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一、与旋转有关的角度计算
例1 (2017?菏泽)如图1，将Rt△ABC绕直角顶点C时针旋转90°，得到△A?B?C?，连接AA?，若∠1=25°，则∠BAA?的度数是( )
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
评注：与旋转有关的角度计算，一般联系旋转的性质、三角形全等的性质、三角形的内角和以及三角形的外角的性质等，注意结合图形信息，寻找已知角与未知角之间的关系，灵活运用三角形的边与角之间的关系解题.
二、与旋转有关的线段长度的计算问题
例2 (2017?娄底)如图2，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB?，使得点B的对应点B?落在x轴的正半轴上，则点B?的坐标是( )
A.(5,0)
B.(8,0)
C.(0,5)
D.(0,8)
评注：此题旋转角度不是特殊角，但旋转后点B的对应点位于X轴的正半轴上，计算线段AB的长度是解决问题的关键.
一般地，如果旋转特殊角，有以下规律：
坐标平面内的点p(x,y)，绕着原点旋转一个90°,①如果是顺时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(y,-x);②如果是逆时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(-y,x).坐标平面
内的点绕着原点旋转180°，得出的点关于原点中心对称，点p(x,y)关于原点的中心对称点的坐标是(-x,-y)，p,p?位于相对的两个象限，即分别位于第一、第三象限或者第二、第四象限.
三、与多次旋转有关的探究规律问题
评注：此题运用坐标系内的点到原点的距离与到坐标轴的距离之间的平方关系，再者根据旋转的性质，旋转前后对应线段的长度相等，因此得出oo?，o?o4之间的相等关系，运用直角三角形中三边之间的倍数关系，注意每一次偶数序号的变化，横坐标与纵坐标都是点o?的横坐标与纵坐标的若干倍，这个倍数是序号的下标与2的商.
四、与旋转有关的开放探究问题
例4 (2017?河南)如图5，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，点D,E分别在边AB,AC 上，AD=AE，连接DC，点MPN分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想
如图5，线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是_______.
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针旋转到图6的位置，连接MN,BD,CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面直角坐标系内自由旋转，若AD=4,AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值.
评注：由于旋转具有旋转前后图形的大小形状不变的性质，因此旋转前后对应线段的长度，对应线段(或线段所在直线)的夹角都分别相等，因此结合特殊图形：等腰三角形(含等腰直角三角形与等边三角形)，正方形及相似的平行四边形(含矩形、菱形)，相似的三角形等绕其一个顶点旋转，探究对应线段(及对应线段的等分点之间的线段)等的数量与位置关系，是中考命题的一个热点，其一般解法是联系三角形的全等，综合旋转的性质等层层探究，为了找出最大值或最小值，有时可以构造辅助圆。
中考常考题型 （一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.
（二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向 旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。 例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、 B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。
例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放， 注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多 变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下， 近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分 的分值比前两年大幅度提高。
支付宝首页搜索“933314”领红包，每天都能领。付款前记得用红包 一、与旋转有关的角度计算 例1 (2017?菏泽)如图1，将Rt△ABC绕直角顶点C时针旋转90°，得到△A?B?C?，连接AA?，若∠1=25°，则∠BAA?的度数是( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 评注：与旋转有关的角度计算，一般联系旋转的性质、三角形全等的性质、三角形的内角和以及三角形的外角的性质等，注意结合图形信息，寻找已知角与未知角之间的关系，灵活运用三角形的边与角之间的关系解题. 二、与旋转有关的线段长度的计算问题 例2 (2017?娄底)如图2，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是A(3,0),B(0,4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB?，使得点B的对应点B?落在x轴的正半轴上，则点B?的坐标是( ) A.(5,0) B.(8,0) C.(0,5) D.(0,8) 评注：此题旋转角度不是特殊角，但旋转后点B的对应点位于X轴的正半轴上，计算线段AB的长度是解决问题的关键. 一般地，如果旋转特殊角，有以下规律： 坐标平面内的点p(x,y)，绕着原点旋转一个90°,①如果是顺时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(y,-x);②如果是逆时针旋转，则有旋转后的对应点的坐标为(-y,x).坐标平面
