第8章 动量定理及其应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 29 42=+=+= 方向同v B 。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
习 题 10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。 (1) 如图10-7a 所示，质量为m 的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心 O 的速度为0 v ；(2) 如图10-7b 所示，非匀质圆盘以角速度ω绕O 轴 转动，圆盘质量为m ，质心为C ，偏心距OC=a ；(3) 如图10-7c 所示，胶带轮传动，大轮以角速度ω转动。设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d 所示，质量为m 的匀质杆，长度为l ，绕铰O 以角速度ω转动。 图10-7 (a) 0v p m =； (b) ω ma p =（方向与C 点速度方向相同）； (c) 0=p ； (d) 2ωml p = （方向与C 点速度方向相同）。 10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB 的质量为2m 1，曲柄OC 的质量为m 1，而滑块A 和B 的质量均为m 2。已知：OC =AC =CB = l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常量。当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。 图10-8 方法一
C AB C OC B B A A m m m m v v v v p ++ +=2 C C B A m m m m v v v v 112222+++= C B A m m v v v 122 5)(+ += 因 )c o s s i n (j i v ??ω+-=l C j v ?ωcos 2l A = i v ?ωs i n 2l B -= 故 )cos sin (2 5)sin 2cos 2(12j i i j p ??ω?ω?ω+-+ -=l m l l m )cos sin (2 452 1j i ??ω+-+= l m m (与v C 方向相同) 方法二 规尺AB 、滑块A 和B 质心C 处，质量为2(m 1+m 2) 因此系统质心在OC 上，离O 轴距离 m l m m m l m m l m 2 45)(22 2 1211+= ++? = ξ 质心速度 ω ξωξl m m m m 2 452 1+= ==v p (方向垂直于OC ) 10-3 跳伞者质量为60kg ，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重
第10章 动量定理 10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？ (A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。 (B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。 (C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。 (D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。 答：（C ）。 10-2 以下说法正确吗？ （1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。 （2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。 （3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。 答：（1）× （2）× （3）√。 10-3 试求图中各质点系的动量。各物体均为均质体。 答：(a) ? ?? ??++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←）， (c) K =0， (d) v )2(1m m K +=（→）， (e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←）， v m K y 1=（↓）， v m m K 2 221+=。
题10-3图 10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。 答：S x = 200 ?2 N?s（→），S y = 246 ?7 N?s（↓）。 题10-4图题10-5图 10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s， 另一部分偏离一角α。忽略水重和摩擦，试确定角α和水对薄板的压力，假设水柱速度υ1 ＝υ2＝υ＝28m/s，总流量Q＝21L/s。 答：α= 30?，F N = 249N。 10-6扫雪车（俯视如图示）以4.5m/s的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至 路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB以2.5m/s的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力F R 和驱动扫雪车工作时的牵引力F T。 答：F R =1975 N，F T = 30377 N。
y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=
x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A )(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24 m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。
