一、单项选择题
1、设a, b 都是非零整数。若a |b ，b |a ，则【 】
A.a ＝b
B.a ＝± b
C.a ＝－b
D. a > b
2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】
A.(a, b)= c
B. c ＝1
C.c ＝sa ＋tb
D. c ＝± 1
3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【
】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ? (p)＝1 (mod a)
C. a ? (p)＝a (mod p)
D. a p ＝a (mod p)
4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【
】 A. 26 B. 36
C. 46
D. 56
5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【
】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群
C. [0] 是单位元
D.有真子群
6、设
A.
B.
C. 对+是可分配的
D. +对 是可分配的
7、模30的简化剩余系是【 】
A. －1, 0, 5, 7, 9, 19, 20, 29
B. －1, －7, 10, 13, 17, 25, 23, 29
C. 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
D. －1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
8、设n 是整数，则 (2n, 2(n ＋1))＝【 】
A.1
B.2
C.n
D.2n
9、模17的平方剩余是【 】
A.3
B.10
C.12
D.15
10、整数5模17的指数ord 17(5)＝【 】
A.3
B.8
C.16
D.32
11、下面的集合和运算是群的是【 】
A.
B.
C.
D.
（P （S ）是集合S 的幂集，“∩”为集合的交）
12、一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是【 】
A.18
B.6
C.9
D.0
13、集合F 上定义了“＋”和“ · ”两种运算。如果( )，则
A. F 对于运算 “＋”和 “ · ”构成环，运算“＋”的单位元是e ，且F\{e}对于 “ · ”构成交换群
B. F 对于运算 “＋”构成交换群，单位元是e ；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群
C. F 对于运算“＋”和运算“ · ”都构成群
D. F 对于运算“＋”构成交换群，单位元是e ；F\{e}对于运算“ · ”构成交换群；运算 “＋”和 “ · ”之间满足分配律
14、群是一种代数结构，下列说法错误的是【 】
A.群运算必是封闭的
B.群必有单位元
C.群必是满足消去律的
D.群必是满足交换律的
15、3次对称群S3的元素个数是【 】
A.1
B.3
C.6
D.4
二、填空题
16、)16(?=_______。
17、设 m 是一个正整数, ad ≡bd (mod m)，如果 ，则a ≡b (mod m)。
18、一次同余式：ax ≡ b (mod m)有解的充分必要条件是 。
19、设(F ，+,·)是一个域，则(F-{0}，·)是__________。
20、如果G 是一个含有9个元素的群，那么，G 的真子群的阶只能是___________。
三、计算题
21、令1613,a = 3589b =。用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得(,)sa tb a b +=。
22、计算3模19的指数。
23、计算Legendre 符号
24、已知,,στγ 是}5,4,3,2,1{=S 上的5元置换，且 (134),(235),(254)στγ===， 求 στ，1-σ，τσ，γστ)(。
25、考虑GF(23)上的椭圆曲线E ：)23(mod 132++≡x x y ，令P1=（3,10），P2=（9,7），计算P1+P2。
四、解同余方程
26、求解一次同余方程1714(mod 21)x ≡。
27、解同余方程组
2(mod3)
3(mod5)
2(mod7) x
x
x
≡
≡
≡
?
?
?
?
?
