中考数学压轴题专集二：一次函数
1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－
1
4
x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ．
（1）求点B 的坐标；
（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式．
解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4
把x ＝4代入y ＝－
1
4
x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2）
（2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5
在y ＝－
1
4
x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3
∴C （0，3），OC ＝3
过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝
EC 2
－CF 2
＝
5
2
－4
2
＝3
∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1）
设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入
得：?????b ＝3
4k ＋b ＝1 解得
?????k ＝－
1 2
b ＝3
∴直线l 的解析式为y ＝－
1
2
x ＋3
2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求点C的坐标和k的值；
（2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1
2S△ABC，求点P的坐标．
（1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H
则∠HCG＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH
又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC
∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH
在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4
设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x
解得x＝1，∴C（1，1）
∴k＝1
（2）由（1）知，CG＝1，AG＝3
∴AC2＝BC2＝12＋32＝10
∴S△ABC＝1
2AC
2＝5，S
△PBC
＝
1
2S△ABC＝
5
2
当点P在点G左侧时
S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO
∴1
2OP×4＋
1
2×4×1－
1
2OP×1＝
5
2
解得OP＝1
3，∴P1（－
1
3，0）
当点P在点G右侧时
S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO
∴1
2OP×4－
1
2×4×1－
1
2OP×1＝
5
2
解得OP＝3，∴P2（3，0）
3、如图，直线y＝－x＋6与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，S△OBC＝1
3S△OAB．
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线y＝kx－k交线段AB于E，交x轴于D，交BC的延长线于F，且S△BDE＝S△BDF，求k的值．（1）y＝3x＋6
（2）k＝3 7
提示：y＝kx－k，当x＝1时，y＝0，D（1，0）设E（a，－a＋6），则F（2－a，a－6）
a－6＝3(2－a)＋6，a＝9
2，E（
9
2，
3
2）
3
2＝9
2k－k，k＝
3
7
4、如图，直线y ＝2x ＋2分别交坐标轴于A 、B 两点，直线y ＝x ＋b （b ＜0）分别交坐标轴于C 、D 两点，两直线交于点E ，且△BCE 的面积为20．
（1）求b 的值；
（2）若在直线AB 上存在点P ，使S △P AD
＝S △PCD
，求点P 的坐标．
（1）由题意得：A （－1，0），B （0，2），C （0，－b ），D （0，b ） ∴OA ＝1，OB ＝2，OC ＝OD ＝－b ，BD ＝2－b
由
?????y ＝2x ＋2y ＝x ＋b 解得
?
????x ＝b －2y ＝2b －2 ∴E （b －2，2b －2）
∵S △BCE
＝
S △BCD
＋
S △BDE
＝20
∴1 2 (
2－b
)(
－b
)＋
1
2
(
2－b
)(
2－b
)＝20 ∴(
2－b
)(
2－2b
)＝40
∴(
1－b
)(
2－b
)＝20，b
2
－3b －18＝0 ( b ＋3 )( b －6
)＝0，b ＝6（舍去），b ＝－3 ∴b ＝－3
（2）由（1）知，D （0，－3） 当PD ∥AC 时，S △P AD
＝S △PCD
把y ＝－3代入y ＝2x ＋2，得－3＝2x ＋2，x ＝－
5
2
∴P 1（－
5
2
，－3）
当△P AD 与△PCD 共底边PD 时，设P （x ，2x ＋2） 由（1）知，AC ＝4，OD ＝3，BD ＝5 ∴S △ACD
＝6，S △ABD
＝
5
2
∵S △P AD
＝S △PCD
，∴S 四边形P ADC
＝2S △P AD
∴1 2 ×4(
2x ＋2
)＋6＝2×[
5 2
＋
1
2
×5x
] 解得x ＝5，∴P 2（5，12）
综上所述，点P 的坐标为（－
5
2
，－3）或（5，12）
5、如图，在平面直角坐标系中，点A （8，0），B （0，6），直线BC 平分∠OBA ，交x 轴于点C ，过O 点作OE ⊥BC ，垂足为E ，交AB 于点D ．
（1）求点D 的坐标；
（2）求直线BC 的解析式； （3）P 是射线BC 上一点，满足S △AOP
＝S △ADP ，求点P 的坐标．
（1）作DG ⊥y 轴于G ，DH ⊥x 轴于H
∵A （8，0），B （0，6），∴OA ＝8，OB ＝6，AB ＝
OA 2
＋OB 2
＝10
∵OD ⊥BC ，BC 平分∠OBA ，∴BD ＝BO ＝6，AD ＝AB －BD ＝4 ∴BD AB
＝
3
5
，AD AB
＝
2
5
，∴S △BOD
＝
3
5 S △AOB ，S △AOD ＝
2
5
S △AOB ∴DG ＝
3
5
OA ＝
24
5 ，DH ＝
2
5 OB ＝
12
5
∴D （
24 5
，
12 5
） （2）连接CD
∵BD ＝BO ，∠DBC ＝∠OBC ，BC ＝BC
∴△BDC ≌△BOC ，∴CD ＝OC ，∠BDC ＝∠BOC ＝90° 设OC ＝x ，则CD ＝x ，AC ＝8－x 在Rt △ACD 中，x
2＋4
2＝(
8－x
)2
解得x ＝3，∴C （3，0）
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b
∴?????b ＝63k ＋b ＝0 解得
?
