数值计算方法试题一
一、填空题(每空1分,共17分)
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。
3、已知是三次样条函数,则
=( ),=(),=()。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则
( ),( ),当时( )。
5、设和节点则
和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。
8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是
阶方法。
10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。
二、二、选择题(每题2分)
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4)
2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1),(2),(3),(4),
(1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。
(1), (2), (3), (4)
三、1、
2、(15
(1)(1) 试用余项估计其误差。
(2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。
四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。
2、(8分)已知方程组,其中
,
(1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
(2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。
五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。
2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足
,,,,
六、(下列2题任选一题,4分)
1、1、数值积分公式形如
(1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。
2、2、用二步法
求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题:(共16分,每小题2分)
1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。()
2、当时,Newton-cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
()
3、形如的高斯(Gauss)型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
()
4、矩阵的2-范数=9。()
5、设,则对任意实数,方程组都是病态的。(用)()
6、设,,且有(单位阵),则有。()
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的,且唯一。()
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解:
,则的值分别为2,2。()
二、填空题:(共20分,每小题2分)
1、设,则均差
__________,__________。
2、设函数于区间上有足够阶连续导数,为的一个重零点,Newton
迭代公式的收敛阶至少是 __________阶。
3、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量,矩阵,则
__________,__________。
5、为使两点的数值求积公式:具有最高的代数精确度,则其求积
基点应为__________,__________。
6、设,,则(谱半径)__________。(此处填小于、大于、等于)
7、设,则__________。
三、简答题:(9分)
1、1、方程在区间内有唯一根,若用迭代公式:,则其产生
的序列是否收敛于?说明理由。
2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选
主元的技术?
3、3、设,试选择较好的算法计算函数值。
四、(10分)已知数值积分公式为:
,试确定积分公式中的参数,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。
五、(8分)已知求的迭代公式为:
证明:对一切,且序列是单调递减的,
从而迭代过程收敛。
六、(9分)数值求积公式是否为插值型求积公式?为什么?其代数
精度是多少?
七、(9分)设线性代数方程组中系数矩阵非奇异,为精确解,,若向
量是的一个近似解,残向量,证明估计式:(假定所用矩阵范数与向量范数相容)。
八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数,试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式,并导出其余
是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数,为高斯型求积公式,证明:
(1)(1)当时,
(2)
(3)
十、(选做题8分)
若,
互异,求的值,其中。
数值计算方法试题三
一、(24分)填空题
(1)(1) (2分)改变函数 ()的形式,使计算结果较
精确
。
(2)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的
根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。
(3)(3) (2分)设,则
(4)(4) (3分)设是3次样条函数,则
a= , b= , c= 。
(5)(5) (3分)若用复化梯形公式计算,要求误差不
超过,利用余项公式估计,至少用个求积节点。
(6)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭
代公式
,迭代矩阵为,
此迭代法是否收敛。
(7)(7) (4分)设,则,。
(8)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题,为保证
算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为
二. (64分)
(1)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的
迭代公式,并证明其收敛性。
(2)(2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值
法计算的近似值,并利用余项估计误差。
(3)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼
近多项式。
(4)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似
值,要求误差限为。
(5)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
(6)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(7)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。
三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(1)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)
满足:
,,,,