五、证明题
28、证明：如果是整数，则能被3整除。
29、证明：模m的全体剩余类集合对于剩余类加法构成m阶循环群。
六、应用题
30、RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下：选择两个大的素数p和q，计算n=pq。选择两个正整数e和d，满足：ed=1(mod()n
?)。Bob的公钥是（n，e），对外公布。Bob的私钥是d，自己私藏。如果攻击者分解n得到p=47，q=23，并且已知e=257，试求出Bob的私钥d。
信息安全数学基础期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（本大题共8小题，每空2分，共24分） 1. 两个整数a ，b ，其最大公因数和最小公倍数的关系为 ________________。 2. 给定一个正整数m ，两个整数a ,b 叫做模m 同余，如果______________，记作(mod )a b m ≡；否则，叫做模m 不同余，记作_____________。 3. 设m ，n 是互素的两个正整数，则()mn ?=________________。 4. 设1m >是整数，a 是与m 互素的正整数。则使得1(mod )e a m ≡成立的最小正 整数e 叫做a 对模m 的指数，记做__________。如果a 对模m 的指数是()m ?，则a 叫做模m 的____________。 5. 设n 是一个奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 和b 满足条件 ________________，则n 叫做对于基b 的拟素数。 6. 设,G G '是两个群，f 是G 到G '的一个映射。如果对任意的,a b G ∈，都有 _______________，那么f 叫做G 到G '的一个同态。 7. 加群Z 的每个子群H 都是________群，并且有0H =<>或 H =______________。 8. 我们称交换环R 为一个域，如果R 对于加法构成一个______群，* \{0}R R =对 于乘法构成一个_______群。 二、计算题（本大题共 3小题，每小题8分，共24分） 1. 令1613,a = 3589b =。用广义欧几里德算法求整数,s t ，使得 (,)sa tb a b +=。
一、单项选择题 1、设a, b 都是非零整数。若a |b ，b |a ，则【 】 A.a ＝b B.a ＝± b C.a ＝－b D. a > b 2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】 A.(a, b)= c B. c ＝1 C.c ＝sa ＋tb D. c ＝± 1 3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【 】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ? (p)＝1 (mod a) C. a ? (p)＝a (mod p) D. a p ＝a (mod p) 4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【 】 A. 26 B. 36 C. 46 D. 56 5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群 C. [0] 是单位元 D.有真子群 6、设
一．名词解释 信息安全：建立在网络基础上的现代信息系统，其安全定义较为明确，那就是：保护信息系统的硬件软件及其相关数据，使之不因偶然或是恶意侵犯而遭受破坏，更改及泄露，保证信息系统能够连续正常可靠的运行。 VPN：一般是指建筑在因特网上能够自我管理的专用网络，是一条穿过混乱的公共网络的安全稳定的隧道。通过对网络数据的封包和加密传输，在一个公用网络建立一个临时的，安全的连接，从而实现早公共网络上传输私有数据达到私有网络的级别。 数字证书：是指各实体（持卡人、个人、商户、企业、网关、银行等）在网上信息交流及交易活动中的身份证明。 应急响应：其含义是指安全技术人员在遇到突发事件后所采取的措施和行动。而突发事件是指影响一个系统正常工作的情况。 风险评估：风险评估有时也称为风险分析，是组织使用适当的风险评估工具，对信息和信息处理设施的威胁，影响和薄弱点及其可能发生的风险的可能行评估，也就是确定安全风险及其大小的过程。 入侵检测：顾名思义，便是对入侵行为的发觉。他通过对计算机网络和计算机系统的若干关键点收集信息并对其进行分析，从中发现网络或系统中是否有违反安全策略的行为和被攻击的对象。 二、选择题 1.、加密算法分为（对称密码体制和非对称密码体制） 2。、口令破解的最好方法是（B） A暴力破解B组合破解 C字典攻击D生日攻击 3、杂凑码最好的攻击方式是（D） A 穷举攻击B中途相遇 C字典攻击D生日攻击 4、可以被数据完整性机制防止的攻击方式是（D） A假冒*** B抵赖**** C数据中途窃取D数据中途篡改 5、会话侦听与劫持技术属于（B）技术 A密码分析还原B协议漏洞渗透 C应用漏洞分析与渗透 D DOS攻击 6、PKI的主要组成不包括（B） A CA B SSL C RA D CR 7，恶意代码是（指没有作用却会带来危险的代码D） A 病毒*** B 广告*** C间谍** D 都是 8，社会工程学常被黑客用于（踩点阶段信息收集A） A 口令获取 B ARP C TCP D DDOS 9，windows中强制终止进程的命令是（C） A Tasklist B Netsat C Taskkill D Netshare 10，现代病毒木马融合了（D）新技术 A 进程注入B注册表隐藏C漏洞扫描D都是
