课后限时作业（二十七）
A 级
（时间：40分钟 满分：90分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）
1. 已知等差数列{a n }中，a 2=6,a 5=15，若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于 ( )
A.30
B.45
C.90
D.186 解析：设公差为d,则116,415,
a d a d +=??+=?解得13,3.a d =??=? 所以a n =3n,
b n =a 2n =6n,b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=6+12+…+30=90.故选C.
答案：C
2. 在等差数列{a n }中，若a 1,a 4是方程x 2-x-6=0的两根，则a 2+a 3的值为 ( )
A.6
B.-6
C.-1
D.1 解析：由等差数列性质a 2+a 3=a 1+a 4=1.故选D.
答案：D
3.（2013届·宁德质检）在等差数列{a n }中，若S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值为 （ ）
A.9
B.12
C.15
D.17
解析：因为S 4=1,S 8-S 4=3,所以S 12-S 8=5，S 16-S 12=7,S 20-S 16=9.
答案:A
4.若lg 2,lg(2x -1),lg(2x
+3)成等差数列，则x 的值等于 （ ）
A.1
B.0或32
C.32
D.2log 5
解析：由已知得2lg(2x -1)=lg2+lg(2x +3),所以(2x )2-4(2x )-5=0,所以2x =5.所以x=2log 5. 答案:D
5. 在等差数列{a n }中，S n 为前n 项的和，且a 1>0，3a 2=5a 4，则S n 中最大的是 （ ）
A.S 6
B.S 10
C.S 6或S 7
D.S 12 【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ，则据题意得3a 2=5a 4，所以3(a 1+d)=5(a 1+3d),即a 1+6d=0，所以a 7=0，故S 6或S 7为前n 项和的最大值.
答案:C
6.（2013届·厦门适应性考试）等差数列{a n }的公差d<0，且a 2·a 4=12,a 2+a 4=8,则数列{a n }的通项公式是 ( )
A.a n =2n-2(n ∈N *)
B.a n =2n+4(n ∈N *)
C.a n =-2n+12(n ∈N *)
D.a n =-2n+10(n ∈N *)
【解析】因为a 2·a 4=12,a 2+a 4=8,则a 2=2,a 4=6或a 2=6,a 4=2.
因为d<0，所以a 2=6,a 4=2.所以a 1+d=6,a 1+3d=2,解得a 1=8,d=-2,
所以a n =-2n+10.选D.
答案:D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
7.在等差数列{a n }中，a 5=120,则a 2+a 4+a 6+a 8= .
解析：因为a 2+a 8=a 4+a 6=2a 5,所以a 2+a 4+a 6+a 8=4a 5=480.
答案:480
8.已知等差数列{a n }其前n 项和为S n ，且S 10=10，S 20=30，则S 30= .
解析：S 10，S 20-S 10，S 30-S 20成等差数列，所以S 30-S 20=30，S 30=60.
答案:60
9. 已知一个等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，各项的和为210，则此等差数列共有 项.
【解析】因为a 1+a 2+a 3+a 4=124,a n +a n-1+a n-2+a n-3=156.
两式相加得4(a 1+a n )=124+156=280,所以a 1+a n =70， 所以1()7022n n n a a n S +=
==35n=210,所以n=6. 答案:6
10.（2013届·山东济宁质检）已知数列{n a }是等差数列，若a 4+a 7+a 10=17,a 4+a 5+a 6+…+a 12+a 13+a 14=77且a k =13,则k= .
解析：设数列{n a }的首项为a 1,公差为d.
则a 4+a 7+a 10=3a 1+18d=17, ①
a 4+a 5+a 6+…+a 12+a 13+a 14=414()112
a a +?=77, 即11a 1+88d=77,化简得a 1+8d=7. ② 由①②得152,.33
a d == 所以152(1)(1)13,33k a a k d k =+-=
+-=解得k=18. 答案：18
三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
11.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ,a 2=2,S 5=0.
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）当n 为何值时，n S 取得最大值.
解：（1）因为a 2=2,S 5=0,所以112,5450.2
a d a d +=????+=??
