第二届全国环境化学学术报告会论文集
正矩阵因子分解法解析北京ＰＭｌ０和ＰＭ２．５气溶胶的来源
孙业乐１庄国顺１ｔ２
ｌ北京师范大学大气环境研究中心，北京１００８７５；２复旦大学，环境争工程学系大气化学研
究中?ｏ，上海２００４３３
摘要（、良种新的因子分析法．正矩阵因子分解法对北京，Ｍ。。和，Ｍ：，的来源进行解析．，Ｍ，。和ＰＭ２．５分别解析出了８个因子，其中包括６个相同的来源：二次气溶胶，道路扬尘，生物质燃烧，钢铁冶炼，非金属冶炼，汽车尾气排放．）除此之外ＰＭＩＯ还解析出了土壤尘和工业排放源，ＰＭ２．５解析出了废弃物燃烧以及矿物灰尘源．二次气溶胺是ＰＭｌ０和ＰＭ２．５的主要贡献者，分别占ＰＭｌ０和ＰＭ２．５的５５％和６１％。道路扬尘其次，占ＰＭＩＯ的１８％，ＰＭ２５的１４％．
关键词：正矩阵因弋尹解法母絮州女５源筻析
０前言
近几年来，尽管北京政府采取了一系列的强制性措施控制空气质量污染，但是可吸入颗粒物的浓度不但没有减少，反而在原先的基础上有所增加。因此了解气溶胶颗粒物的来源将为改善北京市空气质量提供科学的理论依据，同时为保护人民身体健康做出贡献。然而先前学者通过因子分析方法解析的北京气溶胶的来源由于因子分析自身的局限性而带有较大的不确定性。因此一种新的因子分析法．多元矩阵因子分解法（ＰＭＦ）ｍ２１被采用来解析北京气溶胶颗粒物的来源并获得相应的源谱。
１ＰＭＦ原理
在ＰＭＦ里，假设ｘ为ｎｘｍ矩阵，ｎ为样品数，ｉｎ为化学成分数目，那么ｘ可以被分解为两个矩阵即Ｇ（ｎｘｐ）和ＦＣ．ｐｘｍ），Ｐ代表解析出的因子数目。
Ｘ＝ＧＦ４－Ｅ
Ｇ为ｎｘｐ矩阵，为源的载荷，Ｆ为ｐｘｍ矩阵，为污染源的源谱。Ｅ为残数矩阵，即数据中未能解释的那部分。
ａ＝∑∑（ｅｏ７％）２
ＰＭＦ的主要目标就是要使总方差最小‘¨”
方程（２）的解可以通过一种特殊的算法得到。
２源分析
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ＰＭｌ０和ＰＭ２．５均解析出了８个来源。ＰＭｌ０和ＰＭ２．５中的第一个因子，ＮＨ４＋，Ｎ０３一，Ｓ０４２－皆有很高的负载，明显代表二次来源。地壳来源在ＰＭｌ０中解析为两个因子。一个因子包含高浓度的Ｍｇ，Ｔｉ，ＡＩ，Ｎａ，表明道路尘源。而另外一个因子则与ｃａ，Ａｌ，Ｔｉ，Ｓｒ和ｃｏ有关，代表着土壤尘源。ＰＭ２．５中，第二个因子中Ｍｇ，Ｔｉ，ＡＩ，Ｆｅ，Ｍｎ和ｃａ有较高的负载，表明道路尘源。第８个因子ｓｒ和ｃｏ具有高的负载，而Ａｓ，Ｃｒ，ｃｄ，ＣｕＳ，Ｍｇ，Ｔｉ和Ａｌ有一定的负载，可能与煤飞灰有关。ＰＭｌ０第四个因子中，Ｋ＋和ｃｌｒ具有高的解释值，可能与生物质或者煤炭燃烧有关。ＰＭｌ０中的第五个因子Ｆｅ和Ｍｎ具有高的负载，代表钢铁冶炼源。而在ＰＭ２．５中，除了Ｆｅ和Ｍｎ外，ｃＬｚｎ和Ｐｂ也同时出现在这个因子里，说明工业排放可能是细颗粒物Ｐｂ等元素的一个重要来源。ＰＭｌ０中的第六个因子与Ｎｉ，Ｃｕ，Ｓｒ，Ｃｏ，Ｔｉ和Ｎａ有关。这个因子可以被归为道路尘污染的汽车排放源。ＰＭｌ０中的第七个因子以Ｃｒ，ｚｎ，Ｎｉ和Ｃｕ为特征，这可能与化石燃料的燃烧以及工业排放双重来源有关。ＰＭｌ０解析出来的最后一个因子与Ａｓ，Ｚｎ，Ｐｂ，Ｃｄ和Ｍｎ有关，代表工业排放源，尤其是非金属冶炼。相同的因子也出现在ＰＭ２．５中，ＰＭ２．５中的第五个因子中Ｎｉ和ｃｕ有负载，这个因子可被解释为工业排放。二次气溶胶是ＰＭｌ０和ＰＭ２．５的主要成份，分别占５５％和６１％，地壳源包括道路尘或者土壤尘是导致ＰＭｌ０和ＰＭ２．５高浓度的另一个主要因素。分别占ＰＭｌ０和ＰＭ２．５的１８％和１４％。由于源解析过程中未考虑ＯＣ和ＥＣ，因此ＰＭＦ解析出来的源贡献可能与实际有所差别。
参考文献
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ｍａｒｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ
ｐｏｓｉｔｉｖｅ
ＳｕｎＹｅｌｅｌＺｈｕａｎｇＧｕｏｓｈｕｎｌ－２
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ＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｈ窑ｈａｉ２００４３３
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｅｗｔｙｐｅｏｆｆａｃｔｏｒａｎａｌｙｓｉｓ，ｐｏｓｉｔｉｖｅｍａｔｒｉｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ（ＰＭＦ）ｗａｓｕｓｅｄｔｏｉｄｅｎｔｉｆｙｔｈｅｓｏｕｒｃｅｓｏｆＰＭａｏａｎｄＰＭ２．５．ＥｉｇｈｔｆａｃｔｏｒｓｗｅｒｅｒｅｓｏｌｖｅｄｆｏｒｂｏｔｈＰＭｌｏａｎｄＰＭ２５，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｓｉｘｓａｍｅｓｏｕｒｃｅｓ：ｓｅｃｏｎｄａｒｙａｅｒｏｓｏｌｓ，ｒｏａｄｄｕｓｔ，ｂｉｏｍａｓｓｂｕｒｎｉｎｇ，ｆｅｒｒｏｕｓ，ｎｏｎ—ｆｅｒｒｏｕｓｓｍｅｌｔｅｒｖｅｈｉｃｌｅｓ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ｓｏｉｌｄｕｓｔ，ｃｏｍｂｕｓｔｉｏｎ／ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌｅｍｉｓｓｉｏｎｓｉｎＰＭｌ０ａｎｄｒｅｆｕｓｅｉｎｃｉｎｅｒａｔｉｏｎ，ｍｉｎｅｒａｌｆｌｙａｓｈｉｎＰＭ２５ｗｅｒｅｒｅｓｏｌｖｅｄａｓｗｅｌｌ．ＳｅｃｏｎｄａｒｙｓｏｕｒｃｅｓｄｏｍｉｎａｔｅｔｈｅｔｏｔａｌｍａｓｓｏｆＰＭＩｏａｎｄＰＭ２５，ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｉｎｇ５５％ａｎｄ６１％ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｒｏａｄｄｕｓｔｉｓｔｈｅｎｅｘｔｉｍｐｏｒｔａｎｔｃｏｎｔｒｉｂｕｔｏｒ，ａｃｃｏｕｎｔｉｎｇｆｏｒ１８％ｏｆＰＭＩＯａｎｄ１４％ｏｆＰＭ２．５，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＰＭＦＰＭＩＯＰＭ２．５Ｓｏｕｒｃｅａｐｐｏｉｎｔｍｅｎｔ
