基于最小二乘法的碎纸片拼接复原数学模型
摘要
首先对图片进行灰度化处理,然后转化为0-1二值矩阵，利用矩阵行（列）偏差函数，建立了基于最小二乘法的碎纸片拼接数学模型，并利用模型对图片进行拼接复原。
针对问题一，当两个数字矩阵列向量的偏差函数最小时，对应两张图片可以左右拼接。经计算，得到附件1的拼接结果为：
08,14,12,15,03,10,02,16,01,04,05,09,13,18,11,07,17,00,06。
附件2的拼接结果为:
03,06,02,07,15,18,11,00,05,01 ,09,13, 10,08,12,14,17,16,04。
针对问题二，首先根据每张纸片内容的不同特性，对图片进行聚类分析，将209张图片分为11类；对于每一类图片，按照问题一的模型与算法，即列偏差函数最小则进行左右拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预，我们得到了11组碎纸片拼接而成的图片；对于拼接好的11张图片，按照问题一的模型与算法，即行偏差函数最小则进行上下拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预。我们最终经计算，附件3的拼接结果见表9，附件4的拼接结果见表10。
针对问题三，由于图片区分正反两面，在问题二的基础上，增加图片从下到上的裁截距信息，然后进行两次聚类，从而将所有图片进行分类，利用计算机自动拼接与人工干预相结合，对所有图片进行拼接复原。经计算，附件5的拼接结果见表14和表15
该模型的优点是将图片分为具体的几类，大大的减少了工作量，缺点是针对英文文章的误差比较大。
关键字：灰度处理，图像二值化，最小二乘法，聚类分析，碎纸片拼接
一、问题重述
碎纸片的拼接复原技术在司法鉴定、历史文献修复与研究、军事情报获取以及故障分析等领域都有着广泛的应用。近年来，随着德国“斯塔西”文件的恢复工程的公布，碎纸文件复原技术的研究引起了人们的广泛关注。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。对于一页印刷文档，针对不同的破碎方法，讨论下列三个问题：
（1）将给定的一页印刷文字文件纵切，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
（2）对于碎纸机既纵切又横切的情形，设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
（3）对于双面打印文档，研究如何进行碎纸片的拼接复原问题。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。要求尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果。
二、模型的基本假设
（1）待拼接的碎纸片来自同一页印刷文字文件。
（2）待拼接复原的碎纸片是规整的矩形。
（3）模型中的碎纸片长度、宽度和面积都相等。
（4）附件中照片都是同标准拍摄。
三、符号说明
=1,2,,209)
209)
=1,2,,209)
209)
四、问题分析
将不规则的文档碎纸片进行拼接，一般是利用碎纸片的边缘曲线，尖点、尖角、面积等几何特征，搜索与之匹配的相邻碎纸片。但对于边缘形状相似的碎纸片，这种基于边界几何特征的拼接方法失效，拼接时不但要考虑待拼接碎纸片边缘是否匹配，还要判断碎片内的字迹断线或碎片内的文字内容是否匹配。
本问题给定的碎纸片有以下几个特点：
1、每一张碎纸片都是规整的矩形；
2、所有的碎纸片的长度、宽度都相等，形状是完全一样的；
3、每一张碎纸片里都包含着文字（汉字、英文），不存在空白的碎纸片；
4、不同的碎纸片之间没有重叠部分。
由于碎纸片的形状相同，因而不能针对碎纸片的几何特征建立数学模型；碎纸片间无重叠，也不能利用图像融合技术进行图像配准。
根据上述分析，我们考虑将图片进行数字化处理，根据每张碎纸片上的边缘文字特征进行匹配，也就是利用图片边缘文字的像素进行最优化匹配。
五、模型的建立与求解
5.1问题一的建模与算法
由于碎纸片本身不具有体现其拼接特性的数字特征，我们需要将其数字化、矩阵化，将问题转化为矩阵之间的相关性。
利用photoshop软件，将附件中所给的BMP格式的图片转化成JPG格式，去除图片的多彩性。为了对碎纸片进行数字化，我们将图像进行灰度处理，取出图像中每一个像素点的灰度值，灰度值的大小与像素点颜色的红绿蓝成分有关。
根据文献[1]，每个像素点的=0.30+0.59+0.11
⨯⨯⨯
灰度值红色绿色蓝色，即
=⨯+⨯+⨯，
Gray r g b
0.300.590.11
其中，,,
r g b的取值范围是0~255。
问题一将同一页印刷文字文件纵切为19张图片（见图1），根据实际情况，我们将每张图片设置为198072
⨯的灰度矩阵。
⨯格式，于是，每张图片对应一个198072
图1 附件1未进行拼接的19张碎纸片
将图片进行灰度处理以后，每个像素的灰度值介于0~255之间。灰度值不能直接用于文字图片的拼接，还须进行二值化处理。
将图片放入直角坐标系，规定：若(,)x y 点的像素灰度值大于或等于T ，该点用数值1表示，并将其设定为白色；若(,)x y 点的像素灰度值小于T ，该点用数值0表示，并将其设定为黑色。由此得到像素点的二值化函数：
1,(,),
(,)0,(,),
Gray x y T w x y Gray x y T >⎧=⎨<⎩
其中，T 为预先设定的全局灰度阈值。于是，每张图片的灰度矩阵转化为下列198072
⨯的0,1数字矩阵：
1117219801
198072a a A a a ⨯⨯⨯⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
,
其中
1, 1,
0, 0.ij a ⎧=⎨⎩
代表空白的像素点代表有文字的像素点
5.1.3最小二乘法
1、图片左右拼接的数学模型
设,
A B 分别表示左右放置的两张图片对应的数字矩阵，定义前一个矩阵的最后一列与后一个矩阵的第一列之间的偏差函数为：
1
(,)i f A B ==
其中，(,72),(,1)A i B i 分别表示矩阵,A B 第72列和第1列的元素。
对于给定的矩阵A ，若存在矩阵B ，使得A 与B 之间的偏差函数(,)f A B 达到最小，则称A 与B 可以匹配，此时A 与B 对应的图片可以左右拼接。
2、图片上下拼接的数学模型
类似地，设,C D 分别表示上下放置的两张图片对应的数字矩阵，定义上面矩阵的最后一行与下面矩阵的第一行之间的偏差函数为：
72
1
(,)j h C D ==
其中，(1980,),(1,)C j D j 分别表示矩阵,C D 第1980行和第1行的元素。
对于给定的矩阵C ，若存在矩阵D ，使得C 与D 之间的偏差函数(,)h C D 达
到最小，则称C 与D 可以匹配，此时C 与D 对应的图片可以上下拼接。
我们称上述基于数字矩阵之间列（或行）距离的图片拼接模型为最小二乘法拼接复原模型。
5.1.4算法与求解
（一）算法思想
第一步，对附件中的19幅图片分别进行灰度处理，然后取灰度阈值125T =，进行二值化，得到19个0,1数字矩阵，即图片的数字化。
第二步，对上述19个数字矩阵进行检测，若存在一个矩阵的最左侧一列元素全是1，根据破碎图片的特点，则该图片即为从左边起第一张碎纸片，记为
1A 。
第三步，计算
1A 与其余18张图片对应矩阵的列偏差值。
1980
11(,)i f A B ==∑
若存在2A ，使得12(,)f A A 达到最小，则