解得1a =4,d=-2,所以n a =4+（n-1）×（-2）=6-2n.
（2）221(1)5254(1)5().224
n n n d S na n n n n n n -=+=--=-+=--+ 因为n ∈N*,所以当n=2或n=3时，n S 取得最大值6.
12.（2013届·福州质检）已知等差数列{n a }中，a 2=-20,a 1+a 9=-28.
(1)求数列{n a }的通项公式；
（2）若数列{b n }满足a n =log 2b n ,设T n =b 1b 2…b n ,且T n =1,求n 的值.
解：（1）由已知易求a 1=-22,d=2,
所以n a =-22+(n-1)·2=2n-24.
(2)因为n a =log 2b n ,所以b n = 2n a =2
2n-24,而T n =b 1b 2…b n , 所以T n = 2121[22(224)]2322
22n n n a a a n n -+-+++-== ,因为T n =1, 所以n 2-23n=0,解得n=23或n=0(舍去）.
B 级
1. 已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是 ( )
A.21
B.20
C.19
D.18
【解析】因为a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,
所以3a 3=105,3a 4=99，即a 3=35,a 4=33,
所以a 1=39,d=-2，即a n =41-2n.
令a n >0且a n +1<0,n ∈N *,则有n=20.故本题选B.
答案:B
2.在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200,a 51+a 52+…+a 100=2 700,则a 1为 （ ）
A.-22.5
B.-21.5
C.-20.5
D.-20
解析：由已知得d=1,a 1=-20.5.
答案:C
3. 设n S 为等差数列{n a }的前n 项的和，1a =-2 008, 200720052,20072005
S S -=则2008S 的值为 ( )
A.-2 007
B.- 2 008
C.2 007
D.2 008
解析：设公差为d,因为1(),2n n a a n S +=
200720052,20072005
S S -= 20072005120071200520072005,20072005222
S S a a a a a a d ++--=-== 所以d=2, 2008120082007200822008.2S a ?=+?=-故选B. 答案：B
4. 数列{a n }中，a 2=2，a 6=0，且数列11n a ????+??
是等差数列，则a 4= .
【解析】因为a 2=2，a 6=0，且11n a ????+??是等差数列，故261111,1,12131a a ===+++所以 426111142111133
a a a ?=+=+=+++，解得41.2a = 答案:12
5.（2013届·泉州质检）已知数列{a n }的首项a 1=3,通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n =S n ·S n-1 (n ≥2).
(1)试说明1n S ??????
是等差数列，并求其公差.
（2）求数列{a n }的通项公式.
【解】(1)当n ≥2时，因为11,2,n n n n
n n a S S a S S --=-??=??所以2(S n -S n-1)=S n ·S n-1. 两边同除以S n ·S n-1，得11112
n n S S --=-(n ≥2). 又因为11111,3S a ==故1n S ??????是首项为13，公差为12-的等差数列. (2)因为1111153(1)(1)(),326
n n n d n S S -=+-=+--= 所以6.53n S n =
- 所以当n ≥2时，1118,2(35)(38)
n n n a S S n n -=?=--, 所以3,1;18, 2.(35)(38)n n a n n n =??=?≥?--?
6.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=25,a 4=16.
(1)当n 为何值时，S n 取得最大值；
（2）求a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 20的值；
（3）求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：（1）由已知易得d=-3,令a n ≥0,所以-3n+28≥0,n ≤283, 所以n=9时,S n 最大.