内的点绕着原点旋转180°，得出的点关于原点中心对称，点p(x,y)关于原点的中心对称点的坐标是(-x,-y)，p,p?位于相对的两个象限，即分别位于第一、第三象限或者第二、第四象限. 三、与多次旋转有关的探究规律问题 评注：此题运用坐标系内的点到原点的距离与到坐标轴的距离之间的平方关系，再者根据旋转的性质，旋转前后对应线段的长度相等，因此得出oo?，o?o4之间的相等关系，运用直角三角形中三边之间的倍数关系，注意每一次偶数序号的变化，横坐标与纵坐标都是点o?的横坐标与纵坐标的若干倍，这个倍数是序号的下标与2的商. 四、与旋转有关的开放探究问题 例4 (2017?河南)如图5，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=AC，点D,E分别在边AB,AC 上，AD=AE，连接DC，点MPN分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 如图5，线段PM与PN的数量关系是___________，位置关系是_______. (2)探究证明 把△ADE绕点A逆时针旋转到图6的位置，连接MN,BD,CE，判断△PMN的形状，并说明理由； (3)拓展延伸
1. 试说明沉淀有哪几种类型?各有何特点?并讨论各种类型的内在联系与区别，各 适用在哪些场合? ? 自由沉淀：离散颗粒、在沉淀过程中沉速不变（ 沉砂池、初沉池前期） ? 絮凝沉淀：絮凝性颗粒，在沉淀过程中沉速增加（初沉池后期、二沉池前 期、给水混凝沉淀） ? 拥挤沉淀：颗粒浓度大，相互间发生干扰，分层（高浊水、二沉池、污泥 浓缩池） ? 压缩沉淀：颗粒间相互挤压，下层颗粒间的水在上层颗粒的重力下挤出， 污泥得到浓缩。 2. 设置沉砂池的目的和作用是什么？曝气沉砂池的工作原理与平流式沉砂池有何 区别? ? 沉砂池的作用是从污水中去除砂子、煤渣等比重较大的颗粒，以免这些杂质 影响后续处理构筑物和设备的正常运行。沉砂池的工作原理是以重力分离为基础，即将进入沉砂池的污水流速控制在只能使比重大的无机颗粒下沉，而有机悬浮颗粒则随水流带走。 ? 平流式沉砂池是最常用的一种型式，它的截留效果好，工作稳定，构造亦较 简单。池的上部，实际是一个加宽了的明渠，两端设有闸门以控制水流。曝气沉砂池是一个长型渠道，沿渠道壁一侧的整个长度上，距池底约60～90Cm 处设置曝气装置，整个池内水流产生螺旋状前进的流动形式。由于曝气以及水流的螺旋旋转作用，污水中悬浮颗粒相互碰撞、摩擦、并受到气泡上升时的冲刷作用，使粘附在砂粒上的有机污染物得以去除，沉于池底的砂粒较为纯净。有机物含量只有5%左右的砂粒，长期搁置也不至于腐化。 3. 水的沉淀法处理的基本原理是什么?试分析球形颗粒的静水自由沉降(或上浮)的 基本规律，影响沉淀或上浮的因素有哪些? ? 斯托克斯定律218gd u l p μ ρρ-= ? 当ρs 大于ρL 时，颗粒下沉；相等时，颗粒呈悬浮状态，这种颗粒不能用
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?????? ?? ?? ??? ???? ? ????????等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】 （2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
例题精讲 考点1：手拉手模型：全等和相似 包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
旋转与全等、相似的典型类型总结 25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α?<
已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系． (1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________． (2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化写出你的猜想，并加以证明． (3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化写出你的猜想，并加以证 明． [ 第25题图
中国古典舞旋转的种类及特点 中国古典舞旋转的种类及特点 中国古典舞是吸收了戏曲、武术、芭蕾的精华，并将三者加以结合发展，逐步形成的符合中华民族审美特征，具有强烈时代性的舞 种体系。“旋转”是古典舞训练体系中技术技巧的重要组成部分， 可以说没有一个舞种能够脱离转的动作。当今，中国古典舞中的旋 转能力，已经成为了评价舞者身体能力的重要标准之一，同时也是 古典舞特性和充满魅力的特质所在。因此一套科学的训练方法就显 得尤为重要。 (一)旋转的种类 在舞蹈中，旋转是指人体围绕一个点或者一个轴进行的圆周运动。构成舞蹈旋转技巧的三大要素是舞姿、动力和重心轴;中国古典舞旋 转技巧丰富多彩、变化多端，大致可分为直立转、舞姿转、复合转 三种类型。其中直立转为基础，舞姿转为核心重点，复合转为高难 技巧。它们其内部是环环相扣、紧密相连的。 (二)旋转的特点 中国古典舞旋转的主要特点是在运动的过程中身体所呈现出的不同轴面或者说是身体在空间中发生扭转、交错的关系，是中国古典 舞旋转的独具的风格特征。同时中国古典舞也是画圆的艺术，旋转 连接转换多在三圆(平圆、立圆、8字圆)中完成。其一以“拧倾” 为核心的曲线造型是中国古典舞旋转的基本体态，也是中国古典舞 旋转的基本特点。中国古典舞基训中的旋转，除了有直体旋转之外，很大的特点是身体形态在拧倾旋转的舞姿造型上的转，特别是“倾”的平衡重心上的转，是在上下身成子午相的基础上进行立体构图塑 造形象的'。所以动作显出婉转中的修长，急带腾空中的延续，以及 旋转螺形的变化，如反掖腿仰胸转，后退侧身转。其二民族舞姿的 运用使中国古典舞旋转技巧的复合型与流动性加强，进一步增大了