????k ＝－2b ＝6 ∴直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋6
（3）①当点P 与点E 重合时
∵BD ＝BO ，BE ⊥OD ，∴OP ＝PD ∴S △AOP
＝S △ADP
作PF ⊥OA 于F ，则PF 是△ODH 的中位线
∴OF ＝
1
2
OH ＝
12 5 ，PF ＝ 1 2 DH ＝
6 5
∴P 1（12 5
，
6
5
）
②当P A ∥OD 时，S △AOP
＝S △ADP
作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥AB 于N ，则PM ＝PN 设P （x ，－2x ＋6）
∵S △AOP
＝S △ADP
，∴OA ·PF ＝AD ·PN ∴OA ·PF ＝AD ·PM ，即8(
2x －6
)＝4x 解得x ＝4，∴P 2（4，－2）
12 5，6
5）或（4，－2）
综上所述，点P的坐标为（
6、在平面直角坐标系中，已知点A （0，15），B （20，0）． （1）若点C （m ，9），且S △ABC
＝30，求m 的值； （2）若点D （12，0），在直线AB 上有两点P 、Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与△OPD 全等，求点P 的坐标．
（1）过C 作CM ∥x 轴交AB 于M
易求直线AB 的解析式为y ＝－
3
4
x ＋15 由C （m ，9），得点M 的纵坐标为9 当y ＝9时，－
3
4
x ＋15＝9，解得x ＝8
∴M （8，9），∴CM ＝|m －8| ∴S △ABC
＝S △AMC
＋
S △BMC
＝
1
2
CM ·(
y A
－y M )＋ 1
2
CM ·( y M
－y B
) ＝
1
2
CM ·OA ＝
15
2
|m －8| ∵S △ABC
＝30，∴15
2
|m －8|＝30
解得m ＝4或m ＝12
（2）①当点P 在线段AB 上时 （i ）若点P 在B 、Q 之间
当OQ ＝OD ＝12，且∠POQ ＝∠POD 时，△OPQ ≌△OPD ∵OA ＝15，OB ＝20，∴AB ＝
15
2
＋20
2
＝25
设△AOB 中AB 边上的高为h 则AB ·h ＝OA ·OB ，∴h ＝12 ∴OQ ⊥AB ，∴PD ⊥OB ∴点P 的横坐标为12 当x ＝12时，y ＝－
3
4
x ＋15＝6 ∴P 1（12，6）
（ii ）若点P 在A 、Q 之间
当PQ ＝OD ＝12，且∠OPQ ＝∠POD 时，△POQ ≌△OPD 则BP ＝OB ＝20，∴BP ：AB ＝20：25＝4：5 ∴S △POB
＝
4
5
S △AOB
作PH⊥OB于H，则S△POB＝1
2OB·PH
∴1
2OB·PH＝
4
5×
1
2OB·OA
∴PH＝4
5OA＝
4
5×15＝12
当y＝12时，－3
4x＋15＝12，解得x＝4
∴P2（4，12）
②当点P在AB的延长线上时
（i）若点Q在B、P之间，且PQ＝OD，∠OPQ＝∠POD时，△POQ≌△OPD 作OM⊥AB于M，PN⊥OB于N
则PN＝OM＝12，∴点P的纵坐标为－12
当y＝－12时，－3
4x＋15＝－12，解得x＝36
∴P3（36，－12）
（ii）若点Q在BP的延长线上或BP的反向延长线上，都不存在满足条件的P、Q两点③当点P在AB的反向延长线上时，也不存在满足条件的P、Q两点
综上所述，满足条件的点P为P1（12，6），P2（4，12），P3（36，－12）
，
7、如图，在矩形OABC 中，OA ＝8，OC ＝6，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，直线l 经过点（2，0）和（4，4），P 是直线l 上一动点，Q 是线段AB 上一动点． （1）求直线l 的解析式；
（2）若点P 在第一象限，点Q 的坐标为（8，2），△POC 的面积与△PCQ 的面积相等，求点P 的坐标．
（1）设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，把（2，0）和（4，4）代入，得：
?????2k ＋b ＝04k ＋b ＝4 解得
?
