set(ans(6)，'Color'，[1 1 1]) 将y=x这条直线的颜色设置为白色，达到这条线消失的结果（这些点对于后期处理没有影响，不影响这题效果）
图4 淡化效果图
（4）将其他的线条加粗
set(ans(1)，'LineWidth'，3) 改变ans()中的值改变操作的线条
图5 傅里叶级数加粗效果图
得到最后的效果图
图6 傅里叶级数最终的效果图
通过以上一个简单的例子，我们可以看出：傅里叶级数图形非常具有节奏韵律感，并且，当改变变量的取值范围，就可以生成重复的、变化的图案，由此得到的单元及重复的有节奏的构图.
对以上图形进行组合、排列或者发展、衍生，可构成丰富的图案变化.他被广泛应用于：室内的装饰浮雕、壁饰、椅子背、服装的前身、领角、领带及皮包、发卡等；纺织品的床单、毛巾、手绢等以及地砖、墙线装饰铁艺栅栏等许多方面.
3.2 傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用
铁路客运量预测是铁路部门进行决策的重要依据.铁路客运量波动具有较强的季节性特征，对于季节性预测常用的方法由：霍尔特-温特预测、ARIMA预测、傅里叶级数预测等.选择傅里叶级数预测法对我国2010年的铁路客运量月度数据进行预测，并且对预测结果进行误差分析.
3.2.1 傅里叶级数预测模型
在解决同时伴有趋势性变化的时间序列预测问题时，可将时间序列分为趋势性部
分和季节性部分进行预测.其中，趋势性部分可以通过最小二乘法得到，对季节性部分用傅里叶级数预测法进行预测.
将时间序列分解为：
()()()w x f t y t ∧
=+ 1,2,,t n =??? （3） 式中：()f t 为趋势性部分；()y t 为季节性部分.
用最小二乘法对()f t 进行拟合，用傅里叶级数预测法对()y t 进行预测，预测过程分为以下4个步骤.
（1）季节性部分预测.离散函数()y t 满足一定的光滑性条件时，可以在区间
[]1,1-上展开为傅里叶级数：
()0122cos sin 2m k k k a kt kt y t a b n
n ππ=??
????=++
? ? ???????
∑
（4） （2）采用最小二乘法求解系数.
01
1n
t t a y n ==∑
122cos
n k t t kt a y n n π
==∑ 122sin
n k t t kt b y n n
π
==∑ 1,2,,k m =???
其中，m 为不超过
2
n
的最大整数. （3）选出影响较大的季节性部分.由公式（4）转化得到：
(
)0122m k a kt y t n π?=??=++ ???
式中：()tan k
k
a b ?=
，当存在k
()y t 具有季节性成分，即原时间序列具有季节性；反之，若对所有的k
说明()y t 是不具有季节性成分，即原时间序列不存在季节性.
将此时的k a 、k b 带入公式（4），预测时间序列的季节性部分，得到()y t .
（4）总体预测.将计算得到的()f t 、()y t 带入公式（3），得到该时间序列的预测方程.
3.2.2 实证分析
3.2.2.1 客运量预测
将我国2004—2009年铁路客运量作为初始数据，利用傅里叶级数展开式预测2010年铁路客运量.
（1）利用最小二乘法对我国铁路客运量2004—2009年的数据进行拟合，得到总体变化趋势()f t .
()0.010.86f t t =+ 1,2,,t n =???
（2）用原始数据减去其对应的趋势性部分()f t ，得到季节性部分()f t 、()y t 为离散的点.
（3）假定()y t 满足傅里叶级数展开的一切条件，将函数()y t 以72n =为周期延
展至(),-∞+∞，在区间[]1,1-上展开成公式（4），运用MATLAB 的值，如图7所示.
