第十一章动量定理 11-1如图所示，质点的质量为ｍ，以匀速率ｖ沿圆周逆钟向运动。经过一定的时间后，质点由点Ａ运动到Ｂ点，则作用在该质点上的力在此时间内的冲量大小为多少？（答：S x= -m v；S y= -m v） 11-2如图所示匀质圆盘质量为ｍ，半径为Ｒ，可绕轮缘上垂直于盘面的轴转动，转动角速度为ω。试计算圆盘在图示瞬间的动量，并标出其方向。（答：mRω竖直向上） 11-3如图所示机构中，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ和连杆ＡＢ皆可视为质量为ｍ、长为２ｒ的匀质细杆，图示瞬时，连杆ＡＢ水平，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ铅直。曲柄Ｏ１Ａ角速度为ω，试计算系统的动量，并标出其方向。（答：4mωv） 11-4物体Ａ和Ｂ各重ＧＡ和ＧＢ，ＧＡ＞ＧＢ；滑轮重Ｇ，并可看作半径为ｒ的匀质圆盘。不计绳索的质量，试求物体Ａ的速度是ｖ时整个系统的动量。（答：K x=0；K y= -（G A-G B）v/g）
11-5正方形框架ABCD的质量是m1，边长为ｌ，以角速度ω１绕定轴转动；而匀质圆盘的质量是m2，半径是ｒ，以角速度ω２绕重合于框架的对角线ＢＤ的中心轴转动。试求这物体系的动量。（答：K=（m1+m2）lω/2，方向为垂直框架平面，顺着ω前进方向。） 11-6跳伞者质量为60kg，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经５ｓ后跳伞者的速度减为4.3ｍ／ｓ。求阻力的大小。（答：1068N） 11-7水流以速度V０=2m/s流入固定水遭，速度方向与水平面900角。如图所示；水流进口截面积为0.02m ２，出口速度V 0角．求水作用在水道壁上的水平和铅垂的附加压力。 1=4m/s。它与水平面成30 （答：F x=-138.6N，F y=0）
第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
·250· 第11章 动量矩定理 11.1 主要内容 11.1.1 质点系动量矩计算 质点系对任意一点的动量矩为各质点的动量对同一点之矩的矢量和或质点系中各质点的动量对同一点的主矩，即 ∑∑==?==n i n i i i i i O O m m 1 1 )(i v r v M L 质点系对于某轴，例如对z 轴的动量矩为 ∑==n i i i z z m M L 1) (v 刚体对转动轴z 轴的动量矩为 ωz z I L = 质点系相对于质心的动量矩为质点系中各点动量对质心的主矩，即 i i n i i C m v r L ?'=∑=1 i r '为第i 个质点对质心的矢径。 质点系对任意一点的动量矩等于质点系对质心的动量矩，与将质点系的动量集中于质心对于O 点动量矩的矢量和。 C v r L L m C C O ?+= 当刚体作平面运动时，又可表示为 d mv L L C ±=C O 其中d 为点至v C 的垂直距离，当C L 与矩d mv C 的符号相同时取正值，反之取负值， 11.1.2 质点系的动量矩定理 （1）对固定点的动量矩定理 质点系对固定点O 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩，即 ) (e O O dt d M L = 在直角坐标系上的投影式为
·251· ?? ?? ? ? ??? ∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dt dL F F F （2）质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即 (e )C C M L =dt d 或 (e ) C Cr M L =dt d 式中Cr L 为质点系相对于质心平移坐标系的运动对质心的动量矩。 (3) 动量矩守恒定律 在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩为一常矢量，即 () 0=e O M ，常矢量=O L 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质点系对该轴的动量矩为一常数，例如 0 )()(=∑e x M F ，L x =常数 11.1.3 刚体绕定轴转动微分方程 若刚体绕固定轴z 的转动惯量为I z ，则刚体绕固定轴z 的微分方程为 z z M t I =22d d ? 或 z z M I =ε 在工程中，常将转动惯量表示为 2z z m I ρ= z ρ称为回转半径。 11.1.4 刚体平面运动微分方程 当刚体作平面运动时，联合应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，可得到刚体平面运动微分方程 ??? ? ???===∑∑C c y c x c M I F y m F x m ?
动量近代物理
链式反应C(2) 61.普朗克 能量子假 说黑体 和黑体辐 射 Ⅰ T12 C(1) 62.光电效 应 Ⅰ T12 C(1) T12 C(3) T12 C(2) 63.光的波 粒二象性 物质波 Ⅰ T12 C(1) T12 C(2) T12 C(2)实验十：验 证动量守 恒定律 第1讲动量动量定理 一、动量 1.定义：物体的质量与速度的乘积. 2.表达式：p＝mv，单位：kg·m/s. 3.动量的性质 (1)矢量性：方向与瞬时速度方向相同. (2)瞬时性：动量是描述物体运动状态的物理量，是针对某一时刻而言的. (3)相对性：大小与参考系的选取有关，通常情况是指相对地面的动量.
