2013高三立体几何选择填空问题集(有难度有答案)
班级______姓名________
一． 选择题
1．定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ）
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４
3．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，
C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为 （ ）
（Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 4．已知四点，无三点共线，则可以确定( )
A.1个平面
B.4个平面
C.1个或4个平面
D.无法确定 5． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )
A.4
B.3
C.2
D.5 6．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1
，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )
A.43
B.23
C.2
D. 3
7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ．
45π B ．87π C ．π D ．4
7π 8．某刺猬有2013根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四
根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。 A ．2013 B ．4022 C ．4024 D ．4026
命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量、
，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
9．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）
A 、3
π
π（，） B 、23ππ（
，） C 、（0，2
π） D 、23ππ
（，）
3 10．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面
的概率为 （ ） A ．
367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18
385
二．填空题
11．在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA ＝PB ＝3 cm
，转动点P 时，三棱锥的最大体积为 ．
12．P 为ABC ?所在平面外一点，PA 、
PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA 与
BC 垂直，那么ABC ?的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形 13．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底
面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ .
14．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为
1，点M 在A 上，且AM=31
AB ，点P 在平面ABCD
上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M
的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动 点P 的轨迹方程是 .
15．三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，则此直线与另外一条直线所成的角 。
16．在水平横梁上A 、B 两点处各挂长为50cm 的细绳， AM 、BN 、AB 的长度为60cm ，在MN 处挂长为60cm 的木条，MN 平行于横梁，木条的中点为O ，若木条 绕过O 的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了 _________.
17．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A 在α平面内.其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别是1、2和4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是：
①3；②4；③5；④6；⑤7.
以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号．．） 18.如图，棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O 1、O 2、O 3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m 3.
A
B C
D A 1 B 1
D 1 C 1 x y
M P 图－1 S
C
参考答案：
1．【答案】D 解析： 过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求 2．【答案】A 解析：设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．
3．【答案】C 解析：∵C 1A 2+C 1B 2 ＝AB, ∴∠AC 1B 为钝角，则△C 1AB 为钝角三角形． 4．【答案】C.解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C. 5．【答案】B 解析： 如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2 ＝8π， ∴BD 2＝5，AC 2 ＝8.又AB ＝1，设OA ＝x. ∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2. 解之，得r ＝3 故选B. 6．【答案】B 解析： 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr ＝4π,∴r ＝2.如图，设三点A 、B 、C ，O 为球心，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝3 π ，又∵OA ＝OB ∴ΔAOB 是等边三角形 同理，ΔBOC 、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径R ，r 为ΔABC 的外接圆半径. r ＝33AB ＝33 R R ＝3 3r ＝23 ∴应选B. 7．【答案】A ．解析：S= 41π·12×3+81×4π·12=4 5π。 8．【答案】B ．解析：当有n 根刺时有a n 种支撑法，n = 4，5， 6，… ，则a n+1=a n +3－1=a n +2或a n+1=a n +4 －2=a n +2，∴{a n }n = 4，5，6，…， 为等差数列，∵a 4 = 4∴a n =2n －4，A 2013＝4022 。 9．【答案】A ．解析：法一：考察正三棱锥P –ABC ，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固定，顶点P 运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC. 当PO →0时，面PAB →△OAB ，面PBC →△OBC ，∠AHC →π 当PO →+∞时，∠AHC →∠ABC=3π. 故3 π <∠AHC <π，选A. 法二：不妨设AB=2，PC= x ，则x > OC =3 3 2. 等腰△PBC 中，S △PBC = 21x ·CH =21·2·?-1x 2CH = 2x 112- 等腰△AHC 中，sin 2 x 1 121 CH 2AC 2AHC -==∠ 由x>332得2AHC sin 21∠<<1，∴3 22AHC 6π ?π<∠<π＜∠AHC ＜π. 10．【答案】A 解析：此问题可以分解成五个小问题： （１）由正方体的八个顶点可以组成3 856c =个三角形； （２）正方体八个顶点中四点共面有12个平面； （３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有2 44c =个； （４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率2 43561218 358 c p c ==； （５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得 18367 1;385385 P =- =故选A ． 