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶级数通俗解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 ,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足 如果是复数集，那么正交条件是 为函数的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设，,把代入(1)得 当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 再证两个都是正弦的情况 设，,把代入(1)得
当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设，,把代入(1)得 = = =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设，,则把代入(2)得 当n时，根据欧拉公式
= =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时， =1 (n,m=1,2,3,…,n) 所以，复指数函数集也是正交函数集。因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。 明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。 把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是 其中，…是我们所熟悉的函数， 比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n，然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有3条轴，3条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴，又不能准确地表达立体空间上所有的点，所以3条就是完备的。对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0，正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。 既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。 用复指数函数集来表示一个复杂信号： = 其中，(n=1,2,3,…,n)。 用三角函数集表示一个复杂信号：
毕业论文 题目：傅里叶级数及其应用作者：姜广辉 指导教师：李博 职称：讲师 院系：理学院数学系 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 日期： 2014年5月
傅里叶级数及其应用 摘要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国2004—2009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎. 关键词：傅里叶级数；收敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型
Fourier series and its applications Abstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propositions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and development process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation process of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction model based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predict the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of China's railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians. Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic design；prediction model
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{ }1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[ ] ,ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数
傅里叶级数及其应用 专业：数学与应用数学 班级： 姓名：
目录 引言 (3) 1 傅立叶级数的计算 (5) 1.1 傅立叶级数的几何意义 (5) 1.2 傅里叶级数的敛散性问题 (10) 1.3 傅里叶级数的展开 (11) 1.4 关于傅里叶级数展开的个别简便算法 (16) 1.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质 (19) 2 傅里叶级数的相关定理及其应用 (21) 2.1 n元函数中值定理及其几何意义 (21) 2.2 利用n元函数微分中值定理研究函数的性质 (28) 3 微分中值定理在复数域上的推广 (32) 3.1 复数域上的中值定理 (32) 3.2 利用复数域内中值定理研究函数性质 (36) 结论 (39) 致谢 (40) 参考文献 (41)
为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨．首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式．而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义．接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性．最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性． 关键词： n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域
傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
计算机与信息工程学院实验报告 专业：通信工程年级/班级：2012级通信工程2013—2014学年第二学期 一、实验目的 1、分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成。 2、观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。 3、掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。 4、观察矩形脉冲信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉冲信号。
二、实验仪器或设备 一台装有MATLAB的计算机一台 三、设计原理 1. 信号的时间特性与频率特性 信号可以表示为随时间变化的物理量，比如电压u(t )和电流i(t )等，其特性主要表现为随时间的变化，波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小等变化，信号的这些特性称为时间特性。 信号还可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小不同；主要频率分量所占的频率范围也不同，信号的这些特性称为信号的频率特性。无论是信号的时间特性还是频率特性都包含了信号的全部信息量。 2. 信号的频谱 信号的时间特性和频率特性是对信号的两种不同的描述方式。根据傅里叶级数原理，任意一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱(Dirichlet)条件，就可以将其展开成三角形式或指数形式的傅里叶级数。例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间（t1,t1+T）内表示为