4.动量与动能、动量的变化量的关系
(1)动量的变化量：Δp＝p′－p. (2)动能和动量的关系：E k＝p2 2m. 自测1质量为0.5kg的物体，运动速度为3m/s，它在一个变力作用下速度变为7 m/s，方向和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为( ) A.5kg·m/s，方向与原运动方向相反 B.5kg·m/s，方向与原运动方向相同 C.2kg·m/s，方向与原运动方向相反 D.2kg·m/s，方向与原运动方向相同 答案A 二、冲量和动量定理 1.冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫做力的冲量. (2)公式：I＝Ft. (3)单位：N·s. (4)方向：冲量是矢量，其方向与力的方向相同. 2.动量定理 (1)内容：物体在一个运动过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量. (2)公式：mv′－mv＝F(t′－t)或p′－p＝I. 3.动量定理的理解 (1)动量定理反映了力的冲量与动量变化量之间的因果关系，即外力的冲量是原因，物体的动量变化量是结果. (2)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和. (3)动量定理表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义. 自测2(多选)质量为m的物体以初速度v 0开始做平抛运动，经过时间t，下降的高度为h，速度变为v，在这段时间内物体动量变化量的大小为( ) A.m(v－v0) B.mgt C.m v2－v20 D.m2gh 答案BCD
·125· 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式，而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×) A B l O ω r 图11.23 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数
C v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO (a) 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45o（图a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作 纯滚动，图示瞬时角速度为 （图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2 121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10－1图 (b) (c) A
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
第十一章 动量定理 §11—1 动量与冲量 一、动量 质点的质量与速度的乘积。 单位：kg ·m/s 质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。 质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 如图1所示，几种几何形状规则的均质刚体和刚体系动量。 图 1 C C i i v m r m dt d r m dt d p ===∑i n i i m ∑==1 i i i i i i m dt d dt r d m m ∑∑∑===m m i i C ∑= m =
二、冲量 作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。 若力F 为变量，在d t 时间间隔内，力F 的冲量称为元冲量 力在时间t 内的冲量为 单位：N ·s 例1 OA 杆绕O 轴逆时针转动，均质圆盘沿OA 杆纯滚动。已知圆盘的质量m ＝20 kg ，半径R ＝100 mm 。在图示位置时，OA 杆的倾角为30o ，其角速度ω1＝1 rad/s ，圆盘相对OA 杆转动的角速度ω2＝4 rad/s ，求圆盘的动量。 解： 取C 为动点，动系与OA 固连 于是 所以 方向水平向右。 ?=t dt dt d =t =120.210.2m/s 0.140.4m/s e r v OC v R ωω=?=?===? =sin 600.40.3464m/s 2C a r v v v ===?=200.3464 6.93N s C p mv ==?=?
§11—2 动量定理 一、质点的动量定理 二、质点系的动量定理 三、质点系的动量守恒定理 （1）当作用在质点系上外力的主矢量等于零时，即∑==n i e i 10F ，质点系动 量=P 恒矢量，则质点系动量守恒。 （2）当作用在质点系上外力的主矢量在某一轴上投影等于零时，例如 01 =∑=n i e xi F ，质点系沿该轴x 的动量=x P 恒量，则质点系沿该轴x 的动量守恒。 () I dt F v m v m m dt d t ==-=?00() ()()()()dt dt dt m d i i e i i i e i i i +=?? ? ??+=() () () ∑∑∑===+=n i i i n i e i n i i i dt F dt F v m d 1 1 1 () ∑==-n i e i I p p 1
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
1 质点系对某轴的动量矩等于质点系中各质点的动量对同一轴之矩的代数和。 （ ） 2 刚体的质量是刚体平动时惯性大小的度量，刚体对某轴的转动惯量则是刚体绕该轴转动时惯性大小的度量。 （ ） 3 刚体对某轴的回转半径等于其质心到该轴的距离。( ) 4 如果作用于质点系上的所有外力对固定点O 的主矩不为零，那么，质点系的动量矩一定不守恒。( ) 5 如果质点系所受的力对某点（或轴）的矩恒为零，则质点系对该点（或轴）的动量矩不变。( ) 6 图中所示已知两个均质圆柱，半径均为R ，质量分别为2m 和3m ，重物的质量为1m 。重物向下运动的速度为V ，圆柱C 在斜面上只滚不滑，圆柱O 与绳子之间无引对滑动，则系统 对O 轴的动量矩为vR m R m vR m H o 12 232 ++=ω。( ) 7 图中已知均质圆轮的半径为R ，质量为m ，在水平面上作纯滚动，质心速度为C v ，则轮子对速度瞬心I 的动量矩为R mv H c I =。( ) 1 已知刚体质心C 到相互平行的z z 、'轴的距离分别为b a 、，刚体的质量为m ，对z 轴的转动惯量为z J ，则' z J 的计算公式为__________________。