11.。3 6 2cm 3.解析:点P 到面ABC 距离最大时体积最大，此时面PAB ⊥面ABC ， 高PD=22cm ．V=362224433 1=???3cm . 12．由题意可知ABC ?的外心在BC 边的高线上，故一定有AB=AC 选（1）（2）（4）。 13．37.解析：原四个顶点截去后剩下截面为边长为1的正三角形，而原四面体的四个侧面变为边长为1的正六边形，其表积为 374 3 64434=??+? . 14．9 1 322-= x y 。解析：过P 点作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连PH ，利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设P （x ，y ），∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x 2 +1- [(x 13 -)2+y 2] =1，化简得91322-=x y . 15. 45o .利用长方体性质。 16.10cm,可利用向量。 17.①②④ 18.6 5 P A B C H O 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 立体几何小题难题训练 一．选择题 1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则过点A与AB、BC、CC1所成角均相等的直线有（） A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条 2．如图，平面PAB⊥平面α，AB?α，且△PAB为正三角形，点D是平面α内的动点，ABCD是菱形，点O为AB中点，AC与OD交于点Q，I?α，且l⊥AB，则PQ与I所成角的正切值的最小值为（） A．B．C．D．3 3．如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（） ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC； ②平面SBC内存在直线与SA平行 ③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行； ④存在点E使得SE⊥BA． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，∠BCA=90°，BC=CA=2，若该棱柱的所有顶点都在体积为的球面上，则直线B1C与直线AC1所成角的余弦值为（） A． B．C．D． 5．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（） A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直 B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（） A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条 8．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题： ①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC； ②若A，P，M三点共线，则=； ③若=，则C1Q∥面APC； ④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7． 其中正确命题的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表 题型年份考点试题位置 单选题2019 表面积与体积2019年新课标1理科12 单选题2018 几何体的结构特征2018年新课标1理科07 单选题2018 表面积与体积2018年新课标1理科12 单选题2017 三视图与直观图2017年新课标1理科07 单选题2016 三视图与直观图2016年新课标1理科06 单选题2016 空间向量在立体几何中的应 用2016年新课标1理科11 单选题2015 表面积与体积2015年新课标1理科06 单选题2015 三视图与直观图2015年新课标1理科11 单选题2014 三视图与直观图2014年新课标1理科12 单选题2013 表面积与体积2013年新课标1理科06 单选题2013 三视图与直观图2013年新课标1理科08 单选题2012 三视图与直观图2012年新课标1理科07 单选题2012 表面积与体积2012年新课标1理科11 单选题2011 三视图与直观图2011年新课标1理科06 单选题2010 表面积与体积2010年新课标1理科10 填空题2017 表面积与体积2017年新课标1理科16 填空题2011 表面积与体积2011年新课标1理科15 填空题2010 三视图与直观图2010年新课标1理科14 历年高考真题汇编 1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（） A．8πB．4πC．2πD．π 2．【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） 新课标卷高考真题 1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60． （I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A 的余弦值． 2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ， 5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5 4 AE CF == ，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 3【2015高考新课标1，理18】 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 4、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)证明：PB∥平面AEC； (2)设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积． 图1-3 5、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5，三棱柱ABC -A1B1C1中，侧面BB1C1C 为菱形，AB⊥B1C. 图1-5 (1)证明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A -A1B1-C1的余弦值． 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C 立体几何 一、年考试大纲 二、新课标全国卷命题分析 三、典型高考试题讲评 2011—年新课标全国（1卷、2卷、3卷）理科数学分类汇编——11．立体几何 一、考试大纲 1．空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式. 二、新课标全国卷命题分析 立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 2017-2019高考文数真题分类解析 ----立体几何（选择题、填空题） 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ． 【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,a b a b αβ??∥，则αβ∥”此类的错误． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B 【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是 相交直线. 过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ， Q 平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥?平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ， MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===,， 5 ,22 MF BF BM = =∴=BM EN ∴≠，故选B ． 【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 【答案】B 【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4， 高三立体几何专题复习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考立体几何专题复习 一．