11.1.3 三角形的稳定性
1.通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
2.稳定性与不稳定性在生产、生活中广泛应用.
自学指导：阅读教材P6—7，回答下列问题.
1.下列图形中具有稳定性的是(C)
A.正方形
B.长方形
C.直角三角形
D.平行四边形
2.要使下列木架变稳定各至少需要多少根木棍？
自学反馈
1.下列图中具有稳定性的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了三角形的稳定性.
3.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是(A)
A.活动的四边形衣架
B.起重机
C.屋顶三角形钢架
D.索道支架
活动1 思考
如图，盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？(防止窗框变形)
观察下面的图片，有什么共同点？(都具有三角形的形状.)
观察上面这些图片，你发现了什么？发现这些物体都用到了三角形.
活动3 动手操作探究三角形的稳定性
1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(不会)
2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？(会)
3.在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？(不会)
从上面实验过程你能得出什么结论？与同学交流.
解：三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.
第一个三角形不变形，第二个四边形变形，当在四边形的木架上再钉一根木条，然后扭动它，不变形.通过对比得出三角形具有稳定性的结论.
还有什么发现？
解：还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.原因是斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.
现在你知道为什么窗框未安装好之前，要先在窗框上斜钉一根木条了吧.其实就是利用了三角形的稳定性.
活动4 理解三角形的稳定性
只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性.”这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”.
活动5 四边形的不稳定性的应用
四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？
活动6 跟踪训练
1.下列图形中哪些具有稳定性？
判断一个图形是否稳定，关键是看图形中是否都是三角形.
2.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了(C)
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D.美观漂亮
第2题图第3题图
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(D)
A.两点之间线段最短
B.矩形的对称性
C.矩形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
教学至此，敬请使用学案当堂训练部分
（专题精选）初中数学三角形全集汇编及答案 一、选择题 1．如图，正方体的棱长为6cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ） A ．9 B ．310 C ．326+ D ．12 【答案】B 【解析】 【分析】 将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】 解：如图，AB=22(36)3310++= ． 故选：B ． 【点睛】 此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了． 2．如图，在?ABCD 中，E 为边AD 上的一点，将△DEC 沿CE 折叠至△D ′EC 处，若∠B ＝48°，∠ECD ＝25°，则∠D ′EA 的度数为（ ）
A．33°B．34°C．35°D．36° 【答案】B 【解析】 【分析】 由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数． 【详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°， 由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°， ∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°， ∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°. 故选：B． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键． 3．等腰三角形两边长分别是 5cm 和 11cm，则这个三角形的周长为（） A．16cm B．21cm 或 27cm C．21cm D．27cm 【答案】D 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：当5是腰时或当11是腰时，利用三角形的三边关系进行分析求解即可．【详解】 解：当5是腰时，则5+5<11，不能组成三角形，应舍去； 当11是腰时，5+11＞11，能组成三角形，则三角形的周长是5+11×2=27cm． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质, 三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质, 三角形三边关系是解题的关键． 4．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是() A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】 A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误； B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误； C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误； D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
三角形 一、选择题 1.若一个直角三角形的两边长为12和5，则第三边为（） A. 13 B.13或 C. 13或5 D. 15 2.三角形的角平分线、中线和高（） A. 都是射线 B. 都是直线 C. 都是线段 D. 都在三角形内 3.小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（） A. 734克 B. 946克 C. 1052克 D. 1574克 4.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是（） A. 三条中线的交点, B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5.如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做使用的数学道理是（） A. 两点之间线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 两点确定一条直线 D. 长方形的四个角都是直角 6.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是( )
A. 100° B. 80° C. 70° D. 50° 7.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 8.已知在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是( ) A. AB=DE，AC=DF- B. AC=EF，BC=DF - C. AB=DE，BC=EF- D. ∠C=∠F，AC=DF 9.若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（） A. 20° B. 50° C. 80° D. 100° 10.如图，点M是边长为4cm的正方形的边AB的中点，点P是正方形边上的动点，从点M出发沿着逆时针方向在正方形的边上以每秒1cm的速度运动，则当点P逆时针旋转一周时，随着运动时间的增加，△DMP面积达到5cm2的时刻的个数是（） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题 11.在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=70°，则∠C的度数是________。 12.将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________． 13.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PD____________PF.