(2)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求
积公式,并求出其代数精度:
(3)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
离小于,取特征向量的初始近似值为。
(4)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式,使其精度尽量高,其中, , i=0,1,…,N,
(5)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边
值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三
一、(24分)填空题
(9)(1) (2分)改变函数 ()的形式,使计算结果较
精确
。
(10)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的
根,要求精确到第3位小数,则需要对分次。
(11)(3) (2分)设,则
(12)(4) (3分)设是3次样条函数,则
a= , b= , c= 。
(13)(5) (3分)若用复化梯形公式计算,要求误差不
超过,利用余项公式估计,至少用个求积节点。
(14)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭
代公式
,迭代矩阵为,
此迭代法是否收敛。
(15)(7) (4分)设,则,。
(16)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题,为保证
算法的绝对稳定,则步长h的取值范围为
二. (64分)
(8)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的
迭代公式,并证明其收敛性。
(9)(2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值
法计算的近似值,并利用余项估计误差。
(10)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼
近多项式。
(11)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似
值,要求误差限为。
(12)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组:
(13)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(14)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题:
用改进的Euler方法计算的近似值,取步长。
三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题)
(6)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)
满足:
,,,,
(7)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求
积公式,并求出其代数精度:
(8)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其
相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距
离小于,取特征向量的初始近似值为。
(9)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式,使其精度尽量高,其中, , i=0,1,…,N,
(10)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边
值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案
一、一、填空题(每空1分,共17分)
1、( 10 )
2、()
3、=( 3 ),=( 3 ),=( 1 )
4、( 1 )、 ( )、( )
5、 6 、
6、 9
7、 0 8、9、 2 10、()、()
二、二、选择题(每题2分)
1、((2))
2、((1))
3、((1))
4、((3))
三、1、(8分)解:
解方程组
其中
解得:所以,
2、(15分)解:
四、1、(15分)解:(1),,故收敛;
(2),,故收敛;
(3),,故发散。
选择(1):,,,,,
,
Steffensen迭代:
计算结果:,,有加速效果。
2、(8分)解:Jacobi迭代法:
Gauss-Seidel迭代法:
,
SOR迭代法:
五、1、(15分)解:改进的欧拉法:
所以;
经典的四阶龙格—库塔法:
,所以。
2、(8分)解:设为满足条件的Hermite插值多项式,
则代入条件得:
六、(下列2题任选一题,4分)
1、解:将分布代入公式得:
构造Hermite插值多项式满足其中
则有:,
2、解:
所以
主项:该方法是二阶的。
数值计算方法试题二答案
一、一、判断题:(共10分,每小题2分)
1、(Ⅹ)
2、(∨)
3、(Ⅹ)
4、(∨)
5、(Ⅹ)
6、(∨)
7、(Ⅹ)
8、(Ⅹ)
二、二、填空题:(共10分,每小题2分)
1、、0
2、__二___
3、__二___
4、_16 、90__
5、
6、 =
7、0
三、三、简答题:(15分)
1、1、解:迭代函数为
2、2、答:Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的
主元素全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即
使,则消元过程将无法进行;其次,即使主元素不为0,但若
主元素的绝对值很小,用它作除数,将使该步消元的乘数绝对
值很大,势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组解的精
确程度受到严重影响,采用选主元的技术,可避免主元素=0或
很小的情况发生,从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。
3、3、解:
四、四、解:显然精确成立;
时,;
时,;
时,;
时,;
所以,其代数精确度为3。
五、五、证明:
故对一切。
又所以,即序列是单调递减有下界,
从而迭代过程收敛。
六、六、解:是。因为在基点1、2处的插值多项式为
。其代数精度为1。
七、七、证明:由题意知:
又
所以。
八、解:设
所以
由得:
所以
令,作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:
反复利用罗尔定理可得:,
所以
九、九、证明:形如的高斯(Gauss)型求积公式具有
最高代数精度2n+1次,它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
1)
2)因为是n次多项式,且有
所以()
3)取,代入求积公式:因为是2n次多项式,
所以
故结论成立。
十、十、解:
数值计算方法试题三答案
一.(24分)
(1) (2分) (2) (2分) 10
(3) (2分) (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477
(6) (6分) 收敛
(7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<
二. (64分)
(1) (6分),n=0,1,2,…
∴ 对任意的初值,迭代公式都收敛。
(2) (12分) 用Newton插值方法:差分表:
10+(115-100)(115-100)(115-121)
=
(3) (10分)设
,,,,,
, ,
=+
(4) (10分)
或利用余项:
,,
(5) (10分)
(6) (8分) ,,
若用Householder变换,则:
最小二乘解:,T.