????k ＝2b ＝－4 ∴直线l 的解析式为y ＝2x －4 （2）接BP ，设P （x ，2x －4） 当点P 在CQ 下方时 则S △POC
＝
1
2
×6·x ＝3x
S △PCQ
＝S △PBQ
＋
S △PBC
－
S △BCQ
＝
1 2 ×4·(
8－x
)＋
1 2 ×8·(
6－2x ＋4
)－
1
2
×4×8 ＝40－10x
∵S △POC
＝S △PCQ
，∴3x ＝40－10x ，解得x ＝
40
13
∴P 1（40
13
，28
13
）
当点P 在BC 上方时
则S △PCQ
＝S △PBC
＋
S △BCQ
－
S △PBQ
＝
1 2 ×8·(
2x －4－6
)＋
1 2 ×4×8－
1
2
×4·(
8－x
) ＝10x －40
∵S △POC
＝S △PCQ
，∴3x ＝10x －40，解得x ＝
40
7
P 2（40
7
，52
7
）
8、如图，在平面直角坐标系中，点A （－2，－1），B （1，5），直线AC ⊥AB 与y 轴交于点C ，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于点D 、E ． （1）求直线AB 的解析式； （2）求点C 的坐标；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使S △P AC
＝S 四边形ODAC
？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A （－2，－1），B （1，5）代入
?????－2k ＋b ＝－1k ＋b ＝5 解得
?
????k ＝2b ＝3∴直线AB 的解析式为y ＝2x ＋3 （2）分别过A 、B 作y 轴的垂线，垂足为G 、H ∵A （－2，－1），B （1，5）
∴AG ＝2，OG ＝1，BH ＝1，OH ＝5 在y ＝2x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3
∴OE ＝3，EH ＝OH －OE ＝5－3＝2 ∴AG ＝EH ∵∠ACG ＋∠CAG ＝90°，∠AEC ＋∠ACG ＝90°，∠BEH ＝∠AEC ∴∠CAG ＝∠BEH ，∴Rt △ACG ≌Rt △EBH
∴CG ＝BH ＝1，∴OC ＝OG ＋CG ＝1＋1＝2 ∴C （0
（3）设P （t ，0）在y ＝2x ＋3中，令y ＝0，得x ＝当点P 在点O 右侧时
S △P AC
＝S 四边形ODAC
＋
S △POC
－
S △P AD ∵S △P AC
＝S 四边形ODAC
，∴S △POC
＝S △P AD
∴(
3 2
＋t
)×1＝t ×2，解得t ＝
3 2 ∴P 1（3
2
，0）
当点P 在点D 左侧时
S △P AC
＝
S △POC
－
S △P AD
－S 四边形ODAC
∵S △P AC
＝S 四边形ODAC
，∴S △POC
－
S △P AD
＝2S 四边形ODAC 连接OD ，则S 四边形ODAC
＝
S △OAC
＋
S △OAD
＝
1 2 ×2×2＋
1 2 ×3 2 ×1＝
11 4
∴1 2 (
－t
)×2－
1 2 ×(
－t －
3 2
)×1＝
11 2
，解得t ＝－
19 2
∴P 2（－
19
2
，0）
9、在平面直角坐标系中，已知点A （1，0），B （0，3），C （－3，0），D 是线段AB 上一点，CD 交y 轴于E ，且S △BCE
＝2S △AOB
． （1）求直线AB 的解析式；
（2）求点D 的坐标，猜想线段CE 与线段AB 的数量关系和位置关系，并说明理由．
（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A （1，0），B （0，3）代入
?????k ＋b ＝0b ＝3 解得
?