（2）a 2+a 4+…+a 20= 22010()2
a a +=10a 11=-50. (3)由（1）得当n ≤9时，a n >0,当n>9时,a n <0. 所以T n =a 1+a 2+…+a 9-a 10-a 11-…-a n =2(a 1+a 2+…+a 9)-(a 1+a 2+…+a n ) =2S 9-S n = 2353234.22n n -+
1. 等差数列 a n 中,已知 a 1 10, d 2, 则 a 6 —— . 2. 等差数列 a n 中,已知 a 3 1, a 9 9, 则a 5 a 6 a 7 _______. 3. 等差数列 a n 中, a 2 6,a 8 6,则s 9 _______. 4. 等差数列 a n 中, a 2 9, a 5 21,则 a n _________. 5. 等差数列 a n 中， a 2 a 5 11, a 4 7, 则 a 8 _____ . 6. 在等差数列 a n 中 a 1 a 4 a 7 39,则 a 2 a 5 a 8 33, 则 a 3 a 6 a 9 ____ 7．在等差数列 a n 中，若 a 3 +a 4 +a 5 +a 6 +a 7 =450 , 则 a 2 +a 8 =_______. 8.已知等差数列 a n 中， a 2与 a 6 的等差中项为 5 ， a 3与 a 7 的等差中项为 7 ，则 a n . 9．等差数列 a n 中， S n =40， a 1 =13，d= -2 时， n=______________. 10 ．已知等差数列 a n 的前 n 项和为 s , s 7 35, s 80, 则 a 1 __, d=____. n 10 11. 已知等差数列 a n 的前 m 项和为 30, 前 2m 项和为 100, 则前 3m 项和为 ____. 12.在等差数列 a n 中 a 1 a 2 a 3 15, a 4 a 5 a 6 3, 则s ____ 12 13. 等差数列 a n 中 , 若a 10 100, a 100 10, 那么 a 110 _____. 14.等差数列 a n 中, a 1 <0, s 25 s 45, 若 最小， s n 则 n=______ 15．已知等差数列 { a n } 中， a 3 a 7 16, a 4 a 6 0, 求 { a n } 前 n 项和 s n . 16.等差数列 { a n } 的前 n 项和记为 S n ，已知 a 10 20, S 20 410， （1）求数列 { a n } 的通项公式； （2）若 S n =135，求以 n ．
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
课时作业(四) 等差数列的性质 [练基础] 1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 2．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6 D ．12 3．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51 5．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则4 km 高度的气温是________ ℃ 6．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n ) 的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值． [提能力] 7．(多选题)下列说法中不正确的是( ) A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列 B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列 C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
基础题训练1 1. 等差数列{}n a 中,已知,2,101-==d a 则=6a ——. 2. 等差数列{}n a 中,已知=++==76593 ,9,1a a a a a 则_______. 3. 等差数列{}n a 中,==-=982,6,6s a a 则_______. 4. 等差数列{}n a 中,===n a a a 则,21,952_________. 5. 等差数列{}n a 中，_____,7,118452=-=-=+a a a a 则. 6. 在等差数列{}n a 中,33,39852741=++=++a a a a a a 则=++963a a a 则____ 7．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =_______. 8.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 9．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d = -2 时，n =______________. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为__,,80,35,1107===a s s s n 则d=____. 11. 已知等差数列{}n a 的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则前3m 项和为____. 12.在等差数列{}n a 中,3,15654321=++=++a a a a a a =12s 则____ 13. 等差数列{}n a 中,._____,10,10011010010===a a a 那么若 14.等差数列{}n a 中, 1a <0, 最小，若n s s s ,4525=则n=______ 15．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s . 16.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102020,410a S ==， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若S n =135，求以n ． 基础题训练2 1.{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( ) A ．－2 B ．－12 C.12 D ．2
课时作业9 等差数列的前n 项和 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．等差数列{a n }中，a 4＝7，a 5＋a 6＝20，则前n 项和为( ) A ．n 2 B ．n 2＋n C ．2n 2 D ．2n 2－n 解析：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有 { a 4＝a 1＋3d ＝7，a 5＋a 6＝2a 1＋9d ＝20，解得{ a 1＝1，d ＝2. 所以S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，选A. 答案：A 2．(江西九江期末)在等差数列{a n }中，已知a 6＝1，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13 解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2 ＝11×a 6＝11.故选C. 答案：C 3．已知等差数列{a n }中a 1＝1，S n 为其前n 项和，且S 4＝S 9，a 4＋a k ＝0，则实数k 等于( ) A ．3 B ．6 C ．10 D ．11 解析：因为等差数列{a n }中a 1＝1，S n 为其前n 项和， 且S 4＝S 9， 所以S 9－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， 所以5a 7＝0，即a 7＝0， 由等差数列的性质可得a 4＋a 10＝2a 7＝0， 因为a 4＋a k ＝0，所以k ＝10. 故选C. 答案：C 4．(山东枣庄八中月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则S 9等于( ) A ．45 B ．81 C ．27 D ．54 解析：因为数列{a n }是等差数列， 所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)， 即9＋S 9－36＝2(36－9)， 解得S 9＝81.故选B. 答案：B