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正矩阵因子分解法解析北京PM10和PM2.5气溶胶的来源
作者：孙业乐， 庄国顺
作者单位：孙业乐(北京师范大学大气环境研究中心(北京))， 庄国顺(北京师范大学大气环境研究中心(北京);复旦大学,环境和工程学系大气化学研究中心(上海))
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本文链接：https://www.doczj.com/doc/3815807314.html,/Conference_5905158.aspx
§4 直接三角分解法 一、教学设计 1．教学内容：Doolittle 分解法、Crout 分解法，紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 2．重点难点：紧凑格式的Doolittle 分解法、部分选主元的Doolittle 分解法。 3．教学目标：了解直接三角分解法的基本思想，掌握基本三角分解法及其各种变形。 4．教学方法：讲授与讨论。 二、教学过程 在上节中我们用矩阵初等变换来分析Gauss 消去法，得到了重要的矩阵LU 分解定理（定理 3.1，3.2）。由此我们将得到Gauss 消去法的变形：直接三角分解法。直接三角分解法的基本想法是，一旦实现了矩阵A 的LU 分解，那么求解方程组b x =A 的问题就等价于求解两个三角形方程组 （1）b y =L ，求y ； （2）y x =U ，求x 。 而这两个三角形方程组的求解是容易的。下面我们先给出这两个三角形方程组的求解公式；然后研究在LU A =或LU PA =时，U L ,的元素与A 的元素之间的直接关系。 4－0 三角形线性方程组的解法 设 ????? ???????= nn n n l l l l l l L 21222111， 11121222n n nn u u u u u U u ??????=???????? 则b y =L 为下三角形方程组，它的第i 个方程为 ),2,1(11,22111 n i b y l y l y l y l y l i i ii i i i i i i j j ij ==++++=--=∑ 假定0≠ii l ，按n y y y ,,,21 的顺序解得： ??? ?? ? ?=+-==∑-=) ,,3,2(/1111 11n i l b y l y l b y ii i i j j ij i 上三角形方程组y x =U 的第i 个方程为
clear all; %A=LU矩阵三角分解法 n=input('输入方矩阵的维数: '); for i=1:n for j=1:n A(i,j)=input('依次输入矩阵元素：'); end end %输入一个n阶方形矩阵 for j=1:n L(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 end for j=1:n U(1,j)=A(1,j); end %U的第一行 for i=2:n L(i,1)=A(i,1)/U(1,1); end %L的第一列 for k=2:n for j=k:n sum1=0; for m=1:k-1 sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j); end %求和 U(k,j)=A(k,j)-sum1; end for i=k+1:n sum2=0; for m=1:k-1 sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k); end %求和 L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k); end end L %输出下三角矩阵L U %输出上三角矩阵U
运行结果：（示例） 输入方矩阵的维数: 4 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 3 依次输入矩阵元素：0 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 1 依次输入矩阵元素：-1 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 2 依次输入矩阵元素： 5 依次输入矩阵元素：9 A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。
