1991年全国高考试题
(理工农医类)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内.
【】
(2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是
(A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1)
(C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1)
【】
(3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是
【】
(4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有
(A)12对(B)24对(C)36对(D)48对
【】
【】
(6)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相
等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的
(A)垂心(B)重心 (C)外心 (D)内心
【】
(7)已知{a n} 是等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
【】
(A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0)
(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0)
【】
(9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视
机各1台,则不同的取法共有
(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种
【】
(A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【】
(11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么
(A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
(B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
(C)丙是甲的充要条件
(D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
【】
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【】
(13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是
(A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5
(C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5
【】
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
【】
(15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于
【】
二、填空题:把答案填在题中横线上.
(18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是
45°,那么这个正三棱台的体积等于 .
(19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数
a>1,那么a= .
(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝
PC＝a.那么这个球面的面积是 .
三、解答题.
(21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并写出使函数y取最小值的x 的集合.
(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD 所在的平面,且GC＝2.求点B到平面EFG的距离.
(24)根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上
是减函数.
(25)已知n为自然数,实数a>1,解关于x的不等式
1991年试题（理工农医类）答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.
常规卷和A型卷答案
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A
(6)D (7)A (8)D (9)C (10)C
(11)A (12)C (13)B (14)C (15)D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.
三、解答题.
(21)本小题考查三角形函数式的恒等变形及三角函数的性质.
解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x
=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x
=1+sin2x+(1+cos2x)
=2+sin2x+cos2x
(22)本小题考查复数基本概念和运算能力.
(23)本小题考查直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,以及逻辑推理和空间想象能力.
解:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC.EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.
BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾.
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,
所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.
∵BD⊥AC,
∴EF⊥HC.
∵GC⊥平面ABCD,
∴EF⊥GC,
∴EF⊥平面HCG.
∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.
作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK 的长就是点B到平面EFG的距离.
注:未证明“BD不在平面EFG上”不扣分.
(24)本小题考查函数单调性的概念,不等式的证明,以及逻辑推理能力.证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1 ∵x1 ∴x1-x2<0. 所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1 ∵x1 ∴x1-x2<0. ∵x1,x2不同时为零, 即f(x2) 所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数. (25)本小题考查对数、数列、解不等式等基本知识,以及分析问题的能力. 解:利用对数换底公式,原不等式左端化为 因为a>1,②式等价于 log a x 因为a>1,②式等价于 (26)本小题考查双曲线性质,两点距离公式,两直线垂直条件,代数二次方程等基本知识,以及综合分析能力. 依题意知,点P,Q的坐标满足方程组 将②式代入①式,整理得 (5b2-3a2)x2+6a2cx-(3a2c2+5a2b2)=0. ③ 根据根与系数的关系,有 整理得3c(x1+x2)-8x1x2-3c2=0. ⑥ 将④,⑤式及c2=a2+b2代入⑥式,并整理得 3a4+8a2b2-3b4=0, (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因为a2+3b2≠0,解得b2=3a2, 整理得(x1+x2)2-4x1x2-10=0. ⑦ 将④,⑤式及b2=3a2,c=2a代入⑦式,解得a2=1. 