课题§6.2.1 等差数列的概念说课稿 尊敬的各位领导各位老师 大家上午好！ 今天我说课内容是选自人教版数学（基础模块）下册第六章第二节《等差数列的概念》，本节是第一课时。下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。 一、教材分析 1.教材的地位与作用 等差数列是数列这一章的重要内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入学习和拓展。同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。所以，本节课在知识结构上起着承上启下的作用。 2、教学目标 根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标： 【知识目标】 a.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。 b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。 【能力目标】 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力；提高学生分析问题解决问题的能力。 【情感目标】 a．让学生体验从特殊到一般的认知规律，培养学生勇于创新的
科学精神。 b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。 3.教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念和通项公式。 【教学难点】 等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。 二、学情分析 中职学生数学基础比较薄弱，但作为高中生他们本身具备一定的观察，思考，分析能力。前面已对数列的知识有了初步的接触与认识，对数学公式运用已具备一定的技能，针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识背景出发，充分调动学生的积极性，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。 三、教法与学法 【教法分析】 本节课我采用启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，在教师的启发引导下，使学生主动参与数学实践活动，让学生去分析、探索，得到结论。从而使学生既获得知识又发展智能。通过讲练结合法可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 【学法分析】 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去观察分析，探索新知。同时鼓励学生大胆质疑，学会探究，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学过程设计
练习题：等差数列 第一类：已知等差数列的首项a1，项数n，公差d, 求末项用公式：a n= a1+（n-1）×d （1）一个等差数列的首项为5，公差为2，那么它的第10项是（）。 （2）等差数列7、11、15……、87，问这个数列共有（）项。（3）等差数列3 、7 、11…，这个等差数列的第（）项是43。（4）已知等差数列的第1项为12，第6项为27。求公差（）。 （5）已知一个等差数列的公差为2，这个等差数列的第10项是为23，这个等差数列的首项是（）。 （6）一堆木料，最下层有24根，往上每一层都比下一层少2根，共10层，最上层有（）根木料。
（7）把70拆成7个自然数，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都相等，那么，中间的数是（）。 （8）5个连续奇数的和是35，其中最大的奇数是（）。 第二类：已知等差数列的首项a1，末项a n，项数n, 求和用公式：s n=（a1+ a n）×n÷2 ［或s n=中间数×项数］ 1、已知等差数列2，5，8，11，14，17，20，求这个数列的和是（）。 2、等差数列7+11+15+19+23+27+31+35的和是（） 3、求1+2+3+4+5+6+7+ (20) 4、1+3+5+7+9+11+ (19)
5、已知等差数列的首项是5，末项是47，求这个数列共有8项，求这个数列的和是（）。 6、王师傅每天工作8小时，第一小时加工零件5个，从第二小时起每小时比前一小时多加工相同的零件，第8小时加工了23个，王师傅一天加工零件（）个。 7、已知等差数列2，5，8，11，14…，求前11项的和是多少？ 8、数列1、4、7、10、……，求它的前21项的和是多少？ 9、等差数列7，11，15，………87，这个数列的和是多少？
本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来
研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用 不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生
第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b ≠2. 答案：B 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n 2 n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2 n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2 n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得 S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1. 3.(2009·福建高考)n n 334，则公差d 等于 ( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3
解析：∵S 3＝ (a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12 ＝2. 答案：C 4．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 解析：a n ＝????? S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2) ＝????? －8 (n ＝1) －10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 姓名：_______________学号：____________________班级：_____________________ 等差数列基础检测题 一、选择题（共60分，每小题5分） 1、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 2、已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n D ．2(n －1) 4、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( ) A ．是公差为d 的等差数列 B ．是公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．以上都不对 5、在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13 C ．－12 D ．－13 6、在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( ) A ．45 B ．41 C ．39 D ．