PMF是一个多变量因素分析工具，它把采样数据矩阵分解成两个矩阵：系数的贡献（G）和因字数（F），这些因子情况需要用户利用测得的源配置文件信息，以及排放或排放清单进行解释，以识别对样品有贡献的的源类型。该方法在这里简要回顾，在其他地方更详细地描述。
结果使用约束：没有样品可以有显著负贡献。PMF的使用样品的浓度和用户提供的不确定度进行各个点加权。
此功能允许分析人员占信心在测量。例如，检测限下面的数据可以被保留用于该模型中，与相关联的调整的不确定度，以便这些数据点比测量高于检测限的数据点，对解决方案有较小的影响。
因子贡献和因字数使PMF模型目标函数Q最小化。
Q是PMF的一个关键参数，两个版本的Q显示在模型运行。Q（真）计算是包括所有点的拟合优度参数。Q（鲁棒）是计算排除不符合模型的点（定义为样品的量的不确定度残差大于4）的拟合优度参数。
Q（真）和Q（鲁棒）的区别在于测试残差高的数据的影响。这些数据点可能与来自源的峰值影响相关联
EPA PMF需要底层多线性多次迭代（ME），以帮助识别最优化的因子贡献和因字数。这是由于在ME算法的性质，用随机生成的因子数开始搜索因子配置文件。这一因素配置文件使用梯度的方法来绘制的到最佳的解决方案的最优路径。在空间方面，该模型利用观察构建多维空间，然后使用梯度的方法来遍历空间沿着这条道路找到最佳解决方案。最佳的解决方案通常是由沿着路径的最低Q（稳健）值（即最小Q）所识别，可以被想象成一个槽的底部在一个多维的空间中。由于起点的随机性（由种子值和它表示的路径来确定），不能保证该梯度方法总能找到多维空间（全球最低）的最深点; 它可能找到一个局部的最低水平。为了最大限度地达到全局最小，该模型应为一个开发的解决方案运行20次和100次对一个最终的解决方案，每次以不同的起点。
因为Q（鲁棒）不被那些没有被PMF拟合的点影响，它被用作一个关键参
数从多个运行选择最佳的运行。此外，可变性Q（稳健）提供了一个指示（初始运行结果是否有显著变化），因为用来启动梯度算法的随机种子在不同的位置。如果数据提供稳定的路径到最小，则间Q（可靠）的值在不同运行之间将会变化很小（判据）。在其他情况下，该起始点和由数据定义的空间的组合会影响到最小值的路径，导致Q（鲁棒）的值变化;最低Q（健壮）值默认使用，因为它代表了最优化的解决方案。应当注意的是Q值的微小的变化并不一定表示该不同的运行具有的小的差异在源成分之间。
由于化学成分变化或过程变化引起的变异可能会造成因子配置的显著差异在PMF运行中。提供两个诊断去评估不同运行间的差异：内部运行残差分析和物种分布的因素总结相比那些最低的Q（稳健）运行。用户必须评估PMF中的所有的错误估计去理解模型结果的稳定性;算法和ME输出在Paatero等人进行了描述。（2014年）。PMF的解决方案的差异可以使用三种方法估计：
1、自举（BS）分析用于确定是否有一个小的观察组可以不
成比例地影响解决方案。BS误差区间包括随机误差
和部分包括旋转歧义的影响。旋转歧义是由PMF产生
的在许多方面相似的无限的解决方案引起。也就是说，
对于任意一对矩阵，可以通过简单的旋转一对矩阵可
产生无限变化。只有一个源的贡献非负的约束，不可
能限制这个空间旋转。BS错误估计通常是坚固的和不
被用户指定的样品的不确定度影响。
2、替换（DISP）是一种分析方法，它可以帮助用户
了解解决方案的更详细的细节，包括其对微小变化的
敏感性。DISP误差区间包括旋转歧义的影响，但不包
括数据中的随机误差的影响。数据的不确定度将直接
影响DISP误差估计。因此，向下加权的物种的误差区
间很可能大
3、BS-DISP（混合方式）的误差区间包括随机误差和
旋转歧义的影响。BS-DISP结果比DISP结果更加可
靠，因为BS-DISP的DISP相不像DISP本身那样强烈
PMF是一个多变量因素分析工具，它把采样数据矩阵分解成两个矩阵：系数的贡献（G）和因字数（F），这些因子情况需要用户利用测得的源配置文件信息，以及排放或排放清单进行解释，以识别对样品有贡献的的源类型。该方法在这里简要回顾，在其他地方更详细地描述。 结果使用约束：没有样品可以有显著负贡献。PMF的使用样品的浓度和用户提供的不确定度进行各个点加权。 此功能允许分析人员占信心在测量。例如，检测限下面的数据可以被保留用于该模型中，与相关联的调整的不确定度，以便这些数据点比测量高于检测限的数据点，对解决方案有较小的影响。 因子贡献和因字数使PMF模型目标函数Q最小化。 Q是PMF的一个关键参数，两个版本的Q显示在模型运行。Q（真）计算是包括所有点的拟合优度参数。Q（鲁棒）是计算排除不符合模型的点（定义为样品的量的不确定度残差大于4）的拟合优度参数。 Q（真）和Q（鲁棒）的区别在于测试残差高的数据的影响。这些数据点可能与来自源的峰值影响相关联 EPA PMF需要底层多线性多次迭代（ME），以帮助识别最优化的因子贡献和因字数。这是由于在ME算法的性质，用随机生成的因子数开始搜索因子配置文件。这一因素配置文件使用梯度的方法来绘制的到最佳的解决方案的最优路径。在空间方面，该模型利用观察构建多维空间，然后使用梯度的方法来遍历空间沿着这条道路找到最佳解决方案。最佳的解决方案通常是由沿着路径的最低Q（稳健）值（即最小Q）所识别，可以被想象成一个槽的底部在一个多维的空间中。由于起点的随机性（由种子值和它表示的路径来确定），不能保证该梯度方法总能找到多维空间（全球最低）的最深点; 它可能找到一个局部的最低水平。为了最大限度地达到全局最小，该模型应为一个开发的解决方案运行20次和100次对一个最终的解决方案，每次以不同的起点。 因为Q（鲁棒）不被那些没有被PMF拟合的点影响，它被用作一个关键参