2A 即位第二张图片。 重复上述的步骤，依次得到所有碎纸片的排列，即可拼接成完整图片。 （二）附件1、2的拼接复原结果 附件1和附件2的拼接顺序如下表：（附件1的算法程序见附录一，复原图片见附录二；附件2的算法程序见附录三，复原图片见附录四）
表2 附件1拼接顺序
表3 附件2拼接顺序
5.2问题二的模型建立与算法 5.2.1图片的数字化处理
步骤一：将附件所给的BMP 格式图片转换成JPG 格式的图片； 步骤二：对图片进行灰度处理； 步骤三：然后进行二值化处理；
最后，得到209张图片的数字化矩阵。 5.2.2聚类分析
对于碎纸机既纵切又横切的情形，与问题一仅纵切相比，图片变小，因而每张图片
包含的信息量明显变小，如果仅利用最小二乘法，碎片之间的匹配不唯一。为了解决这个问题，我们利用聚类分析法，对碎片先进行分类。
经观察测试，原始文档碎片具有下列特点：
（1）字体大小：字体的最大高度和最大宽度一致。
（2）切割的均匀性：同方向的切割线平行，图片大小均相等，沿纵横方向按直线切割。
（3）文字的行距：文字的行间距等同，段落间距为定值。
为了对209幅图片进行聚类分析，如图2所示，我们定义聚类指标如下：
i a 表示图片上端裁接处的字体长度，我们称之为裁截文字长度； i b 为行间距；i
c 表示图片上端文字与切割线之间的空白距离，我们称之为裁截空白距离；i
d 为字体高度，其中，=1,2,,209i 。
图2 图片聚类指标示意图
令i i i D a b =+或i i i D c d =+，称i D 为第i 张图片的裁截距(=1,2,
,209)i ，
由图2，如1212,a a b b ≠=，则12D D ≠。一般地，图片从上往下看，不同的裁截线形成的裁截文字长度不同，文字间的行间距相同，所以，如果裁接处的文字长度不相等，那么文字与空白间距之和就不相等。根据i D 的不同取值，下面对图片进行分类。
根据二值化矩阵的特点以及文字的特征，只要存在文字，则矩阵的某一行元素一定存在0元素，且在文字之间的元素为1。如下图所示：
图3 文字特征图
利用matlab 软件进行编程，将每个图片的裁截文字长度、行间距、裁截空白距离、字体高度以及裁截距的结果以excel 的形式输出到表格之中。（程序见附录五）
按裁接距进行聚类分析，使用spss 软件分析处理后，得到聚类中心分布图如下所示：
所示：
根据聚类结果发现，并不能将图片平均分成11个组。这时需要增加信息量来更好地进行分类，进一步观察图2，我们可以发现：图片的上端裁截处可能是文字，也可能为空白。但是裁截距
D可能相等，此时通过图片上端裁截处是空白还是文字加以人工分
i
类。
用matlab将数据导出到excel中并进行分析，结果如下：Array
图4 分析结果
由图4可以看出：图片大体分为11个组别，为了得到更精确地聚类结果，通过spss 软件，我们再次确立聚类中心如下图所示：
通过上面两次聚类，确立了两个不同聚类中心。利用第一次确立的裁接距的聚类中心对图片进行初步分类，然后利用裁截文字或者裁接空白再次进行判别，最终将图片分成了11组。如下表所示：（以上的算法都是在matlab软件下操作，程序见附件六）
由上表可以看出大部分图片已经分出组别，其中有4个组达到了19张图片，有6个组有18张图片，仅缺少一张图片。此时我们进行人工干预，根据每组图片总数目应为19，且每类都应存在可作为文件左右边缘的碎纸片，我们对少量图片进行归类可得到如下分组结果。如下表：
表8 聚类后的结果
5.2.3图片的拼接模型、算法与求解
（一）算法思想
下面我们分两步来做，第一步，对每组碎纸片进行拼接；第二步，将各组进行拼接。最终完成文件复原。
在已知文件切为11×19的碎纸片情况下，将图片进行聚类分析得到了11个组后。利用碎纸片左右边缘为空白的特点判断出文件左侧11个碎纸片，再利用问题一模型和算法，对每个组进行匹配拼接，可得到11个拼接好的图片，之后仍然按照问题一的模型和算法将这11张图片拼接成完整的图片。
（二）图片的左边缘确定
根据碎纸片边缘特征，利用matlab对图片处理后得到数字化矩阵，根据最小二乘法进行分析得到16个可作为文件左边缘的碎纸片，编号如下：（程序详见附录七）7，14，29，38，49，61，62，67，71，80，89，94，125，135，143，168。
已知文件分为11×19的碎纸片,那么存在5个不是左边缘碎纸片。根据文件页边距一定的特点，此时进行人工筛选，明显排除了编号分别62，67，80，135，143的图片作为文件左边缘的可能。此刻，我们也得到了左边缘碎纸片的序号：
7，14，29，38，49，61，71，80，89，94，125，168。
（三）图片的各组拼接
第一步，计算机处理，利用问题一的列偏差函数进行图片拼接，现在我们以表4中的第9组为例，，得到如下结果：（程序详见附录八）
图6 以第9组为例的拼接结果1
第二步，人工干预，由于每组有19个图片，可以明显观察到排序的时候有一个图片没有出现，而且另一个图片重复出现了两次。此时我们进行人工拼接。得到正确的拼接结果，图片如下：
图7 以第9组为例的拼接最终结果
其余分组按照相同方法可得到11组的拼接结果，这里我们不在一一赘述，发现每组的拼接均无误，这说明我们的分类达到了预期的效果。
（四）图片的整体拼接
上一步骤中我们得到了11×19的碎纸片拼接而成的11个等大小的纸片，那么接下来，根据行偏差函数，判断11个纸片的上下拼接顺序，可以得到以下编号的图片可以上下拼接：
{308{169 39{1595{5062
完成以上组合的拼接后，进行人工干预，完成图片的整体拼接，结果如下（复原图片详见附录九）：
表9 附件3拼接顺序
对于附件4，我们按照与处理附件3相同的模型和算法进行处理，得到拼接结果表格如下，（复原图片详见附录十）：
表10 附件4拼接顺序
5.3问题三的模型建立与算法
对于第三个问题，图片的数量成倍的增长，我们不能单纯的利用图片边缘的特征进行拼接与复原，在问题二按上边缘裁截距进行聚类分析的基础上，增加图片下边缘裁截
距，综合进行聚类分析。具体流程图如下所示：
图8 算法流程图
5.3.1图片的初次聚类
运用问题二的聚类方法，利用matlab进行数据处理（程序见附录十一），将所得结果导入excel，做出图片上边缘的裁截文字长度（或者裁截空白长度）的分布图
图9 附件5图片的裁截文字长度分布图
用spss 进行快速聚类分析，可以看出能将一部分图片进行准确的分类，利用模型一的方法对分类后的图片进行边缘匹配，得到类似于下图的片段图像。
图10 匹配正确的片段图
5.3.2图片的再聚类
由于图片的双面性，我们在对其正面（反面）进行正确匹配之后，则其反面（正面）也就确定出来，这大大减少了数据量。但某些分类后却拼接失败的情况，使得拼接更加的困难。
在第二个问题中，我们利用图片从上到下文字的特征增加了信息量，为了更好进行图片匹配与拼接，对于问题三，我们再次增加图片从下到上的文字特征。在图片初次聚类的前提下，利用从下到上的裁截距，按照与问题二类似的办法进行第二次聚类，步骤同上，得到图片的裁截文字长度的分布直方图：
图11 图片裁截文字长度的分布直方图
5.3.3图片的拼接
根据前两次图片的聚类之后，我们在对其进行分类，将分类后的图片进行边缘匹配，同时进行人工干预，挑选出匹配正确的片段，如下图所示：
图12 匹配正确的片段
对每一类图片匹配成功后，类似于问题二，利用计算机自动拼接与人工干预相结合，将所有各类进行整体拼接，结果如下：（复原图片见附录12）
表13 附件5其中一面的拼接顺序
表14 附件5另一面的拼接顺序
六、模型的评价与改进
6.1模型的优点