37X k b 1 . c o m 7、等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1 x ，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．82 3 8、已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列 9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 10、若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( ) A ．24 B ．27 无为二中公开课 教 学 设 计 课题《2.2等差数列》 执教人：汪桂霞 班级：高一（10）班 时间：2017.3.28（星期二）下午第一节 高一数学必修5 等差数列 第一课时 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解等差数列的定义及等差中项的定义 2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式 3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧 （2）过程与方法目标 1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力 3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力 （三）情感态度与价值观目标 1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2.渗透函数、方程、化归的数学思想； 3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。 二、教学重难点 （一）重点 1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。 （二）难点 1、等差数列的应用及其证明 三、教学过程 （1）背景问题，创设情景 上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。 思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？ 1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年 我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062...... 思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？ 1234567 (9) 高度 h(km) 温度t(°)2821.5158.52(-4.5)(-11)......(-24)特点：高度每增加一千米，温度就降低6.5度。 我们把表格中的数据写成数列的形式：28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24....... [A 组 学业达标] 1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝4π，则cos a 5的值为( ) A ．－1 2 B ．－3 2 C.32 D.12 解析：因为{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝4π， 所以3a 5＝4π，解得a 5＝4π 3. 所以cos a 5＝cos 4π3＝－1 2. 答案：A 2．在等差数列{a n }中，a 3＋3a 8＋a 13＝120，则a 3＋a 13－a 8＝( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 解析：因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋3a 8＋a 13＝5a 8＝120，所以a 8＝24， 所以a 3＋a 13－a 8＝a 8＝24. 答案：A 3．设e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且公差为d ，若eh ＝13，f ＋g ＝14，则d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且eh ＝13，e ＋h ＝f ＋g ＝14， 解得e ＝1，h ＝13或e ＝13，h ＝1(不合题意，舍去)； 所以公差d ＝13(h －e )＝1 3×(13－1)＝4. 答案：D 4．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为() A．12 B．8 C．6 D．4 解析：由等差数列性质得， a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 答案：B 5．若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是 () A．{λa n}(λ为常数) B．{a n＋b n} C．{a2n－b2n} D．{a n·b n} 解析：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λa n＋1－λa n＝λ(a n＋1－a n)＝λd为常数，则该数列为等差数列； 对于B，由a n＋1＋b n＋1－a n－b n＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝2d为常数，则该数列为等差数列； 对于C，由a2n＋1－b2n＋1－(a2n－b2n)＝(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)－(b n＋1－b n)(b n＋1＋b n) ＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列； 对于D，由a n＋1b n＋1－a n b n＝(a n＋d)(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数，则该数列不为等差数列． 答案：D 6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________. 解析：法一：d＝a10－a5 10－5 ＝ b－a 5， 姓名：_______________学号：____________________班级：_____________________ 等差数列基础检测题 一、选择题（共60分，每小题5分） 1、已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，则a 4等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．9 2、已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3、在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项公式a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．2n －1 C ．2n D ．2(n －1) 4、等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)( ) A ．是公差为d 的等差数列 B ．是公差为cd 的等差数列 C ．不是等差数列 D ．以上都不对 5、在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13 C ．－12 D ．－13 6、在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝( ) A ．45 B ．41 C ．39 D ．37X k b 1 . c o m 7、等差数列{a n }中，前三项依次为1x ＋1，56x ，1x ，则a 101＝( ) A ．5013 B ．1323 C ．24 D ．