中考数学压轴题四大类型
一、函数图像中的存在性问题
（ 1）动点与相似三角形问题
例题 1：
如图，抛物线经过三点．
（ 1）求出抛物线的解析式；
y （ 2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，
M为顶点的三角形与相似若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，
请说明理由；O B 14 Ax （ 3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐
标． 2 C
（2）动点与等腰三角形问题
例题 2：
如图，在矩形ABCD中，AB=m（ m是大于0的常数），BC=8，E为
线
段BC上的动点（不与 B、C重合）．连结 DE，作 EF⊥DE，EF与
射线 BA交于点 F，设 CE=x， BF=y．
（ 1）求y关于x的函数关系式；
（ 2）若=8，求
x 为何值时，
y
的值最大，最大值是多少
m （ 3）若y
12
，要使△ DEF为等腰三角形， m的值应为多少
m
A D F
B E C
（ 3）动点与直角三角形问题
例题 3：
在 直 角 坐 标 平 面 内 ， 为 原 点 ， 二 次 函 数
y
2
6
yx bx c
的图像经过 A （
-1
3
），
， ）和点 B （
，
顶点为 P 。
5
4
（1）求二次函数的解析式及点 P 的坐标；
B 3 （2）如果点 Q 是 x 轴上一点，以点 A 、 P 、 Q 为顶点的三
2 角形是直角三角形，
1
求点 Q 的坐标。
A
0 1
-4 -3 -2 -1 -1 -2
-3 （ 4）动点与平行四边形问题
-4
例题 4：
如图，抛物线 yx
2
2x 3 与 x 轴相交于 A 、B
两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D . （1）直接写出 A 、 B 、 C 三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接 BC ，与抛物线的对称轴交于点
E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，
过点 P 作 PF ∥ DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ； ①用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 PEDF
为平行四边形
②设 △BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式
2 3 4 5 6 7
x
y
D
C
A
O B x
（ 5）动点与梯形问题
例题 5：
如图 13，二次函数 y x 2 px q( p 0) 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C （ 0， -1 ）， ABC 的面积为 5
。
4
（ 1）求该二次函数的关系式；
（ 2）过 y 轴上的一点 M （ 0，m ）作 y 轴上午垂线，若该垂线与
ABC 的外接圆有公共点，
求 m 的取值范围；
（ 3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形 ABCD 为直角梯形若存在， 求出点 D
的坐标；若不存在，请说明理由。
（ 6）动点与面积问题
例题 6：
在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ 3， BC ＝ 4，CD 是斜边 AB 上的高，点 E 在斜边 AB 上，过点 E 作直线与△ ABC 的直角边相交于点 F ，设 AE ＝x ，△ AEF 的面积为 y ．
（ 1）求线段 AD 的长；
（ 2）若 EF ⊥ AB ，当点 E 在线段 AB 上移动时，
①求 y 与 x 的函数关系式（写出自变量
x 的取值范围）
②当 x 取何值时， y 有最大值并求其最大值；
（3）若 F 在直角边 AC 上（点 F 与 A 、 C 两点均不重合） ，点 E 在斜边 AB 上移动，试问：是
否存在直线 EF 将△ 的周长和面积同时平分若存在直线 ，求出 x 的值；若不存在直线
ABC
EF EF ，请说明理由．
（ 7）动点与相切问题
y
例题 7：
E
如图，已知射线
与 x 轴和 y 轴分别交于点
D (3，0) 和点 E(0，4) ．动
DE
点 C 从点 M (5，0) 出发，以 1 个单位长度 / 秒的速度沿 x 轴向左作匀速运
P
动，与此同时，动点
P 从点 D 出发，也以 1 个单位长度 / 秒的速度沿射线
O
A C BM
x
D
DE 的方向作匀速运动．设运动时间为
t 秒．
（1）请用含 t 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标；
（2）以点 C 为圆心、
1
t 个单位长度为半径的 ⊙C 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左
侧），连接 PA 、 PB ．
2
①当 ⊙C 与射线 DE 有公共点时，求
t 的取值范围； ②当 △PAB 为等腰三角形时，求
t 的值．
（ 8）动点与线段和差问题
例题 8：
如图所示，已知点， ，，且，，抛物线经过 A 、B 、C 三点，点是抛物线与直线
y
的一个交点． C
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点，求的最小值；
（3）若动点在直线上方的抛物线上运动，求的边
AP 上的高的最大值．
A
B
O
x
二、图形运动的函数关系问题
（ 9）比例线段产生的函数关系
例题 9：
如图，正方形 ABCD
中，
AB =1，点 P 是射线 DA 上的一动点， DE ⊥
CP ,
垂足为 E ，
EF ⊥ BE 与射线 DC 交于点 F ． D
F
C
D
C
