正、反比例函数的内容特点及教材分析
第一部分：初中函数内容的知识框架结构
1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用
函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。
2.初中学习函数的意义和要求
初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。
初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。
3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想
函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。
4.高中函数教学的介绍
课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。
第二部分：函数知识内容的教学研究
（一）函数内容的知识体系
初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，然后以两个最简单的函数（正比例函数和反比例函数）作为载体，让学生理解函数的图像与一些性质，再介绍函数常用的三种表示方法，最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数（一次函数和二次函数），使学生对函数有一个较完整的理解，并能进行简单的应用。
（二）函数内容的教材分析及教学注意事项
1．函数的相关概念教材分析及教学注意事项
(1)函数相关内容的概念框架与知识结构
函数的定义域
实际问题---变量与常量---函数--- 函数值
函数的表示法
（2）函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析
通过身边的事例和生活中的实例，直观地认识变量以及变量之间的相互依赖关系，体会函数的意义，以及函数的三种常用的表示方法和数形结合的思想。
教学目标:
①通过实例认识变量与常量，理解变量之间的相互依赖关系，能用运动、变化的观点看待相关数量问题，能从两个变量之间相互联系、相互依赖的角度理解函数的意义。
②知道函数的定义域、函数值等概念，知道符号“y=f(x)”的意义，会根据函数解析式和实际意义求函数的定义域，初步理解自变量的值与函数值之间的对应关系，会根据函数解析式求函数值。
③知道函数的三种表示方法，以及它们的优势与不足，知道函数图像的意义，能借助函数图像的直观性，用语言描述函数的基本性质，体会数形结合思想。
重点难点:
理解函数的概念，知道符号“y=f(x)”的意义，会求函数的定义域，能借助图像认识函数的一些基本性质。
（3）教材分析
教材分析：
①变量、常量通过有关长度的数量关系的实例引入，能使学生更容易理解。
②变量、常量是相对的，是要结合实际问题具体分析，比如在行程问题中的三个量，路程S、速度v和时间t，在匀速运动时存在这样的关系：S=vt，如果假定速度v不变，那么路程S就随时间t的变化而变化，S和t就是
变量，v就是常量；如果假定路程S不变，那么时间t就随速度v的变化而变化，v和t就是变量，S是常量。
③例题1通过摄氏度与华氏度的转化，揭示这两个变量之间存在相互依赖的关系，并且这种相互依赖的关
系能够用等式——函数解析式表示出来，注意“边款语”，
32
5
9
+
=t
F
与
32
5
9
+
=t
y
的一致性，即
它们所表示的两个变量之间的依赖关系是完全一样的。
④例题2主要通过图像、表格的形式表示两个变量之间的相互依赖关系，为进一步学习函数的表示方法做准备。此处还要让学生理解函数图像与学生原有的生活经验的一致性，看得懂函数图表中两个变量之间的相互依赖关系。
⑤通过取数字填表操作，使学生理解自变量的取值是有要求的，这个要求就是函数的定义域，每一个函数都有定义域，对于用解析式表示的函数，如果不加说明，那么这个函数的定义域就是使这个函数解析式有意义的一切实数，在初中阶段，我们主要考虑两个方面的问题：分式的分母不能为零，偶次根式的被开方数非负。例题3就是说明如何根据解析式来求定义域
⑥例题4主要说明如何求函数的解析式和如何求函数的定义域，此处的定义域由于有实际的背景，因此不能简单地按照解析式来看，更要关注符合实际意义。
⑦为了进一步研究函数的方便，引入函数的记号y=f(x)，这个对学生来讲相当抽象，也不容易理解，因此一定要用一些实例来说明括号内的字母x表示自变量，f表示对应法则，即y随x的变化而变化的规律，另外再配
以例题5求函数值的计算，让学生理解。
⑧通过实例引入了函数的三种表示方法，并说明各种表示方法的优劣，在教学中也要让学生充分理解。
⑨本节通过几个例题，进一步说明如何求函数的解析式和定义域，但此处更要关注的是例题2和例题5，应再一次帮助学生学会如何从函数的图像中获得信息解决问题。根据以往的经验，从表格中获得有关信息，学生比较容易接受和掌握，但从图像中获得有关信息，是学生学习的一个难点，在教学中要引起足够的重视。
正比例函数教材分析及教学注意事项
（1）正比例函数相关内容的概念框架与知识结构
正比例
正比例函数的图像
实际问题--- 正比例函数---
正比例函数的性质
比例系数
（2）正比例函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析
正比例、正比例函数是我们生活实际中经常遇到的一个数学概念，正比例函数也是最简单的一个函数，通过研究、学习正比例函数的有关知识，使学生初步体会研究函数的方法，以利于继续研究、学习其他一些函数的知识。
教学目标
①通过分析现实生活中具有正比例关系的具体事例，引进正比例函数，从而理解正比例函数的概念，初步获得从数量方面把握事物运动变化的规律和事物之间相互联系的体会。
②能根据条件求正比例函数的解析式，从中体会待定系数法。
③通过画图像的操作实践，体验“描点法”，理解正比例函数的图像是一条经过原点的直线，会画正比例函数的图像。
④借助正比例函数图像的直观性，认识正比例函数的一些基本性质，并能用数学语言进行描述，进而掌握这些基本性质。