将a2 =1代入b2=3a2得b2=3. 解法二:④式以上同解法一. 将④式及c2=a2+b2代入⑤式并整理得3a4+8a2b2-3b4=0, 即 (a2+3b2)(3a2-b2)=0. 因a2+3b2≠0,解得b2=3a2. 即(x2-x1)2=10. ⑥ 将④式代入⑥式并整理得 (5b2-3a2)2-16a2b4=0. 将b2=3a2代入上式,得a2=1, 将a2=1代入b2=3a2得b2=3. 故所求双曲线方程为 2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 含答案 一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（ ） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的 弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D) 1991年全国高考试题 (理工农医类) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 【】 (2)焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是 (A)y2=8(x+1) (B)y2=-8(x+1) (C)y2=8(x-1) (D)y2=-8(x-1) 【】 (3)函数y=cos4x-sin4x的最小正周期是 【】 (4)如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有 (A)12对(B)24对(C)36对(D)48对 【】 【】 (6)如果三棱锥S—ABC的底面是不等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相 等,且顶点S在底面的射影O在△ABC内,那么O是△ABC的 (A)垂心(B)重心 (C)外心 (D)内心 【】 (7)已知{a n} 是等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【】 (A)(0,0),(6,π) (B)(-3,0),(3,0) (C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0) 【】 (9)从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视 机各1台,则不同的取法共有 (A)140种(B)84种(C)70种(D)35种 【】 (A)第一象限(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【】 (11)设甲、乙、丙是三个命题.如果甲是乙的必要条件;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么 (A)丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 (B)丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 (C)丙是甲的充要条件 (D)丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 【】 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【】 (13)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是 (A)增函数且最小值为－5 (B)增函数且最大值为－5 (C)减函数且最小值为－5 (D)减函数且最大值为－5 【】 (A)1个(B)2个(C)3个(D)4个 【】 (15)设全集为R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x│f(x)≠0},N={x│g(x)≠0},那么集合{x│f(x)g(x)=0}等于 【】 二、填空题:把答案填在题中横线上. (18)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是 45°,那么这个正三棱台的体积等于 . (19)在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,若实数 a>1,那么a= . (20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝ 1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟. 第I 卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共14小题；第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( ) (A) （M ∩P ）∩S (B) （M ∩P ）∪S (C) （M ∩P ）∩S (D) （M ∩P ）∪S 2.已知映射f ：B A →，其中，集合 {},4,3,2,1,1,2,3---=A 集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象，且对任意的,A a ∈在B 中和它对应的元素是a ，则集合B 中元素的个数是 ( ) (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 3. 若函数()x f y =的反函数是()()0,,≠==ab b a f x g y ，则()b g 等于 ( ) (A) a (B) 1 -a (C) b (D) 1 -b 4.函数()()()0s i n >+=ω?ωx M x f 在区间[] b a ,上是增函数，且 ()(),,M b f M x f =-=则函数()()?ω+=x M x g cos 在[]b a ,上 ( ) (A) 是增函数 (B) 是减函数 (C) 可以取得最大值M (D) 可以取得最小值M - 5.若()x x f sin 是周期为π的奇函数，则()x f 可以是 ( ) (A) x sin (B) x cos (C) x 2sin (D) x 2cos 6.在极坐标系中，曲线?? ? ? ?-=3sin 4πθρ关于 ( ) (A) 直线3 π θ=轴对称 (B) 直线πθ6 5 = 轴对称 (C) 点?? ? ? ?3, 2π中心对称 (D) 极点中心对称 7.若干毫升水倒入底面半径为cm 2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为cm 6，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 ( ) (A) cm 36 (B) cm 6 (C) cm 3182 (D) cm 3123 8.若() ,32443322104 x a x a x a x a a x ++++=+则()()2312420a a a a a +-++的值 为 ( ) (A) 1 (B) －1 (C) 0 (D) 2 9.直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 ( ) (A) 6 π (B) 4 π (C) 3 π (D) 2 π 10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF 2 3 =，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 ( ) (A) 2 9 (B) 5 (C) 6 (D) 2 15 11.若,22 sin ??? ??<<->>παπ αααctg tg 则∈α ( ) (A) ?? ? ??-- 4,2ππ (B) ?? ? ??- 0,4π (C) ?? ? ??4, 0π (D) ?? ? ??2,4ππ 12.