矩阵分解以及矩阵范数在数值计算中的应用 张先垒 （自动化与电气工程学院 控制科学与工程 2012210186） 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或 者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 1. 引言 矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。 2. 矩阵的三角分解求解线性方程组 数值求解线性方程组的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵论一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。（见课本P93例4.3）考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的， 1111 n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? （1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一 般的记初等矩阵 [1] 如1-2式及矩阵论课本上的Givens 矩阵。
因子载荷矩阵的确定 在因子分析中，通常只选其中m个(m＜p主因子，即根据变量的相关选出第一主因子?1,使其在各变量的公共因子方差中所占的方差贡献为最大，然后消去这个因子的影响，而从剩余的相关中，选出与人不相关的因子人，使其在各个变量的剩余因子方差贡献中为最大，如此往复，直到各个变量公共因子方差被分解完毕为止。 例如，如果我们按所选取的各主因子的信息量之和占总体信息量的85％，那么应选择m使得： 选定了m之后，我们就可将U矩阵分为两部分，以确定因子模型。由 F a＝U'X a得： X a = UF a即： 令 U (1)=[ U1, U2,…, U m] p*m U (2)=[ U1, U2,…, U m] p*(p-m)
则 其中U (1) ? (1)为m 个主因子所能解释的部分，而U (2) ? (2)为其残余部分，记为Ea ，则 X a = U (a) ? (1) a + E a (α = 1, 2, …,n) 由于该式对任意的样品都成立，故式中的α可去掉，这样就得因子模型： X 1= U 11 ?1 + U 12 ?2 + … + U 1m ?m + ε1 X 2= U 21 ?1 + U 22 ?2 + … + U 2m ?m + ε2 ……………………………………………… X p = U p1 ?1 + U p2 ?2 + … + U pm ?m + εp 其中的主因子系数矩阵U (1)称为因子载荷矩阵。 由于特征向量U i 通常是用单位向量表示的，故需要进行规格化处理，即
所以，因子载荷矩阵为： 因此，因子模型为： X1= a 11?1 + a 12?2 + …+ a 1m?m+ a 1ε1 X2= a 21?1 + a 22?2 + …+ a 2m?m+ a 2ε2……………………………………………… X p= a p1?1 + a p2?2 + …+ a pm?m+ a pεp 从以上分析可见，因子分析与主成分分析有很大差别。主成分分析是将主分量表示为原观测变量的线性组合，而因子分析是将原观测变量表示为公共因子的线性组合；主成分分析的主分量数m和原变量数P 相等，它是将一组具有相关性的变量变换为一组独立的变量，而因子分析的目的是要使公共因子数.m比原变量数p小，而且要尽可能地选取小的m，以便尽可能地构造一个结构简单的模型。在主成分分析中，原观测变量对某一主成分的影响大小，由该主成分相应的特征向量确定，而在因子分析中，原观测变量在某一主因子上的载荷，由该主因子相应的特征向量确定。
第四章整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 一、整除、单位、相伴元 定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元?b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元?g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 二、素元 定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0 ≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3整环I的一个非零元a有真因子?a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 三、唯一分解 定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…q s（q i是I的素元） 那么r=s 并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得 q i=εi p i (εi是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I={}Z +, 3中： a∈ - b a b （1）ε是单位1 = ?。 ? ε = 1 ε2± （2）若4 α2=，则α是素元。 （3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）： ()()3 + - = - ? = 1 1 3 2 2 4-
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果2 0,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2 A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且 11 (*)|| A A A -= .
8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）. (A) 如果A 是上三角矩阵，则2 A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2 A 也是对角阵. 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ） (A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；
矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、分解、满秩分解和奇异值分解.矩阵地分解是很重要地一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂地问题，在各个不同地专业领域也有重要地作用.秩亏网平差是测量数据处理中地一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数地估计数大大简化了求解过程和难度. 矩阵地三角分解 如果方阵可表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积，即，则称可作三角分解.矩阵三角分解是以消去法为根据导出地，因此矩阵可以进行三角分解地条件也与之相同，即矩阵地前个顺序主子式都不为，即.所以在对矩阵进行三角分解地着手地第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义.矩阵地三角分解不是唯一地，但是在一定地前提下，地分解可以是唯一地，其中是对角矩阵.矩阵还有其他不同地三角分解，比如分解和分解，它们用待定系数法来解求地三角分解，当矩阵阶数较大地时候有其各自地优点，使算法更加简单方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 矩阵地三角分解可以用来解线性方程组.由于，所以可以变换成，即有如下方程组：资料个人收集整理，勿做商业用途 先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，. 资料个人收集整理，勿做商业用途 必须指出地是，当可逆矩阵不满足时，应该用置换矩阵左乘以便使地个顺序主子式全不为零，此时有：资料个人收集整理，勿做商业用途 这样，应用矩阵地三角分解，线性方程组地解求就可以简单很多了. 矩阵地分解 矩阵地分解是指，如果实非奇异矩阵可以表示为，其中为正交矩阵，为实非奇异上三角矩阵.分解地实际算法各种各样，有正交方法、方法和方法，而且各有优点和不足.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．正交方法地分解 正交方法解求分解原理很简单，容易理解.步骤主要有：）把写成个列向量（，，……，），并进行正交化得（，，……，）；) 单位化，并令（，，……，），（，，……，），其中；）. 这种方法来进行分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法求分解是利用旋转初等矩阵，即矩阵()来得到地，()是正交矩阵，并且(()).()地第行第列 和第行第列为，第行第列和第行第列分别为和，其他地都为.任何阶实非奇异矩阵可通过左连乘()矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，另，就有.该方法最主要地是在把矩阵化为列向量地基础上找出和，然后由此把矩阵地一步步向上三角矩阵靠近.方法相对正交方法明显地原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵()固有地性质很特别可以使其在很多方面地应用更加灵活.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法分解矩阵是利用反射矩阵，即矩阵，其中是单位列向量，是正交矩阵，.可以证明，两个矩阵地乘积就是矩阵，并且任何实非奇异矩阵可通过连乘矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，则.这种方法首要地就是寻找合适地单位列向量去构成矩阵，
第四章 整环里的因子分解 §4.1 不可约、素元、最大公因子 1. 证明:0不是任何元的真因子. 注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子. 2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位. 解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得 1))((=++di c bi a , 从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位. 3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元. 证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位. 设Z ∈d c b a ,,,,使得 3))((=++di c bi a . 于是 9))((2222=++d c b a . 显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元. 由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元. 4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明: a b a ?=)()(～b . 证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此 ?=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ?～b . 5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |. 证明 我们用数学归纳法来证明. 当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立. 假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立. 6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的