（1）模型一对于解决纵切碎纸片的问题上，达到了很好的效果，对于所得的结果正确率也是100%的，对于解决此类问题提供了良好的思想。
（2）模型二充分考虑了碎纸片边缘的匹配问题以及文字内部的特征信息，对于既纵切又横切的情形，先进行了聚类将图片进行了分组，大大减少了工作量，而且增加了准确度。
6.2 模型的缺点
（1）对于问题一与问题二，所给的完整图片里面含有大量的的文字，所以我们可以利用其文字特征，该结果也存在一定的偶然性。
（2）对于问题三，对于大信息量的图片信息，只利用问题二的解决办法只能将部分的图片进行分类，而不能单纯用计算机进行完整的拼接。
6.3 模型的改进方向
（1）在问题一里面我们只考虑了边缘区域的匹配，由于结果正确所以没有继续增加条件保证其准确率。
（2）在设计模型二的时候，只考虑了图片从上到下的裁接距与裁截文字长度的方面，还应该加上其在图片从下往上的数据。
七、参考文献
[1]黄添强，陈智文，苏立超等. 利用内容连续性的数字视频篡改检测[J]. 南京大学学报（自然科学版），2011,47（5）：493-503.
[2] 罗智中. 基于线段扫描的碎纸片边界检测算法研究[J]. 仪器仪表学报，2011,32（2）：289-294.
[3] 白宗文. 基于HALCON与图像拼接的文物修复系统设计与实现[J]. 电子设计工程，2013,21（9）：24-26.
[4] 李利军，李云伟. 基于图像灰度的拼接技术研究[J]. 计算机与数字工程，2007,35（9）：128-130.
[5] 贾海燕，朱良家，周宗潭等. 一种碎纸自动拼接中的形状匹配方法[J]. 计算机仿真，2006,23（11）：180-183.
八、附录
附录一：
%%%%%%%%以下程序的运行，请注意文件存放的位置！！！
%%%%%%%%此程序用来解决附件1的图片匹配与连接
A=zeros(19,19); %共十九个纸条
for j=1:19
str='D:\附件\附件1\';
I=imread([str,num2str(j),'.jpg']);%依次读取每一幅图像
i1=rgb2gray(I); %i1灰度图像
i2=im2bw(i1); %i2是二值图像
a=i2(:,72,1); %取纸片右边缘
str='D:\附件\附件1\';
for i=1:19
I=imread([str,num2str(i),'.jpg']); %依次读取每一幅图像
i1=rgb2gray(I); %i1灰度图像
i2=im2bw(i1); %i2是二值图像
mi=i2(:,1,1); %取纸片左边缘
ni=a-mi;
A(j,i)=sqrt(dot(ni,ni));
end
end
xlswrite('D:\photo1.xls',A,'A1:S19'); %将矩阵元素导入excel表格%判断相邻图片并自动连接连接
a=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];%记录和纸片右相邻的纸片for i=1:19
k=A(i,1);
a(i)=1;
for j=1:19
if(k>A(i,j))
k=A(i,j);
a(i)=j;
end
end
end
first=1;
for i=1:19
for j=1:19
if(A(i,j)==0)
first=j; %求出文件最左侧纸张
end
end
end
str='D:\附件\附件1\';
z= imread([str,num2str(first),'.jpg']);
for m=1:18
m=1;
str='D:\附件\附件1\';
x = imread([str,num2st r(first),'.jpg']); %记录上一张纸条
y=imread([str,num2str(a(first)),'.jpg']);%记录下一张纸条 x=z; %保存已拼接纸条 z = [x,y];
first=a(first);
end
imshow(z)
附录二：
图13 附件1拼接图片
附录三：
%%%%%%%%以下程序的运行，请注意文件存放的位置！！！%%%%%%%%此程序用来解决附件2的图片匹配与连接
A=zeros(19,19); %共十九个纸条
for j=1:19
str='D:\附件\附件2\';
I=imread([str,num2str(j),'.jpg']);%依次读取每一幅图像
i1=rgb2gray(I); %i1灰度图像
i2=im2bw(i1); %i2是二值图像
a=i2(:,72,1); %取纸片右边缘
str='D:\附件\附件2\';
for i=1:19
I=imread([str,num2str(i),'.jpg']); %依次读取每一幅图像
i1=rgb2gray(I); %i1灰度图像
i2=im2bw(i1); %i2是二值图像
mi=i2(:,1,1); %取纸片左边缘
ni=a-mi;
A(j,i)=sqrt(dot(ni,ni));
end
end
xlswrite('D:\photo2.xls',A,'A1:S19'); %将矩阵元素导入excel表格%判断相邻图片并自动连接连接
a=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];%记录和纸片右相邻的纸片for i=1:19
k=A(i,1);
a(i)=1;
for j=1:19
if(k>A(i,j))
k=A(i,j);
a(i)=j;
end
end
end
first=1;
for i=1:19
for j=1:19
if(A(i,j)==0)
first=j; %求出文件最左侧纸张
end
end
end
str='D:\附件\附件2\';
z= imread([str,num2str(first),'.jpg']);
for m=1:18
m=1;
str='D:\附件\附件2\';
x = imread([str,num2str(first),'.jpg']); %记录上一张纸条
y=imread([str,num2str(a(first)),'.jpg']);%记录下一张纸条
x=z; %保存已拼接纸条z = [x,y];
first=a(first);
end
imshow(z)
附录四：
图14 附件2拼接图片
附录五：
A=zeros(209,4);
for i=1:209
%for j=1:209
str='D:\附件\附件5\a\';
I=imread([str,num2str(i),'.jpg']);%依次读取每一幅图像
i1=rgb2gray(I);%i1灰度图像
i2=im2bw(i1);% i2是二值图像，不需要
a=0;b=0;c=0;d=0;
j=180;
if any(i2(1,:)==0)
while (any(i2(j,:)==0))
a=a+1;
c=c+1;
j=j-1;