列主元三角分解法在matlab中的实现 摘要:介绍了M atlab语言并给出用M atlab语言实现线性方程组的列主元三角分解法,其有效性已在计算机实现中得到了验证。 关键词:M atlab语言;高斯消去法;列主元三角分解法 0前言 M atlab是M atrix Laboratory(矩阵实验室)的缩写,它是由美国M athwork公司于1967年推出的软件包,现已发展成为一种功能强大的计算机语言。它编程简单,使用方便,在M a tlab环境下数组的操作与数的操作一样简单,进行数学运算可以像草稿纸一样随心所欲,使计算机兼备高级计算器的优点。M atlab语言具有强大的矩阵和向量的操作功能,是Fo rtran和C语言无法比拟的;M a tlab语言的函数库可任意扩充;语句简单,内涵丰富;还具有二维和三维绘图功能且使用方便,特别适用于科学和工程计算。 在科学和工程计算中,应用最广泛的是求解线性方程组的解,一般可用高斯消去法求解,如果系数矩阵不满足高斯消去法在计算机上可行的条件,那么消元过程中可能会出现零主元或小主元,消元或不可行或数值不稳定,解决办法就是对方程组进行行交换或列交换来消除零主元或小主元,这就是选主元的思想。 1 定义 列主元三角分解：如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P,使PA=LU,其中L为单位下三角矩阵，U为上三角阵。列主元三角分角法是对直接三角分解法的一种改进,主要目的和列主元高斯消元法一样,
就是避免小数作为分母项. 2 算法概述 列主元三角分解法和普通三角分解法基本上类似，所不同的是在构造Gauss 变换前，先在对应列中选择绝对值最大的元素（称为列主元），然后实施初等行交换将该元素调整到矩阵对角线上。 例如第)1,,2,1(-=n k 步变换叙述如下： 选主元：确定p 使{}1)1( max -≤≤-=k ik n i k k pk a a ； 行交换：将矩阵的第k 行和第p 行上的元素互换位置,即 ． 实施Gauss 变换：通过初行变换，将列主对角线以下的元素消为零．即 3 列主元三角分解在matlab 中的实现
第四章整环里的因子分解 §1、素元、唯一分解 一、整除、单位、相伴元 定义在整环I中，若a=bc，则称a能被b整除，也说b整除a，记为b|a。b不能整除a记作b|a。 定义整环I的一个元ε叫做I的一个单位，假如ε是一个有逆元的元。元b叫做元a的相伴元（a与b相伴），假若b是a 和一个单位ε的乘积：b=εa。 单位元必是单位，反之不然。 例1在整数环Z中，单位即是1和-1，b是a的相伴元?b=±a。在数域F的多项式环F[x]中，单位即是零次多项式c∈F*，g（x）是f（x）的相伴元?g（x）=cf（x）。
定理1 两个单位ε1和ε2的乘积ε1ε2也是单位。单位ε的逆元ε-1也是一个单位。 推论整环I中全体单位的集U关于乘法作成群。 二、素元 定义单位以及元a的相伴元叫做a平凡因子。其余的a的因子，假如还有的话，叫做a的真因子。 定义整环I的一个元p叫做一个素元（注：应是不可约元），假如p0 ≠，p不是单位，并且p只有平凡因子。 例2 在例1的Z中，素元就是素数。在F[x]中，素元就是不可约多项式。 定理2 单位ε同素元p的乘积εp也是一个素元。 定理3整环I的一个非零元a有真因子?a=bc，b和c都不是单位。
推论假定a≠0，并且a有真因子b:a=bc。那么c也是a的真因子。 三、唯一分解 定义一个整环I的一个元a说是在I 里有唯一分解，假如以下条件能被满足：（i）a=p1p2…p r（p i是I的素元） （ii）若同时 a=q1q2…q s（q i是I的素元） 那么r=s 并且我们可以把q i的次序掉换一下，使得 q i=εi p i (εi是 I的单位) 零元和单位都不能唯一分解。 例3 在整环I={}Z +, 3中： a∈ - b a b （1）ε是单位1 = ?。 ? ε = 1 ε2± （2）若4 α2=，则α是素元。 （3）4∈I有两种不同的分解（不相伴分解）： ()()3 + - = - ? = 1 1 3 2 2 4-
第四章 习题答案 1。用Gauss 消去法解方程组 1231231 2323463525433032 x x x x x x x x x ++=?? ++=??++=? 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032x x x ?????? ? ? ? = ? ? ? ? ? ????? ?? 对其进行Gauss 消去得12323441 4726002x x x ?? ???? ? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?????-?? 得方程组12312323 32346 131 44 822 24 x x x x x x x x x ++=?=-???? -=-?=????=?-=-?? 2。用Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素 1233264107075156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-??????12r r ????→1231070732645156x x x -?????? ? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-???? ?? 21 3113 10122 31070716106101055052 2r r r r x x x +-? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ????→-= ? ? ? ? ? ??? ? ?????23 r r ????→123107075505221 61061010x x x ? ??? ? ?-?? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ?? ? ?-????
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果2 0,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2 A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且 11 (*)|| A A A -= .