课题：4.1认识三角形 课时安排：4 课时课型：新授 第2 课时 批注三维目标： 1. 知识与技能目标：掌握“三角形任意两边之和大于第三边”和“三角 形任意两边之差小于第三边”；会按边的关系对三角形进行分类。 2. 数学思考目标：鼓励学生通过测量、计算、比较来得到结论以发展 合情推理能力，同时关注学生用“两点之间线段最短”来说明结论以发 展演绎推理能力。 3. 问题解决目标：经历探索说理和解决问题的过程，增强应用意识，提 高实践能力。 4. 情感态度目标：体验解决数学问题的过程，养成合作交流习惯，注 重严谨的科学态度。 重点难点： 教学重点：三角形三边关系及其应用。 教学难点：①理解三角形任意两边之差小于第三边 ②应用三边关系解决问题。 教具准备：刻度尺，锐角、钝角、直角三角形纸片各一张，10、5、7、 8、12、15厘米的小棒（吸管）各一根 教学方法： 教学过程 一、创设情境，激活思维 1、情境：出示教材议一议图片。 提问：黄色彩灯电线与红色彩灯电线 哪根长？根据是什么？ 2、激活思维：三角形任意两边之和大于第三边。 3、进一步思考：你能说明这个结论的理由吗？ 【引导学生用“两点间线段最短”来演绎推理】 二、再次设疑，拓展思维 1、提出问题：例题：有两根长度为5cm和8cm的木棒，若要再找一根 木棒与它们能摆成三角形，这根木棒应该多长？ 【预计学生会脱口而出的答案是：小于13cm】 2、做一做：请学生分别用
① 12cm，5cm，8cm；② 7cm，5cm，8cm； ③ 15cm，5cm，8cm；④ 1cm，5cm，8cm 来摆拼三角形，发现了什么？ 3、第④组中第三根木棒1cm，小于13cm，为什么不能摆成三角形？【由此激发学生思考第三根木棒不能太短，应该有个限制。】 4、合作完成并交流： 测量出手中三张三角形纸片各边的长度，计算每个三角形任意两边之差，并与第三边比较，能得出什么结论？ 5、明晰结论：三角形任意两边之差小于第三边。 6、解决问题：第三根木棒的长度还应大于8-5=3（cm） 即 3cm<第三根木棒长度<13cm 三、应用新知解决问题 随堂练习 四、按三角形边的关系进行分类 1、测量教材图3-9出示的各三角形的各边，比较每个三角形中三边的长度，你能根据比较结果将三角形分类吗？ 2、按边的关系对三角形进行分类： ①三边各不相等 ②有两边相等：等腰三角形 ③三边都相等：等边三角形（正三角形） 五、小结与作业 1、三角形三边具有怎样的关系？ 2、作业：习题4.2 教学反思： 顶角 底角 底边 腰腰
13．3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点) 2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点) 一、情境导入 观察下面图形： 师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？ 生：等边三角形． 师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题． 二、合作探究 探究点一：等边三角形的性质 【类型一】利用等边三角形的性质求角度 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE ＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°. 方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握． 【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等 如图：已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ， 垂足为M ，求证：BM ＝EM . 解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可． 证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝1 2 ×60°＝30°，∠ ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°， ∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM . 方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法． 【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用 △ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？ 解析：先根据已知条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°. 解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，
11.1 三角形的边教案 教学目标：1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2、掌握三角形的三边间的关系。 难点重点：熟练掌握三角形的三条重要关系。 一、知识点梳理 (1) 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. (2) 三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ???????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 (3) 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 二、典例分析 例1 一个三角形的两边长分别为2 和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系） 针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm ，一边长为3cm ,则它的另一边长是 。 例2 如图,AD 是ABC ?的中线,DE=2AE.若ABE ABC S cm S △△求,242= 针对性练习： 1、能把一个任意三角形分成面积相等的两个三 角形的线 段是三角形的（ ） A 、角平分线 B 、中线 C 、高 D 、两边中点连线 2、如图2，在ABC ?中，点D 、 E 、 F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且24cm S ABC =△，则BEF S △的值为 。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分) 图2
A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14 cm 2 3、ABC ?中,AB=AC.周长为16cm.AC 边上的中线BD 将ABC ?分成周长之差为2cm 的两个三角形.求ABC ?的各边长. 反馈练习： 1、下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种 3、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1cm,2cm,3cm B.1cm,2cm,4cm; C.2cm,3cm,4cm D.2cm,3cm,6cm 4、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( ) A.9 B.12 C.15 D.12或15 5、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 B C E B A C E B A C E B A C E B ' C B A
（易错题精选）初中数学三角形经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??= A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论. 【详解】 题干中作图方法是构造角平分线，①正确； ∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30° ∴∠ADC=60°，②正确 ∵∠DAB=∠B=30° ∴△ADB 是等腰三角形 ∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确 在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a 在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22 BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确 故选：D 【点睛】 本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.