初中数学中考冲刺必备 几何图形变换主要包括5个模型 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。 一、旋转的定义 二、中考常见的几种旋转图形
旋转类型题目举例 1、正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.
2、正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。 例2 如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求正方形ABCD面积。
3、等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 例3如图，在ΔABC中，∠ACB =90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。
（一）正三角形类型 在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。 例1. 如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.
（二）正方形类型 在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。 例2. 如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、 B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=Rt∠, P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕 C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。 例3．如图，在ΔABC中，∠ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3， PB=1，PC=2。求∠BPC的度数。
平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。所谓几何变换就是根据确定的法则，对给定的图形(或其一部分)施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放，注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下，近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是2006年中考，这一部分的分值比前两年大幅度提高。 为帮助广大考生把握好平移，旋转和翻折的特征，巧妙利用平移，旋转和翻折的知识来解决相关的问题，下面以近几年中考题为例说明其解法，供大家参考。
旋转接头各种类型的工作原理 旋转接头按照不同的需要，用途，工作原理等进行分类，其不同分类，工作原理也存在相应的差异。 回路旋转接头可依工作情形来选择连结方式。传输介质入口可依工作情况自由选择侧边或后端进入。密封面及密封圈为特殊材料所制成的，抗磨损、寿命长、耐腐蚀、不泄漏。旋转接头内部有两个精密轴承，运转平稳持久、坚固灵活，磨擦系数小，故可以高速运转。内部密封件磨损的状况可由产品外观目测得知，可以预防机械停机或机械损坏，来达到预防的效果和减少损失。密封件磨损更换维修简易，不用重新购置新品，节省成本。单回路系列旋转接头:满足国内外各种产业需求,流体介质水(water)、蒸气(steam)、油(oil)、空气(Air)、真空(vacuum)切削液(coolant)、甲苯等化学溶剂。 单回路旋转接头可依工作情形来选择连接方式。传输介质入口可依工作情况自由选择侧边或后端进入。密封面及密封圈为特殊材料所制成的，抗磨损、寿命长、耐腐蚀、不泄漏。旋转接头内部有2个精密轴承，运转平稳持久、坚固灵活、磨擦系数小，故可高速运转。内部密封件磨损的状况可由产品外观目测得知，可以预防机械停机或机械损坏，来达到预防的效果和减少损失。密封件磨损更换维修简易，不用重新购置新品，节省成本。 双回路旋转接头可分为双回路固定式和双回路旋转式旋转接头。密封面及密封圈为特殊材料所制成的，抗磨损、寿命长、耐腐蚀、不泄漏。内部密封件磨损的状况可由产品外观目测得知，可以预防机械停机或机械损坏，来到预防的效果和减少损失。内有独立管路，可作不同工作情况需求做选择，来发挥最大的效益。外壳与转轴由精密轴承支撑，使旋转转动时灵活轻巧，磨擦力小，液体介质可包括水、油、空气等，运用行业甚广。密封件磨损更换维修简易，不用重新购置新品，节省成本。 产品特点: 旋转接头RF类型特点： 高品质旋转接头和精密轴承装置在高刚性转轴上，长时间运转无振动，转轴经过特殊的热处理增加刚性，固定环封闭物是由特殊的材料，是抗磨损碳精石墨所制造的，不透水和干式运转，特别是旋转封闭面大小必须减低到最低限度，甚至在较高的压力下，经本司长期机械经验变得封闭面部份有较好的平衡结果，RF