8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）. (A) 如果A 是上三角矩阵，则2 A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2 A 也是对角阵. 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ） (A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；
矩阵直接三角分解法 1、实验目的： 求解方程组Ax=b A=[1 2 -12 8; 5 4 7 -2; -3 7 9 5; 6 -12 -8 3], b=[27; 4; 11; 49] 2、实验步骤： 添加库函数 #include "stdafx.h" #include "math.h" 3、代码： #include "stdafx.h" #include "math.h" void main() { float x[4]; int i; float a[4][5]={1,2,-12,8,27,5,4,7,-2,4,-3,7,9,5,11,6,-12,-8,3,49}; void DirectLU(float*,int,float[]); DirectLU(a[0],4,x); for(i=0;i<=3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } void DirectLU(float*u,int n,float x[]) {
int i,r,k; for(r=0;r<=n-1;r++) { for(i=r;i<=n;i++) for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+r*(n+1)+i)-=*(u+r*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+i)); for(i=r+1;i<=n-1;i++) { for(k=0;k<=r-1;k++) *(u+i*(n+1)+r)-=*(u+i*(n+1)+k)*(*(u+k*(n+1)+r)); *(u+i*(n+1)+r)/=*(u+r*(n+1)+r); } } for(i=n-1;i>=0;i--) { for(r=n-1;r>=i+1;r--) *(u+i*(n+1)+n)-=*(u+i*(n+1)+r)*x[r]; x[i]=*(u+i*(n+1)+n)/(*(u+i*(n+1)+i)); } }
第四章 整环里的因子分解 §4.1 不可约、素元、最大公因子 1. 证明:0不是任何元的真因子. 注 这里的0是指整环I 的零元,“任何元”是指整环I 中的任何元. 证明 由于0不能整除整环I 中的非零元,因此0不是整环I 中的非零元的真因子.虽然0整除0,但0与0相伴,因此0不是0的真因子.所以0不是整环I 中任何元的真因子. 2.找出Gauss 整数环},|{][Z Z ∈+==n m ni m i I 的所有单位. 解 假设Z ∈b a ,,使得bi a +是I 中的单位,则存在Z ∈d c ,,使得 1))((=++di c bi a , 从而,1))((2222=++d c b a .由此可见,i bi a ±±=+,1.所以i ±±,1就是I 中的所有单位. 3.证明:在Gauss 整数环][i I Z =中,3是不可约元,5是可约元. 证明 显然,3和5既不是零元,也不是单位. 设Z ∈d c b a ,,,,使得 3))((=++di c bi a . 于是 9))((2222=++d c b a . 显然322≠+b a .因此122=+b a 或122=+d c ,从而,bi a +是单位或di c +是单位.所以3是不可约元. 由5)2)(2(=-+i i 可知,i +2和i -2都是5的真因子.所以5是可约元. 4.设I 是整环,I b a ∈,,直接证明: a b a ?=)()(～b . 证明 由于I 是有单位元的交换环,根据定理3.16的推论1(3),aI a =)(,bI b =)(. 因此 ?=)()(b a 存在R s r ∈,,使得rb a =,sa b =a ?～b . 5.设p 是整环I 的素元,m a a a p 21|(2≥m ),证明:至少存在一个i a (m i ≤≤1),使i a p |. 证明 我们用数学归纳法来证明. 当2=m 时,根据素元的定义,我们的断言成立. 假设当n m =(2≥n )时,结论成立.当1+=n m 时,根据素元的定义,n a a a p 21|或1|+n a p .若p 不整除1+n a ,则n a a a p 21|.于是,根据归纳假设,至少存在一个i a (n i ≤≤1),使i a p |.所以当1+=n m 时,我们的断言成立. 6.设整环I 中任意两个元的最大公因子都存在,m a a a ,,,21 是I 中m 个不全为零的
矩阵分析
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
1
( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
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初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
---- i ---- j
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?