重点难点
理解正比例函数的概念，初步学会用待定系数法求正比例函数的解析式；知道正比例函数的图像是一条经过原点的直线，并能根据图像掌握正比例函数的一些基本性质。
（3）教材分析
教材分析：
①通过实例，先引进正比例的概念：如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，为后面引入正比例函数作准备。
②正比例函数的定义是采用形式化的定义，即形如y=kx（k≠0）的函数叫做正比例函数，教材中的表述略有不同。定义域是根据解析式，x为一切实数。
③例题1主要目的是让学生具体认识正比例函数和它的比例系数，体会正比例函数是由它的比例系数完全确定的，同时复习巩固函数值的概念和求法。
④例题2让学生体验正比例函数的解析式中只有一个系数，因此只要有两个变量的一组对应值就可以确定这个函数的解析式的过程，从而体验重要的数学方法——待定系数法：只要数学模型已知，而其中的一些系数未知，那么就可以采用待定系数法解决问题。教材中特别在例题后的想一想中直截了当地提出这个问题。
⑤通过画正比例函数y=2x的图像，了解用“描点法”画函数图像的三个步骤：列表、描点、连线，并得到这个函数的图像，再通过画正比例函数y=-2x的图像，归纳得到正比例函数y=kx的图像是一条经过原点和（1，k）的直线。教师归纳解释时应从纯粹性和完备性两个方面表述，但对学生不作过高要求，只让他们有所认识、有所体验。
⑥例题3是让学生在已知正比例函数图像是一条经过原点的直线的基础上，画正比例函数的图像。此时应该让学生明白：两点确定一条直线，因此要画一条直线，只需描出两点就可以了，而且其中的一点是坐标原点。
⑦在学会画正比例函数的图像的基础上，来学习正比例函数的有关性质，一定要让学生学会看图，结合图像理解性质。思考引入就是这个目的，从而得到图像经过的象限和有关正比例函数的增减性，体验数形结合的思想。另外要给学生交代清楚的是，这些性质反之也成立。
⑧例题4就是利用正比例函数的性质求字母a，让学生熟悉正比例函数性质，比例系数与它的增减性的关系。
⑨例题5是通过一个实例，让学生体验生活中正比例函数的应用，进一步感受到生活中处处有数学，数学来源于生活服务于生活的事实。同时也让学生主要到具体问题中的函数定义域要根据具体情况来确定，本例尽管解析式是正比例函数y=0.2x的形式，但根据实际意义，定义域是0≤x≤10，因此画出的函数图像是一条线段，它是直线y=0.2x上的一部分。
反比例函数教材分析及教学注意事项
（1）反比例函数相关内容的概念框架与知识结构
反比例
反比例函数的图像
实际问题--- 反比例函数---
反比例函数的性质
比例系数
（2）反比例函数相关内容的教学目标、教学重点及教学难点分析
反比例、反比例函数也是我们生活实际中经常遇到的一个数学概念，它与正比例函数一样，也是最简单的一个函数之一，通过研究、学习反比例函数的有关知识，使学生进一步体会研究函数的方法，特别是如何画函数的图像，以及如何根据函数的图像掌握函数的性质。
教学目标
①通过分析现实生活中具有反比例关系的具体事例，引进反比例函数，从而理解反比例函数的概念，进一步获得从数量方面把握事物运动变化的规律和事物之间相互联系的体会。
②能与正比例函数进行类比，根据条件求反比例函数的解析式，进一步体会待定系数法。
③通过画图像的操作实践，进一步体验“描点法”，理解反比例函数的图像是双曲线，会画反比例函数的图像。
④借助反比例函数图像的直观性，认识反比例函数的一些基本性质，并能用数学语言进行描述，进而掌握这些基本性质。
重点难点
在研究反比例函数的有关性质时，能与正比例函数进行类比，运用研究正比例函数的方法研究反比例函数；知道反比例函数的图像是双曲线，研究它的增减性时注意“在每个象限内”这一关键的条件。
（3）教材分析
①通过两个实例引出反比例的概念：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例。
②例题1继续通过对一些具体问题的研究，使学生进一步体验两个变量成反比例的关系，为引出反比例函数作充分地准备。
③反比例函数的定义与正比例函数的定义一样，也是通过形式化来描述的，即解析式形如
)0(≠=k x
k
y 的函数叫做反比例函数，这样做也是根据初中学生的认知水平，便于他们理解。定义域则根据式子，分母不为零得x ≠0的一切实数。
④例题2也是要让学生进一步理解待定系数法这个重要的数学方法。反比例函数的解析式是已知的，其中只有一个系数，因此只要一对变量的值就可以求出比例系数，从而确定函数的解析式。同时也再一次复习求函数值和已知函数值求它对应的自变量x 的值。
⑤通过画反比例函数
x y 8=的图像，进一步熟悉函数图像的画法：列表、描点、连线，同时也知道反比
例函数的图像不是一条直线，而是由两个分支组成的曲线——双曲线。在教学中要注意取点的对称性，也可以让学生看到双曲线不但是轴对称图像，而且是中心对称图形。
⑥一般来说，反比例函数
x
y 8
=的图像由教师演示完成，然后请学生画反比例函数x y 8-=的图像，熟
悉取点的方法，以及曲线的趋势，再进行适当的练习，画反比例函数x
y 6=和
x y 6-
=的图像，从而归纳出反比例函数的性质。
⑦对于反比例函数的性质，尽管仍要求根据图像来理解、记忆，但要与正比例函数的性质加以类比，强调它与正比例函数性质不一样的地方——增减性要突出“在每个象限内”这一重要的条件，并说明清楚为什么，使学生正确理解这一性质。
⑧例题3已知图像经过点(2，-1)，求解析式中的k 的值，目的是通过不同的条件，再一次熟悉用待定系数法求反比例函数解析式的方法，同时学会利用反比例函数的性质解决问题。
⑨例题4是正比例和反比例的综合应用，告知成正比例，则知道两个变量的关系式；告知成反比例，也知道两个变量的关系式。需注意的是它们的比例系数一般是不相等的，因此要用不同的字母或添加下标等方法表示，以示区别，然后根据待定系数法的方法求出这些系数，从而得到函数解析式。
第三部分：典型例题剖析