2．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ） A ．4 B ．3 C ．6 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果． 【详解】 解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF=DE ， 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6 B ．8 C 5 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】 设∠A ＝x ， 则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ， 由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°， 解得x ＝30°，
三角形的边 教学目标 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 4.体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 重点难点 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 教学过程 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角 形呢？ 二、三角形及有关 概念 不在一条直线上的 三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1)C B A
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 三、三角形三边的不等关系 探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 ? ?????
最新初中数学三角形经典测试题含答案 一、选择题 1．如图，90ACB ∠=?，AC CD =，过D 作AB 的垂线，交AB 的延长线于E ，若2AB DE =，则BAC ∠的度数为（ ） A ．45° B ．30° C ．22.5° D ．15° 【答案】C 【解析】 【分析】 连接AD ，延长AC 、DE 交于M ，求出∠CAB=∠CDM ，根据全等三角形的判定得出△ACB ≌△DCM ，求出AB=DM ，求出AD=AM ，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】 解：连接AD ，延长AC 、DE 交于M ， ∵∠ACB=90°，AC=CD ， ∴∠DAC=∠ADC=45°， ∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ， ∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM ， ∵∠ABC=∠DBE ， ∴∠CAB=∠CDM ， 在△ACB 和△DCM 中 CAB CDM AC CD ACB DCM ∠=∠??=??∠=∠? ∴△ACB ≌△DCM （ASA ）， ∴AB=DM ， ∵AB=2DE ， ∴DM=2DE ， ∴DE=EM ，
∵DE ⊥AB ， ∴AD=AM ， 114522.522 BAC DAE DAC ??∴∠=∠= ∠=?= 故选：C ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键． 2．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．32 D ．85 【答案】C 【解析】 【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度． 【详解】 解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==， ∴∠B=90°， ∴22345AC =+=， 由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ， ∴CF=5-3=2， 在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -， 由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x = ； ∴32 BE =． 故选：C ． 【点睛】
等边三角形 学习目标： 1.理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法. 2.掌握30°角的直角三角形的性质. 知识点梳理： 等边三角形的性质： (1)定义：等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的判定： (1)定义：三条边都相等的三角形为等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形. 例1 如图，已知△ABC 为等边三角形，点D 、E 分别在BC 、AC 边上，且AE=CD ，AD 与BE 相交于点F. (1)求证：△ABE ≌△CAD ； (2)求∠BFD 的度数. 例2 如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD ⊥AB.求证：AD= 4 1 AB.
课内练习： 1.如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？ 2.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为(B) A.10米 B.15米 C.25米 D.30米 课后练习： 1.若右图所示，已知点D在BC上，点E在AD上，BE=AE=CE,并且∠1=∠2=60°.求证：△ABC是等边三角形。 2.如右图所示，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截出AD=AE，△ADE是等边三角形吗？ 说明理由。
3.如右图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE评分∠ACD，CE=BD， 求证：△ADE是等边三角形。 3.在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，若AB=4cm,则BC=_______________. 4.等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9cm，则其腰长为_______,顶角是__________. 5.在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠A=30°，则 CD=____AC, BC=____AB, BD=____BC, BD=_____AB. 6.在△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线与点D，则CD的长为 ___________. 8.如右图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD,若△ABC的周长为36cm,求AD的长。 9.如右图所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于点D,AB=10，求DB的长。
初中数学三角形综合练习 一、选择题 1．如图，正方体的棱长为6cm ，A 是正方体的一个顶点，B 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ） A ．9 B ．310 C ．326+ D ．12 【答案】B 【解析】 【分析】 将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】 解：如图，AB=22(36)3310++= ． 故选：B ． 【点睛】 此题求最短路径，我们将平面展开，组成一个直角三角形，利用勾股定理求出斜边就可以了． 2．如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB ＝60°，CP ＝2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是( )
A．2 B2C3D．3 【答案】C 【解析】 【分析】 由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长． 【详解】 解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°， ∴∠AOP=∠COP=30°， ∵CP∥OA， ∴∠AOP=∠CPO， ∴∠COP=∠CPO， ∴OC=CP=2， ∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB， ∴∠CPE=30°， ∴CE=1 2 CP=1， ∴22 CP CE3 -=， ∴3 ∵PD⊥OA，点M是OP的中点， ∴DM=1 2 3． 故选C． 考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 3．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）