P (i , j ( k )) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
k 1
? ? ? ? ---? ? ? ---? ? ? 1?
i j
3
?1 ?? 1 2 3? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?4 1 ? ? 4 5 6 ? = ? 0 ?3 ?6 ? ; ? 1?? 7 8 9? ? 7 8 9 ? ? ?? ? ? ?
?3 ? ? 1 2 0 ? ? 1 2 3??1 ? ?? ? ? ? ? 4 5 6?? 1 ? = ? 4 5 ?6 ? ?7 8 9?? 1 ? ? 7 8 ?12 ? ? ?? ? ? ?
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初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
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证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
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现代控制理论讲义
第四章 矩阵范数和奇异值分解 4.1 引言 在这一讲中，我们将引入矩阵范数的概念。之后会介绍矩阵的奇异值分解或者叫SVD。SVD 揭示了矩阵的2范数，它的值意义更大：它使一大类矩阵扰动问题得以解决，同时也为后面稳定鲁棒性的概念打下基础；它还解决了所谓的完全最小二乘问题，该问题是我们前面讲的最小二乘问题的推广；还帮我们澄清在矩阵求逆计算中碰到的态性的概念。在下一讲中，我们会花更大的篇幅来叙说SVD的应用。 例 4.1 为了提高大家对矩阵范数研究和应用的兴趣，我们首先从一个例子开始，该例子提出了与矩阵求逆有关的矩阵态性问题。我们所感兴趣的问题是矩阵求逆对矩阵扰动的敏感程度。 考虑求下列矩阵的逆 马上就可以求得 现在我们假设对一个受到扰动的矩阵求逆 求逆后，结果就成了 在这里表示A中的扰动，表示中的扰动。显然中一项的变化 会导致中的变化。如果我们解，其中，得到 ，加入扰动后，解得。 在这个结果中，我们仍然可以清楚的看到开始数据仅有的变化，却导致解产生 的变化。 以上例子中我们看到的要比在标量情况下差的多。如果是标量，那么
，所以的倒数中小数部分的变化和的变化在同一量级上。 因此，在上例中的现象完全是在矩阵的时候才出现的。看上去好像和是近似奇异的事实有关——因为它的列几乎不独立，且它的行列式值要比它的最大元素小很多，等等。随后（见下一讲），我们会找到衡量奇异程度的合理方法，同时还要说明在求逆情况下，这种方法和灵敏度的关系如何。 在理解这种灵敏度和扰动的细节关系之前，我们首先要找到度量向量和矩阵量级的方法。在第一讲中我们已经引入了向量范数的概念，所以我们现在来看一下矩阵范数的定义。 4.2 矩阵范数 一个维复数矩阵可以看成（有限维）赋范向量空间中的一个算子： 其中，这里的范数指的是标准欧氏范数。定义的归纳2-范数如下： 术语“归纳”是指在向量和的范数的基础上，使得以上矩阵范数的定义有意义。该定 义中，归纳范数表示矩阵在中单位圆上向量扩大的倍数，也就是说，它表示矩阵的增益。 除了用2-范数来度量向量和，我们还可以用范数，感兴趣的是的情 况。它的定义是： 需要考虑的一个很重要的问题是，在第一讲向量范数定义的情况下，归纳范数是否是真正的范数呢？下面，我们来回顾定义范数的三个条件： 现在我们证明是上的范数——利用前面的定义： 1．对任意都有，所以。进一步有，因为 是在单位圆上的最大值。 2．对任意的，由得。 3．三角不等式仍然成立，因为：
计算方法实验报告1 【课题名称】 用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解线性方程 【目的和意义】 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由它改进得到的选主元的高斯消去法则是目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程组的有效方法。 用高斯消去法解线性方程组的基本思想时用矩阵行的初等变换将系数矩阵A 约化为具有简单形式的矩阵（上三角矩阵、单位矩阵等），而三角形方程组则可以直接回带求解 用高斯消去法解线性方程组b Ax =（其中A ∈Rn ×n ）的计算量为：乘除法运算步骤为 32(1)(1)(21)(1)(1)262233n n n n n n n n n n n MD n ----+= +++=+-，加减运算步骤为 (1)(21)(1)(1)(1)(25) 6226n n n n n n n n n n AS -----+= ++= 。相比之下，传统的克莱姆 法则则较为繁琐，如求解20阶线性方程组，克莱姆法则大约要19 510?次乘法，而用高斯消 去法只需要3060次乘除法。 在高斯消去法运算的过程中，如果出现abs(A(i,i))等于零或过小的情况，则会导致矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的计算结果不可靠，所以目前计算机上常用的解低阶稠密矩阵方程的快速有效的方法时列主元高斯消去法，从而使计算结果更加精确。 2、列主元三角分解法 高斯消去法的消去过程，实质上是将A 分解为两个三角矩阵的乘积A=LU ，并求解Ly=b 的过程。回带过程就是求解上三角方程组Ux=y 。所以在实际的运算中，矩阵L 和U 可以直接计算出，而不需要任何中间步骤，从而在计算过程中将高斯消去法的步骤进行了进一步的简略，大大提高了运算速度，这就是三角分解法 采用选主元的方式与列主元高斯消去法一样，也是为了避免除数过小，从而保证了计算的精确度