823 8、已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列 9、已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 10、若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( ) A ．24 B ．27 C ．30 D ．33 11、下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8，… ②3,0，－3,0，－6，… ③0,0,0,0，… ④110，210，310，410 ，…新 课 标 第 一 网 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12、首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞83 B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， 2021年高中数学 第二章 2.2等差数列（二）课时作业 新人教A 版必修5 课时目标 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式． 2．熟练运用等差数列的常用性质． 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n ＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12 a 8的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12 (2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12 a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33 D ．－ 3 答案 D 解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3 . ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3 ＝tan 2π3 ＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B 解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， 2.2等差数列的概念及通项公式 【基础练习】 1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数 (1).1，3，5，7 (2).2，4，6，8 (3).4，7，10，13 (4).101，51，103，5 2 2.如果12+=n a n ，则____12=-a a ，____23=-a a ，____1=-+n n a a .根据其特点，你得出的结论是_____________. 3.某货运公司的一种计费标准是：1公里以内收费5元，以后每1公里收2.5元，如果运输某批货物80公里，那么需支付_______元运费. 4.已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a _______. 5. .已知数列{}n a 满足11=a ， 1111=-+n n a a ，求n a . 【巩固练习】 1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 3.如果数列}{n a 是等差数列，则 （ ） A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a = 4.在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ） A ．11项 B ．12项 C ．13项 D ．14项 5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113 a a - 的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a += 1. 等差数列{}n a 中,已知,2,101-==d a 则=6a ——. 2. 等差数列{}n a 中,已知=++==76593 ,9,1a a a a a 则_______. 3. 等差数列{}n a 中,==-=982,6,6s a a 则_______. 4. 等差数列{}n a 中,===n a a a 则,21,952_________. 5. 等差数列{}n a 中，_____,7,118452=-=-=+a a a a 则. 6. 在等差数列{}n a 中,33,39852741=++=++a a a a a a 则=++963a a a 则____ 7．在等差数列{}n a 中，若34567a +a +a +a +a =450,则28a +a =_______. 8.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = . 9．等差数列{}n a 中，n S =40，1a =13，d = -2 时，n =______________. 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为__,,80,35,1107===a s s s n 则d=____. 11. 已知等差数列{}n a 的前m 项和为30, 前2m 项和为100, 则前3m 项和为____. 12.在等差数列{}n a 中,3,15654321=++=++a a a a a a =12s 则____ 13. 等差数列{}n a 中,._____,10,10011010010===a a a 那么若 14.等差数列{}n a 中, 1a <0, 最小，若n s s s ,4525=则n=______ 15．已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s . 16.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知102020,410a S ==， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若S n =135，求以n ． §等差数列(一) 编者： 1.掌握等差数列的定义，通项公式 2.会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列 3.探索通项公式推导过程中体现出的数学思想；利用直观图形表示数学概念的方法，体会数形结合思想； { 重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用；等差数列与一次函数之间的联系 使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） | 一．知识链接 1．数列有哪些表示方法 2．什么是数列的通项公式 探究案（30分钟） 二．新知探究 问题1：什么是等差数列什么是公差1,1,2,3,4…是等差数列吗 ( 归纳总结： 问题2：如何用数学语言来描述等差数列(定义式) 问题3：等差数列的单调性：数列为递增数列d ? ；数列为递减数列d ? ； 数列为常数列d ? . 问题4：你能用两种方法推导等差数列的通项公式吗 ) 组长评价： 教师评价： 问题5：等差数列通项公式：+=1a a n ，+=m n a a .(* ∈n n m ,) d= = 问题5：什么是等差中项两个数的等差中项一定存在吗唯一吗 ! 归纳总结： 问题6：数列{}n a 的通项公式为23+=n a n ，你能用定义证明它是等差数列吗 问题7：通项公式为q pn a n +=的数列{}n a 一定是等差数列吗如果是，首项与公差分别是多少 [ 问题8：你能发现等差数列q pn a n +=的图像与函数q px y +=的关系吗 归纳总结：判断数列为等差数列的方法： 三．新知应用 【知识点一】等差数列的概念 【 例1：在等差数列中 （1）已知,10,3,21===n d a 求n a （2）已知2,21,31===d a a n 求n （3）已知,27,1261==a a 求d （4）已知,8,3 17=-=a d 求1a等差数列基础测试题(附详细答案)
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