中考数学压轴题四大类型 一、函数图像中的存在性问题 （ 1）动点与相似三角形问题 例题 1： 如图，抛物线经过三点． （ 1）求出抛物线的解析式； y （ 2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P， M为顶点的三角形与相似若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由；O B 14 Ax （ 3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐 标． 2 C （2）动点与等腰三角形问题 例题 2： 如图，在矩形ABCD中，AB=m（ m是大于0的常数），BC=8，E为 线 段BC上的动点（不与 B、C重合）．连结 DE，作 EF⊥DE，EF与 射线 BA交于点 F，设 CE=x， BF=y． （ 1）求y关于x的函数关系式； （ 2）若=8，求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少 m （ 3）若y 12 ，要使△ DEF为等腰三角形， m的值应为多少 m A D F B E C （ 3）动点与直角三角形问题
例题 3： 在 直 角 坐 标 平 面 内 ， 为 原 点 ， 二 次 函 数 y 2 6 yx bx c 的图像经过 A （ -1 3 ）， ， ）和点 B （ ， 顶点为 P 。 5 4 （1）求二次函数的解析式及点 P 的坐标； B 3 （2）如果点 Q 是 x 轴上一点，以点 A 、 P 、 Q 为顶点的三 2 角形是直角三角形， 1 求点 Q 的坐标。 A 0 1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 （ 4）动点与平行四边形问题 -4 例题 4： 如图，抛物线 yx 2 2x 3 与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D . （1）直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点， 过点 P 作 PF ∥ DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ； ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 PEDF 为平行四边形 ②设 △BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式 2 3 4 5 6 7 x y D C A O B x （ 5）动点与梯形问题 例题 5： 如图 13，二次函数 y x 2 px q( p 0) 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C （ 0， -1 ）， ABC 的面积为 5 。 4 （ 1）求该二次函数的关系式； （ 2）过 y 轴上的一点 M （ 0，m ）作 y 轴上午垂线，若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点， 求 m 的取值范围； （ 3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形 ABCD 为直角梯形若存在， 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
旋转专题 1、图形的旋转 （1）在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度，这样的图形运动称为旋转， 这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角． （2）性质：①在图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度； ②注意每一对对应点与旋转中心的连线所成的角度都叫旋转角，旋转角都相等； ③对应点到旋转中心的距离相等． 2、图形的中心对称 （1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于 这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心． （2）①关于中心对称的两个图形是全等形； ②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分； ③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等. 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 C B E D C A B 2、手拉手全等模型 C C C A B D E A B B A 方法技巧提炼 高频核心考点
E D B A E D B A E D C B A A B C D E D C B A 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转90°) A'D C B A F' D' F E D C A (3) 等边三角形旋转(旋转60°) (4) 正方形旋转(旋转90°) ② ①F E D C B A P F E D C B A G F E D C B A 例1、如图,设P 是等边△ABC 内的一点,PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB 的度数是________。 类型一 旋60°，造等边 精题精讲精练