碎纸片的拼接复原 摘要 本文利用Manhattan距离，聚类分析，图像处理等方法解决了碎纸片的拼接复原问题。由于碎纸机产生的碎纸片是边缘规则且等大的矩形，此时碎纸片拼接方法就不能利用碎片边缘的尖角特征等基于边界几何特征的拼接方法，而要利用碎片内的字迹断线或碎片内的文字位置搜索与之匹配的相邻碎纸片。拼接碎片前利用数学软件MATLAB软件对碎片图像进行数据化处理，得到对应的像素矩阵，后设置阈值对像素矩阵进行二值化处理，得到相应的0-1矩阵。 下面分别对三个问题的解决方法和算法实现做简单的阐述： 问题一，分别对附件1和附件2的碎片数据进行处理得到相应的0-1矩阵，依次计算某个0-1矩阵最右边一列组成向量与其他所有0-1矩阵的最左边向量的Manhattan距离，可以得到某个最小距离值、说明最小距离值对应的碎片是可与基准碎片拼接的，最终得到碎片拼接完整的图像。 问题二，同样对于附件3和附件4中的碎片数据进行处理得到相应的数值矩阵，并计算得到每个碎片顶部空白高度和文字高度，即指每行像素点都为255 的行数、一行中存在像素点为非255的行数，根据空白高度和文字高度对碎片进行聚类分类，聚类阀值取3像素，得到11组像素矩阵，进而得到11类可能在同一行的碎片类。其中对附件4中的英文的处理中，我们还采用水平像素投影累积的方法，进一步分类出可能在同一行的碎片类。用问题一的方法，计算Manhattan 距离可以对每一类碎片按次序排列好，得到11行已经排列好的碎片，再应用曼哈顿距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。 问题三，首先，对于附件5中的碎片数据我们采用正反相接，本文将b面最左边的一列像素拼接到a面最右边的一列像素的下面，构成360×1的向量，再把其他的碎片采用相同的办法得到360×1的向量，再用问题一的方法，计算出各碎片之间的Manhattan距离。其次，根据每个碎片顶部的空白高度或者文字高度对碎片进行区间分类，得到22组矩阵，然后应用曼哈顿距离将得到的22组矩阵聚成两类，每类各包含两面的11组矩阵，最后利用Manhattan距离在竖直方向上进行聚合得到完整的图像。 本文最后，我们根据算法的效率实现进行了改进和优化，实现算法的移植性、灵活性、运行效率等得以提升。 关键词：曼哈顿距离，聚类分析，二值化处理 一、问题重述 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论以下问题： 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件
碎纸片的拼接复原 【摘要】 破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。本文主要解决碎纸机切割后的碎纸片拼接复原问题。 针对第一问，附件1、2分别为沿纵向切割后的19张中英文碎纸片，本文在考虑破碎纸片携带信息量较大的基础上，利用MATLAB对附件1、2的碎纸片图像分别读入，以数字矩阵的方式进行存储。利用数字矩阵中包含图像边缘灰度这一特征，本文采用贪心算法的思想，在首先确定原文件左右边界的基础上，以Manhattan距离来度量两两碎纸片边界差异度，利用计算机搜索依次从左往右搜寻最匹配的碎纸片进行横向配对并达成排序目的。最终，本文在没有进行人工干预，成功地将附件1、2碎纸片分别拼接复原，得到复原图片见附录2.1、2.2，纵切中文及英文结果表分别如下: 为先对本文 3、第4行及第9 Spearman 拼接复原 1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果以图片形式及表格形式表达。 2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。复原结果表达要求同上。 3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。
参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建 模竞赛 学校南京邮电大学 参赛队号10293015 队员姓名1.仲伟奇 2.卢诗尧 3.江爱珍
参赛密码 （由组委会填写） 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模 摘 要： 本文根据函数逼近Weierstrass 定理对功放的非线性特性建立多项式数学模型。对于无记忆功放，直接用matlab 中polyfit 函数或矩阵运算求解，用NMSE 值来评价不同阶数所得的多项式模型，最终将多项式模型的阶数定为4，此时47.13NMS dB E -=，系数详见4.1.3；根据线性原则和两个约束条件建立预失真的多项式模型，采用查表法求得预失真器的输入和输出，建立目标误差函数 21ˆmin |()( )|N n GE z n z n ==-∑，用polyfit 函数或矩阵运算求解，最终根据GE 值最小确定多项式阶数为12, 此时-50.877B NMSE d =，系数详见4.2.3。 对于有记忆功放，在无记忆的基础上建立模型，增加延迟项来表征记忆效应，通过矩阵运算求解，然后用NMSE 值评估确定记忆效应多项式阶数为4，记忆深度为3，此时44.3839NMSE dB =-，系数详见4.3.3；根据功放的非线性模型，，建立预失真器的有记忆效应多项式模型，利用功放的输入输出数据间接得到预失真器的输入输出，再用矩阵运算，用NMSE 值来评估确定阶数为4，记忆深度为3，系数详见4.4.3，此时19.0058NMSE dB =-。 运用自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对的性质，对自相关函数作傅里叶变换求得功率谱密度，分析得出传输信道范围，最终得出输入信号、 有无预失真补偿三类信号的A C P R 值分别为47.1212dB -，37.4586dB -，38.7557dB -，得出预失真补偿后的ACPR 值要比补偿前要小。 关键词：数据拟合 查表法 NMSE/EVM 评价 矩阵运算 多项式模型
数学建模获奖论文（优秀范文10篇）11000字 数学建模竞赛从1992年始，到现如今已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。本篇文章就为大家介绍一些数学建模获奖论文，供给大家欣赏和探讨。 数学建模获奖论文优秀范文10篇之第一篇：高中数学核心素养之数学建模能力培养的研究 摘要：数学建模是一种比较重要的能力，教师在进行高中数学教学的过程中应该让学生们学习这种能力，这对于解决高中数学问题是比较有效的，而且对于学生们未来接受高等教育有更重要的意义。教师在进行高中数学教学的过程中需要让学生们的能力得到锻炼，提升能力是教学的主要目的，学习知识是比较基础的教学目的，教师如果想让学生们的能力得到锻炼应该对教学方法进行更新，高中数学对于很多学生们来说都是比较困难的，所以教师应该不断更新教学方法，让学生们能理解教师的教学目的，而且找到适合自己的学习方法，这也是核心素养的基本内涵。本文将对高中数学核心素养之数学建模能力培养进行研究。 关键词：高中数学; 核心素养; 数学建模; 能力培养; 应用研究; 建模活动是一项比较有创造性的活动，学生们在学习的过程中一定要具备创新思维和自主学习能力，建模活动进行过程中可以让学生们独立，自觉运用数学理论知识去探索以及解决问题，构建模型解决实际问，教学活动中，让学生们的基础知识更加牢固、基本技能得到锻炼是最根本的目的。学生们的运算能力以及逻辑思维能力也能在建模活动中得到锻炼，提升学生们的空间观念以及增强应用数学意识是延伸目的。 一、对数学建模的基本理解概述