知 识点梳理 考点一、三角形 1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2、三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ??? ????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4、三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) 5、三角形具有稳定性 6、三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 7、多边形的外角和恒为360° 8、多边形及多边形的对角线 ①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． ②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。 ③多边形的对角线的条数: A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分)
边形共有 2)3 ( n n 条对角线。 9、边形的内角和公式及外角和 ①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n≥3)。 ②多边形的外角和等于360°。 10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。 ①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。 ②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”） 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 2、三角形中的中位线
北师大数学七年级下册课堂达标测试题 一、填空（每空3分，共60分） 1．三角形的三边关系：①三角形任意两边之和 第三边；②三角形任意两边之差 第三边. 2．下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（填“能”或“不能”）： （1）3㎝，4㎝，5㎝（ ） （2）8㎝，7㎝，15㎝ （ ）（3）13㎝，12㎝，20㎝（ ） （4）5㎝，5㎝，11㎝ （ ）（5）6cm, 8cm, 10cm （ ）（6）7cm, 7cm, 14cm （ ） 3．在△ABC 中，∠A =10°，∠B =30°，则∠C =_________.4．在△ABC 中，∠A =90°，∠B =∠C ，则∠B =_________. 5．（1）一个等腰三角形的一边是2cm ，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 _____________cm. （2）一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是 _____________cm. 6．如果∠B ＋∠C ＝∠A ，那么△ABC 是 三角形. 7．在△ABC 中，AB =6 cm ，AC =8 cm 那么BC 长的取值范围是 .8．ABC ?中，AD 是ABC ?的中线，且cm BC 10=，则 BD= cm. 9．在ABC ?中，?=∠80A ，AD 为A ∠的平分线，则BAD ∠= 10．如果一个三角形两边上的高的交点，恰好是三角形的一个顶点，则此三角形是 _____________三角形. 11．判断具备下面条件的三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形： （1）如果4:3:1::=∠∠∠C B A ，那么ABC ?是 三角形；（2）如果B A ∠=∠， ?=∠30C ，那么ABC ?是 三角形；（3）如果C B A ∠=∠=∠5 1 ，那么ABC ?是 三角形. 二、选择（每题3分，共27 分）1．在△ABC 中，∠A 是锐角，那么△ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 2．△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，则△ABC 的形状是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不确定 3．以下是由四位同学描述三角形的三种不同的说法，正确的是( ) A 、由三个角组成的图形叫三角形 B 、由三条线段组成的图形叫三角形 C 、由三条直线组成的图形叫三角形 D 、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形 4．△AB C 中，已知a =8, b =5，则c 为( ) A 、c =3 B 、c =13 C 、c 可以是任意正整数 D 、c 可以是大于3小于13的任意数值 5. 下面说法中正确的是：（ ）A 、三角形的角平分线,中线,高都在三角形内 B 、直角三角形的高只有一条C 、钝角三角形的三条高都在三角形外 D 、三角形至少有一条高在三角形内 6. 如果一个三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 7．在一个三角形，若?=∠=∠40B A ，则ABC ?是（ ） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上都不对 8．三角形的高线是 （ ） A 、线段 B 、垂线 C 、射线 D 、直线 9.在Rt △中，两个锐角关系是（ ）A 、互余 B 、互补 C 、相等 D 、以上都不对 三、解答题 1．如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD 是△ABC 的一条角平分线求∠ADB 的度数. （7分） 2．在下列图中，分别画出三角形的三条高。(6分) 提高题 1．已知三角形的两边分别为4和9，则此△的周长L 的取值范围是（ ） A 、5＜L ＜13 B 、4＜L ＜9 C 、18＜L ＜26 D 、14＜L ＜22 2．三角形的三边长为3，a ，7，则a 的取值范围是 ； 如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 . 3．如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，若∠BOC=120°，则∠A=________° 如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠B 与∠C 的角平分线相交于点E ，则∠BEC= 度． 如图，小林已经画出了一个三角形的两条角平分线，他说：“我不用再将第三个角平分，就能画出第三条角平分线．”他说的有道理吗？ ．他会怎样作？ ，他这样做的理由是 ． A B C O
11.1.1三角形的边 [教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ；2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. [重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程] 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角形呢？ 二、三角形及有关概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 三、三角形三边的不等关系 探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C，（2）从B→A→C；不一样， AB+AC ＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 三边都相等的三角形叫做等边三角形； ?????? a b c (1)C B A