(7) (8分)
,
三. (12分)
(1) 差分表:
其他方法:设
令,,求出a和b
(2) 取f(x)=1,x,令公式准确成立,得:
,,
f(x)=x2时,公式左右=1/4; f(x)=x3时,公式左=1/5, 公式右=5/24∴ 公式的代数精度=2
(3) ①, ,
②, , ,
③, , ,
∴,
(4) 局部截断误差=
令,得,,
计算公式为,i=0,1,2,…
( 局部截断误差= )
(5) 记,,,,,
,i=0..N
, i=1..N-1
即, i=1..N-1 (1)
,与(1)取i=1的方程联立消去y2得
(2)
,与(1)取i=N-1的方程联立消去y N得
(3)
所求三对角方程组:方程(2),方程组(1)(i=1..N-2),方程(3)
【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
数值分析上机实验报告 选题:曲线拟合的最小二乘法 指导老师: 专业: 学号: 姓名:
课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性,给出其近似表达式的问题,在生产实践和科学实验中大量存在,通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系,试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合; 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?; 3、打印出拟合函数()t ?,并打印出()j t ?与()j t y 的误差,12,,2,1 =j ; 4、另外选取一个近似表达式,尝试拟合效果的比较; 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法; 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组; 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…,n ),设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的,取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…,m )
则根据最小二乘法原理,可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…,m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组,则可以得到解m a a a ,,,10 ,因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合:实际工作中,变量间未必都有线性关系,如服药后血药浓度与时间的关系;疾病疗效与疗程长短的关系;毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据,并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计,在进行曲线的拟合时,为了进行比较,在程序设计中,直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ,并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制,最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差,进行拟合效果的比较。
注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??,233x ?? ??=?? ???? ,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。(10分) 四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组:
注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八.就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分)
现代数值计算方法习题答案 习 题 一 1、解:根据绝对误差限不超过末位数的半个单位,相对误差限为绝对误差限除以 有效数字本身,有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此 49×10 -2 :E = 0.005; r E = 0.0102; 2位有效数字. 0.0490 :E = 0.00005;r E = 0.00102; 3位有效数字. 490.00 :E = 0.005; r E = 0.0000102;5位有效数字. 2、解: 7 22 = 3.1428 …… , π = 3.1415 …… , 取它们的相同部分3.14,故有3位有效数字. E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ;r E = 14 .3E = 14 .30013.0 = 0.00041. 3、解:101的近似值的首位非0数字1α = 1,因此有 |)(*x E r |) 1(10 1 21--??=n < = 2 1× 10 -4 , 解之得n > = 5,所以 n = 5 . 4、证:) ()(1)()(1)(* 1 1* * 1 1 * * x x x n x E x n x E n n n -= ≈ -- )(11)()(1) ()(* * * * * 1 1 ** * * x E n x x x n x x x x n x x E x E r n n n n n r = -= -≈ = - 5、解:(1)因为=20 4.4721…… , 又=)(*x E |*x x -| = |47.420-| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x 4.47. (2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有 |)(*x E r |) 1(10 4 21--??= n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以,=*x 4.47. 6、解:设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =,由题设知x 的近似值为*x = 10 cm . 记*y 为y 的近似值,则
数值计算方法试题一 一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。 3、已知是三次样条函数,则 =( ),=(),=()。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则 ( ),( ),当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。 8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。 二、二、选择题(每题2分) 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1),(2),(3),(4), (1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、(15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 (2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组,其中 , (1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、(下列2题任选一题,4分) 1、1、数值积分公式形如 (1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。()