考试要求： （1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 （2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 （3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 （4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 （5）会用反证法证明简单的问题。 （6）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 （7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 （8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 （9）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 （10）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用． 2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力． 4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 重庆高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立 2014高考理科立体几何大题练习 1.如图1，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ?沿DE 折起到1 A DE ?的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ； （Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值； （Ⅲ） 当D 点在何处时，1 A B 的长度最小，并求出最小值． 2.如图，四棱锥ABCD P -中，底面 ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ， E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． A B C D E 图图 A B C D E E C 1 B 1A 1C B A 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=?，1 2,AB AC AA ===E 是BC 中点. （I ）求证：1//A B 平面1 AEC ； （II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11 B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值. E D A B C P 5.如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2， 3BC =，90=∠ABC °,平面PAB ⊥平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：AB ⊥PE ； （Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 6.．如图，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面 六、立体几何选择填空题 1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E ，F 分别是线段AB ，11C D 上的动点，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，且满足点P 到点F 的距离等于点P 到平面11ABB A 的距离，则当点P 运动时，PE 的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ． D ． 2．如图在一个二面角的棱上有两个点 A ， B ，线段,A C B D 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，=46,AB cm AC cm =， 8,BD cm CD ==，则这个二面角的度数为（ ） A ．30? B ．60? C ．90? D ．120? 3．如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -对角线1AC 上一动点， 设 AP 的长度为x ，若PBD ?的面积为(x)f ，则(x)f 的图象大致是（ ） 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1 A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线A B 与1C C 所成的角的余弦值为（ ） （A （B （C （D ）34 5．正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且1AE =，1 2 BF = ，将此正 方形沿DE 、DF 折起，使点A 、C 重合于点P ，则三棱锥P DEF -的体积是（ ） A ． 13 B C D 6．如图所示，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝PD.则棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值是（ ） A. 2:1 B. 1:1 C. 1:2 D. 1:3 7．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，有如下四个结论： ①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°; ④AB 与CD 所成的角为60°.其中错误．． 的结论是 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( ) 9．如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形， 若∠A 1AB=∠ A 1AD=60o，且A 1A=3，则A 1C 的长为（ ） A B ． C D 10．如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1， 动点P ，Q 分别在线段C 1D ，AC 上，则线段PQ 长度的最小值是( )． B. C. 23 11．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2 的等边三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角为( )． A. 6π B. 4π C.3π D. 2 π 12．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1A B 上存在 一点P 使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为 （ ） A ．2 B ．2 C ．2 D 2010年高考立体几何专题复习 岱山中学 孙珊瑚 鲁纪伟 高考立体几何试题一般有选择、填空题, 解答题,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题. 一、知识整合 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2.判定两个平面平行的方法： （1）根据定义——证明两平面没有公共点； （2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面； （3）证明两平面同垂直于一条直线。 3.两个平面平行的主要性质： ⑴由定义知：“两平行平面没有公共点”。 ⑵由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 ⑶两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行”。 ⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⑸夹在两个平行平面间的平行线段相等。 ⑹经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。 以上性质⑵、⑷、⑸、⑹在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。 