初中数学三角形经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，∠BAF=600，那么∠DAE等于（） A．45°B．30 °C．15°D．60° 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据矩形的性质得到∠DAF=30°，再根据折叠的性质即可得到结果． 【详解】 解：∵ABCD是长方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠BAF=60°， ∴∠DAF=30°， ∵长方形ABCD沿AE折叠， ∴△ADE≌△AFE， ∴∠DAE=∠EAF=1 2 ∠DAF=15°． 故选C． 【点睛】 图形的折叠实际上相当于把折叠部分沿着折痕所在直线作轴对称，所以折叠前后的两个图形是全等三角形，重合的部分就是对应量． 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC＝10cm，则△DEC的周长为（） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“AAS”证明ΔABD≌ΔEBD .得到AD＝DE，AB＝BE，根据等腰直角三角形的边的关系，求
【详解】 ∵ BD 是∠ABC 的平分线， ∴ ∠ABD ＝∠EBD . 又∵ ∠A ＝∠DEB ＝90°，BD 是公共边， ∴ △ABD ≌△EBD (AAS)， ∴ AD ＝ED ，AB ＝BE ， ∴ △DEC 的周长是DE ＋EC ＋DC ＝AD ＋DC ＋EC ＝AC ＋EC ＝AB ＋EC ＝BE ＋EC ＝BC ＝10 cm. 故选B. 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质. 掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( ) A ．2cm ，3cm ，5cm B ．7cm ，4cm ，2cm C ．3cm ，4cm ，8cm D ．3cm ，3cm ，4cm 【答案】D 【解析】 【详解】 A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误； B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误； C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误； D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确． 故选D ． 4．如图，在ABC V 中，AB AC =，30A ∠=?，直线a b ∥，顶点C 在直线b 上，直线a 交AB 于点D ，交AC 与点E ，若1145∠=?，则2∠的度数是（ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．45° 【答案】C
最新初中数学三角形真题汇编含答案 一、选择题 1．如图，在ABC V 中，90C ∠=?，60CAB ∠=?，按以下步骤作图： ①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．46 B ．42 C ．43 D ．8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长． 【详解】 由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线， ∴AE ＝BE ， ∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°， ∴∠CBA ＝30°， ∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝ 12 AE ＝4， ∴AE ＝8． 故选D ． 【点睛】 此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°是解题关键． 2．长度分别为2，7，x 的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．9 【答案】C 【解析】 【分析】
根据三角形的三边关系可判断x 的取值范围，进而可得答案. 【详解】 解：由三角形三边关系定理得7－2＜x ＜7+2，即5＜x ＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x ＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x ＜9，只有6符合不等式， 故选C ． 【点睛】 本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键. 3．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ） A ．4 B ．3 C ．6 D ．2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果． 【详解】 解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线， ∠EAD=∠FAD DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ， ∴DF=DE ， 又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4， 11742222 AC ∴=??+?? ∴AC=3. 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键. 4．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）
13.3.2等边三角形 1.理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法. 2.掌握30°角的直角三角形的性质. 阅读教材P79-80“思考及例4”，学生独立完成下列问题： 等边三角形的性质： (1)定义：等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 等边三角形的判定： (1)定义：三条边都相等的三角形为等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形. 自学反馈 (1)在等边三角形ABC中，∠A=∠B=∠C=60°. (2)在三角形ABC中，AB=AC=2，∠A=60°，则BC=2. (3)课本P80页练习第1、2小题. 阅读教材P80-81“探究及例5”，学生独立完成下列问题： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 自学反馈 (1)在Rt△ABC中，若∠BCA=90°，∠A=30°，AB=4，则BC=2. (2)Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系? 解：∠B＝60°，∠A＝30°，AB=2BC. 活动1学生独立完成 例1如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F. (1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数. (1)证明：∵△ABC为等边三角形 ∴∠BAE=∠DCA=60°，AB=AC. 在△ABE与△CAD中， ∵AB=AC，∠BAE=∠ACD，AE=CD， ∴△ABE≌△CAD.
(2)解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠DAC. ∵∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°， ∠BFD=∠ABE+∠BAF， ∴∠BFD=∠BAF+∠DAC=60°. 由等边三角形的性质，根据SAS证全等，然后利用全等的性质求∠BFD的度数. 例2如图，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB.求证：AD=AB. 证明：∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=AB.∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°.∴∠DCB=60°. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°. 在Rt△ACD中，∠ACD=30°. ∴AD=AC=AB. 活动2跟踪训练 1.如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？ 据三个角都相等的三角形是等边三角形或者有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形判定. 2.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为(B) A.10米 B.15米 C.25米 D.30米 抓住含30°角的直角三角形的性质，把握30°角所对的直角边与斜边的关系. 活动3课堂小结 1.对于等边三角形，它属于特殊的等腰三角形，特殊到三条边相等，三个角都等于60°，“三线合一”的性质就更能不受限制，淋漓尽致地发挥了.