第七讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 ?? ????? 1111221n n 1 2112222n n 2n11n22nn n n a ξ+a ξ++a ξ= b a ξ+a ξ++a ξ=b a ξ+a ξ++a ξ=b → Ax =b ?? ? ? ? ?? ij T 12n T 12n A =(a )x =[ξ ξ ξ]b =[b b b ] 设()0ij n ×n A =A =a ,设A 的k 阶顺序主子式为k Δ，若(0) 111Δ=a ≠0 ，可以令(0)i1 i1(0)11 a c =a 并构造Frobenius 矩阵 ???????????? 211n1n ×n 10c 1L =c 01 → ???????????? 21 -11 n11 0-c 1L =-c 01 计算可得 ???? ???? ??? ? (0)(0)(0)1112 1n (1) (1)(1)-1(0)222n 1 (1) (1)n2nn a a a a a A =L A =0a a → (0)(1)1A =L A 该初等变换不改变行列式，故(0)(1)21122Δ=a a ，若2Δ≠0，则(1) 22a ≠0 ，又可定义 (1)i2i2(1)22 a c =(i=3,4,,n)a ，并构造Frobenius 矩阵
????? ???? ??????? 232n2 11L =c c 1 → ?? ??? ?? ?? ??????? -1232n2 1 1L =-c -c 1 ???? ? ? ????????? ? (0)(0)(0)(0)1112 13 1n (1) (1)(1)22232n (2)-1(1) (2)(2)2 333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A =L A =a a a a → (1)(2) 2A =L A 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到 ??? ? ? ? ????? ???????? ? (0)(0)(0) (0)111r-11r 1n (r-2)(r-2) (r-2)(r-1)r-1r-1r-1r r-1n (r-1) (r-1)rr rn (r-1) (r-1)nr nn a a a a a a a A =a a a a （r ＝2,3, ,n-1） 则A 的r 阶顺序主子式 (0)(1)(r-2)(r-1)r 1122r-1r-1rr Δ=a a a a ，若r Δ≠0，则(r-1) rr a ≠0 可定义(r-1)ir ir (r-1)rr a c =a ，并构造Frobenius 矩阵 ?????????????????? r r+11nr 11L =c 1c 1 → ?????? ?????? ???? ?? -1 r r+11nr 11L =-c 1-c 1
矩阵习题 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A , B ，有|A B |A |B . 2. 如果A 2 0,则A 0. 3. 如果A A 2 E ，则A 为可逆矩阵. 4. 设代B 都是n 阶非零矩阵，且 AB 0，则A,B 的秩一个等于n ，—个小于n ? 5. A, B,C 为n 阶方阵，若AB AC,则B C. 6. A 为m n 矩阵，若r(A) s,则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q , 7. n 阶矩阵A 可逆，则A*也可逆. 8. 设代B 为n 阶可逆矩阵，则(AB)* B* A* . 选择题 1. 设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵(B T B),则下列矩阵中为反对称 2 矩阵的是()(A) AB BA (B) AB BA (C) (AB) (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么()是对称矩阵。 (A) A A (B) A A T (C) A 2 (D) AJ A 3?以下结论不正确的是( )。 (A) 如果A 是上三角矩阵，则 A 2也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 A 2也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则 A 2也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则 A 2也是对角阵。 使PAQ I s 0 0 0