第一章 一、题目 设∑ =-= N N j S 2 j 2 1 1,其精确值为)11 123(21+--N N 。 1) 编制按从大到小的顺序1 1 13112122 2-+??+-+-=N S N ,计算S N 的通用程序。 2) 编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ,计算S N 的通用程序。 3) 按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。(编制程序时用单精度) 4) 通过本次上机题,你明白了什么? 二、通用程序 N=input('Please Input an N (N>1):'); AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2); Sn1=single(0); for a=2:N; Sn1=Sn1+1/(a^2-1); end Sn2=single(0); for a=2:N; Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1); end fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N); fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue); fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1); fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2); disp('____________________________________________________')
三、结果 从结果可以看出有效位数是6位。 感想:可以得出,算法对误差的传播有一定的影响,在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象,容易产生较大的误差,求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。
期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
研硕16《化工数值方法及Matlab应用》试题 班级姓名成绩 1.(15分)数值计算方法的主要研究对象有哪些?其常用基本算法主要包括哪三个方面?举例说明Matlab在解决化工数值计算问题方面有什么样实用价值?答:(1)数值计算方法的主要研究对象为非线性方程求根,插值法、曲线拟合、数值积分、常微分方程(组)、初值问题求解、线性和非线性方程组求解。(2)基本算法包括①离散化方法:用差商代替导数、差分代替微分等,将连续的数学问题转化为离散问题。②逼近方法:用简单函数的值近似代替求解困难或形式未知的复杂函数的值。③迭代法:用一个固定公式反复计算,对较为粗糙的根的近似值进行加工直到满足精度要求的方法。 (3)Matlab在解决化工数值计算问题的实用价值有:数值计算和符号计算功能;图形功能;MATLAB语言;功能性和学科性工具箱。 2.(10分)数值计算中的“曲线拟合”,一般有哪些方法?请至少指出四种,并简述各自的基本特点。 答:(1)拉格朗日插值:,优点在于不要求数据点事等间隔的,缺点是数据点不易过多,当数据比较多时,差值函数有偏离原函数的风险; (2)牛顿插值法:它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点,而且可以节省乘、除法运算次数。同时,在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念,又与数值计算的其他方面有着密切的关系。
(3)牛顿迭代法:牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛,但是可通过一些方法变成超线性收敛。 (4)区间二分法:优点:算法简单,容易理解,且总是收敛的。缺点:收敛速度太慢,浪费时间,二分法不能求复根跟偶数重根。 (5)最小二乘法:通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据,并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 3. (15分)在298K 下,化学反应 2OF 2=O 2+2F 2 的平衡常数为0.410 atm ,如在298K 下将OF 2 通入容器,当t=0 时为1 atm ,问最后总压是多少?取计算精度为10-3 。 解:首先写出求解问题的数学方程式。 假设气体是理想气体,由反应的化学计量式可知, 22222F O OF += 设氧的分压为p ,平衡时有p 21- p p 2。 平衡时,有()410.02142 3=-p p 整理得 0410.064.1640.1423=-+-p p p 函数关系为 ()0410.064.1640.1423=-+-=p p p p f
数值计算方法I 上机实验考试题(两题任选一题) 1.小型火箭初始质量为900千克,其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉,由此产生30000牛顿的恒定推力.当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中,空气阻力与速度平方成正比,比例系数为0.4(千克/米).重力加速度取9.8米/秒2. A. 建立火箭升空过程的数学模型(微分方程); B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度,及火箭到达最高点的时间和高度. 2.小型火箭初始质量为1200千克,其中包括900千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉,由此产生40000牛顿的恒定推力.当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中,空气阻力与速度平方成正比,比例系数记作k ,火箭升空过程的数学模型为 0)0(,0,01222==≤≤-+?? ? ??-==t dt dx x t t mg T dt dx k dt x d m 其中)(t x 为火箭在时刻t 的高度,m =1200-15t 为火箭在时刻t 的质量,T (=30000牛顿)为推力,g (=9.8米/秒2)为重力加速度, t 1 (=900/15=60秒)为引擎关闭时刻. 今测得一组数据如下(t ~时间(秒),x ~高度(米),v ~速度(米/秒)): 现有两种估计比例系数k 的方法: 1.用每一个数据(t,x,v )计算一个k 的估计值(共11个),再用它们来估计k 。 2.用这组数据拟合一个k . 请你分别用这两种方法给出k 的估计值,对方法进行评价,并且回答,能否认为空气阻力系数k=0.5(说明理由).
数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2 解: ①Newton 迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分
②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:? ??=1 3A ??? 22,??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收 敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)(数值分析习题与答案
第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1) (2)
解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用:式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因
,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限 ,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8), 令 因 得 3. 若,求和.