矩阵的分解与正交阵之间的联系 摘要：通过一个矩阵分解可分解成正交阵与某个矩阵的乘积引出关于矩阵的极分解定理，QR 分解定理，极值分解定理，奇异值分解定理等，并对它们进行了证明和扩充。 关键词：分解 矩阵 正交阵 正文：今年来，在数学专业的考研试卷中，高代部分关于矩阵的分解的题目（利用它们来进行计算或证明某个特定问题）有增多的趋势。学过矩阵论的人都知道，矩阵的分解主要有两大类，一类是矩阵的加法分解，一类是矩阵的乘法分解。本篇着重讨论乘法分解中的几种特殊分解。 定义1： ()n n ij A a R ?=∈ , A A E '=, 则A 称为正交阵。 定义1'：()n n ij A a R ?=∈， ( I ) 112210i j i j in jn a a a a a a ?++ =?? i j i j =≠ ,1,2, ,,1,2,,i j n i j n == ( II ) 112210i j i j ni nj a a a a a a ?++ =?? i j i j =≠ ,1,2, ,,1,2, , i j n i j n == (III) 1 A A -'= 在02年的厦大高代考研卷子中，就有矩阵的分解与正交阵结合起来的题目。 TH1：（02年高代试卷）设A 是可逆的n 阶实方阵。求证：存在正交阵U ，正定阵T ，使 A=UT ，且这个分解式是唯一的。 证明：A 可逆， ∴AA '正定 从而存在正定阵T ， 使2 AA T '= 121 ()[()]A A T A T T U T --''=== 即 1 ()U A T -'= 则 1 11 2 111 ()() ()()U U A T T A A T A A A A A E ------''''''==== 现假设A 还有另一分解，即A=UT=US 则 1 UU ST -'= ，U 为正交阵，而U 的特征值为实数且是正的 1 1 1 1 22 2 21()()T S T T T S T - -∴= 可对角化 即 1 E S T -= S T ∴= ∴分解式是唯一的。证明完毕。 上述定理1也称为矩阵的极分解定理，又极分解定理我们可以得到一个推论。 推论1：设A 是一个n 阶实可逆矩阵，A=PU 是极分解，其中P 是正定矩阵，U 是正交矩阵，则 AA A A PU UP ''=?=。
《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月
Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015
中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用
Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application
第二届全国环境化学学术报告会论文集 正矩阵因子分解法解析北京ＰＭｌ０和ＰＭ２．５气溶胶的来源 孙业乐１庄国顺１ｔ２ ｌ北京师范大学大气环境研究中心，北京１００８７５；２复旦大学，环境争工程学系大气化学研 究中?ｏ，上海２００４３３ 摘要（、良种新的因子分析法．正矩阵因子分解法对北京，Ｍ。。和，Ｍ：，的来源进行解析．，Ｍ，。和ＰＭ２．５分别解析出了８个因子，其中包括６个相同的来源：二次气溶胶，道路扬尘，生物质燃烧，钢铁冶炼，非金属冶炼，汽车尾气排放．）除此之外ＰＭＩＯ还解析出了土壤尘和工业排放源，ＰＭ２．５解析出了废弃物燃烧以及矿物灰尘源．二次气溶胺是ＰＭｌ０和ＰＭ２．５的主要贡献者，分别占ＰＭｌ０和ＰＭ２．５的５５％和６１％。道路扬尘其次，占ＰＭＩＯ的１８％，ＰＭ２５的１４％． 关键词：正矩阵因弋尹解法母絮州女５源筻析 ０前言 近几年来，尽管北京政府采取了一系列的强制性措施控制空气质量污染，但是可吸入颗粒物的浓度不但没有减少，反而在原先的基础上有所增加。因此了解气溶胶颗粒物的来源将为改善北京市空气质量提供科学的理论依据，同时为保护人民身体健康做出贡献。然而先前学者通过因子分析方法解析的北京气溶胶的来源由于因子分析自身的局限性而带有较大的不确定性。因此一种新的因子分析法．多元矩阵因子分解法（ＰＭＦ）ｍ２１被采用来解析北京气溶胶颗粒物的来源并获得相应的源谱。 １ＰＭＦ原理 在ＰＭＦ里，假设ｘ为ｎｘｍ矩阵，ｎ为样品数，ｉｎ为化学成分数目，那么ｘ可以被分解为两个矩阵即Ｇ（ｎｘｐ）和ＦＣ．ｐｘｍ），Ｐ代表解析出的因子数目。 Ｘ＝ＧＦ４－Ｅ Ｇ为ｎｘｐ矩阵，为源的载荷，Ｆ为ｐｘｍ矩阵，为污染源的源谱。Ｅ为残数矩阵，即数据中未能解释的那部分。 ａ＝∑∑（ｅｏ７％）２ ＰＭＦ的主要目标就是要使总方差最小‘¨” 方程（２）的解可以通过一种特殊的算法得到。 ２源分析 妒ｆ’ｌ
矩阵分析
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
1
( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
2
初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
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初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
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证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
