点、直线、平面一般位置直线的投影
1. 掌握一般位置直线的投影规律和特点；
2. 掌握实长三角形方法。
目的和要求
直线的投影——一般位置直线
对各投影面都倾斜的直线,称为一般位置线， 一般位置线的三个投影都具有如下的投影特点:
b’
a’b’’
a’’
b
a
Z
X
Y H
Y W
B
b’
a’b’’
a’’Y
A X
Z
b
a
投影特性：① a b、 a ' b '、a " b " 均小于实长；
② a b、a ' b '、a " b " 均倾斜于投影轴； ③不反映实际的α 、β 、γ 角。
直线的投影——一般位置直线
直线的投影仍为直线, 只要作出直线上任意两点的投影，把同面投影连接起来,即得直线的三面投影。
直线对H、V和W面的倾角通常以α、β、γ分别表示。
ab=ABcosα、a′b′=ABcosβ、 a″b″=ABcosγ
直线的投影——一般位置直线
B
投影特性：1. a b、 a ' b '、a " b " 均小于实长；
2. a b、a ' b '、a " b " 均倾斜于投影轴；
3. 不反映实际的α 、β 、γ 角。
b’
a’b’’
a’’
Y
A b’a’
b’’
a’’
b a
Z
X
Y H
Y W
X
Z
b
a
直线的投影——一般位置直线
根据空间直线及直线的两面投影，从中找出几何关系，利用实长三角形法，可以求出一般位置线的实长及倾角。
直线的投影——一般位置直线
A
B
b
b '
a
a '
C
α
|z A -z B |
X
a '
a
b '
b
|z A -z B |
|z A -z B |
α
AB ab
|z A -z B |
α
AB
(1) 求直线的实长及对H面的倾角 α
直线的投影——一般位置直线
(2) 求直线的实长及对V面倾角β
A
B
b
b '
a
a '
C
X
O
|Y A -Y B |
a’
X a
b '
b
a’b’
AB
β
|Y A -Y B |
AB
β
|Y A -Y B |
βO
直线的投影——一般位置直线
(3) 求直线的实长及对W面的倾角 γ
X
Z
Y
A B
b b '
a "
b "
a
a '
Z X
a '
a”
a
O
Y H
Y W
b "
b b 'γ
|X A -X B |
|X A -X B |γ
AB
直线的投影——一般位置直线
例题. 已知线段的实长AB，求它的水平投影及α角。
a
|z A -z B |
α
AB b '
X
a '
b
AB
β
a '
b '
AB AB a 1
|y A -y B |
O
|z A -z B |
a b
a b
课 程 小 结
1. 一般位置线的投影特征；
2. 实长三角形法的基本原理；
3. 实长三角形法的应用。
各种位置直线的投影特性 按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类： 一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。后两类直线又称为特殊位置直线。 1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线的投影特性如下（图3-10）： 1）三面投影都倾斜于投影轴。 2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。 直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。 投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线 (1）投影面平行线又可分为三种： 平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11正平线的投影特性 (2）正平线的投影特性(图3-11)： 1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB； 2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。 3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹 角即为AB与W面的倾角γ。 表3-1为投影面平行线的投影特性。 表3-1 投影面平行线的投影特性 名称轴测图投影图投影特性 正平线 (1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角 (2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴
水平线 (1) cd=CD ,反映 β、γ角 (2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴 侧平线 (1) e"f"=EF, 反映 α、β角 (2)e＇f＇//OZ 轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性: 1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角 2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短 投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线 1）投影面垂直线又可分为三种： 垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的 直线叫侧垂线。 2）铅垂线的投影特性（图3-12）： ①铅垂线的H面投影积聚为一点； ②铅垂线平行于V、W面，在V、W面的投影反映实长，且平行于OZ轴。 图3-12 铅垂线的投影特征
《工程图学基础 A》课程教案
教学章节
【内容概要】
1. 点对一个面的投影 2. 点在两面投影体系中的投影 3. 点在三面投影体系中的投影 4. 各种位置点的投影 5. 两点的相对位置及重影点
第二章 点、直线、平面的投影
§2.1 点的投影
【教学目标】