r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos ) (3 21321+++=
y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=
平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω
C v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO (a) 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45o（图a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作 纯滚动，图示瞬时角速度为 （图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆 AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动 能。 解：图（a ） B A T T T += )2 121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10－1图 (b) (c) A
第10章 动量定理 主要内容 10.1.1 质点系动量及冲量的计算 质点的动量为 v K m = 质点系的动量为 C i i m m v v K ∑=∑= 式中m 为整个质点系的质量；对于刚体系常用i C i i m v k K ∑=∑=计算质点系的动量，式中 v Ci 为第i 个刚体质心的速度。 常力的冲量 t ?=F S 力系的冲量 ?∑=∑=2 1 d )(t t i i t t F S S 或 ??=∑=2 1 21 d )(d )(R t t t t i t t t t F F S 10.1.2 质点系动量定理 质点系动量定理建立了质点系动量对于时间的变化率与外力系的主矢量之间的关系，即 )(d d e i t F K ∑= （1）质点系动量的变化只决定于外力的主矢量而与内力无关。 （2）质点系动量守恒定律：当作用于质点系的外力系的主矢量0) (=∑e i F ，质点系动 量守恒，即K =常矢量。或外力系的主矢量在某一轴上的投影为零，则质点系的动量在此轴 上的投影守恒，如0=∑x F ，则x K =常量。 10.1.3 质心运动定理 质点系的质量与质心加速度的乘积等于外力系的主矢量。即 ()())(d d d d e i i i c m t M t F v v ∑=∑= 对于刚体系可表示为 )(1 Ci e i n i m F a ∑=∑= 式中a Ci 表示第i 个刚体质心的加速度。 10.1.4 定常流体流经弯管时的动约束力 定常流体流经弯管时，v C =常矢量，流出的质量与流入的质量相等。若流体的流量为Q ，密度为ρ。流体流经弯管时的附加动约束力为
)(12N v v F -=''Q ρ 式中v 2,v 1分别为出口处和入口处流体的速度矢量。 基本要求 1． 能理解并熟练计算动量、冲量等基本物理量。 2． 会应用动量定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的情形。当外力主矢量为零时，会应用动量守恒定理求运动的问题。 3． 会求解定常流体流经弯管时的附加动反力。 4． 会应用质心运动定理解决质点系动力学两类问题。 重点讨论 动量定理的应用 应用质点系动量定理一般可解决质点系动力学的两类问题。一类是已知质点系的运动，这里指的是用动量及其变化率或质心的加速度所表示的运动，求作用在质点系上外力系中的未知约束力。另一类是已知作用于在质点系上的外力系或外力系在某一坐标轴上的投影，求质点系的动量变化率或质心的加速度。 应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点： 1．质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力，只需将外力表示在受力图上。 2．应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题，即已知力求运动的问题和已知运动求力的问题。一般用动量定理求未知约束力。 当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即 0)(=∑e i F ，i C i i m v k K ∑=∑==常矢量 当外力系的主矢量在某一轴（如x 轴）上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数，即 0)(=∑e ix F ，Cx ix i x mv v m K ==∑=常数 对于刚体系可表示为 Cix i v m ∑=常数 利用以上动量守恒的关系，可以确定系统的运动。 例题分析 例10-1 一水柱以速度 v 沿水平方向射入一光滑叶片。设水柱的射入速度与叶片相切，水柱的截面积为A ，密度为 ，水柱离开叶片时的倾角为，不计水柱的重量。若叶片固 定不动，求叶片对水柱的附加动约束力主矢的分量F x 和F y 。
第十章动量定理10-1
动量是矢量 lO-2 质点系动量定理的导数形式为()∑=e i F dt P d ，积分形式() dt F P P t t e i ∑?=-2 1 12 t ， 以下说法正确的是： A ．导数形式和积分形式均可在自然轴上投影。 B ．导数形式和积分形式均不可在自然轴上投影。 C ．导数形式能在自然轴上投影，积分形式不能在自然轴上投影。 D ．导数形式不能在自然轴上投影，积分形式可在自然轴上投影。 答：C