????k ＝－3b ＝3 ∴直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋3 （2）设E （0，t ） ∵A （1，0），B （0，3），∴OA ＝1，OB ＝3 ∴S △AOB ＝
1
2
OA ·OB ＝
1 2 ×1×3＝
3
2
∵S △BCE
＝2S △AOB
，∴S △BCE
＝3
∴1 2
BD ·OC ＝
1
2
(
3－t
)×3＝3 解得t ＝1，∴E （0，1） 易得直线CD 的解析式为y ＝
1
3
x ＋1 联立 ?????y ＝
1 3
x ＋1y ＝－3x ＋3
解得x ＝ 3 5 ，y ＝
6
5
∴D （3
5
，6
5
）
猜想：CE ＝AB ，CE ⊥AB 理由如下：
∵OE ＝OA ＝1，OC ＝OB ＝3，∠COE ＝∠BOA ＝90° ∴△COE ≌△BOA
∴CE ＝AB ，∠OCE ＝∠OBA ∵∠OBA ＋∠BAO ＝90°，∴∠OCE ＋∠BAO ＝90° ∴∠CDA ＝90°，∴CE ⊥AB
10、如图，点A（3，0），点B（0，1），直线y＝－x＋4与x轴交于点M，与y轴交于点N，点P（x，y）是线段MN上一动点（不与端点重合）．
（1）设△P AB的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②当S＝S△PBN时，求四边形OAPB的面积；
（2）是否存在点P，使△P AB为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）①连接OP
则S△AOB＝1
2OA·OB＝
1
2×3×1＝
3
2
S△POA＝1
2×3×(－x＋4)＝－
3
2x＋6
S△POB＝1
2×1·x＝
1
2x
∴S＝S△POA＋S△POB－S△AOB
＝－3
2x＋6＋
1
2x－
3
2＝－x＋
9
2
即S＝－x＋9
2（0＜x＜4）
②∵S＝S△PBN，∴－x＋9
2＝
1
2×3·x
解得x＝9
5，∴S＝
3
2×
9
5＝
27
10
∴S四边形OAPB＝S△AOB＋S＝3
2＋
27
10＝
21
5
（3）若A为直角顶点，则AB＞AM＝A点纵坐标＞AP
△P AB不是等腰直角三角形
若B为直角顶点，则AB＞OA＝BN＞BP
△P AB也不是等腰直角三角形
若P为直角顶点，作PE⊥OA于E，PF⊥BN于F
则△P AE≌△PBF，∴PE＝PF
∴－x＋4＝x，解得x＝2
∴P（2，2）
综上所述，存在满足条件的点P，点P的坐标为（2，2）
11、如图，已知点B的坐标为（4，0），点A是OB的垂直平分线上一点，且在第一象限，点C在y轴的正半轴上，∠OCB＝∠OAB．
（1）求证：∠CAB＝90°；
（2）若点A的纵坐标为3，求点C的坐标；
（3）若△ABC与△OBC的面积相等，求A、C两点坐标．
（1）过A作AE⊥OB于E，交BC于D
则AE∥OC，∴∠OAE＝∠BAD
∵点A是OB的垂直平分线上一点，∴OE＝BE，AO＝AB
∴∠OAE＝∠COA
设OA、BC交于点F
∵∠OCB＝∠OAB，∠OFC＝∠BF A，∴∠COA＝∠ABD
∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD
∵AE∥OC，OE＝BE，∴BD＝CD
∴AD＝BD＝CD，∴∠CAB＝90°
（2）∵点A的纵坐标为3，∴AE＝3
设AD＝BD＝m，则DE＝3－m
在Rt△BDE中，22＋(3－m)2＝m2
解得m＝13
6，∴DE＝3－m＝
5
6
∴OC＝2DE＝5
3，∴C（0，
5
3）
（3）连接OD
∵S△ABC＝S△OBC，∴AF＝OF
可证△AFD≌△OFC，∴OC＝AD＝CD＝1
2BC
设OC＝x，则BC＝2x，OB＝BC2－OC2＝3x ∵B（4，0），∴OB＝4，∴3x＝4
∴x＝43
3，∴C（0，
43
3）
∵B（4，0），∴E（2，0），OE＝2
∵OC＝1
2BC，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°
∴∠OAB＝∠OCB＝60°
∴△AOB为等边三角形，∴AO＝OB＝4 ∴AE＝AO2－OE2＝2 3
∴A（2，
23）
12、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，C 是OA 的中点． （1）D 为线段AB 上一点，∠DCA ＝∠BCO ，求CD 所在直线的解析式；
（2）P 为x 轴上一点，点P 到直线BC 的距离等于线段BC 的长，求点P 的坐标．
（1）过A 作x 轴的垂线，交CD 延长线于E
∵y ＝－x ＋4交x 轴于点A ，交y 轴于点B
∴A （4，0），B （0，4），OA ＝OB ＝4 ∵∠EAC ＝∠BOC ＝90°，AC ＝OC ，∠DCA ＝∠BCO ∴△EAC ≌△BOC ，∴EA ＝BO ＝4 ∴E （4，4） 设CD 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b
∴?????2k ＋b ＝04k ＋b ＝4 解得
?