《信息安全数学基础》参考试卷 一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值?(576) ＝()。 (1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。 2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。 (1) 1或2，(2) | kn|， (3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。 3．模10的一个简化剩余系是( )。 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27 (3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 4．29模23的逆元是( )。 (1) 2，(2) 4， (3) 6，(4) 11。 5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。 (1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2 (3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。 (1)
信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]=. 2、求欧拉函数φ(3000)=. 3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={}. 4、设m=11，则模m的所有平方剩余=. 5、设m=22，则模m的所有原根个数=. 6.设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7.设m是正整数，a是满足mm的整数，则一次同余式：ax≡b(modm)有解的充分必要条件是_________________。 8.设m是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m，使得aa’≡1(modm)。 9.设m∈m,(m,m)=1,如果同余方程m2≡m(mod m)__________,则m叫做模m 的平方剩余. 10.设m,m∈m,m>1,(m,m)=1,则使得m m≡1(mod m)成立的最小正整数m叫做m对模m的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”） 1、若m是任意正整数,则(mm,mm)=(m,m). （） 2、设m1,m2,…,m m是m个不全为零的整数，则m1,m2,…,m m与m1,|m2|,|m3|,…,|m m|的公因数相同（） 3、设m是正整数,若m│mm,则m│m或m│m.（） 4、设m为正整数,m,m为整数,m≡m(mod m),m│m且m>0,则m m ≡m m (mod m m ). （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设m是素数,模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.（） 7、设m=17为奇素数,模m的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （） 8、一次同余方程9m≡1(mod24)有解. （）
信息安全数学基础第一阶段知识总结 第一章 整数的可除性 一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念 定义1 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除，记作b|a ，并把b 叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数.这时，q 也是a 的因数，我们常常将q 写成a ／b 或 否则，就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除，记作a b. 2整除的基本性质 (1)当b 遍历整数a 的所有因数时，-b 也遍历整数a 的所有因数. (2)当b 遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数a 的所有因数. (3)设b ，c 都是非零整数， (i)若b|a ，则|b|||a|. (ii)若b|a ，则bc|ac. (iii)若b|a ，则1<|b|?|a|. 3整除的相关定理 (1) 设a ，b ≠0，c ≠0是三个整数.若c|b ，b|a ，则c|a. (2) 设a ，b ，c ≠0是三个整数，若c|a ，c|b ，则c|a ±b (3) 设a ，b ，c 是三个整数.若c|a ，c|b 则对任意整数s ，t ，有c|sa+tb. (4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数，则对任意n 个整数s 1，…，s n ，整数 是c 的倍数 a b n n a s a s ++ 11
(5) 设a，b都是非零整数.若a|b，b|a，则a=±b (6) 设a, b , c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c)=1,则 (ab , c)=(b , c) (7) 设a , b , c是三个整数，且c≠0，如果c｜ab , (a , c) = 1, 则c | b. (8) 设p 是素数，若p |ab , 则p |a或p|b (9) 设a1, …,a n是n个整数，p是素数，若p| a1…a n,则p一定整除某一个a k 二整数的表示 主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1．最大公因数的概念 定义：设是个整数，若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作. 若 ,则称互素． 若,则称两两互素． 思考：1．由两两互素，能否导出 2．由能否导出两两互素？ 2．最大公因数的存在性 (1)若不全为零，则最大公因数存在并且 (2)若全为零，则任何整数都是它的公因数．这时，它们没有最大公因数．