高中数学建模最简单的解释就是利用学生们学习过的理论知识来建立数学模型解决遇到的问题。数学建模的基本过程就是对生活中或者课本中比较抽象问题解决的过程。通过抽象可以建立刻画出一种较强的数学手段，通过运用数学思维也能观察分析各种事物的基本性质和特点。学生们可以从复杂的问题中抽离出自己熟悉的模型，然后在利用好数学模型去解决实际问题基本就是事半功倍。想要让学生们建立模型意识教师可以从以下几个点去培养。 第一点就是让学生们对周围的事物进行耐心观察，例如，在校园草坪上可以看到喷灌设备，草坪的形状有很多种，所以喷灌设备设置的方式都是不一样的，学生们通过观察可以进行总结联想。如果草坪恰巧是三角形的，学生们可以对"任意角以及弧度";这一单元的知识进行联想，从生活中观察相关知识结合教材可以让学生们的逻辑思维能力得到最基本的锻炼，然后建立熟悉的模型，通过精密的计算可以让这一单元的知识掌握得更加牢固。学生们一定要勇于探索，对基本的知识进行反复练习。 第二点就是让学生们勇敢提出自己的问题，在课堂上提出问题说明学生们自己有动脑思考，而且这对于接下来的分析问题解决问题是非常有帮助的。例如，在对草坪喷头布置方式进行观察的时候，学生们可以像教师提问具体的覆盖区域以及用水率的情况，这样的问题是建模过程中比较关键的问题，想要达到水利用率最高就应该让使用喷灌总面积减掉草坪面积的差最小。学生们可以根据这样的问题来理解直线方程。教师可以加以适当的引导，让学生们的思维能力和运算能力得到锻炼。学生们提问的过程就是思考的过程，教师要尊重学生们的课堂主导地位，引导启发为主，不能直接告诉学生们答案，也不能完全对学生们的问题置之不理，高中阶段学生们应该锻炼自己分析问题解决问题的能力。建模活动本身有一定的理论性，但是也存在着一定的实践性，这对学生们的思维活性以及深刻性和灵活性都有一定都有要求。 第三点就是让学生们善于联想，通过理论联系实际。这个过程是最重要的过程，建模主要是让学生们通过观察生活来和教材课本上的知识进行连接，这样才是建模的基本准备工作。例如，在对草坪喷灌头布置方式是否合适问题进行研究的过程中，学生们可以首先联想出两个评判标准，第一个就是保证草坪的所有区域都在喷灌区域范围内，第二个就是让喷灌总面积和草坪面积的差最小[1]。这也是对学生们空间思维能力的锻炼，为将来学习立体几何初步奠定基础。设定标准之后就可以通过计算选出比较合适的方案，全圆喷洒和扇形喷洒是比较适合方形草坪的，对于正三角形状的草坪扇形更适合。这在教材中就可以对应相关的问题，建模活动最简单的例子就完成了，让学生们通过这样简单的例子理解建模活动的含义就是教学目的[2]。
数学建模竞赛优秀大学生论文 随着科学技术的高速发展，数学的应用价值越来越得到众人的重视，因此数学建模也被逐渐的引起重视了。下面是店铺为大家整理的数学建模优秀论文，供大家参考。 数学建模优秀论文篇一：《数学建模用于生物医学论文》 1数学建模的过程 1.1模型准备 首先要了解实际背景，寻找内在规律，形成一个比较清晰的轮廓，提出问题。 1.2模型假设 在明确目的、掌握资料的基础上，抓住问题的本质，舍弃次要因素，对实际问题做出合理的简化假设。 1.3模型建立 在所作的假设条件下，用适当的数学方法去刻画变量之间的关系，得出一个数学结构，即数学模型。原则上，在能够达到预期效果的基础上，选择的数学方法应越简单越好。 1.4模型求解 建模后要对模型进行分析、求解，求解会涉及图解、定理证明及解方程等不同数学方法，有时还需用计算机求数值解。 1.5模型分析、检验、应用模型的结果 应当能解释已存的现象，处理方法应该是最优的决策和控制方案，所以，对模型的解需要进行分析检验。把求得的数学结果返回到实际问题中去，检验其合理性。如果理论结果符合实际情况，那么就可以用它来指导实践，否则需再重新提出假设、建模、求解，直到模型结果与实际相符，才能进行实际应用。总之，数学建模是一项富有创造性的工作，不可能用一些条条框框的规则规定的十分死板，只要是能够做到全面兼顾、能抓住问题的本质、最终检验结果合理，都是一个好的数学模型。 2数学建模在生物医学中的应用
2.1DNA序列分类模型 DNA分子是遗传信息存储的基本单位，许多生命科学中的重大问题都依赖于对这种特殊分子的深入了解。因此，关于DNA分子结构与功能的问题，成为二十一世纪最重大的课题之一。DNA序列分类问题是研究DNA分子结构的基础，它常用的方法是聚类分析法。聚类分析是使用数据建模简化数据的一种方法，它将数据分成不同的类或者簇，同一个簇中的数据有很大的同质性，而不同的簇中的数据有很大的相异性。在对DNA序列进行分类时，需首先引入样品变量，比如说单个碱基的丰度、两碱基丰度之比等;然后计算出每条DNA序列的样品变量值，存入到向量中;最后根据相似度度量原理，计算出所有序列两两之间的Lance与Williams距离，依据距离的远近进行分类。对于模型的好坏，可选取已知分类的DNA序列进行检验，若按照该模型做出的分类与已知分类相符，则模型可取，反之则需调试样本变量，直到取得满意的结果为止。 2.2传染病模型 为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各种类型的模型来预测、控制疾病的发生发展，比如说，SI模型(适用于患病后难以治愈)、SIS模型(适用于患病者治愈后不具有免疫力)、SIR模型(适用于患病者治愈后具有终身免疫力)、SIRS模型(适用于患病者治愈后具有暂时免疫力)等。这里以SIR模型为例来做具体地说明。假设不考虑人口的出生、死亡、流动等因素，设总人口始终保持一个常数N，记t时刻的易感染者、已感染者和已恢复者的人数分别为S(t)、i(t)和r(t)，则可建立下面的三房室模型： 2.3疗效评价模型 对于同一种疾病，医生根据其经验的不同往往会制定出不同的治疗方案，而每种方案的经济成本不同并且会产生不同程度的副作用，因此合理评价其疗效就有着重要的意义。目前常用的疗效评价模型有多元非线性回归模型、模糊评价模型、灰色关联度模型以及BP神经网络模型等。不论哪种模型都需要先确定评价参数，所谓评价参数指的是以什么来衡量疗效，如在艾滋病疗效评价中，可采用CD4的浓度、
2013年全国研究生数学建模竞赛B 题（华为公司合作命题） 功率放大器非线性特性及预失真建模 一、背景介绍 1.问题引入 信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其实现模块称为功率放大器（PA ，Power Amplifier ），简称功放。功放的输出信号相对于输入信号可能产生非线性变形，这将带来无益的干扰信号，影响信信息的正确传递和接收，此现象称为非线性失真。传统电路设计上，可通过降低输出功率的方式减轻非线性失真效应。 功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义。目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。 本题从数学建模的角度进行探索。若记输入信号)(t x ，输出信号为)(t z ，t 为时间变量，则功放非线性在数学上可表示为))(()(t x G t z =，其中G 为非 线性函数。预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用。原理框图如 图1所示。 图1 预失真技术的原理框图示意 其中)(t x 和)(t z 的含义如前所述，)(t y 为预失真器的输出。设功放输入-输出传输特性为()G ，预失真器特性为()F ，那么预失真处理原理可表示为 ))(())(()))((())(()(t x L t x F G t x F G t y G t z ==== （1）L F G = 表示为()G 和()F 的复合函数等于()L 。线性化则要求 )())(()(t x g t x L t z ⋅== （2） 式中常数g 是功放的理想“幅度放大倍数”（g>1）。因此，若功放特性()G 已知，则预失真技术的核心是寻找预失真器的特性()F ，使得它们复合后能满足 )())(())()((t x g t x L t x F G ⋅== （3） 如果测得功放的输入和输出信号值，就能拟合功放的特性函数()G ，然后利用（3）式，可以求得()F 。 2.功放的非线性模型 由于各类功放的固有特性不同，特性函数()G 差异较大，即使同一功放，由于输入信号类型、环