1、掌握点的投影规律与作图法。 2、通过内容讲述和作业练习，要求学生会已知点的两面投影，求点的第三面投影或根据 空间点的坐标作出点的三面投影；根据点的相对位置和重影关系，求点的其它投影。
【教学重点及难点】
重点：点在三投影面规律；两点的相对位置及重影点。 难点: 重影点的判断及表达。
【本节作业】
1
《工程图学基础 A》课程教案
第二章 点、直线、平面的投影
【教学内容与过程设计】
教学内容 一、点在一个投影面上的投影
过程设计
★黑板上画出空间 示意图（由图 1 逐步 演变为图 3）。
点对一个投影面 的投影（图 1）
图1
图2
过空间点 A 向投影面 H 引垂线，得到的垂足 a 即为空间点 A 在 H 面
上的正投影，见图 1。
在投影线任取一点 B，，其在 H 面上的投影与 A 的投影重合。
结论：在一定的投影条件下，空间一点有其唯一确定的投影，投影 a
有无数个空间与其对应。
二、点在两投影面体系中的投影
引入：点在一个投影面上的投影能不能确定点的空间位置？（图 2）
如何解决？——增加投影面。
1、两投影面体系（图 3）
在图 1 的基础上再增加一个投影面，处于正面直立位置且与 H 面相互
垂直，这样就建立两投影面体系。
水平投影面——H 面；
正面投影面——V 面；
OX 投影轴。
点在两投影面体 系中的投影（图 3）
点在三投影面体 系中的投影（图 5）
图3
图4
2
各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性 按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类： 般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。后两类直线又称为特殊位置直 线。 1. 一般位置直线一与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线的投影特性如下（图3-10）： 1）三面投影都倾斜于投影轴。 2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。 直线对H V 、W 的倾角分别用a 、B 、丫表示。 b) 投影面平行线一一平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线 （1 ）投影面平行线又可分为三种: 平行于V 面的直线叫正平线；平行于H 面的直线叫水平线；平行于W 面的直线叫侧平线 7 a V a) / X
图3-11正平线的投影特性 (2)正平线的投影特性(图3-11)： 1)直线平行于V 面，则V 面投影与直线本身平行且等长，0 b ，=AB ； 2)正平线上各点到V 面的距离即Y 坐标都相等，则加〃OX, $b"〃OZ 。 3) AB 与H 面的倾角为a ,由于AB 平行V 面，所以AB 与V 面的倾角为0。又因为AB //a' b‘，ab 〃0X 轴，所以，刃b‘与OX 轴的夹角为a ,同理0 b‘与0Z 轴的夹角 即为AB 与W 面的倾角丫。 表3-1为投影面平行线的没影特性。 表3-1投影面平行线的投影特性 7 7 a) b) 名称 轴测图 投影图 投影特性 正平线 Z ⑴ a' b z =AB,反 映J Y 角 (2) ab//OX 轴, 『b7/oz 轴
投影面平行线的投影特性： 1.直线在与其平行的投影面上的投影，反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角 2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴 ，且比线段的实长短 1 ）投影面垂直线又可分为三种: 垂直于V 面的直线叫正垂线； 垂直于H 面的直线叫铅垂线； 垂直于W 面的 直线叫侧垂线。 2）铅垂线的投影特性（图3-12）： ①铅垂线的H 面投影积聚为一点; ②铅垂线平行于V 、W 面，在V 、W 面的投影反映实长，且平行于 OZ 轴。 图 3-12 铅垂线的投影特征 水平线 侧平线 严 \ € （1） cd=CD ,反映 B 、丫角 ⑵ c f d f /OX 轴, c"d"//O YWtt (1) e"f"=EF,反 映a 、 (2)e / f / 〃0Z 轴, ef//O YH 轴 投影面垂直线 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线
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第2章点、直线和平面的投影 一、本章重点： 1．点的坐标与投影，重影点； 2．直线在三面投影体系中的投影特性； 3．平面的投影特性，平面上的直线和点。 二、本章难点： 1．求线段的实长及其对投影面的倾角； 2．两直线的相对位置； 3．直线上的点和平面上的线。 三、本章要求： 掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。 四、教学手段 讲授法，演示法教学、习题集作业 五、本章内容： 2．1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法概述 在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。 将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。 图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法
1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。 另外，平行投影法还有这样的规律： （1）平行两直线的投影仍互相平行。 （2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影 （3）点分线段之比，投射后保持不变。 (a) (b) (c) 图2.5 正投影法的基本特性