解:由均差与导数关系 于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表
《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学 实验名称数值il?算方法》上机实验课程名称数值计算方法专业班级:电力实08学生姓名:李超然学号:200801001008 成绩: 指导教师:郝育黔老师实验日期:2010年04月华北电力大学实验报告数值计算方法上机实验报吿一. 各算法的算法原理及计算机程序框图1、牛顿法求解非线性方程 *对于非线性方程,若已知根的一个近似值,将在处展开成一阶 xxfx ()0, fx ()xkk 泰勒公式 "f 0 / 2 八八,fxfxfxxxxx 0 0 0 0 0 kkkk2! 忽略高次项,有 ,fxfxfxxx 0 ()()(),,, kkk 右端是直线方程,用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的 **根代入,即fx ()0, X ,* fxfxxx 0 0 0 0, ,, kkk fx 0 fx 0 0,
解出 fX 0 *k XX,, k' fx 0 k 水将右端取为,则是比更接近于的近似值,即xxxxk, Ik, Ik fx ()k 八XX, Ikk* fx()k 这就是牛顿迭代公式。 ,2,计算机程序框图:,见, ,3,输入变量、输出变量说明: X输入变量:迭代初值,迭代精度,迭代最大次数,\0 输出变量:当前迭代次数,当前迭代值xkl ,4,具体算例及求解结果: 2/16 华北电力大学实验报吿 开始 读入 l>k /fx()0?,0 fx 0 Oxx,,01* fx ()0 XX,,,?10 kk, ,1,kN, ?xx, 10 输出迭代输出X输出奇异标志1失败标志
,3,输入变量、输出变量说明: 结束 例:导出计算的牛顿迭代公式,并il ?算。(课本P39例2-16) 115cc (0), 求解结果: 10. 750000 10.723837 10. 723805 10. 723805 2、列主元素消去法求解线性方程组,1,算法原理: 高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换,即用一个不为零的数乘 -个 方程后加只另一个方程,使方程组变成同解的上三角方程组,然后再自下而上 对上三角 3/16 华北电力大学实验报告方程组求解。 列选主元是当高斯消元到第步时,从列的以下(包括)的各元素中选出绝 aakkkkkk 对值最大的,然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的 两行(包括常ekk 数项),只相当于两个方程的位置交换了,因此,列选主元不影响求解的结 ,2,计算机程序框图:,见下页, 输入变量:系数矩阵元素,常向量元素baiji 输出变量:解向量元素bbb,,12n
《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度 为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式1999 2001-
实验报告一 题目:非线性方程求解 摘要:非线性方程的解析解通常很难给出,因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言:(目的和意义) 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理: 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法:二分法和Newton法。 对于二分法,其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x),其在[a,b]上连续,f(a)f(b)<0,且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*,取区间中点c,若,则c恰为其根,否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个,从而得出新区间,仍称为[a,b]。重复运行计算,直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0,然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k},这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快,但是当x0选择不好时,可能会发散,因此初值的选取很重要。另外,若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数,这就是改进的Newton法,当求解已知重数的方程的根时,在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计: 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式,如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可,下面给出主程序。 二分法源程序: clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序:clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
复习题(一) 一、填空题: 1、求方程0.5x2 101x 1 0的根,要求结果至少具有6位有效数字。已知 V10203 101.0099,贝卩两个根为x1 _____________________________ , X2 ________________________________ .(要有计算过程和结果) 4 1 0 A A 1 4 1 2、0 1 4,则A的LU分解为。 1 2 A 3、 3 5,贝卩(A) ____________ ,A __________ . 4、已知f(1)「Q f(2)「2,f(3) =3,则用抛物线(辛卜生)公式计算求 3 得1 f(x)dx -------------------- ,用三点式求得f (1) ________________ . 5、f(1) 1,f(2) 2,f(3) 1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数 为_____ ,拉格朗日插值多项式为 _________________________ . 二、单项选择题: 1、Jacobi迭代法解方程组Ax b的必要条件是( ). A. A的各阶顺序主子式不为零 B. (A) 1 C a ii 0,i 1,2, ,n D|| A 1 2、设f(x) 3x99 5x 7,均差f[1,2,22, ,299]=(). D. 3
4、三点的高斯求积公式的代数精度为 ( ). A.3 B. -3 C. 5 D.0 2 2 3 A 0 5 1 3、设 0 0 7 ,则 (A )为( ). A. 2 B. 5 C. 7
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 f (x )的三次插值多项式P 3(x ),并 求f (2)的近似值(保留四位小数). 4、 取步长h 0.2,用预估-校正法解常微分方程初值问题 y 2x 3y y (0) 1 (0 x 1) 5、 已知 A. 2 B.5 C. 3 D. 4 5、幕法的收敛速度与特征值的分布 A.有关 B.不一定 C. 无关 三、计算题: 1、用高斯-塞德尔方法解方程组 4X ! 2X 2 X 3 11 X 1 4X 2 2X 3 18 2X ! X 2 5X 3 22 (°) /c c c\T ,取 x (°,°,°),迭 四次(要求按五位有效数字计算 ). 1 2、求A 、B 使求积公式 1 f (X )dX A[f( 1) f (1)] 1 B [f (2)f (2)] 的代数精 度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求 I 21dx 1 x (保留四位小 数)。 3、已知