例1：南方A 市欲将一批容易变质的水果运往B 市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选择其中的一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：
若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/小时，记A 、B 间的距离为
x
千米。（1）若用W 1、
W 2、W 3分别表示飞机、火车、汽车运输时的总费用（包括损耗），写出W 1、W 2、W 3与
x
之间的函数关系式
（只需写出结果，不必写出过程）；（2）应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出费用（包括损耗）最小？
例1的解答：
（1）W 1=171400x +；W 2=
62800x +；W 3=121400x +
（2）三个函数图像画在同一坐标系内得
3 W 2
当S AB
＜7003
千米时，用汽车比较合理；当
S AB
=7003
千米时，用汽车、火车均合理；当S AB
＞7003
千米时，用
火车比较合理。（为什么用画图像的方法？注意新老教材的区别）
例2：如图，已知直线x y 21=与双曲线x
k
y =（
0 k ）交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4。
（1）求
k
的值；（2）若双曲线)0( k x
k
y =上一点C 的纵坐标为8，求AOC ?的面积；（3）过原点O
的另一条直线l 交双曲线)0( k x
k
y =于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由点A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标。
x
例2的解答：（1）A （4，2
（2）C （1，8），AOC ? （3）四边形面积是AOP ?的面积的4倍，设
P （a ，
a
8），则244)8
2(214=-+??a a
，得a =-8（舍去）或a =2
或
a =-2（舍去）或a =8，
所以P （2，4）或（8，1）
例3：如图，已知平面直角坐标系中，直线
)0(2
1
b b x y +-=分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，
以OA 、OB 为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点。以M （4，0），N （8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与△PMN 重叠部分的面积为S 。（1）求点P 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）在b 值的变化过程中，若△PCD 为等腰三角形，请求出所有符合条件的b 值。
例3的解答：（1）P （6，2）；（2）B （0，b ），A （2b ，0） ①当2b ≤4即b ≤2时，S=0
②当4＜2b ≤6即2＜b ≤3时，S=
2
)42(2
1-b ，
即
S=
8822
+-b b
③当
6＜2b ＜8
即
3＜b ＜4
时，
S=
2)28(2
1
2421b --??，即
S=
281622
-+-b b
④当2b ≥8即b ≥4时，S=242
1
??=4；
（3）C （2b ，b ），D （b ，b ）
①若PC=PD ，则
62
2=+b
b ，b=4
②若PD=CD ，则PD 2
=CD 2
，所以
2
2)2()6(b
b b =-+-，b=8±2
6
③若PC=CD ，则PC 2=CD 2
，所以2
2
)2()26(b
b b =-+-， b=2（舍去，为什么？）或b=5。所以b=4
或5或8±2
6
x
人教版初中数学反比例函数经典测试题含答案 一、选择题 1．已知反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限，()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上，下列命题：①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足，连接OA .若ACO ?的面积为 3，则6k =-；②若120x x <<，则12y y >；③若120x x +=，则120y y +=其中真命 题个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质，由题意可得k ＜0，y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤???? ，y 2=2k x ， 然后根据反比例函数k 的几何意义判断①，根据点位于的象限判断②，结合已知条件列式计算判断③，由此即可求得答案. 【详解】 ∵反比例函数k y x =的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵()11,A x y 、()22,B x y 两点在该图象上， ∴y 1=,,sin cos 22x x x ππ?? ?∈-≤? ??? ，y 2=2k x ， ∴x 1y 1=k ，x 2y 2=k ， ①过点A 作AC x ⊥轴，C 为垂足， ∴S △AOC =1 OC?AC 2=11x ?y k =322 =， ∴6k =-，故①正确； ②若120x x <<，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以12y y >，故②正确； ③∵120x x +=， ∴()12121212 0k x x k k y y x x x x ++=+==，故③正确， 故选D. 【点睛】 本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