数学建模全国优秀论文范文 随着科学技术特别是信息技术的高速发展，数学建模的应用价值越来越得到众人的重视， 数学建模全国优秀论文1：《浅谈数学建模教育的作用与开展策略》数学建模本身是一个创造性的思维过程，它是对数学知识的综合应用，具有较强的创新性，以下是一篇关于数学建模教育开展策略探究的论文范文，欢迎阅读参考。 大学数学具有高度抽象性和概括性等特点，知识本身难度大再加上学时少、内容多等教学现状常常造成学生的学习积极性不高、知识掌握不够透彻、遇到实际问题时束手无策，而数学建模思想能激发学生的学习兴趣，培养学生应用数学的意识，提高其解决实际问题的能力。数学建模活动为学生构建了一个由数学知识通向实际问题的桥梁，是学生的数学知识和应用能力共同提高的最佳结合方式。因此在大学数学教育中应加强数学建模教育和活动，让学生积极主动学习建模思想，认真体验和感知建模过程，以此启迪创新意识和创新思维，提高其素质和创新能力，实现向素质教育的转化和深入。 一、数学建模的含义及特点 数学建模即抓住问题的本质，抽取影响研究对象的主因素，将其转化为数学问题，利用数学思维、数学逻辑进行分析，借助于数学方法及相关工具进行计算，最后将所得的答案回归实际问题，即模型的检验，这就是数学建模的全过程。一般来说",数学建模"包含五个阶段。 1.准备阶段 主要分析问题背景，已知条件，建模目的等问题。 2.假设阶段 做出科学合理的假设，既能简化问题，又能抓住问题的本质。 3.建立阶段 从众多影响研究对象的因素中适当地取舍，抽取主因素予以考虑，建立能刻画实际问题本质的数学模型。 4.求解阶段
对已建立的数学模型，运用数学方法、数学软件及相关的工具进行求解。 5.验证阶段 用实际数据检验模型，如果偏差较大，就要分析假设中某些因素的合理性，修改模型，直至吻合或接近现实。如果建立的模型经得起实践的检验，那么此模型就是符合实际规律的，能解决实际问题或有效预测未来的，这样的建模就是成功的，得到的模型必被推广应用。 二、加强数学建模教育的作用和意义 (一) 加强数学建模教育有助于激发学生学习数学的兴趣，提高数学修养和素质 数学建模教育强调如何把实际问题转化为数学问题，进而利用数学及其有关的工具解决这些问题，因此在大学数学的教学活动中融入数学建模思想，鼓励学生参与数学建模实践活动，不但可以使学生学以致用，做到理论联系实际，而且还会使他们感受到数学的生机与活力，激发求知的兴趣和探索的欲望，变被动学习为主动参与其效率就会大为改善。数学修养和素质自然而然得以培养并提高。 (二)加强数学建模教育有助于提高学生的分析解决问题能力、综合应用能力 数学建模问题来源于社会生活的众多领域，在建模过程中，学生首先需要阅读相关的文献资料，然后应用数学思维、数学逻辑及相关知识对实际问题进行深入剖析研究并经过一系列复杂计算，得出反映实际问题的最佳数学模型及模型最优解。因此通过数学建模活动学生的视野将会得以拓宽，应用意识、解决复杂问题的能力也会得到增强和提高。 (三)加强数学建模教育有助于培养学生的创造性思维和创新能力 所谓创造力是指"对已积累的知识和经验进行科学地加工和创造，产生新概念、新知识、新思想的能力，大体上由感知力、记忆力、思考力、想象力四种能力所构成"[1].现今教育界认为，创造力的培养是人才培养的关键，数学建模活动的各个环节无不充满了创造性思维的挑战。
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：本10队 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2013 年 9 月 16 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于最小二乘法的碎纸片拼接复原数学模型 摘要 首先对图片进行灰度化处理,然后转化为0-1二值矩阵，利用矩阵行（列）偏差函数，建立了基于最小二乘法的碎纸片拼接数学模型，并利用模型对图片进行拼接复原。 针对问题一，当两个数字矩阵列向量的偏差函数最小时，对应两张图片可以左右拼接。经计算，得到附件1的拼接结果为： 08,14,12,15,03,10,02,16,01,04,05,09,13,18,11,07,17,00,06。 附件2的拼接结果为: 03,06,02,07,15,18,11,00,05,01 ,09,13, 10,08,12,14,17,16,04。 针对问题二，首先根据每张纸片内容的不同特性，对图片进行聚类分析，将209张图片分为11类；对于每一类图片，按照问题一的模型与算法，即列偏差函数最小则进行左右拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预，我们得到了11组碎纸片拼接而成的图片；对于拼接好的11张图片，按照问题一的模型与算法，即行偏差函数最小则进行上下拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预。我们最终经计算，附件3的拼接结果见表9，附件4的拼接结果见表10。 针对问题三，由于图片区分正反两面，在问题二的基础上，增加图片从下到上的裁截距信息，然后进行两次聚类，从而将所有图片进行分类，利用计算机自动拼接与人工干预相结合，对所有图片进行拼接复原。经计算，附件5的拼接结果见表14和表15 该模型的优点是将图片分为具体的几类，大大的减少了工作量，缺点是针对英文文章的误差比较大。 关键字：灰度处理，图像二值化，最小二乘法，聚类分析，碎纸片拼接
一、问题重述 碎纸片的拼接复原技术在司法鉴定、历史文献修复与研究、军事情报获取以及故障分析等领域都有着广泛的应用。近年来，随着德国“斯塔西”文件的恢复工程的公布，碎纸文件复原技术的研究引起了人们的广泛关注。传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。对于一页印刷文档，针对不同的破碎方法，讨论下列三个问题： （1）将给定的一页印刷文字文件纵切，建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。 （2）对于碎纸机既纵切又横切的情形，设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。 （3）对于双面打印文档，研究如何进行碎纸片的拼接复原问题。附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。要求尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果。 二、模型的基本假设 （1）待拼接的碎纸片来自同一页印刷文字文件。 （2）待拼接复原的碎纸片是规整的矩形。 （3）模型中的碎纸片长度、宽度和面积都相等。 （4）附件中照片都是同标准拍摄。 三、符号说明
全国大学生数学建模优秀论文---B题：产品销量预测
承诺书 我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则. 我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： 队员签名：1. 2. 3. 日期：年月_日
编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：