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1：2，那么R = ( ) (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25 13.已知两点,45,4,45, 1??? ? ? --??? ??N M 给出下列曲线方程： 2018年成人高等学校招生全国统一考试（共三套） 数学试题(理工农医类) (考试时间120分钟) 第Ⅰ卷（选择题，共85分） 一、选择题：本大题共17小题，每小题5分。共85分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A={x|x2+5x+6=0)，B={x|x2-12x+35=0)，则A∩B=（） A．{-2，-3} B．{5，7} C．{-2，-3，5，7} 2．（） A．是偶函数 B．是奇函数且是单调增函数 C．是奇函数且是单调减函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 3．log34·log48·log8m=log416，则m为（） A．9/2 B．9 C．18 D．27 4． 5．如果函数?(x)在区间[a，6]上具有单调性，且?(a)·?(b)<0，则方程?(x)=0在区间[a，b]上（） A．至少有一个实根 B．至多有一个实根 C．没有实根 D．必有唯一实根 6．一个科研小组共有8名科研人员，其中有3名女性．从中选出3人参加学术讨论会，选出的人必须有男有女，则有不同选法（） A．56种 B．45种 C．10种 D．6种 7．如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（） A．a=3，b=6 B．a=3，b=-2 C．a=1/3，b=-6 D．a=1/3，b=6 8．（） B．-2 D．4 9．中心在原点，一个焦点为(0，4)且过点(3，0)的椭圆的方程是（） 10．已知向量a，b满足|a|=3，| b |=4，且a和b的夹角为120o，则a·b为（） C．6 D．-6 11．（） 12．设函数?(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则?ˊ(0)=（） A．-6 B．0 C．1 D．3 13． （） A．椭圆 B．圆，但需除去点(1，0) C．圆 D．圆，但需除去点(-1，0) 14．已知盒子中有散落的围棋棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（） 全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42) 近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。 关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质， 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1 成都市高2010届毕业班第三次诊断性检测 数学（理工农医类） 解析：四川省成都市新都一中 肖宏 第一卷 一、选择题（每小题5分，12个小题共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是 题目要求的，将所选答案的编号涂在机读卡相应位置上） 1、 不等式201 x x -≤+的解集为（ ） (A ){x |－1≤x ≤2} (B ){x |－1＜x ≤2} (C ){x |－1≤x ＜2} (D ){x |－1＜x ＜2} 解析：原不等式等价于(1)(2)010x x x +-≤??+≠? ， 解得－1＜x ≤2 答案：B 2、 计算2312222lim[1()()()]3333 n n -→∞+++++L 的结果是( ) (A )53 (B )3 (C ) 23 (D )2 解析：因为23121()2222231()()()3[1()]23333313 n n n --+++++==--L 所以2312222lim[1()()()]3333 n n -→∞+++++L ＝3 答案：B 3、 若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i 为纯虚数，则实数m 的值等于( ) (A )1 (B )0 (C )－1 (D )±1 解析：由题意21010 m m ?-=?+≠? ? m ＝1答案：A 4、 已知向量a ＝(－3,2),b ＝(2,1),则|a ＋2 b |的值为( ) (A (B )7 (C (D a ＋2 b ＝(1,4) 故|a ＋2 b | ＝= 答案：C 5、 设函数f (x )＝x 2＋2(－2≤x ＜0)，其反函数为f －1(x )，则f －1(3)＝( ) (A )－1 (B )1 (C )0或1 (D )1或－1 解析：令f (t )＝3，则t ＝f －1(3) (－2≤t ＜0) 有t 2＋2＝3 ? t ＝±1 但－2≤t ＜0，故t ＝－1 答案：A 6、 计算cot 15°－tan 15?的结果是( ) (A )3 2 (B ) 6 2 (C (D 解法一：cot 15?－tan 15? ＝cot (45?－30?)－tan (45?－30?) ＝0000 00001tan 60tan 45tan 60tan 45tan 60tan 451tan 60tan 45+---+ ＝(2 －(2 ) ＝ 解法二：cot 15?－tan 15? ＝00 00cos15sin15sin15cos15- ＝2020 00cos 15sin 15sin15cos15- ＝0 cos301sin 302 = 答案：D x y O 1 黄冈中学、黄石二中高三9月联考 数学（理工农医类） 命题人：黄石二中 张晓华 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．把答案填写在答题卡相应位置上． 1．设集合A=},{b a , 则满足A ∪B=},,,{d c b a 的所有集合B 的个数是 A ．1 B ．4 C ．8 D ．16 2．函数)2(log 2 1x y -= 的定义域为 A ．),1(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)2,1( D ．)2,1[ 3．函数ax x x f 2)(2-=定义在]1,1[-上,)(x f 是单调函数的充分不必要条件是 A ．]0,1[-∈a B ．]1,0(∈a C ．]1,(--∞∈a D ．]1(--∞∈a ∪),1[+∞ 4．已知函数)(x f （0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若1201x x <<<，则 A ．1212 ()()f x f x x x < B ． 1212()() f x f x x x = C ． 1212 ()() f x f x x x > D ．当21< x 时1212()()f x f x x x <,当x ≥2 1时1212()() f x f x x x > 5．等差数列}{n a 前n 项和为n S ，且0168=+a a ，则有 A ．168S S < B ．168S S = C ．167S S < D ．167S S = 6．已知数列{}n a 满足：11=a ，11 1 n n a a +=- +，则2006a 等于 A 1 B 2 1 - C 2- D 2 7．等比数列{}n a 中，73a a 、为方程04102=+-x x 的两根，则951a a a ?? 的值为 A 4 B 8 C 16 D ±8 8．设函数x x f cos )(=,]1,1[-∈x ,若)()(21x f x f >,则下列不等式一定成立的是 A ．021<+x x B ．2 221x x > C ．21x x < D ．2 221x x < 9．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若 57 5 =S S ,246=S ,则}{n a 的公差为 A ．6- B ．6 C ．2 D ．2- 10．