一．词解释 信息安全：建立在网络基础上的现代信息系统，其安全定义较为明确，那就是：保护信息系统的硬件软件及其相关数据，使之不因偶然或是恶意侵犯而遭受破坏，更改及泄露，保证信息系统能够连续正常可靠的运行。 VPN：一般是指建筑在因特网上能够自我管理的专用网络，是一条穿过混乱的公共网络的安全稳定的隧道。通过对网络数据的封包和加密传输，在一个公用网络建立一个临时的，安全的连接，从而实现早公共网络上传输私有数据达到私有网络的级别。 数字证书：是指各实体（持卡人、个人、商户、企业、网关、银行等）在网上信息交流及交易活动中的身份证明。 应急响应：其含义是指安全技术人员在遇到突发事件后所采取的措施和行动。而突发事件是指影响一个系统正常工作的情况。 风险评估：风险评估有时也称为风险分析，是组织使用适当的风险评估工具，对信息和信息处理设施的威胁，影响和薄弱点及其可能发生的风险的可能行评估，也就是确定安全风险及其大小的过程。 入侵检测：顾名思义，便是对入侵行为的发觉。他通过对计算机网络和计算机系统的若干关键点收集信息并对其进行分析，从中发现网络或系统中是否有违反安全策略的行为和被攻击的对象。 二、选择题 1.、加密算法分为（对称密码体制和非对称密码体制） 2。、口令破解的最好方法是（B）
A暴力破解B组合破解 C字典攻击D生日攻击 3、杂凑码最好的攻击方式是（D） A穷举攻击B中途相遇 C字典攻击D生日攻击 4、可以被数据完整性机制防止的攻击方式是（D） A假冒***B抵赖**** C数据中途窃取D数据中途篡改 5、会话侦听与劫持技术属于（B）技术 A密码分析还原B协议漏洞渗透 C应用漏洞分析与渗透D DOS攻击 6、PKI的主要组成不包括（B） A CA B SSL C RA D CR 7，恶意代码是（指没有作用却会带来危险的代码D）A病毒***B广告*** C间谍**D都是 8，社会工程学常被黑客用于（踩点阶段信息收集A）A口令获取B ARP C TCP D DDOS 9，windows中强制终止进程的命令是（C） A Tasklist B Netsat C Taskkill D Netshare
4．信息安全就是只遭受病毒攻击，这种说法正确吗？ 不正确，信息安全是指信息系统（包括硬件、软件、数据、人、物理环境及其基础设施）受到保护，不受偶然的或者恶意的原因而遭到破坏、更改、泄露，系统连续可靠正常地运行，信息服务不中断，最终实现业务连续性。信息安全的实质就是要保护信息系统或信息网络中的信息资源免受各种类型的威胁、干扰和破坏，即保证信息的安全性。 信息安全本身包括的范围很大，病毒攻击只是威胁信息安全的一部分原因，即使没有病毒攻击，信息还存在偶然泄露等潜在威胁，所以上述说法不正确。 5.网络安全问题主要是由黑客攻击造成的，这种说法正确吗？ 不正确。谈到信息安全或者是网络安全，很多人自然而然地联想到黑客，实际上，黑客只是实施网络攻击或导致信息安全事件的一类主体，很多信息安全事件并非由黑客（包括内部人员或还称不上黑客的人）所为，同时也包括自然环境等因素带来的安全事件。 补充：信息安全事件分类 有害程序事件、网络攻击事件、信息破坏事件、信息内容安全事件 设备设施故障、灾害性事件、其它事件 3.信息系统的可靠性和可用性是一个概念吗？它们有什么区别？ 不是。 信息安全的可靠性：保证信息系统为合法用户提供稳定、正确的信息服务。 信息安全的可用性：保证信息与信息系统可被授权者在需要的时候能够访问和使用。 区别：可靠性强调提供服务的正确、稳定，可用性强调提供服务访问权、使用权。 5.一个信息系统的可靠性可以从哪些方面度量？ 可以从抗毁性、生存性和有效性三个方面度量,提供的服务是否稳定以及稳定的程度，提供的服务是否正确。 7.为什么说信息安全防御应该是动态和可适应的？ 信息安全防御包括（1）对系统风险进行人工和自动分析，给出全面细致的风险评估。（2）通过制订、评估、执行等步骤建立安全策略体系（3）在系统实施保护之后根据安全策略对信息系统实施监控和检测（4）对已知一个攻击（入侵）事件发生之后进行响应等操作保障信息安全必须能够适应安全需求、安全威胁以及安全环境的变化，没有一种技术可以完全消除信息系统及网络的安全隐患，系统的安全实际上是理想中的安全策略和实际执行之间的一个平衡。实现有效的信息安全保障，应该构建动态适应的、合理可行的主动防御，而且投资和技术上是可行的，而不应该是出现了问题再处理的被动应对。 4.什么是PKI？“PKI是一个软件系统”这种说法是否正确？ PKI是指使用公钥密码技术实施和提供安全服务的、具有普适性的安全基础设施，是信息安全领域核心技术之一。PKI通过权威第三方机构——授权中心CA(Certification Authority)以签发数字证书的形式发布有效实体的公钥。 正确。PKI是一个系统，包括技术、软硬件、人、政策法律、服务的逻辑组件，从实现和应用上看，PKI是支持基于数字证书应用的各个子系统的集合。 5.为什么PKI可以有效解决公钥密码的技术应用？ PKI具有可信任的认证机构（授权中心），在公钥密码技术的基础上实现证书的产生、管理、存档、发放、撤销等功能，并包括实现这些功能的硬件、软件、人力资源、相关政策和操作规范，以及为PKI体系中的各个成员提供全部的安全服务。简单地说，PKI是通过权威机构签发数字证书、管理数字证书，通信实体使用数字证书的方法、过程和系统。 实现了PKI基础服务实现与应用分离，有效解决公钥使用者获得所需的有效的、正确的公钥问题。
简答题（共20分，每题4分） 1.简述公钥密码学所基于的三个难解数学问题. 2.写出模15的一个简化剩余系，要求每个数都是偶数. 3.一次同余式在什么情况下有解，有多少个解? 4.模m原根存在的充分必要条件是什么? 5.写出3次对称群的所有3阶子群. 判断题（共20分，每题2分，对的打“√”，错的打“×”） 1.质数有无穷多.（） 2.设n是正整数，则.（） 3.有限域的特征一定是质数.（） 4.3是模7的平方剩余.（） 5.根据雅可比符号，可以判断a是模m的平方剩余.（） 6.Klein四元群是最小的非循环群.（） 7.高次同余式解的个数小于或等于它的次数.（） 8.同余式成立.（） 9.的最后两位数字是01.（） 10.整环R中既没有乘法单位元也没有零因子.（） 计算题（50分） 1.计算欧拉函数.（5分） 2.计算勒让德符号.（5分） 3.设,计算.（5分） 4.计算5,10模13的指数.（5分） 5.求解同余式组（10分） 6.构造4元有限域，并给出加法表和乘法表.（10分） 7.设F17上椭圆曲线E:上的点Q=(6,6)，计算2Q，3Q.（10分）证明题（10分，每题5分） 1.设m, n为正整数且m为奇数，证明：2m-1与2n+1互质. 2.证明：是F2[x]中的不可约多项式.