中考专题复习的圆和旋转的类型题 1. ．(2013四川成都，17,8分) (本小题满分8分) 如图，在边长为1的小正方形组成的的方格纸上，将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°． (1)画出旋转后的△AB ′C ′； (2)求线段AC 在旋转过程中所扫过的扇形的面积． 答案：解：(1)如图，△AB ′C ′为所求三角形． ······4分 (2)由图可知， AC ＝2， ∴线段AC 在旋转过程中所扫过的扇形的面积为：S ＝90π·22 360＝π． ······8分 2. （2013湘潭，24,8分）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD 、CF ，经测量发现AD =CF . (1)他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD 与CF 还相等吗?说明你的理由; (2)他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转，使点E 旋转至直线l 上，如图3,请你求出CF 的长. B A l C O D F E 图2 C A l O B D E F 图1
【答案】解：（1）AD 与CF 还相等， 理由：∵四边形ODEF 、四边形ABCO 为正方形，∴∠DOF =∠COA = 90°，DO =OF ，CO =OA ，∴∠COF =∠AOD ，∴△COF ≌△AOD （SAS ），∴AD =CF . （2）如图4，连接DF ，交EO 于G ，则DF ⊥EO ，DG =OG =2 1 EO =1，∴GA =4，∴AD =22GA DG +=241+=17; 21. （2013四川省宜宾市，14,3分）如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中⌒CD ，⌒DE ，⌒EF ， … 的圆心按点 A , B , C 循环.如果 AB = 1 ，那么曲线 CDEF 的长是 （结果保留π） . 14 . 【答案】 4π； 3. （2013山东枣庄，24，10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线EF 经过点C ，AD ⊥EF 于点D ，∠DAC =∠BAC ． ⑴求证EF 是⊙O 的切线； ⑵求证AC 2=AD ·AB ⑶若⊙O 的半径为2，∠ACD =30°，求图中阴影部分的面积． 【解】⑴证明：连接OC ，∵AD ⊥EF ∴∠ADC =90°， ∴∠ACD +∠CAD =90°， ∵OC =OA ，∴∠ACO =∠CAO ， B A l C D E F O 图4 G A B C O D E F 图3 第24题图
中国古典舞旋转的种类 中国古典舞旋转的种类 中国古典舞是吸收了戏曲、武术、芭蕾的精华，并将三者加以结合发展，逐步形成的符合中华民族审美特征，具有强烈时代性的舞 种体系。“旋转”是古典舞训练体系中技术技巧的重要组成部分， 可以说没有一个舞种能够脱离转的动作。当今，中国古典舞中的旋 转能力，已经成为了评价舞者身体能力的重要标准之一，同时也是 古典舞特性和充满魅力的特质所在。因此一套科学的训练方法就显 得尤为重要。 (一)旋转的种类： 在舞蹈中，旋转是指人体围绕一个点或者一个轴进行的圆周运动。 构成舞蹈旋转技巧的三大要素是舞姿、动力和重心轴;中国古典 舞旋转技巧丰富多彩、变化多端，大致可分为直立转、舞姿转、复 合转三种类型。 其中直立转为基础，舞姿转为核心重点，复合转为高难技巧。它们其内部是环环相扣、紧密相连的。 (二)旋转的特点： 中国古典舞旋转的主要特点是在运动的过程中身体所呈现出的不同轴面或者说是身体在空间中发生扭转、交错的关系，是中国古典 舞旋转的独具的风格特征。同时中国古典舞也是画圆的艺术，旋转 连接转换多在三圆(平圆、立圆、8字圆)中完成。 其一以“拧倾”为核心的.曲线造型是中国古典舞旋转的基本体态，也是中国古典舞旋转的基本特点。中国古典舞基训中的旋转， 除了有直体旋转之外，很大的特点是身体形态在拧倾旋转的舞姿造 型上的转，特别是“倾”的平衡重心上的转，是在上下身成子午相 的基础上进行立体构图塑造形象的。所以动作显出婉转中的修长，
急带腾空中的延续，以及旋转螺形的变化，如反掖腿仰胸转，后退侧身转。 其二民族舞姿的运用使中国古典舞旋转技巧的复合型与流动性加强，进一步增大了舞蹈的空间变化。比如有由下往上的转或由上往下的转，还有在转的过程中各种舞姿的复合和流动的特点。
一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE． (1)求证：DE⊥AG； (2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形 ，如图2． ①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度) ②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由． 【答案】（1）DE⊥AG （2）①当∠为直角时，α=30°或150°.②315° 【解析】 分析：（1）延长ED交AG于点H，证明≌，根据等量代换证明结论；（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到，分两种情况求出的度数； （3）根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时的度数． 详解：如图1，延长ED交AG于点H， 点O是正方形ABCD两对角线的交点， ， ， 在和中，
， ≌， ， ， ， ， 即； 在旋转过程中，成为直角有两种情况： Ⅰ由增大到过程中，当时， ， 在中，sin∠AGO=， ， ， ， ， 即； Ⅱ由增大到过程中，当时， 同理可求， ． 综上所述，当时，或． 如图3，