4. A 是m k 矩阵,B 是k t 矩阵,若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确 的是（） （A ） AB 的第j 列元素全等于零； （B ） AB 的第j 列元素全等 7于零； （C ） BA 的第j 列元素全等于零； （D ） BA 的第j 列元素全等于零； 6.下列命题正确的是（ 对任意方阵A,B ，有（A B ）（A B ） A 2 B 2 阵，已知 Ax 0的基础解系为（1,0, 2,0）T ，则方程组A*x 0的基础解系为 (). ( A ) 1,2,3 . ( B ) 1 2 , 2 3 , 3 1 . (C ) 2 , 3 , 4 . ( D ) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 . (A)当 m n 时, 必有行列式 AB 0 ； (B) 当m n 时， 必有行列式 AB (C)当 n m 时， 必有行列式 AB 0 ； (D) 当n m 时， 必有行列式 AB m 矩 阵, 则 ) ； &以下结论正确的是（ ) 7. A 是m n 矩阵，B 是n 5 ?设代B 为n 阶方阵, E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ (A) (A B)2 A 2 2AB B 2 (B) A 2 B 2 (A B)(A B) 2 2 2 (C) (AB) A B (D) A 2 E 2 (A E)(A E) (A)若 AB AC ，则 B C (B) AB AC ，且 A 0 ,则 B (C)若 AB AC ，且 A 0 ,则 B (D) 若AB AC ，且 B 0,C (A) 如果矩阵A 的行列式, 0,则 A 0； (B) 如果矩阵A 满足A 2 0,则 (C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的; (D) 4 是非零的四维列向量，A 4 ), A* 为A 的伴随矩
§4矩阵的三角分解 矩阵的三角分解定理：设n n A R ×∈,如果A 的前 n-1个顺序主子式 det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ， 则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明： 1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U (1)(2)() 1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=? 1L A U ?=，A LU = 21 1 2 1 00101n n m L m m ??????=?? ???? ， (1) (1)(1)11 121(2)(1)222()0 n n n nn a a a a a U a ??? ???=?? ??????
2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异 考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠= 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。 因A 非奇异，所以1U 可逆，从而 11 2121L L U U ??=
11 2121 11 2121(,) L L E U U L L U U ?????==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ?== （2）A 奇异 因det()0,1,2,,1i A i n ≠=? ，det()0n A = ()0,1,2,,1i ii a i n ?≠=? ，() 0n nn a = 设1122A LU L U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。对它们进行矩阵
第一节 正规矩阵 【Schur 三角化定理】设n n A ?∈ ，则存在酉矩阵U ，使*U AU B =，其中B 为一 个上三角矩阵. 【酉矩阵】n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基. 1H H H n U U UU E U U -==?= 性质：设有矩阵A ，B ，则 （1）若A 是酉矩阵，则1A -也是酉矩阵； （2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 及BA 也是酉矩阵； （3）若A 是酉矩阵，则|det()|1A =； （4）A 是酉矩阵?A 的n 个列向量是两两正交的单位向量. 【定理】矩阵A 可以酉对角化?**AA A A =. *U AU T =是上三角矩阵，*********()()AA UTU UTU UTU UT U UTT U === *********()()A A UTU UTU UT U UTU UT TU ===，故****A A AA T T TT =?= A 可以酉对角化，则?酉矩阵U 使*U AU D = ***************()()()()AA U DU U DU U DUU D U U DD U U D DU U DU U DU A A ====== 【定义】设n n A ?∈ ，若**AA A A =，则称A 是正规矩阵. 【引理】设A 为正规矩阵，若A 又为三角矩阵，则A 为对角矩阵. 【定理】设n n A ?∈ ，则A 为正规矩阵?A 有n 个两两正交的单位特征向量. 【推论】正规矩阵属于不同特征值的特征向量是两两正交的. 【定理】设()i j n n A a ?=是复矩阵，1λ，2λ，……，n λ为A 的n 个特征值，则 （1）（Schur 不等式） 221 ,1||||n n i i j i i j a λ==≤∑∑ （2）A 为正规矩阵?2 21 ,1 |||| n n i i j i i j a λ===∑∑ （3）* 2,,1 tr()||n i j i j AA a == ∑ 【推论】设A 为正规矩阵且幂零，则0A =. 【定义】设a 与b 是实数，且0b ≠，则称二阶实矩阵 a b b a ?? ?-??