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线性系统的求解是数值分析中的一个基本问题。线性系统的求解在电路分析中典型的应用就是用基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律求解电路。下面的五个方程组是对一个典型的电路系统的描述：5I1+5I2=V;I3-I4-I5=0;2I4-3I5=0;I1-I2-I3=0;5I2-7I3-2I4=0;当系统确定以后I1, I2，I3，I4，I5前面的系数就确定了。I1，I2，I3，I4，I5的具体数值将随输入电压值V5的变化而改变。求解线性系统解（也就是求解矩阵的解）常用的方法有Gaussian Elimination with Backward Substitution 法，LU Factorization法，LDL T Factorization 法和Choleski 法。其中Gaussian Elimination with Backward Substitution 法最为简单直接，它的思路就是将系数矩阵化简为一个上三角矩阵或者化简为一个下三角矩阵。但是它消耗的资源最多，以一个可描述为5*5矩阵的系统而言它需要5*5*5/3次乘法运算，即大约42次乘法运算。但系统大到100*100时这种方法的计算量非常可观。这种方法不适合处理很大的矩阵。作为Gaussian Elimination with Backward Substitution 法的改进LU Factorization（也叫LU分解法）法的思路是将系统矩阵分解成为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵进行运算。这样的话极为方便求解迭代。假设系统为n*n的系统，那么LU分解的方法将计算量由n*n*n/3降低到2*n*n。对于一个100*100的系统LU分解法的计算量仅仅是Elimination with Backward Substitution 法的3%。尽管在决定L矩阵和U矩阵时依然需要n*n*n/3次运算但是系统一旦定下来后是不会有大的改动的，往往是外部条件改变也就是说5I1+5I2=V;I3-I4-I5=0;2I4-3I5=0;I1-I2-I3=0;5I2-7I3-2I4=0;这个系统的系数是不会经常变的，常变的只是外部条件V。LU分解法适应的范围极宽，他对系统没有特殊的要求。当描述系统的矩阵大于6*6时选用LU分解法会更为节省资源，当系统小于6*6时Elimination with Backward Substitution法效率会更高些。LDL T Factorization 法和Choleski 法和LU分解法很像似，基本思路也是将系统矩阵分解成上三角矩阵和下三角矩阵。但是这两种方法要求系统的矩阵必须是正定的，也就是说系统的任意阶行列式必需为正。这样对系统的要求就严格一些。LDL T Factorization 法需要n*n*n/6+n*n-7*n/6次乘法和n*n*n/6-n/6次加减法。Choleski 法则仅仅需要n*n*n/6+n*n/2-2*n/3次乘法和n*n*n/6-n/6次加减法。当系统较大时不失为两种很好的选择。
矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。 ［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵 说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。 引言 所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。 定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A 到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4
定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[] 1[]2[]3[] 4 定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式 ()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[] 2 定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[] 1[]2[] 3 一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的 相关条件。 定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[] 1[]2[]3[] 4 证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使 1 2 1 n P AP λλλ-????? ?=??????即12n AP P λλλ?? ????=????? ? 把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即 12[,,,]n P P P P = 于是有
矩阵分解及其简单应用 x=b，即有如下方程组：Ly=bUx=y 先由Ly=b依次递推求得y1, y2,……，yn，再由方程Ux=y依次递推求得 xn，xn-1，……， x1、必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k≠0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA的n个顺序主子式全不为零，此时有： Ly=pbUx=y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可 以简单很多了。2、矩阵的QR分解矩阵的QR分解是指，如果实 非奇异矩阵A可以表示为A=QR，其中Q为正交矩阵，R为实非奇 异上三角矩阵。QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方法、Givens方法和Householder方法，而且各有优点和不足。2、1．Schmidt正交方法的QR分解Schmidt正交方法解求QR分解原 理很简单，容易理解。步骤主要有：1）把A写成m个列向量a= （a1，a2，……，am），并进行Schmidt正交化得=（α1， α2，……，αm）；2) 单位化，并令Q=（β1，β2，……，βm），R=diag（α1， α2，……，αm）K，其中a=K；3）A=QR、这种方法来进行QR分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便。2、2．Givens方法的QR分解Givens方 法求QR分解是利用旋转初等矩阵，即Givens矩阵Tij(c,s)来得 到的，Tij(c,s)是正交矩阵，并且det(Tij(c,s))=1。Tij(c,s)的第i行第i列和第j行第j列为cos，第i行第j列和第j行第i
