确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾:先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数,反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数, 反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标: (1)经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. (2)会利用待定系数法求二次函数的表达式.
(3)灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 3、精讲例题1,学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点(2,3)和 (-1,-3),求出这个二次函数的表达式. 解:将点(2,3)和(-1,-3)分别代入二次函数y=ax 2+c 中,得 ? ??4a+c=3a+c=-3 解这个方程组,得? ??a=3c=-5 ∴所求二次函数表达式为:y=2x 2-5. 4、让学板演评测题:做一做,并点评,介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做:已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2,例3,并讲解不同解法,说明什么时候设顶点式,什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=3,求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点,求二次函数的表达式。
《函数》教材分析 1、哪儿发生变化,哪没变?从教材内容,(或添加、删减),内容 没变,但是呈现方式发生改变,体现的理念变化,为什么这么 变?实际上是要学有用的数学,身边的数学,应用数学,学是 为了用,设计思想,体现的理念。做数学,让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来,要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化,技术所起的作用。技术的使用,引起学习方式的改变,怎么用?明确指出需要用技术的地方,形与数要结合。使用技术到非用不可,举例说明。重点! “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社
会中的简单问题。” 二、内容安排: 函数这章教材共分个大节:第一大节是函数的概念及函数的一般性质;第二大节是指数与指数函数;第三大节是对数与对数函数;第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段,初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象,并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等,使学生获得感性知识;本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段,是对函数概念的再认识阶段,用集合、映射的思想理解函数的一般定义,通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数,使学生获得较为系统的函数知识,并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分,极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的,主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看,函数是集合A到集合B的映射(A、B是非空数集),映射是特殊的对应,函数是特殊的映射,反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点,要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景,通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质,反之,函数性质又直观反映在图象上,指导准确作出函数图象。
2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1.函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容,它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上,对函数知识的进一步延伸和拓展,为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用,地位至关重要。 2.教学目标分析 ①知识能力方面: (1).掌握函数零点的概念,会求函数的零点. (2).掌握二次函数零点的判定方法. (3).会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面: (1).在探索方程根与函数零点的关系中,构建函数零点的概念,提升学生数学抽象与数学建模素养; (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中;培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点:函数零点的概念与性质;判定二次函数零点的个数;会求函数的零点. 教学的难点:函数零点的应用
值为 四、函数零点的性质 性质1, 问题1.请同学们通过列表研究一次,二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的? 问题2.如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 问题3.如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴一定有什么关系? 性质2, 问题4.通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 1.通过列表,学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示,使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力,培养学生数形结合思想,直观想象的核心素养。 师:观察函数12-=x y , 2()6f x x x =--的图像,在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的? 一生投影展示,大胆给出结论 师:性质1.(板书) 师:如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 生:不变号 师:如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴有什么关系? 生:相交 师:通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 师:性质2(板书) 五、性质简单应用 1.运用零点的性质,求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点,画出函数的图像。 2.变式:求函数 f (x )= 通过例题的练习,初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书:规范步骤。 强调:(1)求函数的零点 (2)取值列表 取与x 轴交点,与y 轴交点,以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值,可以再取点。 (3)描点连线,用平滑的曲线连接。 师:明确了作三次函数图像的步骤,变式:求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点,并画出它的图象.
第三章《函数》教材分析 本章为函数,共6节,内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时,具体分配如下: 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时 小结与复习约4课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析,包括极限理论、微分学、 积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,无一不是以函数作为基本 概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关,初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容,高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体,通过这些函数的研究,能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数,等差数列的通项反映的点对(n,an)都分布在直线y=kx+b的图象上,等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函 数关系式,等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等,并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数等最简单的函数,通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次 函数、二次函数的慨念和性质,理解函数的概念,并用描点法可以绘制相应函数图象 及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段,也就是函数概念的再认识阶段,即用 集合、映射的思想理解函数的一般定义,加深对函数概念的理解,在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质,从而使学生在第二阶段函数 的学习中获得较为系统的函数知识,并初步培养了学生的函数的应用意识,为今后学习打下 良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成 学的限定选修课中安排的,选修Ⅰ的内容有极限与导数,选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分,这些内容是函数及其应用研究的深化和提高,也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的 基础知识 (一)内容安排 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念,这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少,接受能力有限,用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接 映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义 的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集,还可以是点集、向量的集合等,本章主要是指数的集合随 - 1 -
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力:(1)理解反比例函数的概念,能判断两个变量之间的关系是否是函数关系,进而识别反比例函数; (2)能根据已知条件确定反比例函数的表达式; 过程与方法:经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程,体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观:(1)经历反比例函数的形成过程,使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 (2)通过学习反比例函数,培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点:根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点:理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境,引入新课 同学们,你们还记得在小学里学过的,两个变量满足什么条件时成反比例关系吗?你能写出下列例子中的等式吗? 1.当路程s 一定时,时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时,长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时,三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答:如果两个量x和y满足xy=k(k为常数, k ≠0)那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海(全程约300km),全程所用的时间t(h)随着速度v(km/h)的变化而变化。 (1)你能用含v的代数式表示t吗?
(2)利用(1)的关系式完成下表: 随着速度的变化,全程所用时间发生怎样的变化? (3)时间t是速度v的函数吗? (4)时间t是速度v的一次函数吗?是正比例函数吗? 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念,引出新知:反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化,则a与b的关系式为_____. 2.京沪线铁路全程为1463 km,某列车平均速度为v(km/h),全程运行时间为t(h),则v与t的关系式为_____ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为_____ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为_____ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征? 2它们与正比例函数关系式有什么不同? 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论:反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量,y是x的函数,k是比例系数。 注:(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
浙教版八年级(上)第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 (一)注重函数建模过程,降低函数抽象图形分析的难度,融合方程、不等式、函数的统一 (二)本章教材设计,体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例,让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式:解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数,使学生了解一次函数的有关性质,并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标: 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展学生的抽象思维能力,经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念;理解一次函数及其图象的有关性质;初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式,会作一次函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计: 第一节:常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量,并能举出常量、变量之间关系的例子,获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点:认识常量与变量。
难点:理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海,引出问题:什么量不变,什么量在变,再根据合作学习,探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题,在运算的过程中,让学生感觉变与不变,从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节:认识函数 【教学目标】 (1)初步了解函数的概念,明确函数中两个变量之间的关系。 (2)了解函数常用的三种表示方法,会列简单实际问题的函数解析式;会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点:建立函数观念,掌握求函数解析式。 难点:函数概念的理解,函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时, ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图,跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景,使学生明确“给定其中某一个 变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性,从而归纳出函数的概念, 同时也明确了函数的三种表示方式,对于函数的概念,只要学生能结合具体情境, 体会到函数的概念即可,不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练.建议把P154骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数 关系图象,并设置问题情境,放入合作学习中,作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子,通过几何(等腰三角形)与 代数应用(游泳池换水)问题,使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围,想一想提出的问题很及时,让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间,又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节:一次函数 【教学目标】 (1)使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念,能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 (2)会求正比例函数、一次函数的解析式。 (3)会求一次函数的值,会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。