随机变量及其分布
一，离散型随机变量
1，试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验。
2，随机试验：一个试验如果满足（1）试验可以在相同的情形下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，那么，这个试验就叫做随机试验。
3，随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母ηξ,,,Y X 表示。例如抛筛子、掷硬币 4，离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量
二，离散型随机变量的分布列
要掌握一个离散型随机变量X 的取值规律，必须知道： 1，X 所有可能取的值n x x x ,,,21Λ； 2，X 取每一个值i x 的概率n p p p ,,,21Λ 分布列 ：
我们称这个表为离散型随机变量X 的概率分布，或称为离散型随机变量X 的分布列。 3，离散型随机变量的分布列性质：
（1）*,0N i p i ∈≥；（2）1321=++++n p p p p Λ
三，两点分布与超几何分布
1，两点分布
若随机变量X 的分布列为
则称X 的分布列为两点分布列。 如果随机变量X 的分布列为
两点分布列，就称X 服从两点分布，并称)1(==x P p 为成功概率 2，超几何分布：
一般的，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}k X =发生的概率为
n
N
k n M
N k M C
C C k x P --==)(（m k Λ,2,1,0=），其中{}*
,,,,,,min N N M n N M N n n M m ∈≤≤=且，称
为超几何分布列，如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布
四，独立重复试验与二项分布
1，独立重复试验：一般的，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。 2，独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率：
一般的，如果在1次实验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率
=)(k P n k n k k
n
p p C --)1(，（n k Λ,2,1,0=）
3，二项分布：
一般的，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立
重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：==)(k X P k
n k k n p p C --)1(，（n k Λ,2,1,0=）
此时称随机变量X 服从二项分布，记作),(~p n B X ，并称p 为成功概率
五，离散型随机变量的均值
1，一般的，若离散型随机变量X 的分布列为
则称：n n i i p x p x p x p x x E +++++=ΛΛ2211)(为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的
平均水平。 2，均值的性质：
若b aX Y +=，其中b a ,是常数（X 是随机变量），则Y 也是随机变量，且有b x aE b aX E +=+)()( 3，常用分布的均值
（1）两点分布：p p p x E =-
?+?=)1(01)( （2）二项分布：np x E =)( （3）超几何分布：N
nM
x E =
)( 六，离散型随机变量的方差
1，离散型随机变量的方差与标准差： 设离散型随机变量X 的分布列为
则2
))((X E x i -描述了),,3,2,1(n i x i Λ=相对于均值)(X E 的偏离程度，而∑=-=
n
i i i
p X E x
X D 1
2))(()(为这些偏离
程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值)(x E 的平均偏离程度，我们称)(X D 为随机变量X 的方差，其算数平方根
)(X D 为随机变量X 的标准差，记作X σ。
随机变量的方差和标准差都反应的随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。 2，方差的性质
b a ,是常数时，随机变量函数b a +=ξη的方差)()()(2
ξξηD a b a D D =+=
（1）当0=a 时，0)(=b D ，即常数的方差等于0；
（2）当1=a 时，)()(ξξD b D =+，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身；
（3）当0=b 时，)()(2
ξξD a a D =，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的积
七，常用分布的方差：
1，两点分布：若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 2，二项分布：若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=
3，超几何分布：若随机变量X 服从超几何分布，即),,(~n M N H X ，则1
)
1()(---=N n
N N M N nM X D
八，正态分布
1，正态曲线 函数2
22)(,21)(σμσμσ
π?--
?=
x e
x ，R x ∈的图像（其中实数μ和σ为参数）称为正态分布密度曲线，简称正态曲线
随机变量X 落在区间(]b a ,的概率为?
≈≤ a dx x b x a P )()(,σμ?，即由正态曲线，b x a x ==,及x 轴所围成的平面图形 的面积，就是X 落在区间(]b a ,的概率的近似值，如图： 2，正态分布 一般的，如果对于任何实数b a <，随机变量X 满足? =≤ a dx x b x a P )()(,σμ?，则称X 的分布为正态分布。 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ，如果随机变量X 服从正态分布，则记作),(~2 σμN X 3，正态曲线的性质 正态曲线2 22)(,21)(σμσμσ π?-- ?= x e x ，R x ∈ （1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称； （3）曲线在μ=x 处达到峰值 π σ21 ； （4）曲线与x 轴之间的面积为1； （5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移； （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散 4，标准正态分布： 若随机变量),(~2 σμN X ，则当1,0==σμ时，称随机变量X 服从标准正态分布，简称标准正态分布 标准正态分布的密度函数为2 221)(x e x f - ?=π ，R x ∈，其相应的密度曲线称为标准正态曲线，如图： 特别的，)()(00x x P x <=Φ x
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