4.空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概 念，由它们的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，2π]，直线与平面所成的角θ∈0,2π?? ???? ， 二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈[0，π]． 对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力． 如求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）与向量法；求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角；而求二面角－l －的平面角（记作）通常有以下几种方法： (1) 根据定义； (2) 过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面，设∩＝OA ，∩＝OB ，则∠AOB ＝ ； (3) 利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面内一点A ，分别作另一个平面的垂线AB (垂足为B ),或棱l 的垂线AC (垂足为C )，连结AC ，则∠ACB ＝ 或∠ACB ＝－； (4) 设A 为平面外任一点，AB ⊥，垂足为B ，AC ⊥，垂足为C ，则∠BAC ＝或∠BAC ＝－； (5) 利用面积射影定理，设平面内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面内的射影图形的面积为S ，则cos ＝S S ' . 5.空间的距离问题，主要是求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线 1、（2016—6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是 3 28π ，则它的表面积是 （A ）π20 （B ）π18 （C ）π17 （D ）π28 2、（2016—11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，// α平面11D CB ，I α平面m ABCD =，I α平面n A ABB =11，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）3 3 （B ） 2 2 （C ） 2 3 （D ） 3 1 3、（2015—6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体 积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 4、（2015—11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则=r （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 正视图 2r r r 2r 5、（2014—12）如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（） （A ） （B ）（C）6（D）4 6、（2013—6 ）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高cm 8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为cm 6，如果不计容器的厚度，则球的体积为（） A.3 3 500 cm π B.3 3 866 cm π C.3 3 1372 cm π D.3 3 2048 cm π 7、（2013—8）某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（） A. 168π + B. 88π + C. 1616π + D. 816π + 俯视图 侧视图 立体几何 选填题 一、选择题 1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+ 2．设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α?，m β?（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 3．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A.54 B.162 C.54183+162183+ 4．设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A.//,//,m n m n αβ⊥ B.//,,//m n m n αβ⊥ C.,//,m n m n αβ⊥⊥ D. ,,//m n m n αβ⊥⊥ 5．已知,αβ是两个不同的平面，,m n 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ） A ．若αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，则m α⊥ B ．若m α?，n β?，//m n ，则//αβ C ．若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ D ．若//m α，//n β，//m n ，则//αβ 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．23 B ．1 C ．43 D ．2 8．已知两个不同的平面a ，β和两条不重合的直线m ，n ，则下列四个命题中不正确的是（ ） A ．若//m n ，m a ⊥，则n a ⊥ B ．若m a ⊥，m β⊥，则//a β C ．若m a ⊥，//m n ，n β?，则a β⊥ D ．若//m a ，a n β=I ，则//m n 9．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（ ） 10．已知直线m ?平面β，直线l 平面α，则下列结论中错误的是（ ） A ．若l β⊥，则//m α B ．若//l m ，则αβ⊥ C ．若//αβ，则l m ⊥ D ．若αβ⊥，则//l m 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．103 B ．163 C ．5 D ．10 12．下列命题正确的是（ ） A ．两两相交的三条直线可确定一个平面 B ．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行 C ．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行 D ．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 13．某椎体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ） 立体几何多项选择题专项训练及详解多项选择题：本题共 4小题，每题 5分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得 5 分，部分选对的 得 3 分，有选错的得 0 分 . 1．等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体 的表面积可以为（） A ．B．C．D． 解析：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为 1，高为 1，所以母线长 l ＝，这时表面积为 ?2π?1?l +π?12＝（ 1+ ）π； 若绕斜边一周时旋转体为 L 两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为 1，所以表面积 S＝ 2 2 ?1＝，综上所述该几何体的 表面积为， 答案： AB 2．已知α，β是两个不重合的平面， m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若 m∥ n， m⊥ α，则 n⊥ αB．若 m∥ α，α∩ β＝ n，则 m∥n C．若 m⊥ α， m⊥ β，则α∥βD．若 m⊥α，m∥ n， n∥ β，则 α∥β 解析： A．由 m∥ n，m⊥ α，则 n⊥ α，正确； B．由 m∥ α，α∩ β＝n，则 m与 n 的位置关系不确定； C．由 m⊥ α，m⊥β，则α∥β正确 D ．由 m⊥α，m∥n， n∥β，则α⊥β，因此不正确． 答案： AC 3．已知菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝60°， AC与BD 相交于点 O．