反比例函数（基础） 【学习目标】 1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式． 2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质． 3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质． 【要点梳理】 要点一、反比例函数的定义 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为k y x = ，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如k y x = (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，定义域是不等于零的一切实数. 要点诠释：（1）在k y x = 中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式k x 无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函 数图象与x 轴、y 轴无交点； （2）k y x = ()可以写成( )的形式，自变量x 的指数是 －1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3）k y x = ()也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比 例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式. 要点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数k y x = 中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：k y x = (0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值； （4）把求得的k 值代回所设的函数关系式k y x = 中. 要点三、反比例函数的图象和性质
中考一轮复习一次函数教学设计 一、教学内容分析 一次函数是初中数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，它的研究方法具有一般性和代表性，是进一步研究反比例函数及二次函数的基本工具，也是学习高中代数、解析几何及其他数学分支的重要基础。这部分的难点是构建一次函数模型解决实际问题的能力以及综合运用所学知识解决、分析问题的能力，学好这部分知识对发展学生的数学应用意识和建模能力起着至关重要的作用。一次函数在中考中常常考察一次函数关系式的确定、图像和性质、一次函数的实际应用、一次函数与反比例函数、二次函数的综合题等.， 二、学情分析 大部分学生都感觉函数比较难，有些学生对一次函数的性质与图像遗忘了，还有些同学上新课时对这部分知识没有理解，学好这部分知识很重要一点就是会用数形结合思想去解决问题、构建一次函数模型解决实际问题，目前这两部分都是学生的难点，综合复习时与其他知识联系也较多，所以对于解决综合题学生感觉难度也较大。鉴于以上分析本节课分三个模块来进行复习，第一模块复习一次函数的定义、图像及性质，第二模块复习确定一次函数的表达式，第三模块复习用一次函数解决实际问题。 三、教学目标、重难点分析
新课标指出，三维目标是紧密联系的一个有机整体，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。因此确定本节课的教学目标为： 知识目标：1、掌握一次函数的系统知识，提高学生解题能力。 2、利用数形结合思想，解决函数问题，破解中考难点。 过程与方法：通过问题的解决体会用数形结合解题的优越性，培养学生的观察能力。 情感目标：体会数学来源于生活，增强用数学的意识 教学重点：一次函数的图像、性质，确定一次函数的表达式以及实际应用。 教学难点:一次函数的实际应用，数形结合的灵活运用。 四、教学媒体：电子白板、几何画板、课件 五、教学过程分析 一次函数复习 学习目标： （1）结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。 （2）会画一次函数的图象，并理解其性质。 （3）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解、求不等式的解。 （4）能用一次函数解决实际问题、体会数形结合。
反比例函数基础训练题 一、填空题： 1、形如)0(≠= k x k y 的函数称为反比例函数，基中自变量x 的取值范围是 ； 2、反比例函数x y 23-=中，相应的k= ； 3、三角形面积为6，它的底边a 与这条底边上的高h 的函数关系式是 ； 4、反比例函数经过点（2，-3），则这个反比例函数关系式是 ； 5、下列函数中：①x y 2=，②11+=x y ，③2x y =④x y 23-=⑤11+=x y 其中是y 关于x 的反比例函数有： ；（填写序号） 6、已知变量y 、x 成反比例，且当x =2时y=6，则这个函数关系式是 ； 7、反比例函数x y 3- =的图像在第 象限，在它的图像上y 随x 的减小而 ； 反比例函数x y 2=的图像在第 象限，在它的图像上y 随x 的增大而 ； 8、写出一个反比例函数，使得这个反比例函数的图像在第一、三象限，这个函数是 ； 且写出这个函数上一个点的坐标是 ； 9、已知反比例函数经过点A （2，1）和B （m ，-1），则m = ； 10、正比例函数x y 3=与反比例函数x y 2=有 个交点； 11、如图（1）：则这个函数的表达式是 ； 如图（2）：则这个函数的表达式是 ； 12、若反比例函数x k y = 图像的一支在第二象限，则k 的取值范围是 ； 13、若反比例函数x k y 1-=图像的一支在第三象限，则k 的取值范围是 ； 14、若反比例函数x k y -=2的图像在第一、三象限，则k 的取值范围是 ； 15、对于函数x y 1=的图像关于 对称； 16、对于函数x y 3=，当x >0时y 0，这部分图像在第 象限； 17、对于函数x y 3-=，当x <0时y 0，这部分图像在第 象限； 18、正比例函数与反比例函数经过点（1，2），则这个正比例函数是 ，反比例函数是 ； 19、若函数12)1(-+=m x m y 是反比例函数，则m = ，它的图像在第 象限；