当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大， 正方形ABCD的边长为1， ， ， ， ， ， ， 此时． 点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想. 2．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D 从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE． （1）求证：△CDE是等边三角形； （2）如图2，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）存在 【解析】 试题分析：（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论； （2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到 C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y =ax 2+bx +c 与x 轴相交于A ，B 两点，顶点为D （0，4），AB =42，设点F （m ，0）是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180°，得到新的抛物线C ′． （1）求抛物线C 的函数表达式； （2）若抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． （3）如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线C ′上的对应点P ′，设M 是C 上的动点，N 是C ′上的动点，试探究四边形PMP ′N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 142 y x =-+；（2）2＜m ＜23）m =6或m 173． 【解析】 试题分析：（1）由题意抛物线的顶点C （0，4），A （2，0），设抛物线的解析式为 24y ax =+，把A （220）代入可得a =1 2 - ，由此即可解决问题； （2）由题意抛物线C ′的顶点坐标为（2m ，﹣4），设抛物线C ′的解析式为 ()2142y x m =--，由()22142 14 2y x y x m ?=-+????=--??，消去y 得到222280x mx m -+-=，由题 意，抛物线C ′与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，则有() 222(4280 20280m m m ?-->?? >??->?? ， 解不等式组即可解决问题； （3）情形1，四边形PMP ′N 能成为正方形．作PE ⊥x 轴于E ，MH ⊥x 轴于H ．由题意易知P （2，2），当△PFM 是等腰直角三角形时，四边形PMP ′N 是正方形，推出PF =FM ，∠PFM =90°，易证△PFE ≌△FMH ，可得PE =FH =2，EF =HM =2﹣m ，可得M （m +2，m ﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP ′N 是正方形，同法可得
中考常考题型 一）正三角形类型 在正Δ ABC 中，P为Δ ABC 内一点，将Δ ABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC 重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（1-1-b）中的一个Δ P'CP中，此时Δ P'AP 也为正三角形。 例 1. 如图：（1-1）：设P是等边Δ ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠ APB 的度数是____ .
二）正方形类型 在正方形ABCD 中，P为正方形ABCD 内一点，将Δ ABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC 三条线段集中于图（2-1-b）中的Δ CPP'中，此时Δ BPP' 为等腰直角三角形。 例 2 . 如图（2-1）：P是正方形ABCD 内一点，点P到正方形的三个顶点A、 B、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD 面积。
（三）等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形Δ ABC 中，∠C=Rt∠ , P为Δ ABC 内一点，将Δ APC绕 C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个Δ P' CP为等腰直角三角形。
例 3．如图，在Δ ABC 中，∠ ACB =900，BC=AC ，P 为Δ ABC 内一点，且 PA=3， PB=1，PC=2。求∠ BPC 的度数。 平移、旋转和翻折是几何变换中的三种基本变换。 所谓几何变换就是根 据确定的法则，对给定的图形 （或其一部分 ）施行某种位置变化， 然后在 新的图形中分析有关图形之间的关系．这类实体的特点是：结论开放， 注重考查学生的猜想、探索能力；便于与其它知识相联系，解题灵活多 变，能够考察学生分析问题和解决问题的能力．在这一理念的引导下， 近几年中考加大了这方面的考察力度，特别是 2006 年中考，这一部分 的分值比前两年大幅度提高。
图形的旋转 一选择题： 1.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是( ) A.34° B.36° C.38° D.40° 2.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=（） A．10° B．20° C．25° D．30° 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（） A.（0，0） B.（1，0） C.（1，﹣1） D.（2.5，0.5） 4.在右图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( ) A.点A B.点B C.点C D.点D 5.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( ) A. B. C.－1 D.