即将信号分解成直流分量及许多余弦分量和正弦分量，研究其频谱分布情 况。 3. 信号的时间特性与频率特性关系 信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图4-1 来形象地表示。其中图 4-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维坐标系统中的图形；图 4-1(b)是信号在幅度--时间坐标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图 4-1(c)是信号在幅度--频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为
第八节 傅里叶级数 内容分布图示 ★ 引 言 ★ 引 例 ★ 三角函数系的正交性 ★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4 ★ 利用傅氏展开式求数项级数的和 ★ 正弦级数与余弦级数 ★ 例5 ★ 例6 ★ 函数的奇延拓与偶延拓 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题11-8 ★ 返回 讲解注意： 一、三角级数 三角函数系的正交性 早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即 ∑∞ =++=1 0)sin()(n n n t n A A t f ?ω (8.1) 其中n n A A ?,,0),3,2,1( =n 都是常数. 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果. 二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 ?????? ?====??--).,3,2,1(,sin )(1 ),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππ ππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 ∑∞=++1 )sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)
第十五章 傅里叶级数 §1 傅里叶级数 教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求 (1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数． (2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议 (1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤． 教学程序 一、 Fourier 级数的定义 背景： ⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 T 1 ( ωπ2=T ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其
中 01 ()a f x dx π π π- = ?，1 ()cos ,1,2,n a f x nxdx n π ππ - ==?L ， 1 ()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ - = =?L 称为()f x 的 Fourier 系数，记为0 1 ()~ (cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞ =++1 0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑一致收敛到()f x 之前， 不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只 须求出Fourier 系数. 例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为 1,0()0,0x f x x π π≤≤?=? -<
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x L L 线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}n x x x L L 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx L L 称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L ，定义两个函数的内积为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:L 为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n ππ π-=?=?=? ≠??； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x ππ -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b L L 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数 定义1 设函数()f x 在[],ππ-上可积，
傅里叶级数的收敛性及其应用 摘要 傅里叶级数是数学分析的一个重要组成部分.本文首先介绍了傅里叶级数的相关知识、以2π为周期函数的傅里叶级数展开式、以2l为周期函数的傅里叶级数展开形式.其次，通过狄利克雷积分和黎曼—勒贝格引理及局部化定理傅里叶 f t展开成傅里叶级数的收敛定理及其证明.级数的收敛定理分析了周期函数() 最后，给出了傅里叶级数一些简单应用，其原理主要是利用傅里叶级数均方误差证明了傅里叶级数部分和趋于无穷大时吉伯斯现象不存在以及利用傅里叶级数展开法研究了平顶高斯光束通过有光阑限制的近轴ABCD光学系统的传输特性问题. 关键词：傅里叶级数；收敛性；积分；周期函数
CONVERGENCE OF FOURIER SERIES AND ITS APPLICATION ABSTRACT Fourier series is an important part in Mathematical Analysis. The first introduced the knowledge of Fourier series, toπ2for the periodic function of the Fourier series expansion, to l2for the periodic function of the Fourier series expansion. Second, analyzed periodic function()x f expand into Fourier series convergence theorem and its proof by Dirichlet integral and Riemann-Lebesgue Lemma and local theorem of Fourier series convergence theorem . Finally, some simple application of Fourier series, and its main principle is to use the mean square error of the Fourier series is proved, and tends to infinity, some of Gibbs phenomenon does not exist and the use of fourier Fourier series expansion of the flattened Gaussian beams through apertured paraxial optical system ABCD, the transmission characteristics of the problem. Key words:Fourier series; Convergence; Integral; Periodic function ----
傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种
课程设计任务书 学生姓名:专业班级: 指导教师:工作单位: 题目: 连续时间信号傅里叶级数分析及MATLAB实现 初始条件： MATLAB 6.5 要求完成的主要任务： 深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识，利用MA TLAB强大的图形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。 1.用MATLAB实现周期信号的傅里叶级数分解与综合。 2.用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。 3.用MATLAB实现典型周期信号的频谱。 4.撰写《MATLAB应用实践》课程设计说明书。 时间安排： 学习MATLAB语言的概况第1天 学习MATLAB语言的基本知识第2、3天 学习MATLAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力第4、5天 课程设计第6-9天 答辩第10天 指导教师签名：年月日 系主任（或责任教师）签名：年月日