一、问题背景 据国外相关统计显示，销量预测与企业其他运行指标的关系是1:5，也就是销量预测提高1%，库存可以降低5%，生产和采购成本可以节约5%，客户准时交付率可以提高5%，资金使用效率提高5%这就是销量预测在企业管理中所起到的杠杆效应。 认识产品销量的变化规律，作出准确的预测是销量预测的主要任务。故研究销量预测问题具有非常重要的现实意义。 二、问题重述 一种新产品上市后，经销商自然十分关心它的销售情况，尤其是销售一段时间后，经销商往往需要根据前段时间的销售情况，预测该产品在本地区的总销售量，从而恰当的组织货源，提高销售服务质量。 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻的产品销量()x t 与t 有关且()x t 连续可微。。 问题一，在产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品，即每个产品在单位时间内平 均可以吸引k 个顾客使其购买k 个该产品, 并且在t 时刻产品销量的增长率dx dt 与)(t x 成 正比的条件下，建立模型，预测0t 时的产品销量0()x t 。 问题二，设产品销售存在一定的市场容量N , 即销量的上限。产品销量的增长率 dt dx 与该产品的潜在容量)(t x N 成正比, 一个消费者只购买一件该商品，并且经营者可通过其他方式推销产品，建立模型，对0t 时的产品销量0()x t 做出预测。 问题三，现要对问题二的产品销量做出精准预测，建立模型对市场容量N 进行预测。 问题四，试考虑影响产品销量的其他因素，如广告、竞争者、同类产品等，建立相应的模型，预测0t 时的产品销量0()x t 。 三、问题分析 3.1 对问题一的分析 由题意知，每个产品性能良好，且每个产品都是一个宣传品，这可以理解为售出的每一产品在单位时间内平均可以吸引k 个顾客，使其够买k 个产品,结合问题一所给条
数学建模B题优秀论文 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1.王静茹 2.杨曼 3.朱元霞 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 2010年上海世博会经济影响力的定量评估 摘要 本文选取2010年上海世博会对上海经济的影响作为研究对象，首先，我们选择了五届影响力较大的世博会与上海世博会进行了定量的纵向评估。 利用互联网的相关数据，运用层次分析法确定了各级评价指标的相对权重，然后利用模糊综合评判法给这六届世博会的经济影响力进行了定量评估，利用MATLAB 计算出了1933年芝加哥世博会以来六届综合性世博会的经济影响力的综合评分依次为、、80、11、、、，由表我们可以肯定上海世博会的经济影响力是继1851年伦敦世博会以来较强的。 其次我们采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次相关关系和上海市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用上海统计年鉴发布的数据，分别建立无世博影响的表达式i i i x x x e Q 21210904.01117.00032.06278.81-++=，与有世 博影响的表达式i i i x x x e Q 212 12955.00176.00019.01211.82+-+=，两式的预测误差均在%以内。与2008年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出世博会对2008年上海市经济贡献率达到%。并且在得知申办世博会后第i 年上海市固定投入总额的前提下由 %1002 1 2⨯-= Q Q Q η可求出世博会对上海地区经济的持续性积极影响。如假设2011年市固定资产总投资为5600亿元，则世博会对上海经济有16%的积极影响。 最后,经过对2010年上海世博会的经济影响力的两方面的评估,我们得知上海世博会在历届世博会的经济影响力的综合评分中是最高的。由此得出,上海世博会对上海经济的影响力是非常大的,此次世博会除了对上海的直接收益影响明显外,世博会对上海地区经济的持续性积极影响。 关键词：层次分析模糊综合评判投入——产出模型回归模型 一、问题重述 2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2013年山西赛区数学建模联赛 承诺书 我们仔细阅读了山西赛区数学建模联赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B 我们的参赛报名号为： 参赛队员(打印并签名) ：
目录 一、摘要 (3) 二、关键词 (3) 三、问题重述与分析 (3) 四、模型假设 (3) 五、符号说明 (9) 六、模型的建立与求解 (9) 七、模型的检验 (10) 八、模型的优缺点分析 (10) 九、求解 (10) 十、合理化建议 (12) 参考文献 (13) 深圳关内外交通拥堵探究与治理 一、摘要
交通拥堵是目前中国各大城市面临的共同难题，但拥堵的成因各不相同，因而需要在摸清规律的基础上有针对性地提出解决方案。就深圳而言，交通堵塞对人们出行造成了较大的影响,造成深圳城市交通拥堵主要原因: 1、城市功能区构建。 2、城市公交发展相对迟缓，市民出行系统结构不合理。 随着深圳城市的不断扩大，市民出行距离的加大，公交车辆还远不能满足市民上下班或者出行的需要，城市公交发展却相对迟缓，市民出行系统结构不合理，导致了交通环境的进一步恶化。 3、城市道路交通规划滞后。 例如老城区路幅不宽，支路多、小街小巷多而且与主干道衔接相通，车辆交汇频繁致使交通不畅，成为“瓶颈”路口。 4、城市道路资源时常被侵占。 5、部分路段红绿灯过多。 6、市内停车供求矛盾突出。 7、市民交规意识薄弱。公共空间中以各种方式进行的空间移动（即交通）的需求，它具有需求时间和空间的不均匀性、需求目的的差异性等特征。伴随着城市居住人口的增长和经济速发展，人们对出行质量的要求也逐渐提高。城市机动车保有量持续攀升，居民出行机动化水平升高，交通需求总量不断增加。道路设施增长的速度远远赶不上机动车增长的速度，交通需求与交通供给不平衡，导致交通拥堵现象频频发生，给城市交通状况带来了新的挑战。交通拥堵是现代城市，尤其是大城市，不可避的交通问题。对路网进行交通拥堵状态的评价是改善其运行质量的前提和依据。我们通过图论和电路网络的知识对交通拥堵给予恰当的评价，从而提出合理化建议，解决交通堵塞问题。 二、关键词：图论、电路模型、线性拟合 三、问题重述与分析 1. 分析造成各关口拥堵的深层原因。以梅林关为例，考虑信息不完备的影响因素构建关口交通模型，分析造成关口广场区域高峰期拥堵的直接原因，对关口广场各连接道路进行分类或定出拥堵指数；根据你的模型参数，给出今后进一步研究关口广场拥堵问题所需交通数据的采集侧重内容建议。 2.在不增加关内外通道数量的情况下，能否通过调整城市分区功能、改变关口区域功能架构以及改善交通管控措施等来缓解梅林、布吉等关口的交通拥堵； 3.如果可以增加关内通道，试问应选在哪些地方（不考虑建设成本）。交通需求是指出于各种目的的人和物在社会。 4. 根据的知识可以知道交通堵塞问题可以抽象为电路网络求电阻的问题，电阻越大，则交通堵塞情况越严重，通过交通拥堵系数的函数关系式求得当因变量应当满足的条件后使得通量最大从而得到解决方案。 四、模型假设 将交通网络抽象为一个电路网络如图：→