2012级《信息安全数学基础》考试试题(A)参考答案 简答题（共20分，每题4分） 1．公钥密码学所基于的三个难解数学问题是：大因数分解问题；离散对数问题和椭圆曲线离散对数问题； 2. 16,2,4,22, 8, 26, 20, 14(答案不唯一)； 3. 时有解，有个解； 4. ,p 为奇质数； 5. {e, (123),(132)} 二．判断题（共20分，每题2分，对的打“√”，错的打“×”） 1. √； 2. ×； 3. √； 4. ×； 5. √×； 6. √； 7. √； 8. ×； 9. √；10. ×； 三．计算题（50分） 1. 解： 2. 解： 3.解：. 4.解：根据定义计算得 5.解：先求 得：， 即， 即 所以同余式的解为： 6.解：, 加法表： + 1 x x+1 1 x x+1 1 1
第一章 （1）5,4,1,5. （2）100=22*52, 3288=23*3*137. （4）多种解法，其中一种： a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）多种解法，其中一种： 由算术基本定理：a,b可分解为有限个素数的乘积， 得：a=p1^r1*p2^r2*……*pn^rn, b= p1^r1’*p2^r2’*……*pn^rn’, 若a|b不成立，则存在素数pi使得pi在a中的幂ri大于pi在b中的幂ri‘，即：ri>ri’a^n=p1^r1n*p2^r2n*…*pi^rin*…*pn^rnn, b^n= p1^r1’n*p2^r2’n*…* pi^ri’n *…*pn^rn’n,则ri*n>ri’*n，所以a^n|b^n不成立。 （6）多种解法，其中一种： 由于a,b,c互素且非零 所以(a,b)=1,(b,c)=1 所以存在u,v,r,s使ua+vc=1，rb+sc=1 两式相乘得：(ur)ab+(usa+vrb+vsc)c=1 所以(ab,c)=(a,b)(a,c)=1 （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）多种解法，其中一种： 70！=(70*69*68*67*66*65*64*63*62)*61! 70*69*68*67*66*65*64*63*62≡(-1)(-2)…(-9) (mod71) ≡1mod71 所以70！≡61! （13）多种解法，其中一种： 当n是奇数时，不妨设n=2k+1,k为整数 则2^n+1≡(-1)^(2k+1)+1≡0(mod3) 当n是偶数时，不妨设n=2k,k为整数 则2^n+1≡(-1)^(2k)+1≡2(mod3) 综上，n是奇数时，3整除2^n+1，n是偶数时，3不整除2^n+1 （14）第一个问题：因为(c,m)=d.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r 所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.
贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A 信息安全数学基础 注意事项： 1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。 一、设a,b 是任意两个不全为零的整数，证明：若m 是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解： 2 2[,](3(,)(3(,)(2( ,) [,](2abm am bm am bm abm a b m abm a b a b m = == =分） 分） 分） 分） = = 二、设 n=pq,其中p,q 是素数.证明：如果 2 2 =(mod ),,,a b n n a b n a b -+宎宎 则(,)1,(,)1n a b n a b ->+>（共10分） 证明：由2 2 2 2 =(mod ),|-,|()()a b n n a b n a b a b +-得即a a (2分） 又n pq =，则|()(),|()|(),pq a b a b p p a b p a b +-+-因为是素数，于是或a a a (2分） 同理，|()|()q a b q a b +-或a a (2分） 由于,n a b n a b -+宎 ，所以如果|()p a b +a ，则|()q a b -a ，反之亦然. (2分） 由|()p a b +a 得(,)1n a b p +=> (1分） 由|()q a b -a 得(,)1n a b q -=> (1分）
北理工《网络信息安全基础》在线作业-0005 试卷总分:100 得分:0 一、单选题 (共 20 道试题,共 60 分) 1.从层次体系上，可将网络安全分成4个层次上的安全：物理安全、逻辑安全、（）和联网安全。 A.操作系统安全 B.硬件安全 C.账户安全 D.通信安全 2.屏蔽子网模型用了（）个包过滤器和（）个堡垒主机。 A.2，1 B.1，1 C.2，2 D.1，2 3.下列IP地址中（）是C类地址 A.127.233..13.34 B.152.87.209.51 C.169.196.30.54 D.202.96.209.21 4.抵御电子邮箱入侵措施中，不正确的是（） A.不用生日做密码 B.不要使用少于7位的密码 C.不要全部使用数字 D.自己做服务器 5.进行网络扫描时，对非连续端口进行的，并且源地址不一致、时间间隔长而没有规律的扫描是（） A.乱序扫描 B.慢速扫描 C.顺序扫描 D.快速扫描 6.有一门学科被黑客利用以进行网络入侵，它使用计谋和假情报去获得密码和其他敏感信息。这门学科是（） A.情报学 B.心理学
C.社会工程学 D.政治经济学 7.RPC的中文含义是（） A.拒绝服务攻击 B.缓冲区溢出攻击 C.远程过程调用 D.远程服务连接 8.IP协议是指网际协议，它对应于OSI模型中的哪一层（） A.物理层 B.数据链路层 C.传输层 D.网络层 9.有关暴力攻击的描述，正确的是（） A.针对一个安全系统进行暴力攻击需要大量的时间、极大的意志力和决心。 B.暴力攻击是一种技术要求较高的入侵方式。 C.字典攻击是一种暴力攻击，但并不常见。 D.暴力攻击被用来破坏安全系统的物理存在。 10.在计算机网络中，有关攻击和安全，下列说法错误的是（） A.系统管理员可以利用常见的攻击手段对系统进行检测，并对相关漏洞采取措施。 B.网络攻击总是恶意的而没有善意的。 C.被动攻击是指攻击者简单地监视所有信息流以获得某些秘密。这种攻击可以是基于网络或者基于系统的。 D.主动攻击是指攻击者试图突破网络的安全防线。这种攻击涉及到数据流的修改或创建错误信息流，主要攻击形式有假冒、重放、欺骗、消息篡改、拒绝服务等。 11.（）是通过偷窃或分析手段来达到计算机信息攻击目的的，它不会导致对系统所含信息的任何改动，而且其他的操作和状态也不被改变。 A.主动攻击 B.被动攻击 C.黑客攻击 D.计算机病毒 12.邮箱密码一般需要设置为（）位以上。 A.6
.精品. 信息安全基础知识培训试题 一、填空题：每空4分共40分 1、电脑要定期更换（密码）、定期（杀毒），对不明邮件不要轻易（打开）。 2、信息安全的基本特征是（相对性）、（时效性）、（复杂性）、配置相关性、攻击的不确定性。 3、(人)是信息安全中最关键的因素，同时也应该清醒的认识到人是信息安全中最薄弱的环节。 4、绝对的(信息安全)是不存在的，每个网络环境都有一定程度的漏洞和（风险）。 5、信息安全管理中明确需要保护的对象包括内部员工、外部客户、服务供应商、产品供应商、（网络设备）、系统主机、工作站、PC机、操作系统、业务应用系统、商业涉密数据、个人隐私数据、文档数据等。 二、多选题：每题５分共25分 1、信息安全三要素包括（A B C ） A 机密性 B 完整性 C 可用性 D 安全性 2、信息安全的重要性体现在以下方面（ＡＢC） A 信息安全是国家安全的需要 B 信息安全是组织持续发展的需要 C 信息安全是保护个人隐私与财产的需要 D 信息安全是维护企业形象的需要 3、在工作当中，“上传下载”的应用存在的风险包括（ＡＢＣ） A 病毒木马传播 B 身份伪造 C 机密泄露 D 网络欺诈 4、客户端安全的必要措施包括（ABCDE ） A安全密码B安全补丁更新C个人防火墙 D 应用程序使用安全Ｅ防病毒 5、信息安全管理现状已有的措施包括（ABCD ） A 兼职的安全管理员 B 物理安全保护 C 机房安全管理制度D资产管理制度 三、判断题：每题5分共35分 1、电子商务应用不可能存在账号失窃的问题。（X ） 2、为了信息安全，在使用密码时建议使用大写字母、小写字母、数字、特殊符号组成的密码。（√） 3、员工缺乏基本的安全意识，缺乏统一规范的安全教育培训是信息安全管理现状存在的问题之一。（√） 4、超过70%的信息安全事件，如果事先加强管理，都可以得到避免。（√） 5、由于许多信息系统并非在设计时充分考虑了安全，依靠技术手段实现安全很有限，必须依靠必要的管理手段来支持。（√） 6、企业需要建造一个全面、均衡的测量体系，用于评估信息安全管理的效用以及改进反馈建议。（√） 7、通过合理的组织体系、规章制度和控管措施，把具有信息安全保障功能的软硬件设施和管理以及使用信息的人整合在一起，以此确保整个组织达到预定程度的信息安全，称为信息安全管理。（X ）