函数)(x f 定义域为R, 对任意实数x 满足)3()1(x f x f -=-且)3()1(-=-x f x f ,当1≤x ≤2时,2)(x x f =, 则)(x f 的单调减区间是（以下Z k ∈） A ．]12,2[+k k B ．]2,12[k k - C ．]22,2[+k k D ．]2,22[k k - 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上。 11．已知n m n m +,,成等差数列,mn n m ,,成等比数列,且2)(log 1< 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P 绝密★启用前 2001年普通高等学校春季招生考试（北京、内蒙古、安徽卷） 数 学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 三角函数的积化和差公式 )]sin()[sin(2 1 cos sin β-α+β+α=βα l c c S )'(2 1 += 台侧 )]sin()[sin(2 1 sin cos β-α-β+α= βα 其中'c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 )]cos()[cos(2 1 cos cos β-α+β+α= βα 球体的体积公式 33 4 R V π=球 )]cos()[cos(2 1 sin sin β-α-β+α-=βα 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）集体{ }5,4,3,2,1=M 的子集个数是 （A ）32 （B ）31 （C ）16 （D ）15 （2）函数)10()(≠>=a a a x f x 且对于任意的实数y x ,都有 （A ）)()()(y f x f xy f = （B ）)()()(y f x f xy f += （C ）)()()(y f x f y x f =+ （D ）)()()(y f x f y x f +=+ （3）=++∞→1 2 22 lim n n n n n C C （A ）0 （B ）2 （C ） 2 1 （D ） 4 1 （4）函数)1(1≤--=x x y 的反函数是 （A ）)01(12 ≤≤--=x x y （B ）)10(12 ≤≤-=x x y （C ）)0(12≤-=x x y （D ）)10(12 ≤≤-=x x y 绝密★启用前 2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷（理工农医类） 数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 P n (K)=k m P k (1-P)n-k 以R 为半径的球的体积V = 43 πR 3 . 一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只 有一项是符合题目要求的. （1）复数1+ 32 i =（ ） (A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3 (2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的（ ） (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)圆O 1:x 2 +y 2 -2x =0和圆O 2:x 2 +y 2 -4y =0的位置关系是（ ） (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 (4)已知函数M ,最小值为m ,则 m M 的值为（ ） 上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?=L ． 6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 ． 7 ． 设 函 数 ()x f x x = ，则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121 ()1 x f x x -= +，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ． 二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11．工件内圆弧半径测量问题． 为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点 M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标． 参考答案： 1. 21x - 2. 1 2 - 3. 2 4. 94 5. ()1!1n +- 6. 2 2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．复数 2 1 (1i)+等于（ ） A ． 12 B ．12 - C ． 1i 2 D ．1i 2 - 2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ ） A ．1 B ． 56 C ． 16 D ． 130 3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R U e，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a > 4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c 5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ? ? =+ > ?3?? 的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π?? ?3?? ， 对称 B ．关于直线x π = 4对称 C ．关于点0π?? ?4 ?? ， 对称 D ．关于直线x π = 3 对称 6．以双曲线 221916 x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．2 2 1090x y x +-+= B ．22 10160x y x +-+= C ．2 2 10160x y x +++= D ．2 2 1090x y x +++= 7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ?? < ??? 的实数x 的取值范围是（ ） 绝密★启用前 2015年成人高等学校招生全国统一考试 数 学 （理工农医类） 答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．． 。 选择题 一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．． 。 1．设集合{}2,5,8M =，{}6,8N =，则M N = ( C )． A 、{}8 B 、{}6 C 、{}2,5,6,8 D 、{}2,5,6 2. 函数y =( A ) ． A 、[)3,+∞ B 、[)0,+∞ C 、[)9,+∞ D 、R 3. 若2π θπ<<，1sin 4 θ=,则cos θ= ( A )． A 、415- B 、1615- C 、1615 D 、4 15 4. 已知平面向量a =（-2,1）与b =（λ，2）垂直，则λ= ( C )． A 、-4 B 、-1 C 、1 D 、4 5. 下列函数在各自定义域中为增函数的是( D )． A 、1y x =- B 、21y x =- C 、12x y -=+ D 、12x y =+ 6. 设甲：函数y kx b =+的图像过点()1,1，乙:1k b +=,则( D )． A 、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 B 、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C 、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D 、甲是乙的充分必要条件 7. 