6.如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD=45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为（） A. B. C. D. 7.如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0 中考数学压轴题四大类型 一、函数图像中的存在性问题 （1）动点与相似三角形问题 例题1： 如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标． （2）动点与等腰三角形问题 例题2： 如图，在矩形ABCD 中，AB =m （m 是大于0的常数），BC =8，E 为线段BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE =x ，BF =y ． （1）求y 关于x 的函数关系式； （2）若m =8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12 y m =，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ A B C D E F （3）动点与直角三角形问题 例题3： 在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数 2y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3）， 顶点为P 。 （1）求二次函数的解析式及点P 的坐标； （2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三 角形是直角三角形， 求点Q 的坐标。 （4）动点与平行四边形问题 例题4： 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式 （5）动点与梯形问题 例题5： 如图13，二次函数)0(2 <++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点， 与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为4 5 。 （1）求该二次函数的关系式； 1 2 3 4 5 6 7 0 -1-2-3-4x y 1 2 3 4 5 6 -1-2-3-4 A B x y D C A O B E C B D C B D E B C D B C D B 如何短时间突破数学压轴题 还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。 个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。 一、旋转： 纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模 型和一些解题技巧。 旋转模型： 1、三垂直全等模型 三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。 B B D A E 2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图： A A A C E E B D A A C E C D A A E E E D A C D B C D D ∽ ∽ P G N M A H M O N 2 2 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转 180°) (2) 等腰直角三角形(旋转 90°) D F A A E C B C F' A' D' (3) 等边三角形旋转(旋转 60°) (4) 正方形旋转(旋转 90°) E A A D F A D F B C B C E F B C E 4、半角模型 半角模型所有结论：在正方形 ABCD 中，已知 E 、F 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足 ∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线 BD 交于点 M 、N .求证： A D D F F B E C G B E C (1) BE +DF =EF ； (2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2； (6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为 1： (由△AMN 与△AEF 的高之比 AO ： AH =AO ：AB =1： 而得到)； (7) S △AMN =S 四边形 MNFE ； (8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ； A D E B C 试说明沉淀有哪几种类型 1. 试说明沉淀有哪几种类型?各有何特点?并讨论各种类型的内在联系与区别，各 适用在哪些场合? ? 自由沉淀：离散颗粒、在沉淀过程中沉速不变（ 沉砂池、初沉池前期） ? 絮凝沉淀：絮凝性颗粒，在沉淀过程中沉速增加（初沉池后期、二沉池前期、 给水混凝沉淀） ? 拥挤沉淀：颗粒浓度大，相互间发生干扰，分层（高浊水、二沉池、污泥浓缩 池） ? 压缩沉淀：颗粒间相互挤压，下层颗粒间的水在上层颗粒的重力下挤出，污泥 得到浓缩。 2. 设置沉砂池的目的和作用是什么？曝气沉砂池的工作原理与平流式沉砂池有何 区别? ? 沉砂池的作用是从污水中去除砂子、煤渣等比重较大的颗粒，以免这些杂质影 响后续处理构筑物和设备的正常运行。沉砂池的工作原理是以重力分离为基础，即将进入沉砂池的污水流速控制在只能使比重大的无机颗粒下沉，而有机悬浮颗粒则随水流带走。 ? 平流式沉砂池是最常用的一种型式，它的截留效果好，工作稳定，构造亦较简 单。池的上部，实际是一个加宽了的明渠，两端设有闸门以控制水流。曝气沉砂池是一个长型渠道，沿渠道壁一侧的整个长度上，距池底约60～90Cm 处设置曝气装置，整个池内水流产生螺旋状前进的流动形式。由于曝气以及水流的螺旋旋转作用，污水中悬浮颗粒相互碰撞、摩擦、并受到气泡上升时的冲刷作用，使粘附在砂粒上的有机污染物得以去除，沉于池底的砂粒较为纯净。有机物含量只有5%左右的砂粒，长期搁置也不至于腐化。 3. 水的沉淀法处理的基本原理是什么?试分析球形颗粒的静水自由沉降(或上浮) 的基本规律，影响沉淀或上浮的因素有哪些? ? 斯托克斯定律 2 18gd u l p μ ρρ-= ? 当ρs 大于ρL 时，颗粒下沉；相等时，颗粒呈悬浮状态，这种颗粒不能用沉中考数学压轴题几大类型
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