第十讲 矩阵的三角分解 一、 Gauss 消元法的矩阵形式 n 元线性方程组 1111221n n 12112222n n 2n11n22nn n n a a a b a a a b a a a b ξ+ξ++ξ=?? ξ+ξ++ξ=?? ??ξ+ξ++ξ=? → Ax b = ij T 12n T 12n A (a )x [,,]b [b ,b b ]=?? ?=ξξξ ? ?=?? 设() 0ij n n A A a ?==,设 A 的k 阶顺序主子式为k ?， 若(0)1 11 a 0?=≠，可以令(0) i1i1011 a c a = 并构造Frobenius 矩阵 21 1n1n n 1 0c 1 L c 0 1???????=???? ?? → 2111n1 10c 1 L c 01-????-??=???? -?? 计算可得
(0) (0)(0) 11121n (1)(1)(1)1(0) 222n 1(1)(1)n2 nn a a a a a A L A 0a a -???? ??==????? ? → (0)(1)1A L A = 初等变换不改变行列式，故01 21122a a ?=， 若20?≠， 则1 22 a 0≠，又可定义 (1) i2i2(1)22 a c (i 3,4,n)a = = ，并构造Frobenius 矩阵 232n2 1 1L c c 1????? ?=??? ??????? → 1 232n2 11L c c 1-?? ??? ?=-??? ?????-?? (0) (0) (0) (0) 1112131n (1)(1)(1)22 232n (2)1(1) (2)(2)2333n (2)(2)n3 nn a a a a a a a A L A a a a a -???? ?? ??==??????? ? → (1)( 2 2 A L A = 依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到
矩阵直接三角分解法 算法 将方程组Ax=b 中的A 分解为A=LU ，其中L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵，则方程组Ax=b 化为解2个方程组Ly=b ，Ux=y 。具体算法： ○ 1对j=1,2,3，…，n 计算 U 1j =a 1j 对i=2,3,…,n 计算 L i1=a i1/a 11 ○ 2对k=2,3…,n: a ． 对j=k ，k+1,…,n 计算 U kj=a kj- LkqUqj k?1q =1 b.对i=k+1，k+2，…，n 计算 l ik =(a ik-) LiqUqk k?1q =1/u kk ○ 3y 1=b 1对k=2,3…，n 计算 Y k =b k - LkqUq k?1q =1 ○ 4X n =y n /U nn ,对k=n-1，n-2，…2,1计算 X k =(y k - UkqXq n q =k +1/U kk 注：注由于计算u 的公式与计算y 的公式形式上一样，故可直接对增广矩阵 [A|b]= a11 a12…a1n a1,n +1a 21 a 22…a2n a2,n +1：： ：：an1 an2…ann an,n +1 施行算法○ 2○3，此时U 的第n+1列元素即为y 。 程序与实例 求方程组Ax=b A= 1 2 ?12 85 4 7 ?2?3 7 9 56 ?12 ?8 3 ，b= 2741149 程序 #include
矩阵习题 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 2. 如果20,A =则0A =. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ， 使.000??? ? ??=s I PAQ 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ ）是对称矩阵。 (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ ）。 (A) 如果A 是上三角矩阵，则2A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵；
(D) 如果A 是对角阵，则2A 也是对角阵。 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ ） (A) AB 的第j 列元素全等于零； (B) AB 的第j 列元素全等7于零； (C ) BA 的第j 列元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零； 5．设,A B 为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（ ） (A) 222()2A B A AB B +=++ (B) 22()()A B A B A B -=+- (C) 222()AB A B = (D) 22()()A E A E A E -=+- 6．下列命题正确的是（ ） (A) 若AB AC =，则B C = (B) 若AB AC =，且0A ≠，则B C = (C)若AB AC =，且0A ≠，则B C = (D) 若AB AC =，且0,0B C ≠≠，则B C = 7. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） (A)当m n >时，必有行列式0AB ≠； (B)当m n >时，必有行列式0AB = (C)当n m >时，必有行列式0AB ≠； (D)当n m >时，必有行列式0AB =； 8．以下结论正确的是（ ） (A) 如果矩阵A 的行列式，则0A =,则0A =； (B) 如果矩阵A 满足20A =，则0A =； (C) n 阶数量阵与任何一个n 阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵,A B ，有22()()A B A B A B -+=- 9．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，则方程组*0A x =的基础解系为（ ）.