信息安全数学基础习题答案 第一章整数的可除性 1．证明1：因为2|n 所以n=2k , k1Z 5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k11Z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k21Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k21Z 因此70|n 证明2：n是2、5、7的公倍数，所以[2,5,7]|n，又知2、5、7互素，所以[2,5,7]=2*5*7=70,即70|n。 2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，k22(mod) a b p ≡Z 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，k p a b -Z 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，k p a b +Z 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k022(mod) ≡Z a b p （2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1 由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k 所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a 由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1) 又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。 5．证明：构造下列k个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k p a b -Z 对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数 所以此k个连续正整数都是合数。 6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13 经验算都不能整除191 所以191为素数。 因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23 经验算都不能整除547 所以547为素数。 由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。 8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9 9.证明：反证，设n/p是合数，n/p= k1k2, k1>p, k2>p,则n=p k1k2> n3，所以p< n1/3，矛盾。 10．证明：p1 p2 p3|n，则n= p1 p2 p3k，k p a b +N+ 又p1≤ p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3 p1为素数则p1≥2，又p1≤ p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22 即p2≤(n/2)1/2得证。 11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数： 12．证明：反证法 假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。 (3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得到的还是3k+1的形式，不能得出3k-1的数，因此假设不成立，结论得证。 同理可证其他。 13．证明：反证法 假设形如4k+3的素数只有有限个，记为p1, p2,…, p n 因为4k+3=4k`-1=4k-1 构造N=4*p1*p2*…*p n-1≥3*p1*p2*…*p n 所以N＞p i (i=1,2,…,n) N为4k-1形式的素数，即为4k+3的形式，所以假设不成立。
信息安全数学基础习题答案 第三章.同余式 1．（1）解：因为（3，7）=1 | 2 故原同余式有一个解 又3x ≡1（mod7） 所以 特解x 0`≡5（mod7） 同余式3x ≡2（mod7）的一个特解x 0≡2* x 0`=2*5≡3（mod7） 所有解为：x ≡3（mod7） （2）解：因为（6，9）=3 | 3故原同余式有解 又2x ≡1（mod3） 所以 特解x 0`≡2（mod3） 同余式2x ≡1（mod3）的一个特解x 0≡1* x 0`=1*2≡2（mod3） 所有解为：x ≡2+3t （mod9）t=0,1,2 所以解分别为x ≡2，5, 8（mod9） （3）解：因为（17，21）=1 | 14 故原同余式有解 又17x ≡1（mod 21） 所以 特解x 0`≡5（mod 21） 同余式17x ≡14（mod 21）的一个特解x 0≡14* x 0`=14*5≡7（mod 21） 所有解为：x ≡7（mod 21） （4）解：因为（15，25）=5 不整除9，故原同余式无解 2．（1）解：因为（127，1012）=1 | 833 故原同余式有解 又127x ≡1（mod1012） 所以 特解x 0`≡255（mod1012） 同余式127x ≡833（mod1012）的一个特解x 0≡833* x 0`=833*255≡907（mod1012） 所有解为：x ≡907（mod1012） 3．见课本3.2例1 4.设a,b,m 是正整数，（a,m ）=1,下面的方法可以用来求解一次同余方程ax ≡b(mod m) (3)6x ≡7（mod 23） 解：依据题意可知，原式与(a%m)x ≡-b[m/a](mod m)同解 即与5x ≡-7*3(mod 23)同解,化简得5x ≡2(mod 23). 重复使用上述过程，5x ≡2(mod 23)->3x ≡-8(mod 23)->2x ≡10(mod 23)->x ≡5(mod 23). x ≡5(mod 23)即为方程的解。 5.设p 是素数，k 是正整数，证明：同余式X 2≡1(mod p k )正好有两个不同余的解 6.证明：k>2时，同余式X 2≡1(mod 2k )恰好有四个不同的解 7．（1）解：因为（5，14）=1 由Euler 定理知，同余方程5x ≡3（mod14）的解为： x ≡5?(14)-1*3≡9（mod14） （2）解：因为（4，15）=1 由Euler 定理知，同余方程4x ≡7（mod15）的解为： x ≡4?(15)-1*7≡13（mod15） （3）解：因为（3，16）=1 由Euler 定理知，同余方程3x ≡5（mod16）的解为： x ≡3?(16)-1*5≡7（mod16）