10-3 质量为m 的质点A 以匀速v 沿圆周运动，如图所示。求在下列过程中质点所受合力的冲量： (1)质点由A 1运动到A 2(四分之一圆周)； (2)质点由A 1运动到A 3(二分之一圆周)； (3)质点由A 1运动一周后又返回到A 1点。 答：x x x P P I 12-=∑ y y y P P I 12-=∑ (1) mv mv P P I x x x -=-=-=∑012 mv mv P P I y y y -=--=-=∑012 (2) mv P P I x x x 212-=-=∑ 012=-=∑y y y P P I (3) 0=∑I 10-4 某质点的动量为：k t j t i e P t ?-?-?=-5sin 3cos 23 求作用在质点上的力F 。 答：k t j t i e dt P d F t ?-?+?-==-5cos 15sin 23 10-6 两均质直杆AC 和CB ，长度相同，质量分别为m l 和m 2。两杆在点C 由铰链连接，初始时维持在铅垂面内不动，如图10-14所示。设地面绝对光滑，两杆被释放后将分开倒向地面。问m l 与m 2相等或不相等时，C 点的运动轨迹是否相同 ? 10-5
第十章习题解答 10-1 判断下列说法正确与否 （1）质点运动的方向就是受力方向。 （2）质点受到的力大，则速度也大，受到的力小则速度也小。 （3）两个质量相同的质点，如果受到的力相同，则它们在同一坐标系中的运动微分方程完全相同，运动规律也完全相同。 解：（1）不对，质点运动的方向是其受合力的方向。 （2）不对，第一宇宙速度很大，但是加速度很小。 （3）对。 10-2 质点受力已知，则其运动微分方程的形式与下列哪些因素有关？ （1）坐标原点的位置； （2）坐标轴的取向； （3）坐标轴的形式（直角坐标系或自然坐标系）； （4）初始条件。 解：只与（4）有关。理由：（1）（2）（3）只影响大小、方向，不影响微分方程。 10-3 小球质量为m ，用两细绳AB 、AC 挂起，如图10-7所示。现在把绳AB 突然剪断，试求这一瞬时绳AC 的拉力，并求出AB 未剪断时绳AC 的拉力。 解: 未剪断前： AB 和AC 的拉力F 相同，所以 θ θcos 2mg F mg COS F AC AC = →= 剪断后： 此时，受力如图 ，这时，由平行四边形定则可知， θ cos mg F AC = 10-4 如图10-8所示，在桥式起重机的小车上用长度为l 的钢丝绳悬掉着质量为m 的重物A 。 小车以匀速o v 向右运动时，钢丝绳保持铅垂方向。设小绳的拉力1F 。设重物摆到最高位置时的偏角为?，再求此瞬时拉力2F 。 解： 刚开始晃动时： 图 10-8 mg l mv F mg F Fu Fu l mv o o +=-==∑ ∑ 2 112
2 s m 5.2a =-=+=解得：Mg F Ma m m M B A N F a m F g m x k A A 15011==--?解得：偏角为?时，运用平行四边形原则可求知： 10-5 如图10-9所示重量都是200N 的物块A 和B ，链接在弹簧两端，再一起放进框架内。 这时，弹簧被压缩了10mm 。设弹簧刚度mm N k 40=，弹簧和框架的重量可以不计。现以 铅垂力N F 500=向上拉动框架，试分别求出物块A 、B 对框架的压力。 解： 由题意可知: 对整体分析： 对物块A 分析： 对物块B 分析： N F a m x k g m F B B 65022==?--解得： 10-6重物A 和重物B 的质量分别为kg m A 20=和kg m B 40=，相互用质量可以不计的弹簧连接，如图10-10所示。已知重物A 沿铅直向上的y 做简谐运动，其规律为),2cos(t T A y π= 周期s T 25.0=，振幅cm A 1=，试求支撑面所受压力的最大值和最小值。 解： 由题意可知：a m g m g m F A B A ±+= dt dy v dt dv m a m A A = =, 所以 又y 的值在[]0.1，1 .0-之间变化，所以当1.0-=y 时 物块B 所受压力最大。此时： 2 2 64.0s m a π=→ ?cos 02mg F ma F ma y y y === ∑ t co dt v d a t dt dy v ππππ864.08sin 08.02-== -== → → →
习题 11-1质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为： 。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点 O的动量矩。 11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。<1）杆重忽略不计；<2）杆为均质杆，质量为2m。b5E2RGbCAP 图11-25 (1> (2> 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m。 图11-26 (a>
(b> (c> (d> 11-4如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m，高为h，试求对底边的转动惯量Jx。 图11-27 面密度为 在y处 微小区域对于z轴的转动惯量 11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC所在平面垂直的质心轴的转动惯量。p1EanqFDPw 图11-28 11-6 如图11-29所示，物体以角速度w绕O轴转动，试求物体对于O轴的动量矩。(1> 半径为R，质量为m的均质圆盘，在中央挖去一边长为R的正方形，如图11-32a所示。(2> 边长为4a，质量为
m的正方形钢板，在中央挖去一半径为a的圆，如图11-32b所示。DXDiTa9E3d 图11-29 (1> (2> 11-7如图11-30所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC＝e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B点的动量矩：(1>当轮子只滚不滑时，已知vA；(2>当轮子又滚又滑时，已知vA、w。RTCrpUDGiT 图11-30 (1>