科目：建筑制图班级：姓名：总分： 一、填空（30） 1、投影规律的三等关系是指“、、”。 2、投影面垂直线有、、三种 3、工程上常采用的投影法是和，其中投影法按投射线与投影面是否垂直又分为和法。 4、当直线平行于投影面时，其投影，这种性质叫真实性，当直线垂直投影面时，其投影，这种性质叫积聚性，当平面倾斜于投影面时，其投影，这种性质叫缩短性。 5、正立投影面用字母表示，水平投影面用字母表示。侧立投影面用字母 表示。 6、直线按其对三个投影面的相对位置关系不同，可分为、、、。 二、选择题（30） 1、下列投影法中不属于平行投影法的是（） A、中心投影法 B、正投影法 C、斜投影法 2、当一条直线平行于投影面时，在该投影面上反映（） A、实形性 B、类似性 C、积聚性 3、当一条直线垂直于投影面时，在该投影面上反映（） A、实形性 B、类似性 C、积聚性 4、在三视图中，主视图反映物体的（） A、长和宽 B、长和高 C、宽和高 5、主视图与俯视图（） A、长对正 B、高平齐 C、宽相等 6、主视图与左视图（） A、长对正 B、高平齐 C、宽相等 7、为了将物体的外部形状表达清楚，一般采用（）个视图来表达。 A、三 B、四 C、五 8、三视图是采用（）得到的 A、中心投影法 B、正投影法 C、斜投影法 9、当一个面平行于一个投影面时，必（）于另外两个投影面 A、平行 B、垂直 C、倾斜 10、当一条线垂直于一个投影面时，必（）于另外两个投影面 A、平行 B、垂直 C、倾斜
11、投射方向垂直于投影面,所得到的平行投影称为_______。 A 正投影 B 斜投影 C 平行投影 D 中心投影 12、直线AB的V、H面投影均反映实长，该直线为( )。 A.水平线 B.正垂线 C.侧平线 D.侧垂线 13、某直线的V面投影反映实长，该直线为（）。 A.水平线 B.正平线 C.侧平线 D.铅垂线 14、直线AB的W面投影反映实长，该直线为( )。 A.水平线 B.正平线 C.侧平线 D.侧垂线 15、直线AB的正面投影反映为一点，该直线为( )。 A.水平线 B.正平线 C.铅垂线 D.正垂线 三、判断题（10分） 1、两点的V投影能反映出点在空间的上下、左右关系。( ) 2、空间两直线相互平行,则它们的同面投影一定互相平行。( ) 3、投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影必积聚成为一个点。（） 4、水平投影反映实长的直线，一定是水平线。（） 5、一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线为三条缩短的斜线段。（） 四、作图（30） 1、求直线AB的第三投影。
各种位置直线的投影 特性
各种位置直线的投影特性 按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类： 一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。后两类直线又称为特殊位置直 线。 1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线的投影特性如下（图3-10）： 1）三面投影都倾斜于投影轴。 2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。 直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。 投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线
(1）投影面平行线又可分为三种： 平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平 线。 图3-11正平线的投影特性 (2）正平线的投影特性(图3-11)： 1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB； 2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。 3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角 即为AB与W面的倾角γ。 表3-1为投影面平行线的投影特性。 表3-1 投影面平行线的投影特性 名称轴测图投影图投影特性
正平线 (1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角 (2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴 水平线 (1) cd=CD ,反映 β、γ角 (2)c＇d＇//OX 轴, c"d"//O YW轴 侧平线 (1) e"f"=EF, 反 映α、β角 (2)e＇f＇//OZ 轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性: 1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角 2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短 投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线 1）投影面垂直线又可分为三种： 垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的 直线叫侧垂线。 2）铅垂线的投影特性（图3-12）： ①铅垂线的H面投影积聚为一点； ②铅垂线平行于V、W面，在V、W面的投影反映实长，且平行于OZ轴。