A ．2)(b a m z z ++='J J ； B ．)(2 2b a m z z -+=' J J ； Ｃ．)(2 2b a m z z --=' J J 。 2 两匀质圆盘A 、B ，质量相等，半径相同，放在光滑水平面上，分别受到F 和' F 的作用，由静止开始运动，若' F F =，则任一瞬间两圆盘的动量相比较是_____________________。 Ａ．B A p p >； Ｂ．B A p p <； Ｃ．B A p p =。 3 在一重W 的车轮的轮轴上绕有软绳，绳的一端作用一水平力P ，已知车轮的半径为R ，轮轴的半径为r ，车轮及轮轴对中心O 的回转半径为ρ，以及车轮与地面间的滑动摩擦系数为f ，绳重和滚阻皆不计。当车轮沿地面作平动时，力P 的值为_________________。 Ａ．ρ/fWR P =； Ｂ．r fWR P /=； Ｃ．r fW P /ρ=；④ fW P =。
第10章 动量定理 主要内容 10.1.1 质点系动量及冲量的计算 质点的动量为 v K m = 质点系的动量为 C i i m m v v K ∑=∑= 式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中 v Ci 为第i 个刚体质心的速度。 常力的冲量 t ?=F S 力系的冲量 ?∑=∑=2 1 d )(t t i i t t F S S 或 ??=∑=2 1 21 d )(d )(R t t t t i t t t t F F S 10.1.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即 )(d d e i t F K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 （2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0) (=∑e i F ，质点系动 量守恒，即K =常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴 上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。 10.1.3 质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即 ()())(d d d d e i i i c m t M t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为 )(1 Ci e i n i m F a ∑=∑= 式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。 10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力 定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q ，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为
)(12N v v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。 基本要求 1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。 2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。 3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。 重点讨论 动量定理的应用 应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。 应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点： 1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。 2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。 当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即 0)(=∑e i F ，i C i i m v k K ∑=∑==常矢量 当外力系的主矢量在某一轴（如x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即 0)(=∑e ix F ，Cx ix i x mv v m K ==∑=常数 对于刚体系可表示为 Cix i v m ∑=常数 利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。 例题分析 例10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A ，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固 定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量F x 和F y 。
第十一章 动量矩定理 11-1 某质点对于某定点O的动量矩矢量表达式为 式中t为时间，为沿固定直角坐标轴的单位矢量。求此质点上作用力对O点的力矩。 11-2 某质点系对空间任一固定点的动量矩都完全相同，且不等于零。这种运动情况可能吗? 11-3 试计算如图所示物体对其转轴的动量矩。 11.4 如图所示传动系统中为轮Ⅰ、轮Ⅱ的转动惯量，轮Ⅰ的角加速度为 对吗?