1 ）若点 P 在边DA 上（与点 D A 不
E
（ 、点
P
重合）．
①求证：△ DEF ∽△ CEB ；②设
AP =x ，
DF =y ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出函
A
B
A
B
数定义域；
（2）当 S BEC
4S EFC 时，求 AP 的长．
（ 10）面积公式产生的函数关系
例题 10：
如图，已知直线 l 1 : y
2 x 8 与直线 l 2 : y 2x 16 相
y y
l 2
3 3
l 1 y
交于点 C ， l 1、 l 2 分别交 x 轴于 A 、 B 两点．矩形 DEFG
的顶点 D 、E 分别在直线 l 1、 l 2 上，顶点 F 、G 都在 x 轴
E
D
C
上，且点 G 与点 B 重合．
（ 1）求 △ ABC 的面积；
（ 2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；
（ 3）若矩形 DEFG 从原点出发， 沿 x 轴的反方向以每秒 AO
F （
G ）B x
1 个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 ≤ t ≤ 12)
秒，矩形 DEFG 与 △ ABC 重叠部分的面积为 S ，求 S 关 于 t 的函数关系式，并写出相应的
t 的取值范围．
三、图形运动中的计算说理问题
（ 11）代数计算以及通过代数计算进行说理问题
例题 11：
如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点 A（3，3），一次函数的图像经过点
A 和点（ 6， 0）．
y B
（ 1）求二次函数与一次函数的解析式；C
（ 2）如果一次函数图像与
y
相交于点，点
D
在线段
AC DB
C
上，与 y 轴平行的直线 DE与二次函数图像相交于点E，
AB ∠ CDO=∠OED，求点 D的坐
标．
EB
O Bx
（ 12）几何证明以及通过几何计算进行说理问题
例题 12：
如图，已知 Sin ∠ABC=1
，⊙ O的半径为2，圆心O在射
A
F
3
线BC上，⊙ O与射线 BA相交于 E、 F 两点， EF=2 3，（1）求BO的长；
（2）点P在射线BC上，以点P为圆心作圆，使
得⊙ P 同时与⊙ O和射线 BA相切，求所
有满足条件的⊙ P 的半径.
E
B D
O G C
第25 题
四、图形的变化与代数综合问题（ 13）图形的平移
例题 13：
如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为 (4，0) ，以点 O1为圆y
心，8 为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相l2
O O
60°
1
交成 60°的角，且交y轴于
C 点，以点O2(13 5)
为圆心的圆与
x
轴相
A
O
B D
x ，
切于点 D ．
（1）求直线l的解析式；
C （2）将⊙O2以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左平移，当⊙O2第一次与
⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．
（ 14）图形的翻折
例题 14：
（ 1）操作发现
如图，矩形ABCD中， E是 AD的中点，将△ AB E沿 BE折叠后得到△ GBE，且点 G在举行ABCD内部．小明将BG延长交 DC于点 F，认为 GF=DF，你同意吗说明理由．
（ 2）问题解决
保持（ 1）中的条件不变，若DC=2DF，求AD
的值；AB
（ 3）类比探求
保持（ 1）中条件不变，若DC=nDF，求AD
的值．AB
（ 15）图形的旋转
例题 15：
如图 1，已知正方形ABCD的边 CD在正方形 DEFG的边 DE上，连接 AE、
GC。
(1)试猜想 AE与 GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。
(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和
GC。你认为(1)中的结论是否还成立若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。
（ 17）四边形的问题
例题 17：
图8
如图 8，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y＝－ x2＋ bx＋ c 过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n) 在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E，点 E 关于 y 轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求 m、 n 的值 .
（ 18）圆的问题
例题 18：
在平面直角坐标系中，抛物线y x22x 3与 x 轴交于 A、 B 两点，（点 A 在点 B 左
侧） . 与
y 轴交于点，顶点为，直线与
x
轴交于点 .
C D CD E
（ 1）请你画出此抛物线，并求A、B、 C、 D四点的坐标.
（ 2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与 A、 B两点重合），请你求出 F 点坐标.
（ 3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△ PBF的面积最大，求此时P 点坐标及△ PBF的最大面积.
（ 4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G、 H两点，以 GH为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径.