·115· 第10章 动量定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1．内力虽不能改变质点系的动量，但可以改变质点系中各质点的动量。 ( √ ) 2．内力虽不影响质点系质心的运动，但质点系内各质点的运动，却与内力有关。( √ ) 3．质点系的动量守恒时，质点系内各质点的动量不一定保持不变。 ( √ ) 4．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心坐标保持不变。 ( × ) 5．若质点系所受的外力的主矢等于零，则其质心运动的速度保持不变。 ( √ ) 二、填空题 1．质点的质量与其在某瞬时的速度乘积，称为质点在该瞬时的动量。 2．力与作用时间的乘积，称为力的冲量。 3．质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4． 质点系的动量随时间的变化规律只与系统所受的外力有关，而与系统的内力无关。 5．质点系动量守恒的条件是质点系所受外力的主矢等于零，质点系在x 轴方向动量守恒的条件是质点系所受外力沿x 轴方向投影的代数和等于零。 6．若质点系所受外力的矢量和等于零，则质点系的动量和质心速度保持不变。 三、选择题 1．如图10.12所示的均质圆盘质量为m ，半径为R ，初始角速度为0ω，不计阻力，若不再施加主动力，问轮子以后的运动状态是( C )运动。 (A) 减速 (B) 加速 (C) 匀速 (D) 不能确定 2．如图10.13所示的均质圆盘质量为m ，半径为R ，可绕O 轴转动，某瞬时圆盘的角速度为ω，则此时圆盘的动量大小是( A )。 (A) 0P = (B) P m R =ω (C) 2P m R =ω (D) 2P m R /=ω 图10.12 图10.13 3．均质等腰直角三角板，开始时直立于光滑的水平面 上，如图10.14所示。给它一个微小扰动让其无初速度倒下，问其重心的运动轨迹是( C )。 (A) 椭圆 (B) 水平直线 (C) 铅垂直线 (D) 抛物线 A B C 图10.14
— 1 — 第8章 动量定理及其 应用 8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ，θ＝45°，ω为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一 端O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C = ωml 2 5，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ω，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2 ()60cos ([2 121?+?+?- +?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]4 2)[(2 12 121m m l l m m v m m +++- +=ω ω（解图（c ））。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆的角速度为ω，求此时系统的动量。 习题8-1解图 (a) (b) (c) 习题8-1图 v (a) (b) (c) C 习题8－2解图
— 2 — 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B ω ωωml ml l m p p p BC AB 2 942 =+=+= 方向同v B 。 8－3 两均质杆AC 和BC 的质量分别为m 1和m 2，在C 点用铰链连接，两杆立于铅垂平面内，如图所示。设地面光滑，两杆在图示位置无初速倒向地面。问：当m 1= m 2和m 1= 2m 2时，点C 的运动轨迹是否相同。 解：根据受力分析知：∑=0x F ，故系统的质心在水平方向运动守恒。 当m 1= m 2时，系统关于y 轴对称，质心位于y 轴上，且沿y 轴作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹亦为铅垂直线。 当m 1= 2m 2时，质心位于y 轴左侧，且作铅垂直线运动，点C 的运动轨迹必为曲线。 故两种情况下，点C 的运动轨迹不相同。 8－4 图示水泵的固定外壳D 和基础E 的质量为m 1，曲柄OA =d ，质量为m 2，滑道B 和活塞C 的质量为m 3。若曲柄OA 以角速度ω作匀角速转动，试求水泵在唧水时给地面的动压力（曲柄可视为匀质杆）。 解：以整个水泵为研究对象，受力如图（a ）： 解法1：用动量定理求解 瞬时t ，系统动量 p = p 2+p 3 ω2 2222d m v m p C ? ==，方向如图 ?ωs i n 3333 d m v m p C ==，方向如图 由质系动量应理： ∑==y y y F F t p d d (1) ∑= =x x x F F t p d d (2) ?ω?ωs i n s i n 23232d m d m p p p y y y +?=+= ? ωc o s 2 232d m p p p x x x ? =+= x x x F F F == ∑ g m m m F F F )(321++-==∑y y y 代入（1）、（2），并注意到t ω?=得： g m m m F t d m t d m t y )(s i n s i n 2d d 32132++-=??? ??+?ωωωω x F t d m t =?? ? ???ωωc o s 2d d 2 得t ωd m m g m m m F 2 y ωcos 2 2)(3 2321++++= （3） t m d F 2 x ωωs i n 2 2- = （4） 习题8－4图 习题8－3解图 p (a)
理论力学11章作业题解 11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。 解 (a) 2 1l m l mv L c O w == ，逆时针转动。 (b) w w 2 210||1mR J L v m r L c c c O =+=+′=r r ，逆时针转动。 (c ) )2(2 2 12 2 12 1l R m ml mR ml J J c O +=+=+= w w )2(2 2111l R m J L O O +==，逆时针转动。 (d) w w mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2 2 11-=-=-=-=+′= r r ，顺时针转动 v c v c v c