设函数x k y =的图像经过点()2,2-，则k =( D )． A 、4 B 、1 C 、-1 D 、-4 8. 若等比数列{}n a 的公比为3，49a = ，则1a =( B )． A 、91 B 、3 1 C 、3 D 、27 9. log 510-log 52=( B )． A 、0 B 、1 C 、5 D 、8 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3 5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相 成都市2008届高中毕业班第一次诊断性检测 数学（理工农医类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题看上。 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案标号。不能答在试卷卷上。 3． 本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式2 4S R π= ()()()P A B P A P B +=+ 其中R 表示球的半径 如果事件A B 、相互独立，那么 球的体积公式243 V R π= ()()()P A B P A P B ?=? 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次实验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复实验中恰好发生在k 次的概率： ()()1n k k k n n P k C P P -=?-()0,1,2k n =??? 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（60分，每小题5分） 1.22231lim 2 n n n n →∞++=+ 2.若角α的始边为x 轴非负半轴，顶点是原点，点(4,3)P -为其终边上一点，则cos α= A 、45 B 、35- C 、45 - D 、35± 3.在四边形ABCD 中，“2AB DC =”是“四边形ABCD 是梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件 4.已知集合{}{},,,1,0,1P a b c Q ==-，映射:f P Q →中满足()0f b =的映射个数共有 A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、9个 5. 已知数列{}n a 为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a += A 、3 B 、3- C 、3± D 、3- 6.若函数()f x 定义域为12x x ? ?>???? ，则函数1()f x 的定义域为 A 、12x x ? ?>???? B 、102x x x ??<≠????且 C 、{}{}20x x x x >< D 、{}02x x << 7.若函数4y x x =+在(0,)x a ∈上存在反函数，则实数a 的取值范围为 A 、(1,4) B 、(]0,2 C 、(]2,4 D 、[)2,+∞ 8.把函数sin 2y x =的图象按向量(,3)6a π =--平移后得到 sin()(0,0,)2y A x B A πω?ω?=++>>≤ 的图象，则?和B 的值依次为 A 、,312π - B 、,33π C 、,33π- D 、,312 π- 9.如图直线PA 垂直于O 所在平面，ABC ?内接于O 且AB 为直径，M 为线段PB 中 点，有以下命题：①BC PC ⊥②//OM 面APC ③B 到面PAC 的距离等于线段BC 的 长。其中真命题个数为 A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 10.福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”，“晶晶”，“欢欢”，“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲，乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个作纪念，按先甲后乙的顺序不放回地选择，则“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率是 A 、110 B 、15 C 、35 D 、45 11.已知,A B 是球O 球面上两点，在空间直角坐标系中(0,0,0),(2,1,1),(0,2,2)O A B -，则,A B 在该球面上的最短距离是 1993年试题 (理工农医类) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. (1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为 【】 【】 (A)45°(B)60° (C)90° (D)120° 【】 (A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 【】 (5)直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是 【】 (6)在直角三角形中两锐角为A和B,则sinAsinB (C)既无最大值也无最小值 (D)有最大值1,但无最小值 【】 (7)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10= (A)12 (B)10 (C)8 (D)2+log35 【】 (A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)可能是奇函数也可能是偶函数 (D)不是奇函数也不是偶函数 【】 (A)线段(B)双曲线的一支 (C)圆弧(D)射线 【】 (10)若a、b是任意实数,且a>b,则 【】 (11)已知集合E={θ│cosθ 【】 (16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么 【】 (17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 (A)6种 (B)9种(C)11种(D)23种 【】 (18)已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a,b所成的角都是30°的直线有且仅有 (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【】 二、填空题:把答案填在题中横线上. (20)在半径为30m的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120°.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为 m(精确到0.1m). (21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共种(用数字作答). (22)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元. (23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= . 三、解答题:解答应写出文字说明、演算步骤. (26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l. (Ⅰ)判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l的距离. 出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15
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