人教版初中数学全等三角形证明题（经典50题）（含答案）
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD?
解析：延长AD 到E,使DE=AD,
则三角形ADC 全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 即:10-2<2AD<10+2 4 又AD 是整数,则AD=5 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 证明：连接BF 和EF 。因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。连接BE 。在三角形BEF 中,BF=EF 。所以 ∠EBF=∠BEF 。又因为 ∠ABC=∠AED 。所以 ∠ABE=∠AEB 。所以 AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。 A D B C 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE =∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2 ∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝ 180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平 分∠BAD 所以∠DAC ＝ ∠FAC 又因为AC ＝AC 所以 △ADC ≌△AFC （SAS ） 所以 AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝ AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中， AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接 EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则 ⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则 ∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所 以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C 证明：AB//ED,AE//BD 推出AE=BD, 又有AF=CD,EF=BC 所以三角形AEF 全等于三角形DCB ， 所以:∠C=∠F C D B D C F E A B A C D F 2 1 E 14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C 证明：设线段AB,CD 所在的直线交于E ，（当AD 时，E 点是射线BA,CD 的交点，当AD>BC 时，E 点 是射线AB,DC 的交点）。 则：△AED 是等腰三角形。所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）所以： △BEC 是等腰三角形所以：角B=角C. 15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证： PC-PB 证明：作B 关于AD 的对称点B ‘，因为AD 是角BAC 的平分线，B'在线段AC 上（在AC 中间，因为AB 较短）因为PC B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB AC-AB=2BE 证明：∠BAC=180-（∠ABC+∠C=180-4∠C ∠1=∠BAC/2=90-2∠C ∠ABE=90-∠1=2∠C 延长BE 交AC 于F 因为，∠1 =∠2，BE ⊥AE 所以，△ABF 是等腰三角形AB=AF,BF=2BE ∠FBC=∠ABC-∠ABE=3∠C-2∠C=∠CBF=CFAC-AB=AC-A F=CF=BF=2BE 17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC 证明：作AG ∥BD 交DE 延长线于G AGE 全等BDE AG=BD=5AGF ∽CDF AF=AG=5 所以DC=CF=2 18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ， ∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 证明：延长AD 至H 交BC 于H;BD=DC; 所以:∠DBC=∠角DCB;∠1=∠2; ∠DBC+∠1=∠角DCB+∠2;∠ABC=∠ACB; 所以:AB=AC; 三角形ABD 全等于三角形ACD; ∠BAD=∠CAD;AD 是等腰三角形的顶角平分线所以:AD 垂直BC 19．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ． 求证：∠OAB =∠OBA 证明：因为AOM 与MOB 都为直角三角形、共用OM ，且∠MOA=∠MOB 所以MA=MB 所以∠MAB=∠MBA 因为∠OAM=∠OBM=90度 所以∠OAB=90-∠MAB ∠OBA=90-∠MBA 所以∠OAB=∠OBA A B C D P D A C B F A E D C B 20．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 证明：做BE 的延长线，与AP 相交于F 点，∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°， 又∵，AE ，BE 均为∠PAB 和∠CBA 的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB 为直角三角形在三角形ABF 中，AE ⊥BF ，且AE 为∠FAB 的角平分线 ∴三角形FAB 为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF 与三角形BEC 中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF ，∠DEF=∠CEB ，∴三角形DEF 与三角形BEC 为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 21．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 证明：在AB 上找点E ，使AE=AC ∵AE=AC ，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ∴△ADE ≌△ADC 。DE=CD ， ∠AED=∠C ∵AB=AC+CD ， ∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE ∠B=∠EDB ∠C=∠B+∠ED B=2∠B P E D C B A D C B A 22．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC 于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成 立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 分析：通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形 BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论． 解答：解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°， DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA， ∴DE=BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴ 四边形BEDF是平行四边形．∴MB=MD，ME=MF． 23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△ AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 证明：(1)DC∥AE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。 于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，所以 △AED≌△EBC。 （2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。 24．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E， 直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． 证明：延长BA、CE，两线相交于点 F ∵BE⊥CE ∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC ∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC 中 ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴EF=EC ∴CF=2CE ∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90° 又∵∠ADB=∠CDE ∴∠ABD=∠ACF 在 △ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA) ∴BD=CF ∴BD=2CE 25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 O E D C B A F E D C B A F E D C 26、如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ， BE=CF 。 求证：AM 是△ABC 的中线。 证明：∵BE ‖CF ∴∠E=∠CFM ， ∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM ≌△CFM ∴BM=CM ∴AM 是△ABC 的中线. 27、如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC 的中点。求证：BD ⊥AC 。 证明：三角形ABD 和三角形BCD 的三条边都相等，它们全等，所以角 ADB 和角CDB 相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD 垂直AC 28、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF 证明：在△ABD 与△ACD 中AB=ACBD=DCAD=AD ∴△ABD ≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF 与△FDC 中 BD=DC ∠BDF=∠FDCDF=DF ∴△FBD ≌△FCD ∴BF =FC 29、如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。 证明：因为AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角 ABFAB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以 AF=DE 30.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只 小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只 石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上. 证明：∵AB 平行CD （已知）∴∠B=∠C （两直线平行，内错 角相等）∵M 在BC 的中点（已知）∴EM=FM （中点定义） 在△BME 和△CMF 中 BE=CF （已知） ∠B=∠C （已证） EM=FM （已证）∴△BME 全等与△CMF （SAS ）∴∠EMB=∠FMC （全等三角形的对应角相等） ∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质） ∴E ，M ，F 在同一直线上 31．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ， M F E C B A D C B A F D C B A F E D C B A BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 证明：∵AF=CE ∴AF+EF=CE+EF ∴AE=CF ∵BE//DF ∴∠BEA=∠DFC 又∵BE=DF ∴⊿ABE ≌⊿CDF （SAS ） 32.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。 证明：连结BD ，得到等腰三角形ABD 和等腰三角形BDC ，由等腰△两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：△ADE ≌△ABF 得AE=AF 33．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 证明：因为角1=角2∠3=∠4所以角ADC=角 ABC.又因为AC 是公共边，所以AAS==>三角形 ADC 全等于三角形ABC.所以BC 等于DC ，角3等 于角4,EC=EC 三角形DEC 全等于三角形BEC 所以 ∠5=∠6 34．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ． 证明：因为D,C 在AF 上且AD=CF 所以AC=DF 又因为AB 平行DE ，BC 平行EF 所以角A+角EDF ， 角BCA=角F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等 35．已知：如图，AB =AC ，BD AC ，CE AB ， 垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ． 证明：因为 AB=AC ， 所以 ∠EBC=∠DCB 因为 BD ⊥AC ，CE ⊥AB 所以 ∠BEC=∠CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC 全等于三角形 DCB 所以 BE ＝CD 36、 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥ AC 于F 。 求证：DE =DF ． 解析：（AAS ）证△ＡＤＥ≌△ADF 37.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于 D B C A F E 654321E D C B A A C B D F A A
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