????k ＝2b ＝－4 ∴y ＝2x －4
（2）过P 作PG ⊥BC 与G ，GH ⊥x 轴于H 由题意，PG ＝BC
又∠PHG ＝∠BOC ＝90°，∠GPH ＝∠CBO ＝90°－
∴△PHG ≌△BOC
∴PH ＝BO ＝4，GH ＝CO ＝2 ∴点G 的纵坐标为2或
－2
易求直线BC 的解析式为y ＝－2x ＋4
可得点G 的横坐标为1或3
∴OH ＝1或3，∴PO ＝4－1＝3或PO ＝4＋3＝7 ∴P 1（－3，0），P 2（7，0）
13、如图，直线y ＝－
1
2
x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 是y 轴上一点，且位于点B 上方，∠CAB ＝∠BAO ，过点B 作x 轴的平行线交AC 于D ． （1）直接写出A 、B 两点的坐标 （2）求直线AC 的解析式．
（1）A （8，0），B （0，4） （2）过D 作DE ⊥OA 于E ∵A （8，0），B （0，4），∴OA ＝8，DE ＝OB ＝4 ∵BD ∥x 轴，∴∠DBA ＝∠BAO
∵∠CAB ＝∠BAO ，∴∠DBA ＝∠CAB ∴BD ＝DA
设BD ＝DA ＝x ，则EA ＝8－x
在Rt △DEA 中，(
8－x )2＋4 2＝x
2
解得x ＝5，∴D （5，4）
设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、D 两点坐标代入，得：
?????8k ＋b ＝05k ＋b ＝4
解得k ＝－
4 3 ，b ＝
32 3
∴直线AC 的解析式为y ＝－
4 3 x ＋
32
3
14、如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与直线y ＝x 交于点C ，已知B （0，2），AC ＝2BC ．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）过点C 作CD ⊥AB 交y 轴于D ，求点D 的坐标．
（1）作CE ⊥OA 于E ∵B （0，2），∴OB ＝2 ∵AC ＝2BC ，∴S △AOC
＝
2 3 S △AOB ，∴CE ＝ 2 3 OB ＝
4 3
∵点C 在直线y ＝x 上，∴C （4 3
，4
3
）
把B 、C 两点坐标代入y ＝kx ＋b ，得：
?????b ＝24 3 k ＋b ＝
4 3
解得
?????k ＝－
1 2
b ＝2
∴直线AB 的解析式为y ＝－
1
2
x ＋2
（2）作CF ⊥OB 于F ，则∠ECF ＝90° 在y ＝－
1
2
x ＋2中，令y ＝0，得x ＝4
∴A （4，0），∴OA ＝4
∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＝90° ∴∠ACE ＝∠DCF ＝90°－∠DCE 由C 点坐标可知CE ＝CF 又∠AEC ＝∠DFC ＝90°，∴△ACE ≌△DCF ∴DF ＝AE ＝OA －OE ＝4－
4 3
＝
8 3
∴OD ＝DF －OF ＝
8 3
－
4 3
＝
4
3
∴D （0，－
4
3
）
15、如图，已知点A （－12，0），B （3，0），点C 在y 轴的正半轴上，∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB 交x 轴于D ．
（1）求点C 的坐标； （2）求CD 所在直线的解析式．
解：（1）取AB 中点M ，连接CM ∵A （－12，0），B （3，0） ∴OA ＝12，OB ＝3，AB ＝15
∴CM ＝AM ＝
1 2 AB ＝ 15 2 ，∴OM ＝12－ 15 2 ＝
9
2
∴OC ＝
CM 2
－OM 2
＝6
∵点C 在y 轴的正半轴上，∴C （0，6） （2）作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F
∵OA ＝12，OB ＝3，OC ＝6，∴AC ＝65，BC ＝3 5 ∵∠ACB ＝90°，CD 平分∠ACB ∴∠DCE ＝∠DCF ＝45°
∴△CDE 和△CDF 都是等腰直角三角形 ∴CE ＝DE ＝CF ＝DF ＝
2
2
CD ∵S △ACD
＝
1
2
AD ·OC ＝
1
2
AC ·DE S △BCD
＝
1 2
BD ·OC ＝
1
2
BC ·DF
∴
AD
BD
＝
AC
BC
＝
65
35
＝2，∴AD ＝
2
3
AB ＝10 ∴OD ＝12－10＝2，∴D （－2，0）
设CD 所在直线的解析式为y ＝kx ＋b ，把C （0，6）、D （－2，0）代入得： ?????b ＝6－2k ＋b ＝0 解得：?