11-5 如图所示，在铅垂面内，杆OA 可绕O 轴自由转动，均质圆盘可绕其质心轴A 自由转动。如OA 水平时系统为静止，问自由释放后圆盘作什么运动? 11-6 质量为m 的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。设开始时，圆盘静止，图中 2R r 。试说明各圆盘将如何运动。 11-7 一半径为R 的均质圆轮在水平面上只滚动而不滑动。如不计滚动摩阻，试问在下列两种情况下，轮心的加速度是否相等?接触面的摩擦力是否相同? (1)在轮上作用一顺时针转向的力偶，力偶矩为M ；
(2)在轮心作用一水平向右的力，R M F 。11-8 细绳跨过不计轴承摩擦的不计质量的滑轮，两猴质量相同，初始静止在无重绳上，离地面高度相同。（1）若两猴同时开始向上爬，且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同，问站在地面看，两猴的速度如何？在任一瞬时，两猴离地面的高度如何？（2）若两猴同时开始一个向上爬，另一个向下爬，且相对绳的速度大小可以相同也可以不相同，问站在地面看，两猴的速度如何？在任一瞬时，两猴离地面的高度如何？ 11-9 如图所示，均质杆、均质圆盘质量均为m ，杆长为2R ，圆盘半径为R ，两者铰接于点A ，系统放在光滑水平面上，初始静止。现受一矩为M 的力偶作用，则下列哪些说法正确： A.如M 作用于圆盘上，则盘绕A 转动，杆不动； B.如M 作用于杆上，则杆绕A 转动，盘不动； C.如M 作用于杆上，则盘为平移； D.不论M 作用于哪个物体上，系统运动都一样。
第十章习题解答 10-1 判断下列说法正确与否 （1）质点运动的方向就是受力方向。 （2）质点受到的力大，则速度也大，受到的力小则速度也小。 （3）两个质量相同的质点，如果受到的力相同，则它们在同一坐标系中的运动微分方程完全相同，运动规律也完全相同。 解：（1）不对，质点运动的方向是其受合力的方向。 （2）不对，第一宇宙速度很大，但是加速度很小。 （3）对。 10-2 质点受力已知，则其运动微分方程的形式与下列哪些因素有关？ （1）坐标原点的位置； （2）坐标轴的取向； （3）坐标轴的形式（直角坐标系或自然坐标系）； （4）初始条件。 解：只与（4）有关。理由：（1）（2）（3）只影响大小、方向，不影响微分方程。 10-3 小球质量为m ，用两细绳AB 、AC 挂起，如图10-7所示。现在把绳AB 突然剪断，试求这一瞬时绳AC 的拉力，并求出AB 未剪断时绳AC 的拉力。 解: 未剪断前： AB 和AC 的拉力F 相同，所以 θ θcos 2mg F mg COS F AC AC = →= 剪断后： 此时，受力如图 ，这时，由平行四边形定则可知， θ cos mg F AC = 10-4 如图10-8所示，在桥式起重机的小车上用长度为l 的钢丝绳悬掉着质量为m 的重物A 。 小车以匀速o v 向右运动时，钢丝绳保持铅垂方向。设小绳的拉力1F 。设重物摆到最高位置时的偏角为?，再求此瞬时拉力2F 。 解： 刚开始晃动时： 图 10-8 mg l mv F mg F Fu Fu l mv o o +=-==∑ ∑ 2 112
2 s m 5.2a =-=+=解得：Mg F Ma m m M B A N F a m F g m x k A A 15011==--?解得：偏角为?时，运用平行四边形原则可求知： 10-5 如图10-9所示重量都是200N 的物块A 和B ，链接在弹簧两端，再一起放进框架内。 这时，弹簧被压缩了10mm 。设弹簧刚度mm N k 40=，弹簧和框架的重量可以不计。现以 铅垂力N F 500=向上拉动框架，试分别求出物块A 、B 对框架的压力。 解： 由题意可知: 对整体分析： 对物块A 分析： 对物块B 分析： N F a m x k g m F B B 65022==?--解得： 10-6重物A 和重物B 的质量分别为kg m A 20=和kg m B 40=，相互用质量可以不计的弹簧连接，如图10-10所示。已知重物A 沿铅直向上的y 做简谐运动，其规律为),2cos(t T A y π= 周期s T 25.0=，振幅cm A 1=，试求支撑面所受压力的最大值和最小值。 解： 由题意可知：a m g m g m F A B A ±+= dt dy v dt dv m a m A A = =, 所以 又y 的值在[]0.1，1 .0-之间变化，所以当1.0-=y 时 物块B 所受压力最大。此时： 2 2 64.0s m a π=→ ?cos 02mg F ma F ma y y y === ∑ t co dt v d a t dt dy v ππππ864.08sin 08.02-== -== → → →
动量定理 动量守恒定律 (1)动量越大的物体，其速度越大。(×) (2)物体的动量越大，其惯性也越大。(×) (3)物体所受合力不变，则动量也不改变。(×) (4)物体沿水平面运动时，重力不做功，其冲量为零。(×) (5)物体所受合外力的冲量的方向与物体末动量的方向相同。(×) (6)物体所受的合外力的冲量方向与物体动量变化的方向是一致的。(√) (7)物体相互作用时动量守恒，但机械能不一定守恒。(√) (8)若在光滑水平面上的两球相向运动，碰后均变为静止，则两球碰前的动量大小一定相同。(√) 突破点(一) 动量定理的理解与应用 1．动能、动量、动量变化量的比较 动能 动量 动量变化量 定义 物体由于运动 而具有的能量 物体的质量和 速度的乘积 物体末动量与 初动量的矢量差 定义式 E k ＝12mv 2 p ＝mv Δp ＝p ′－p 标矢性 标量 矢量 矢量 特点 状态量 状态量 过程量 关联 方程 E k ＝p 22m ，E k ＝12pv ，p ＝2mE k ，p ＝2E k v 联系 (1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系 (2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能