数学建模题目及答案 数学建模题目及答案 【篇一：2013全国大学生数学建模比赛b题答案】lass=txt>承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从a/b/c/d中选择一项填写）：b 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学参赛队员 (打印并签名) ：1. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2013年 9 月 13 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 碎纸片的拼接复原 摘要 本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。由于人工做残片复原虽然准 确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各
类 条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复 原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解 决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评 价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。 面对题目中给出的bmp格式的黑白文字图片，我们使用matlab 软 件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中 该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。题 目每一个附件中的碎纸片均为来自同一页的文件，所以不需考虑残片中含有未知纸张的残片以及残片中不会含有公共部分。鉴于残片形状分为“长条形”与“小长方形”，残片内容分为中文、英文，纸张的打印类型分为“单面型”、“双面型”，所以我们根据残片的类型对矩阵做不同处理。 针对问题一中给出的“长条形”碎纸片：对图片转化后的矩阵进行边缘检测，发现每一张图片的两短边在一定范围内全是白色，而仅有2张图片的长边在一定范围内全是白色，说明我们需要对长边进行拼接，一边包含全白的长边是原文件纸张的两端。由于考虑到模型应用的推广，我们在此问中的模型包含了图片倒置的情况（仅在问题一中考虑倒置情况，鉴于问题二、三中数据量的增多，二三问不再考虑倒置情况），对图片的长边及矩阵中的第一列和最后一列与其他矩阵的第一列和最后一列进行边缘匹配，根据边缘匹配度来确定图片复原，最后若发现拼接效果有偏差，在进行人工操作。 针对问题二中的“小长方形”碎纸片：由于数据量变多，盲目使用问题一中的方法不能保证准确度，所以这里要进一步约束使当前图
（声明：仅供参考!） 2013建模美赛B题思路 摘要 水资源是极为重要生活资料，同时与政治经济文化的发展密切相关，北京市是世界上水资源严重缺乏的大都市之一。本文以北京为例，针对影响水资源短缺的因素，通过查找权威数据建立数学模型揭示相关因素与水资源短缺的关系，评价水资源短缺风险并运用模型对水资源短缺问题进行有效调控。 首先，分析水资源量的组成得出影响因素。主要从水资源总量（供水量）和总用水量（需水量）两方面进行讨论。影响水资源总量的因素从地表水量，地下水量和污水处理量入手。影响总用水量的因素从农业用水，工业用水，第三产业及生活用水量入手进行具体分析。 其次，利用查得得北京市2001-2008年水量数据，采用多元线性回归，建立水资源总量与地表水量，地下水量和污水处理量的线性回归方程 yˆ=-4.732+2.138x 1+0.498x 2 +0.274x 3 根据各个因数前的系数的大小，得到风险因子的显著性为r x1>r x2 >r x3 (x 1 , x 2 ， x 3 分别为地表水、地下水、污水处理量)。 再次，利用灰色关联确定农业用水、工业用水、第三产业及生活用水量与总 用水量的关联程度r a =0.369852，r b = 0.369167，r c =0.260981。从而确定其风险显著 性为r a>r b>r c。 再再次，由数据利用曲线拟合得到农业、工业及第三产业及生活用水量与年份之间的函数关系，a=0.0019（t-1994）3-0.0383（t-1994）2-0.4332（t-1994）+20.2598; b=0.014（t-1994）2-0.8261t+14.1337; c=0.0383（t-1994）2-0.097（t-1994）+11.2116; D=a+b+c；预测出2009-2012年用水总量。 最后，通过定义缺水程度S=（D-y）/D=1-y/D，计算出1994-2008的缺水程度，绘制出柱状图，划分风险等级。我们取多年数据进行比较，推测未来四年地表水量和地下水量维持在前八年的平均水平，污水处理量为近三年的平均水平，得出2009-2012年的预测值，并利用回归方程 yˆ=-4.732+2.138x 1+0.498 2 x 2 +0.274x 3 计算出对应的水资源总量。通过预测的总用水量，水资源总量和缺水程度公式 S=（D-y）/D=1-y/D 计算出2009-2012年的缺水程度，根据划分的风险等级，判断出2009-2012年水资源风险等级均为中风险。 我们根据建立的模型，确定出农业用水量和地表水是最主要的风险因子，参考无法量化的风险因子如人口规模、产业结构、管理制度、水利工程设施等因素的
车道被占用对城市道路通行能力的影响 摘要 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 对于问题一，由于实际通行能力是建立在基本通行能力和可能通行能力之上的，所以在求解实际通行能力之前，需要算出基本通行能力和可能通行能力，针对问题一创建了一张流程图，从中可以清晰地看到这一递进过程，并且基本通行能力是理想状态下的，相当于是表示了最大的车流量，可能通行量是与修正关系有关的，对实际通行能力这一因素进行计算，创建一系列的算式模型，得出实际通行能力的变化过程，根据GREENSHIELD K-V线性算法得出道路越堵，车速越慢，则实际通行能力就越差，反之就会较好。 对于问题二，因为所占的车道不同，并且给的条件中有说明左转车流比例和右转车流比例不同，那只需验证两者是否存在显著性差异，运用配对样本t检验的方法就是要先满足这一方法的两个前提条件，首先必须验证是否满足正态分布，经过SPSS软件的验证可以得出符合正态分布。然后再进行配对，从配对的结果中可以看出存在显著性差异，再结合左右转的车流量比例，更加可以看出存在显著性差异。 对于问题三，主要是对所推出来的回归方程的判断和分析因变量和各因子之间的关系，在本问中要先求出排队长度，排队长度是根据堵塞密度，进出车辆数之间的差值来求解，再根据最小二乘法来判断所假设的这一模型是否符合多元线性回归关系，本问中得出符合多元线性回归关系。再在排队长度和最小二乘法的基础之上，运用SPSS软件，在进行结果分析时得出实际通行能力对于排队长度没有影响，所以可以剔除，而事故持续时间和上游车流量对排队长度都有明显的影响，然后得出他们的相关系数，求出最后的相关方程式。 对于问题四，题目中给出了事故发生点到上游路口的距离为140米，并且上游车流量为1500pcu/h，结合视频1中多次出现的120米这一个顶点，推算出120米内大概最大的堵塞车流量，然后按比例分配推算出140米的最大堵塞车流量，视频1中的可以通过加权平均来求出平均的实际通行能力，则事故持续时间就是要靠140米的最大堵塞车流量和平均实际通行能力来计算，最后得出事故持续时间为2.37min。 关键词：GREENSHIELD K-V线性模型正态分布配对样本t检验 最小二乘法多元线性回归最大堵塞车流量平均实际