将△ ABD 沿 BD 折起，使顶点 A 至点 M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（） A ．BD⊥ CM B ．存在一个位置，使△ CDM 为等边三角形 C ．DM 与 BC 不可能垂直 D ．直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60° 一， [2017·山东济南调研]如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5. (1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值； (3)在线段BC 1上是否存在点D ，使得AD ⊥A 1B ？若存在，试求出BD BC 1 的值． (1)[证明] 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC . 又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， 且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1?平面AA 1C 1C . ∴AA 1⊥平面ABC . (2)[解] 由(1)知，AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ， 由题意知，在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2 ＝AC 2 ＋AB 2 ，∴AB ⊥AC . ∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A －xyz . A 1(0,0,4)， B (0,3,0)， C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)， 于是A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)， B 1 C 1→ ＝(4，－3,0)，BB 1→ ＝(0,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∴????? A 1C 1 →·n 1 ＝0，A 1 B →·n 1 ＝0 ????? ? 4x 1＝0，3y 1－4z 1＝0， ∴取向量n 1＝(0,4,3)． 由????? B 1 C 1 → ·n 2 ＝0，BB 1→·n 2 ＝0 ?? ?? ?? 4x 2－3y 2＝0， 4z 2＝0， ∴取向量n 2＝(3,4,0)． ∴cos θ＝ n 1·n 2|n 1||n 2|＝165×5＝16 25 . 由题图可判断二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 故二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为16 25 . (3)[解] 假设存在点D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，使AD ⊥A 1B ，且BD → ＝λBC 1→ ， ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ， ∴AD → ＝(4λ，3－3λ，4λ)． 又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0， 解得λ＝9 25， ∵9 25 ∈[0,1]， ∴在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ， 此时 BD BC 1＝925 . 二， 如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π 2 ，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1. A 1 C B A B 1 C 1 D 1 D O 高三数学·单元测试卷(九) 第九单元 [简单几何体]，交角与距离 (时量:120分钟 150分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 A ．18对 B ．24对 C ．30对 D ．36对 2．．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为 A ．π28 B ．π8 C ．π24 D ．π4 3．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为 A ．V 6 B ．V 4 C ．V 3 D ．V 2 4．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为 A ． 3 2 B ． 3 3 C ．3 4 D ．32 5．设α、β、γ为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 A ．l m l ⊥=?⊥,,βαβα B ．γβγαγα⊥⊥=?,,m C ．αγβγα⊥⊥⊥m ,, D ．αβα⊥⊥⊥m n n ,, 6．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为 A ．12 B ．24 C ．22 D ．32 7．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个 8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 、C 1D 1的中点，则直线A 1B 1与平面A 1ECF 1.如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上， ∠ABM=60 。 （I ）证明：M 是侧棱SC 的中点； ()II 求二面角S AM B --的大小。 2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ,D 、E 分别为AA 1、B 1C 的中点，DE ⊥平面BCC 1（Ⅰ）证明：AB =AC （Ⅱ）设二面角A -BD -C 为60°,求B 1C 与平面BCD 所成的角的大小 3.如图，DC ⊥平面ABC ，//EB DC ，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，,P Q 分别为,AE AB 的中点．（I ）证明：//PQ 平面ACD ； （II ）求 AD 与平面ABE 所成角的正弦值． 4.如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形， PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中 点 时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小. 5.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． B C D E O A P B M （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离． 6.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠=（I ）求证：EF BCE ⊥平面； （II ）设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证： PM ∥BCE 平面 （III ）求二面角F BD A --的大小。 7.如图，四棱锥S -ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD ＝AD ＝a ,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1）， 都有AC ⊥BE : (Ⅱ)若二面角C -AE -D 的大小为600C ，求λ的值。 8.如图3，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =4, 17AA =,点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE ⊥1A E .（Ⅰ）证明：平面1A DE ⊥平面 11ACC A ;（Ⅱ）求直线AD 和平面1A DE 所成角的正弦值。 9.如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= （I ）求证：EF BCE ⊥平面；近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
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