第二章点、直线及平面的投影目的要求： 1）建立中心投影与平行投影的明确概念 2）掌握点、线、面在第一角中各种位置的投影特性和作图方法 3）掌握直线上点的投影特性以及在平面上作点和直线的方法 4）掌握直线与直线的相对位置及其投影特性 5）了解直角定理的原理及其运用 6）掌握直线与平面、平面与平面相交的作图及可见性的判断 重点难点： 1）熟练的运用点、线、面在各种位置的投影规律进行作图 2）掌握和正确运用直线上的点和平面上的点和直线的投影规律 3）熟练求出直线与平面、平面与平面相交的交点、交线并完成及可见性的判断授课学时：6学时 本章主要作图练习： 1）已知点的两投影，完成其第三投影，或已知点的三坐标，完成其三面投影和轴测投影； 2）判断两点的相对位置和作重影点的投影，并判断重影点的可见性。 3）完成直线的三面投影及找出直线上点的投影。 4）判断两直线的位置关系，利用直线的相对位置关系完成直线的投影作图，并作出交叉直线的重影点的投影。 5）直角投影定理的应用，两直线是否垂直的判断。 6）完成平面的三投影并判断平面相对投影面的位置关系。 7）已知点或直线在平面上，而且已知其一个投影，完成其另外两投影及判断点或直线是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。 8）求直线与平面、平面与平面的交点和交线并判断可见性。 授课内容： §2-1 投影法基本知识 一、投影法及其分类 1、投影法的建立 在一定投影条件下，求得空间形体在投影面上的投影的方法，称为投影法。 投影中心、投影面、投射线、投影 2、投影法的分类 中心投影法（投射线相交于一点，投影随物体与投影中心和投影面的距离变化而改变大小，故不反映空间形体表面的真实大小和形状，但富有真实感）
《机械制图》第三章 点、线、面测试卷 班级_______姓名_________计分______ 一、填空（16分） 1．空间A点的三面投影正面，水平面，侧面投影分别用___,____,____表示。 其投影规律是_________,___________,____________。 2．点的坐标确定了点到投影面的距离，其中坐标分别表示点到____,____,____面的距离. 3．空间两点A(10,12,20),B（10,30,20）为______点，我们说A在B正_____方。 4．) 5． 6．水平线上所有点的____坐标相同，它的_____面投影反映实长，其它投影同垂直于______轴。正平线上所有点的____坐标相同，它的____面投影反映实 长，其他各面投影同垂直于_____轴。 7．铅垂线上所有点只有____坐标不同，其投影在____面上积聚，其它各面投影同平行于_____轴。 8．正平面上所有点的_____坐标相同，其投影在____面上反映实形，其它各面投影___________,且同垂直于_______轴。 9．水平线与V面夹角就是水平线的_____面投影与____轴的夹角，侧平线与H 面的夹角就是其_______面投影与____轴的夹角。 10．三视图的投影规律是_________,_________,_________。机械图样是采用的是______投影法中的_____投影来表达形体的。 二、弄清投影方向，在三视图中填写形体的方位。（4分） ~
# 三、看懂直线AB空间位置，写出各端点坐标做其三视图（坐标在图中量取）（10分） A( , , ) B( , , ) 四、点线面综合题（70分） ．根据点的坐标填空。（7分） A点在___________ B点在___________ ; D点在___________ 最高点是_________ 最左点是_________ 最前点是_________ A点在E点的_____方、 ______方、_____方。 B、E两点称为______点。 直线CF是______线，BF是 _______线，AE是______线，三角 形BDF是______面。 ( 2．根据点的投影规律完成点A,B的三面投影。（6分） X Y Z A25 30 35 B) 20 05 C35 20 " D 0020 E20 25 ) 5 F3000 ~ 坐标 点 //
课题 第三章点、直线、平面的投影1、掌握正投影法的基本原理和基本特性。2、理解三视图的形成过程，熟练掌握三视图与物体方位之间的关系。3、熟练掌握三视图的投影规律。重点1、三视图的投影规律。2、正投影法的基本特性。三视图的三等关系和六向方位关系。讲授教具模型三角板 教学目的要求 重点与难点难点授课形式 投影法和三视图◆投影法的基本知识 一、什么是投影法用灯光或日光照射物体，在地面或墙面上就会产生影子，这是日常生活中见到的投影现象。如下图，设投影中心为S，过投影中心S 和空间点A 作投射线SA 与投影面P 相交于一点a，点a 就称为空间点A 在投影面P 上的投影。同样b、c 是B、C 的投影。教学内容如果将a、b、c 诸点连成几何图形△abc，即为空间△ABC 在投影面P 上的投影。上述投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。根据投影法所得到的图形称为投影。投影法中得到投影的面称为投影面。二、常用投影法的种类投影法分中心投影法和平行投影法两大类1、中心投影法投射线汇交于一点的投影法称为中心投影法。上图即为中心投影法。这类投影法，所
得投影△abc 的大小会随投影中心S 距离空间△ABC 的远近面变化，可知中心投影法不反映物体原来的真实大小。由于作图复杂和度量性差，故在机械 图样中很少采用。2、平行投影法投射线互相平行的投影法称为平行投影法。在平行投影中，因为投射线互相平行，若仅改变物体离开投影面的距离，则所得投影的形状和大小不变。平行投影法又可分为两类斜投影法——投射线与投影面相倾斜的平行投影法。所得的图形称为斜投影（斜投影图）。正投影法——投射线与投影面相垂直的平行投影法。所得的图形称为正投影（正投影图）。平行投影法中的投影面又有单面和多面之分，前者用于画轴测图，后者用于画多面正投影图。◆直线段和平面形的投影特性直线段和平面形的投影特性一、直线段的投影特性线段的投影，由线段上一系列点的投影决定。由于两平面的P 与H 的交线ab 必定为直线，所以直线的投影一般直线的投影一般仍是直线。仍是直线。线段上其它点的投影，也必定位于由此两端点所决定的线段投影上。线段对于一个投影面的相对位置有平行、倾斜、垂直三种情况，其投影特性如下线段平行投影面，投影反映真实长度（简称实长）；线段平行投影面，投影反映真实长度（简称实长）；线段倾斜投影面，投影变短（短于实长）；线段倾斜投影 面，投影变短（短于实长）；线段垂直投影面，投影积聚成一个点。线段垂直投影面，投影积聚成一个点。一个点二、平面形的投影平面形对于一个投影面的相对位置有平行、倾斜、垂直三种情况，其投影特性如下平面形平行投影面，投影成真实形（简称实形）；平面形平行投影面，投影成真实形（简称实形）；