????k ＝3b ＝6 ∴CD 所在直线的解析式为y ＝3x ＋6
16、如图，直线OA的解析式为y＝3x，点A在第一象限，点B在线段OA上，OA＝2，AB＝2．（1）求A、B两点的坐标；
（2）在x轴上有一点P，使得△P AB的面积为3
22，求出点P的坐标．
（1）作AG⊥x轴于G，BH⊥x轴于H
设A（a，3a），B（b，3b）
则OG＝a，AG＝3a，OH＝b，BH＝3b
∵OA＝2，∴a2＋(3a)2＝22
∴a2＝1，∴a＝－1（舍去）或a＝1
∴A（1，3）
∵AB＝2，∴OB＝2－ 2
∴b2＋(3b)2＝(2－2)2
∴(2b)2＝(2－2)2，∴2b＝2－2或2b＝2－2
∴b＝1－
2
2或b＝
2
2－1（舍去）
∴B（1－
2
2，3－
6
2）
（2）设P（x，0），则OP＝|x|
由题意，S△P AB＝S△P AO－S△PBO＝1
2OP·AG－
1
2OP·BH＝
1
2|x|[3－(3－
6
2)]＝
3
2 2
即|x|＝23，∴x＝±2 3
∴P1（23，0），P2（－23，0
）
17、如图，直线y ＝2x ＋4与坐标轴交于A 、B 两点，直线BC 与直线AB 垂直，垂足为B ，交y 轴于点C ． （1）求直线BC 的函数解析式；
（2）在直线BC 上有一点P ，使S △P AB
＝10，求P 点的坐标．
（1）∵直线y ＝2x ＋4与坐标轴交于A 、B 两点 ∴A （0，4），B （－2，0），OA ＝4，OB ＝2
设OC ＝x ，则AC ＝4＋x ，AB 2＝OA 2＋OB 2
＝20
∵BC ⊥AB ，∴BC 2＝(
4＋x
)2－20＝4＋x
2
解得x ＝1，∴C （0，－1） 设直线BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b
∴?????－2k ＋b ＝0b ＝－1 解得
???
