反比例函数教材分析文件编码(GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968)
“第1章反比例函数”教材分析
一、教材分析
根据《数学课程课标》(实验稿),与原教材相比本章内容要求有所提高,主要表现在:(1)性质的探索过程——根据图象和解析式探索并理解其性质;(2)在实际问题中的应用.这是符合新课改的理念,总的来说是探讨知识发生的过程,培养学生自己探索问题,同时联系实际,提高学生分析解决问题的能力.与原浙江版相比,降低的地方是删去了反比例函数图象的性质:图象的两个分支都无限接近但永远达不到x轴和y轴.因为从教学实践看,学生对此不易理解,这条性质实际应用意义也不大.假如学生程度较好,老师在这方面也可以适当拓展.从编排顺序来看,原来浙江版中,本章内容放在初二下的“函数及其图象”一章中,编排顺序是平面直角坐标系—函数—正比例函数—反比例函数.本套教科书采用分步到位、穿插编排的方式.在八年级上册安排了“图形与坐标”、“一次函数”.到九年级上册一开始就学习“反比例函数”.这样编排的好处是因为反比例函数思维要求比较高,图象分两支,且又是曲线,学生理解相对困难,略放后面与学生接受能力、认知水平相当,为学生探索理解反比例函数创造条件.缺点是与前面知识连贯性较差.本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象.本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上,再次进入函数范畴,使学生进一步理解函数的内涵,并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题.反比例函数是最基本的函数之一,是后续学习各类函数的基础.
二、重点难点
反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数,它为今后学习图象和
曲线的关系(如二次函数)提供了研究方法.反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用,这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成,也会产生较大的影响,所以反比例函数是本章教学的重点.反比例函数图象的两个分支,给反比例函数的性质带来复杂性,学生不易理解,是本章教学的难点之一;综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时,往往会遇到较复杂的问题情境,需要建模,利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型,所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点.
三、课时安排
1.1 反比例函数 2课时
1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时
1.3 反比例函数的应用 1课时
复习、评价2课时,机动使用2课时,合计9课时.
四、教学建议
(1)反比例函数概念和形成过程,应充分利用学生的生活经验和背景知识.生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念,建立反比例函数离不开反比例关系这个基础;背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”.所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容,对扫清障碍,理解接受新概念很有益处.
(2)注重数学思想的渗透,从数学自身发展过程看,正是由于变量与函数概念的引入,标志着初等数学向高等数学迈进,尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数,但其中蕴涵的数学思想方法,对学生分析问
题解决问题是十分有益的.教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想,建模思想等.
(3)本章是实践性、应用性很强的内容,联系“科学”的知识特别
多.这一方面体现教材的横向联系,又体现本章内容的实用价值.如密度、压强与体积、杠杆原理、欧姆定理、电功率计算等.若学生在这方面有缺陷,则直接影响到本章的学习.建议老师在教前在同学中广泛了解学生的基础,若有问题应给予补充说明.
(4)本章1.2节安排“合作学习”.在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索—合作学习” 这种学习方式的作用.在按课本顺序指导学生画完图后,让学生回顾画图的全过程.体现课标要求“性质的探索过程——根据图象和解析表达式探索并理解其性质”.引导学生分清:①两个分支是一个函数的图象,不是函数有两个图象.②画曲线时,必须将自变量从小到大的顺序在各个象限里用光滑曲线连结起来,不能跨象限连结.③在图象所在的每个象限内,当k >0时,函数值y 随自变量x 的增大而减小;当k <0时,函数值y 随自变量x 的增大而增大.
(5)本套教科书在七年级下册就安排了“图形的变换”,目的是作为今后研究图形的工具.所以在教学中应充分利用,注意各章节之间的内在联
系.在这里就尽量用图形变换的思想叙述性质、用图形变换的角度观察、分析图形之间的联系.如反比例函数的图象是关于原点成中心对称,利用这一性质可以简化画图过程;x
y =1的图象与x y 1=-的图象关于坐标轴对称,我们可以通过图形变换来作另一函数的图象.
(6)本章还渗透了建模的思想.具体过程可概括为:由实验获得数据---用描点法画出图象---根据图象和数据判断或估计函数的类别---用待定系数法求出函数的关系式---用实验数据验证.随着社会的发展和科学技术的不断进步,数学的应用已越来越被人们所重视,培养学生分析问题、解决实际问题的能力已成为当今数学教育的主流.中学数学建模正顺应了这一时代发展的潮流,是对陈旧的数学教育观下的数学教育的有力冲击.中学数学建模从学生所经历,所接触到的客观实际中提出问题,对学生了解社会,认识社会都有积极作用.通过数学建模,对数学的广泛应用有了进一步认识,促使学生在积极思考中,在问题的解决中发现数学的价值与美.同时数学建模的复杂性,决不是凭个人的力量可以完美解决的,因此强调群体的协作.通过实际考察、实验统计、演义推理、总结提炼,最后又相互交流,共同探讨,共同解决.解决问题过程中充分体现高度的协作精神.教科书中的渗透正是体现了这种思想.
确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾:先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数,反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式,再通过一次函数, 反比例函数的求法,引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标: (1)经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. (2)会利用待定系数法求二次函数的表达式.