基础知识专项练习题（反比例函数） 一、选择题 1．下列四组点中，可以在同一个反比例函数图象上的一组点是（ ） A ．（2，﹣1），（1，﹣2） B ．（2，﹣1），（1，2） C ．（2，﹣1），（2，1） D ．（2，﹣1），（﹣2，﹣1） 2．如果点A （﹣5，y 1），B （﹣，y 2），C （，y 3），在双曲线x k y =上（k ＜0），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＜y 1＜y 2 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 1＜y 2＜y 3 D ．y 1＜y 3＜y 2 3．已知正比例函y ＝kx （k 是常数，k ≠0）中y 随x 的増大而增大，那么它和函数x k y =（k 是常数，k ≠0）在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．如图1，反比例函数x k y =经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足，与BC 交于点D ，S △BOD ＝4，则k 的值 为（ ） A ． B ．1 C ．2 D ．8 二、填空题 5．函数y ＝（k ﹣1）x |k |﹣2 是y 关于x 反比例函数，则它的图象不经过 象限． 6．已知反比例函数x k y = 为常数，k ≠0）的图象经过点P （2，2），当1＜x ＜2时，则y 的取值范围是 ． 7．如图2，平行于x 轴的直线与函数x k y 1= （k 1＞0，x ＞0），x k y 2=（k 2＞0，x ＞0）的图图1 图1
象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为 ． 8．如图3，已知点A，点C在反比例函数 x k y=（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为． 三、解答题 9．如图4，一次函数y1＝x+4的图象与反比例函数 x k y= 2 的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C． （1）求k的值； （2）根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）若反比例函数 x k y= 2 与一次函数y1＝x+4的图象总有交点，求k的取值． 图4 10．如图5，直线AB与反比例函数 x k y=（x＞0）的图象交于点A，已知点A（3，4），B （0，﹣2），点C是反比例函数 x k y=（x＞0）的图象上的一个动点，过点C作x轴的图2图3
个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师：张老师授课时间：年11 月16 日
图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。] 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。 因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 （通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 () () ()3 2 1 . k ? ? ? ? ? < = > < b b b 3. 在一次函数y=kx+b中: 当0 k>时，y随x的增大而增大， 当0 b>时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0 b<时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
三、例题讲析 一次函数的图像及性质 1、一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式： 2、已知关于x、y的一次函数()12 y m x =--的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m的取值范围是 3、函数(0) y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（） 4.一次函数21 y x =-的图象大致是（） 5.在平面直角坐标系中，直线1 y x =+经过（） A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限 6、如图，直线l上有一动点P（x, y），则y随x的增大而_____________。 7、已知f (x)为一次函数。若f (－3)>0且f (－1)=0，判断下列四个式子， 哪一个是正确的？( ) A (A) f (0)<0 (B) f (2)>0 (C) f (－2)<0 (D) f (3)>f (－2) 8、已知一次函数的图象过点(03) ，与(21)，，则这个一次函数y随x的增大而． O x y O x y O x y y x O Ａ．B．C．Ｄ．
9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗?