目录 摘要................................................................................................................................................ I Abstract .......................................................................................................................................... II 绪论. (1) 1 MATLAB简介 (2) 1.1 MATLAB语言功能 (2) 1.2 MATLAB语言特点 (2) 2 傅里叶级数基本原理概要 (4) 2.1 周期信号的傅里叶分解 (4) 2.2 三角形式和指数形式傅里叶级数及各系数间的关系 (4) 2.3 周期信号的频谱 (5) 3 用MATLAB实现周期信号的傅立叶级数分解与综合 (6) 3.1 合成波形与原波形之间的关系 (6) 3.2 吉布斯现象 (6) 4 用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。 (8) 4.1 单边，双边（幅度，相位）频谱及其关系 (8) 4.1.1单边，双边（幅度，相位） (8) 4.1.2 单边，双边频谱关系 (9) 4.2以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系 (10) 4.3以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系 (11) 5用MATLAB实现典型周期信号的频谱 (13) 5.1 周期方波脉冲频谱的MATLAB实现 (13) 5.2 周期三角波脉冲频谱的MATLAB 实现 (14) 6 小结及心得体会 (17) 参考文献 (18) 附录： (19)
9.5 傅里叶级数 9.5.1 三角级数 三角函数系的正交性 在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(?ω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,?为初相.周期为 ω π 2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角 函数组成的级数.具体的说,希望将以?? ? ? ?= ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为 ∑∞ =++ =1 0),sin()(n n n t n A A t f ?ω (1) 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数. 在利用三角恒等式,变形为 ∑∞ =++ =1 0);sin cos cos sin ()(n n n n n t n A t n A A t f ω?ω? 令 x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00,则得到级数 ∑∞ =++ 1 0).sin cos (2 n n n nx b nx a a (2) 称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x (3) 在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间 ],[ππ-上的积分等于零,即 ?- ==π π),3,2,1(0cos n nxdx , ?- ==π π),3,2,1(0 sin n nxdx , ?- ==π π),3,2,1,(0cos sin n k nxdx kx , ?- ≠==π π),,3,2,1,(0 cos cos n k n k nxdx kx ,
傅里叶级数 诀窍就在于从“几何”的角度来看待傅里叶级数。当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的“坐标轴”上。 1.什么是投影 我们先来复习什么是投影吧。考虑一个简单的二维平面的例子。如下图所示，给定两个向量 u 和 v ，我们从 u 的末端出发作到 v 所在直线的垂线，得到一个跟 v 同向的新向量 p 。这个过程就称作 u 到 v 所在直线的投影，得到的新向量 p 就是 u 沿 v 方向的分量。图中的系数 c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 轴上的“坐标”。我们可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量 u 和 v 都是代数形式的，我们怎么用代数的方法求 c ？ 我相信只要有基本线性代数知识的同学都可以轻松解决这个问题。我们知道 u-cv这个向量是“正交”于 v 的，用数学语言表达就是(u-cv)T v=0。我们马上就可以得到 c 的表达式如下。 （1） 2.向量在一组正交基上的展开
在讲傅里叶级数之前，我们还需引进线性代数中“正交基”的概念。如果这个概念你觉得陌生，就把它想成是互相垂直的“坐标轴”。回到刚才这个例子，如下图所示，现在我们引进一组正交基 {v1，v2}，那么 u 可以展开成以下形式 （2） 从图上来看，(2)式其实说的是我们可以把 u“投影”到 v1 和 v2 这两个坐标轴上，c1 和 c2 就是 u 的新“坐标”。问题是：我们怎么求 c1 和 c2 呢？你会说，我们可以(2)式两边同时乘以 v1 或 v2，然后利用它们正交的性质来求 c1，c2。没错，数学上是这么做的。但是利用之前关于投影的讨论，我们可以直接得出答案，直接利用(1)式就可以得到如下的表达式： （3） 3.傅里叶级数的几何意义 现在我们已经明白一件事情了：如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把(1)式中的 v 换成新坐标轴就好了。说了半天，这些东西跟傅里叶级数有什么关系？我们先回忆一下傅里叶级数的表达式。给定一个周期是 2l 的周期函数 f(x),它的傅里叶级数为：
傅里叶级数 一：指数形式 给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数： f(t)=∑ k=-∞+∞a k *e ik(2∏/T)t（i为虚数单位）（1） ak=(1/∏)∫ 02∏f(t)*e-ik(2∏/T)t d t 二：正弦形式 1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成 f(t)=A0+∑n=1+∞A n sin(nωt+Φ) =A0+∑n=1+∞a n cos(nωt)+b n sin(nωt) （根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ) 其中A n sin(nωt+Φ)=a n cos(nωt)+b n sin(nωt) 是n阶谐波, 我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数 2：三角函数正交性 设c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三角函数是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有
利用积化和差的三角公式容易证明 还有 我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零，而每个函数自身平方的积分非零。我们称这个函数系在长为的区间上具有正交性。
三：傅里叶级数 设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a0/2)+Σk=1+∞a k cos(kx)+b k sin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,a k,b k (k=1,2....n)与f(x) 的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到 又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到 即： 同样可得：