??k ＝－
1 2
b ＝－1
∴y ＝－ 1 2
x －1
（2）∵S △P AB
＝
1
2
AB ·BP ＝10，∴1
2
×25·BP ＝10 ∴BP ＝25，∴BP ＝AB
过P 作PH ⊥x 轴于H ，易证△BPH ≌△ABO ∴BH ＝OA ＝4，PH ＝OB ＝2 ∴P 1（2，－2），P 2（－6，2）
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
题型一选择题压轴题 类型一选择几何压轴题 1?如图，四边形ABCD是平行四边形，ZBCD=I20o , AB = 2, BC = 4,点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF, AE, EF,点M, N分别是AF, EF 的中点，连接MW则MN的最小值为（） 2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点0, AB = 4, AC = 2√TT,若直线1满足：①点A到直线1的距离为2；②直线1与一条对角线平行；③直线1与菱形ABCD的边有交点，则符合题意的直线1的条数为（） 3?如图，在四边形ABCD 中，AD/7BC, AB=CD, AD = 2, BC = 6, BD = 5.若点P 在四边形ABCD的边上，则使得APBD的面积为3的点P的个数为（） -√3 （第2（第3
4?如图，点M是矩形ABCD的边BC, CD上的动点，过点B作BN丄AM于点P,交
矩形ABCD 的边于点N,连接DP.若AB=4, AD = 3,则DP 的长的最小值为（ ) A. √T3-2 5?如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是。（）上的一个动点，ZACB= 90° ,腰AC 、斜边AB 分别交Oo 于点E, D,分别过点D, E 作OO 的切线，两线 交于点F,且点F 恰好是腰BC 上的点，连接O C, （）D, OE.若Θ0的半径为2,则 OC 的长的最大值为（ ） 6.如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 在AD 边上，点M, N 分别是 CD, BC 边上的动点?若AB=AF 二2, AD 二3,则四边形EFMN 周长的最小值是（ ） 7.如图，OP 的半径为1,且点P 的坐标为（3, 2）,点C 是OP 上的一个动点, 点A, B 是X 轴上的两点，且OA=OB, AC 丄BC,则AB 的最小值为（ ） √TT √T3 C. √5+l +√13 √2+2√5 ÷√5 √2+1 O B （第5 （第6 （第7（第8
中考数学中二次函数压 轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求 出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作 正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y
中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3
2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0）
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
中考数学压轴题解题技巧 数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。 函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。 几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。 解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。 一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。 二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。 三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。 解中考压轴题技能技巧： 一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 2017年中考数学选择题压轴题汇编（1） 2a的解为正数，且使关于的分式方程y的不等（2017重庆）若数a使关于x1．4?? x?11?xy?2y???1?23的解集为y，则符合条件的所有整数a的和为（）式组 2???????0y?2a? A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【解析】①解关于x的分式方程，由它的解为正数，求得a的取值范围． 2a 4??x?11?x去分母，得2－a＝4（x－1） 去括号，移项，得4x＝6－a 6?a 1，得x＝系数化为46?a6?a≠1，解得a且a≠2；6?，且，∴x≠1∵x且00?? 44②通过求解于y的不等式组，判断出a的取值范围． y?2y???1?32 ?????0y?2a?解不等式①，得y；2???a；解不等式②，得y ∵不等式组的解集为y，∴a；2??2??③由a且a≠2和a，可推断出a的取值范围，且a≠2，符合条件的所有整数6?a6??2?2??a为－2、－1、0、1、3、4、5，这些整数的和为10，故选A．2．（2017内蒙古赤峰）正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25，则x＋y等于（）A．18或10 B．18 C．10 D．26 【答案】A， 【解析】本题考查了分解质因数，有理数的乘法法则和多项式的乘法，能列出满足条件的等式是解题的关键． 由两数积为正，则这两数同号．∵25＝5×5＝（－5）×（－5）＝1×25＝（－1）×（－25）只供学习与交流． 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 又∵正整数x、y满足（2x－5）（2y－5）＝25， ∴2x－5＝5，2y－5＝5或2x－5＝1，2y－5＝25 解各x＝5，y＝5或x＝3，y＝15． ∴x＋y＝10或x＋y＝18． 故选A. x?a?0?3．（2017广西百色）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a?2x?3a?0?的最小值是（） 2 D．．1 B．2 CA． 3 3B. 【答案】3a3a＜x≤a，因为该解集中至少5个整数解，所以a比至少【解析】不等式组的解集为??223a+5，解得a≥2 a≥．大5，即?2111122＝n－m－2，则－的值等于（4．（2017四川眉山）已知m＋n ）44mn1D．－ 1 C．B0 ．－A．1 4C 【答案】11112222，m＋1)n＋(－1)m＝0，从而＝－2即1)1)由题意，【解析】得(m＋m＋＋(n－n ＋＝0，(24421111 ＝－1．＝n2，所以－＝－2nm2－端午节前夕，在东昌湖举行的第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙．（2017聊城）5之前的函数关系式如图所示，下列两队与时间500米的赛道上，所划行的路程(min)my()x 说法错误的是（）到达终点．乙队比甲队提前A0.25min 时，此时落后甲队．当乙队划行B110m15m
中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答：
解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值．
2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值．
3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值．
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标； （4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标． 2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）． 已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）． （1）求d（点O，△ABC）； （2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围； （3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t 的取值范围． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）． （1）求线段AB的长； （2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点 H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；
（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A的直线交直线BC于点M． ①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标； ②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M 的坐标．
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O
3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直