第一章参考答案 （1） 5,4,1,5. （2） 100=22*52, 3288=23*3*137. （4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p 1p 2 ––p r , b=q 1 q 2 ––q s ,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子 相乘a n=(p 1p 2 ––p r )n, b n=(q 1 q 2 ––q s )n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p 1p 2 ––p r , b=q 1 q 2 ––q s , a n=(p 1p 2 ––p r )n, b n=(q 1 q 2 ––q s )n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i 的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p 1p 2 ––p r , b=q 1q 2 ––q s , ab=p 1 p 2 ––p r q 1 q 2 ––q s , 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中 没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k 1m+r, bc=k 2 m+r,有 ac=k 1d(m/d)+r, bc=k 2 d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边 可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i *m i ，a-b是任意m i 的倍数， 所以a-b是m i 公倍数，所以[m i ]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/ 最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能 第二章答案 （5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)
信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷) 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共24分) 1.两个整数a，b，其最大公因数和最小公倍数的关系为 。 2.给定一个正整数m，两个整数a,b叫做模m同余，如果 ____________________________ ，记 作a三b(modm)；否则，叫做模m不同余，记作 ________________________ 。 3.设m，n是互素的两个正整数，则 ?(m n)= ______________________________ 。 e .. 4.设m 1是整数，a是与m互素的正整数。则使得a三1(modm)成立的最小正 整数e叫做a对模m的指数，记做 ________________ 如果a对模m的指数是? (m)，贝U a叫做模m的________________ 。 5.设n是一个奇合数，设整数b与n互素，如果整数n和b满足条件 ______________________ ，贝U n叫做对于基b的拟素数。 6.设G,G是两个群，f是G到G的一个映射。如果对任意的a,b G，都有 __________________ ，那么f叫做G到G'的一个同态。 7.加群Z的每个子群H都是 _______________________________ 群，并且有H M O A或 H = _____________________ 。 8.我们称交换环R为一个域，如果R对于加法构成一个 ____________ ，戌=R\{0}对 于乘法构成一个 ____________ 。 二、计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 1.令a =1613, b =3589。用广义欧几里德算法求整数s,t，使得sa tb 二(a,b)。
第六章 素性检验 6.1 拟素数 引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，则对任 意整数b,(b,n)=1,有 )(mod 11n b n ≡- 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得 ) (mod 11n b n ≡/-，则n 是一个合数。 定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，则n 叫做对于基b 的拟素数。 引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 则 12-d 能整除12-n 定理1：存在无穷多个对于基2的拟素数。 定理2：设n 是一个奇合数，则 (i)n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数当且仅当b 模n 的指数整除n-1。 (ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),和基2b ，((2b ,n)=1),的拟素数，则 n 是对于基21b b 的拟素数。 (iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),的拟素数，则n 是对于基1-b 的拟素数。 (iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式 )(mod 11n b n ≡-不成立，则模n 的简化剩余系中至少有一半的数使得该同余式不成立。 //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Fermat 素性检验 给定奇整数3≥n 和安全参数t 。 1.随即选取整数 b ,22-≤≤n b ； 2.计算()n b r n mod 1-=; 3.如果1≠r ，则n 是合数； 4.上述过程重复t 次； 定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有的正整数b ，(b,n)=1, 都有同余式 ()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。 (i)如果n 被一个大于1平方数整除，则n 不是Carmichael 数。 (ii)如果k p p n Λ1=是一个无平方数，则n 是Carmichael 数的充要条件是 11--n p i ，k i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数的乘积 注：1.存在无穷多个Carmichael 数 2.当n 充分大时，区间[]n ,2内的Carmichael 数的个数大于等于72n 6.2 Euler 拟素数 引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式 )(mod 21n n b b n ?? ? ??≡- 对任意整数b 成立 因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得