列分别为sin和-sin，其他的都为0、任何n阶实非奇异矩阵A可通过左连乘Tij(c,s)矩阵（乘积为T）化为上三角矩阵R，另 Q=T-，就有A=QR。该方法最主要的是在把矩阵化为列向量的基础上找出c和s，然后由此把矩阵的一步步向上三角矩阵靠近。Givens方法相对Schmidt正交方法明显的原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵Tij(c,s)固有的性质很特别可以使其在很多方面的应用更加灵活。2、3．Householder方法的QR分解Householder方法分解矩阵是利用反射矩阵，即Householder矩阵H=E-2uuT，其中u是单位列向量，H是正交矩阵，detH=-1。可以证明，两个H矩阵的乘积就是Givens矩阵，并且任何实非奇异矩阵A可通过连乘Householder矩阵（乘积为S）化为上三角矩阵R，则A= QR。这种方法首要的就是寻找合适的单位列向量去构成矩阵H，过程和Givens方法基本相似，但是计算量要小一些。矩阵的QR分解可以用来解决线性最小二乘法的问题，也可以用来降低矩阵求逆的代价。矩阵的求逆是件不小的工程，尤其是阶数慢慢变大的情况时，而用先把矩阵QR分解成正交矩阵和上三角矩阵，就容易多了，况且正交矩阵的转置就是逆，这一点是其他的矩阵分解无法比拟的。在解求线性方程组中，如果系数矩阵的阶数比较大，可以利用QR分解来使计算简单化。另外，QR分解考虑的是n阶矩阵，其他的矩阵是不能用这种方法进行分解，由于QR 分解的这一前提条件，使得下面提到的满秩矩阵分解和奇异值分解就有了其特殊的意义。3、满秩分解满秩分解也称最大秩分
对矩阵分解及其应用 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。 1. 矩阵的三角分解 如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU 则称A可作三角分解。矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下， A=LDU勺分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求 A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。 矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组： Ly = b { {Ux = y 先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ，y n，再由方程Ux = y依次递推求得X n， x n-1 ， ... ，X1 . 必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k工0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零，此时有： Ly = pb { { Ux = y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。 2. 矩阵的QF分解 矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方
学士学位论文 矩阵的分解 学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学 学生姓名林意 学号200920134781 指导教师姓名周末 指导教师职称教授 2014 年4 月16 日
矩阵的分解 摘要 众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的 QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来 . 关键词：矩阵；分解； QR 分解；三角分解；满秩分解
The Decomposition of the Matrix ABSTRACT As everyone knows ，matrix is one of the most important concepts in algebra ，whose appearance promotes the development of algebra． While as a significant part of the theory of matrix ，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices ．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms ，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems ．In this paper ， the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below ， such as QR decomposition ，full rank decomposition ，LU decomposition and so on ．Firstly ，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given ．And then ，specific decomposition ways of theirs are illustrated ． Finally ，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples． Keywords ：Matrix ；Decomposition ；QR Decomposition ；LU Matrix Decomposition ；Full Rank Decomposition