11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。 解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。平衡时弹簧受力为： )5.0(312G G F s += 弹簧初始变形量： k G G k F s st /)5.0(3/12+==d 在j 角时弹簧的拉力为（小位移）： 3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=￠ 系统对A 点的动量矩： j j j &&&2 21233l g G G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/?=E i A A F M dt dL r ： j j 9 3/5.0332 21221kl l F lG lG l g G G s -=￠-+=+&& 0)3(321=++j j G G gk &&，令) 3(3212G G gk p +=则有02=+j j p &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j 由初始条件0| ,/|000====t t l j d j &得l B A / ,00d ==。故运动方程为： )cos(0 pt l d j = G 1 G 2 F Ax F Ay F s
(a) A (a) O 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上 A 、 B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，θ = 45o（图 a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上 作纯滚动，图示瞬时角速度为ω（图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B (a) 习题10－1图 (b) (c)
8－1 计算下列图示情况下系统的动量。 (1) 已知OA ＝AB ＝l ， ＝45°， 为常量，均质连杆AB 的质量为m ，而曲柄OA 和滑块B 的质量不计（图a ）。 (2) 质量均为m 的均质细杆AB 、BC 和均质圆盘CD 用铰链联结在一起并支承如图。已知AB = BC = CD = 2R ，图示瞬时A 、B 、C 处于同一水平直线位置，而CD 铅直，AB 杆以角速度ω转动（图b ）。 (3) 图示小球M 质量为m 1，固结在长为l 、质量为m 2的均质细杆OM 上，杆的一端 O 铰接在不计质量且以速度v 运动的小车上，杆OM 以角速度ω绕O 轴转动（图c ）。 解：（1）p = mv C =ωml 2 5 ，方向同C v （解图（a ） ）； （2）p = mv C 1 + mv C 2 = mv B = 2Rm ，方向同B v ，垂直AC （解图（b ））； （3）j i p )60sin 2 60sin ()]60cos 2()60cos ([2121?+?+?-+?-=ωωωωl m l m l v m l v m j i 4 23]42)[(2 12121m m l l m m v m m +++- +=ωω（解图（c ） ）。 8－2 图示机构中，已知均质杆AB 质量为m ，长为 l ；均质杆BC 质量为4m ，长为2l 。图示瞬时AB 杆 的角速度为ω，求此时系统的动量。 解：杆BC 瞬时平移，其速度为v B A B O C v C O 1 A B C D ω v B C C v C 1 v C 2 O M ω 60? v r 习题8-1解图 (a) (b) (c) y 习题8-1图 A B O A B C D ω O M ω 60? (a) (b) (c) 习题8－2解图 v B
·125· 第11章 动量矩定理 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 质点系对某固定点(或固定轴)的动量矩，等于质点系的动量对该点(或轴)的矩。 (×) 2. 质点系所受外力对某点(或轴)之矩恒为零，则质点系对该点(或轴)的动量矩不变。(√) 3. 质点系动量矩的变化与外力有关，与内力无关。 (√) 4. 质点系对某点动量矩守恒，则对过该点的任意轴也守恒。 (√) 5. 定轴转动刚体对转轴的动量矩，等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度之积。 (×) 6. 在对所有平行于质心轴的转动惯量中，以对质心轴的转动惯量为最大。 (×) 7. 质点系对某点的动量矩定理e 1d ()d n O O i i t ==∑L M F 中的点“O ”是固定点或质点系的质心。 (√) 8. 如图11.23所示，固结在转盘上的均质杆AB ，对转轴的转动惯量为20A J J mr =+ 221 3 ml mr =+，式中m 为AB 杆的质量。 (×) 9. 当选质点系速度瞬心P 为矩心时，动量矩定理一定有e 1 d ()d n P P i i t ==∑L M F 的形式，而 不需附加任何条件。 (×) 10. 平面运动刚体所受外力对质心的主矩等于零，则刚体只能做平动；若所受外力的主矢等于零，刚体只能作绕质心的转动。 (×) 图11.23 二、填空题 1. 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。 2. 质量为m ，绕z 轴转动的回旋半径为ρ，则刚体对z 轴的转动惯量为2ρm J z =。 3. 质点系的质量与质心速度的乘积称为质点系的动量。 4. 质点系的动量对某点的矩随时间的变化规律只与系统所受的外力对该点的矩有关，而与系统的内力无关。 5. 质点系对某点动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对该点之矩的矢量和等于零，质点系的动量对x 轴的动量矩守恒的条件是质点系所受的全部外力对x 轴之矩的代数