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 (1)用单项式基底。 (2)用Lagrange插值基底。 (3)用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解:(1)用单项式基底 设多项式为: , 所以: 所以f(x)的二次插值多项式为: (2)用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: (3) 用Newton基底: 均差表如下: xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少? 解:以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有 式中 令得 插值点个数
是奇数,故实际可采用的函数值表步长 8、,求及。 解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系: 所以有: 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明:利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可; 当时,,构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在及使得 在,,上对使用Rolle定理,存在,和使得 再依次对和使用Rolle定理,知至少存在使得 而,将代入,得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有: 确定误差限: 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk,xk+1]上有 而最值 进而得误差估计: 16、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。
数值计算方法上机实习题 1. 设?+=1 05dx x x I n n , (1) 由递推公式n I I n n 1 51+ -=-,从I 0=0.1824, 0=0.1823I 出发,计算20I ; (2) 20=0I ,20=10000I , 用n I I n n 51 5111+- =--,计算0I ; (3) 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 答:第一个算法可得出 e 0=|I 0?I 0 ?| e n =|I n ?I n ?|=5n |e 0| 易知第一个算法每一步计算都把误差放大了5倍,n 次计算后更是放大了5n 倍,可靠性低。 第二个算法可得出 e n =|I n ?I n ?| e 0=(15 )n |e n | 可以看出第二个算法每一步计算就把误差缩小5倍,n 次后缩小了5n 倍,可靠性高。
2. 求方程0210=-+x e x 的近似根,要求41105-+?<-k k x x ,并比较计算量。 (1) 在[0,1]上用二分法; 计算根与步数程序: fplot(@(x) exp(x)+10*x-2,[0,1]); grid on; syms x; f=exp(x)+10*x-2; [root,n]=EFF3(f,0,1); fprintf('root=%6.8f ,n=%d \n',root,n); 计算结果显示: root=0.09057617 ,n=11 (2) 取初值00=x ,并用迭代10 21 x k e x -=+;
(3) 加速迭代的结果; (4) 取初值00 x ,并用牛顿迭代法;
一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ,则=( ) A . B . C . D . 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足( ) A . =0, B . =0, C .=1, D . =1, 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . B . C . D . π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+=
单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则 , . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数 ,那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ,所以 在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=?
1. 设?+=1 05dx x x I n n , (1) 由递推公式n I I n n 1 51+-=-,从0I 的几个近似值出发,计算20I ; 解:易得:0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为: I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为:20I = -3.0666e+010 (2) 粗糙估计20I ,用n I I n n 51 5111+- =--,计算0I ; 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为:I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 (3) 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差;设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=,递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=,则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-,所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ,误差在缩小, 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中,考虑误差是否得到控制, 即算法是否数值稳定。 2. 求方程0210=-+x e x 的近似根,要求4 1105-+?<-k k x x ,并比较计算量。 (1) 在[0,1]上用二分法; 程序:a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;
1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2)
3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解:
5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值
6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式,拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b)
7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ,使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度;利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求
) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ,并求)2(f 的近 似值(保留四位小数)。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ,并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4,0.8]的函数表