2．应用动量定理解题的一般步骤 (1)明确研究对象和研究过程 研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统，系统内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的。研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。 (2)进行受力分析 只分析研究对象以外的物体施加给研究对象的力，所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力(内力)会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程的不同阶段中物体的受力情况不同，则要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。 (3)规定正方向 由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前可以先规定一个正方向，与规定的正方向相同的矢量为正，反之为负。 (4)写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量(或各外力在各个阶段的冲量的矢量和)。 (5)根据动量定理列式求解。 3．应用动量定理解题的注意事项 (1)动量定理的表达式是矢量式，列式时要注意各个量与规定的正方向之间的关系(即要注意各个量的正负)。 (2)动量定理中的冲量是合外力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，也可以是各力冲量的矢量和，还可以是外力在不同阶段的冲量的矢量和。 (3)应用动量定理可以只研究一个物体，也可以研究几个物体组成的系统。 (4)初态的动量p是系统各部分动量之和，末态的动量p′也是系统各部分动量之和。 (5)对系统各部分的动量进行描述时，应该选取同一个参考系，不然求和无实际意义。 [题点全练] 1．(2018·盐城期末)质量为m的小球，以初速度v竖直向上抛出，经过一段时间后回到抛出点。不计空气阻力，以竖直向上为正方向，则整个过程中，小球重力的冲量是( )
第9章动量矩定理及其应用 9— 1计算下列情形下系统的动量矩。 1. 圆盘以 3的角速度绕 0轴转动，质量为 m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时 小球以相对于圆盘的速度 v r 运动到0M = s 处(图a );求小球对 0点的动量矩。 2. 图示质量为 m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为 A ,质心为 C ,且AC = e ；轮子半 b )o ( 1)当轮子只滚不滑 (2)当轮子又滚又滑时，若 V A 、3已知，求轮 V A 、 R R 径为R ,对轮心A 的转动惯量为 时，若V A 已知，求轮子的动量和对 J A ； C 、A 、B 三点在同一铅垂线上(图 B 点的动量矩； 习题9 — 1图 （2） p 二 mv C =m （v A 亠： 2） 2 L B =mv c （R 亠e ）亠J c . =m （V A 亠?:、e ）（ R 亠 e ）亠（J A —me ） . = m （ R 亠e ）v A 亠（J A 亠 meR ）■. 9 — 2图示系统中，已知鼓轮以 3的角速度绕0轴转动， 其大、小半径分别为 R 、r ，对0轴的转动惯量为 J O ;物块 A 、B 的质量分别为 m A 和m s ;试求系统对 0轴的动量矩。 解： 2 2 L 0 = （J 0 ■ m A R - m s r ）■ ■ 习题9— 2图 9 — 3图示匀质细杆0A 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。若此结构在图示位 置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链 O 处的约束力。不计铰链摩擦。 解:令 m = m °A = 50 kg ，贝V m Ec = 2m 质心D 位置：（设I = 1 m ） 5 5 d = OD = —l = — m 6 6 刚体作定轴转动，初瞬时 3 =0 1 ■— ■ 2 mg l 2 J O =mg 2 1 2 2 2m （2l ）亠2 ml 3 ml 12 习题20-3图 即 3ml 2 ?. -5 mgl 2 5 g 6l = 8.17 rad/? t 5 a ° 二—l 6 由质心运动定理: t 3m a D 25 g 36 =3mg -F °y F °y 二 3mg 25 11 -3m ——g = — mg =449 36 12 （f ） n ? =o ， a D T ， F ox =o
理论力学课后习题答案-第10章--动能定理及其应用-)
(a) v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45o（图a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上 作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。 解： 1．22 2 2 22 16 3 )2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+=ω 2．2221222222 14321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3． 2 2222222)2(2 1 2121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系 统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2 1 21(21222 2 1 1 ωC C J v g W v g W + += 21 221121212211122]cos 22)2[(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1)[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 习题10－2图 习题10－3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10－1图 (b) (c) A
动量矩定理 12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动，其运动方程为： t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v t mab ωω3cos 2= 12-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。 解：（1）当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 轮子角速度 R v A =ω 质心C 的速度 )(e R R v C B v A C += =ω 轮子的动量 A C mv R e R mv p += =（方向水平向右） 对B 点动量矩 ω?=B B J L 由于 222)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故 [] R v e R m me J L A A B 22)( ++-= （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量 )(e v m mv p A C ω+== （方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 F mg ma C -=θsin （1） J C α = Fr （2） 因轮子只滚不滑，所以有 a C =αr （3）