(3)灵活应用二次函数的三种形式:一般式,顶点式,交点式,以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数,简化运算过程。 3、精讲例题1,学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点(2,3)和 (-1,-3),求出这个二次函数的表达式. 解:将点(2,3)和(-1,-3)分别代入二次函数y=ax 2+c 中,得 ? ??4a+c=3a+c=-3 解这个方程组,得? ??a=3c=-5 ∴所求二次函数表达式为:y=2x 2-5. 4、让学板演评测题:做一做,并点评,介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做:已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2,例3,并讲解不同解法,说明什么时候设顶点式,什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=3,求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点,求二次函数的表达式。
《函数》教材分析 1、哪儿发生变化,哪没变?从教材内容,(或添加、删减),内容 没变,但是呈现方式发生改变,体现的理念变化,为什么这么 变?实际上是要学有用的数学,身边的数学,应用数学,学是 为了用,设计思想,体现的理念。做数学,让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来,要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化,技术所起的作用。技术的使用,引起学习方式的改变,怎么用?明确指出需要用技术的地方,形与数要结合。使用技术到非用不可,举例说明。重点! “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数,结合实际问题,感受运用函数概念建立模型的过程与方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社
会中的简单问题。” 二、内容安排: 函数这章教材共分个大节:第一大节是函数的概念及函数的一般性质;第二大节是指数与指数函数;第三大节是对数与对数函数;第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段,初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象,并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等,使学生获得感性知识;本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段,是对函数概念的再认识阶段,用集合、映射的思想理解函数的一般定义,通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数,使学生获得较为系统的函数知识,并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分,极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的,主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看,函数是集合A到集合B的映射(A、B是非空数集),映射是特殊的对应,函数是特殊的映射,反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点,要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景,通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质,反之,函数性质又直观反映在图象上,指导准确作出函数图象。
2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1.函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容,它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上,对函数知识的进一步延伸和拓展,为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用,地位至关重要。 2.教学目标分析 ①知识能力方面: (1).掌握函数零点的概念,会求函数的零点. (2).掌握二次函数零点的判定方法. (3).会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面: (1).在探索方程根与函数零点的关系中,构建函数零点的概念,提升学生数学抽象与数学建模素养; (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中;培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点:函数零点的概念与性质;判定二次函数零点的个数;会求函数的零点. 教学的难点:函数零点的应用
值为 四、函数零点的性质 性质1, 问题1.请同学们通过列表研究一次,二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的? 问题2.如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 问题3.如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴一定有什么关系? 性质2, 问题4.通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 1.通过列表,学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示,使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力,培养学生数形结合思想,直观想象的核心素养。 师:观察函数12-=x y , 2()6f x x x =--的图像,在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的? 一生投影展示,大胆给出结论 师:性质1.(板书) 师:如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时,函数值变号吗? 生:不变号 师:如果零点左右的函数值连续变号,函数图象与x 轴有什么关系? 生:相交 师:通过几何画板观察一次函数,二次函数在零点分成的区间上,函数值有什么特点? 师:性质2(板书) 五、性质简单应用 1.运用零点的性质,求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点,画出函数的图像。 2.变式:求函数 f (x )= 通过例题的练习,初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书:规范步骤。 强调:(1)求函数的零点 (2)取值列表 取与x 轴交点,与y 轴交点,以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值,可以再取点。 (3)描点连线,用平滑的曲线连接。 师:明确了作三次函数图像的步骤,变式:求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点,并画出它的图象.
第三章《函数》教材分析 本章为函数,共6节,内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时,具体分配如下: 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时 小结与复习约4课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析,包括极限理论、微分学、 积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,无一不是以函数作为基本 概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想,是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关,初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容,高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体,通过这些函数的研究,能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数,等差数列的通项反映的点对(n,an)都分布在直线y=kx+b的图象上,等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函 数关系式,等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等,并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数等最简单的函数,通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次 函数、二次函数的慨念和性质,理解函数的概念,并用描点法可以绘制相应函数图象 及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段,也就是函数概念的再认识阶段,即用 集合、映射的思想理解函数的一般定义,加深对函数概念的理解,在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质,从而使学生在第二阶段函数 的学习中获得较为系统的函数知识,并初步培养了学生的函数的应用意识,为今后学习打下 良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成 学的限定选修课中安排的,选修Ⅰ的内容有极限与导数,选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分,这些内容是函数及其应用研究的深化和提高,也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的 基础知识 (一)内容安排 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念,这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少,接受能力有限,用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接 映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义 的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集,还可以是点集、向量的集合等,本章主要是指数的集合随 - 1 -
浙教版八年级(上)第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 (一)注重函数建模过程,降低函数抽象图形分析的难度,融合方程、不等式、函数的统一 (二)本章教材设计,体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例,让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式:解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数,使学生了解一次函数的有关性质,并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标: 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想,进一步发展学生的抽象思维能力,经历一次函数的图象及其性质的探索过程,在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力;经历函数图象信息的识别与应用过程,发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念;理解一次函数及其图象的有关性质;初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式,会作一次函数的图象,并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计: 第一节:常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量,并能举出常量、变量之间关系的例子,获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点:认识常量与变量。
难点:理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海,引出问题:什么量不变,什么量在变,再根据合作学习,探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题,在运算的过程中,让学生感觉变与不变,从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节:认识函数 【教学目标】 (1)初步了解函数的概念,明确函数中两个变量之间的关系。 (2)了解函数常用的三种表示方法,会列简单实际问题的函数解析式;会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点:建立函数观念,掌握求函数解析式。 难点:函数概念的理解,函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时, ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图,跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景,使学生明确“给定其中某一个 变量的值,相应地就确定了另一个变量的值”这一共性,从而归纳出函数的概念, 同时也明确了函数的三种表示方式,对于函数的概念,只要学生能结合具体情境, 体会到函数的概念即可,不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练.建议把P154骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数 关系图象,并设置问题情境,放入合作学习中,作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子,通过几何(等腰三角形)与 代数应用(游泳池换水)问题,使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围,想一想提出的问题很及时,让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间,又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节:一次函数 【教学目标】 (1)使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念,能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 (2)会求正比例函数、一次函数的解析式。 (3)会求一次函数的值,会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。