（2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数练习一 一．选择题（共22小题） 1．（2015春?泉州校级期中）下列函数中，y是x的反比例函数的为（） A．y=2x+1 B．C．D．2y=x 2．（2015春?兴化市校级期中）函数y=k是反比例函数，则k的值是（）A．﹣1 B．2 C．±2 D．± 3．（2015春?衡阳县期中）若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（）A．m=2 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=0 4．（2014?汕尾校级模拟）若y与x成反比例，x与z成反比例，则y是z的（）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定 5．（2014春?常州期末）反比例函数（m为常数）当x＜0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（） A．m＜0 B．C．D．m≥ 6．（2015?贺州）已知k1＜0＜k2，则函数y=和y=k2x﹣1的图象大致是（） A．B． C．D． 7．（2015?滦平县二模）在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（） A．B．C．D．
8．（2015?上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（） A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1 9．（2015?宝安区二模）若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 10．（2015?鱼峰区二模）若方程=x+1的解x0满足1＜x0＜2，则k可能是（） A．1 B．2 C．3 D．6 11．（2012?颍泉区模拟）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（） 第11题图第12题图 A．πB．2πC．4πD．条件不足，无法求12．（2010?深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A．y=B．y=C．y=D．y= 13．（2014?随州）关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（） A．图象经过点（1，1） B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
反比例函数知识点归纳
九年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题 一、基础知识 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：
则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当
时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上． （五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析 1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B．C．D．
浙教版八年级（上）第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 （一）注重函数建模过程，降低函数抽象图形分析的难度，融合方程、不等式、函数的统一 （二）本章教材设计，体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例，让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式：解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数，使学生了解一次函数的有关性质，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标： 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力，经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计： 第一节：常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量，并能举出常量、变量之间关系的例子，获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点：认识常量与变量。
难点：理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海，引出问题：什么量不变，什么量在变，再根据合作学习，探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题，在运算的过程中，让学生感觉变与不变，从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节：认识函数 【教学目标】 （1）初步了解函数的概念，明确函数中两个变量之间的关系。 （2）了解函数常用的三种表示方法，会列简单实际问题的函数解析式；会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点：建立函数观念，掌握求函数解析式。 难点：函数概念的理解，函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时， ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图，跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景，使学生明确“给定其中某一个 变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性，从而归纳出函数的概念， 同时也明确了函数的三种表示方式，对于函数的概念，只要学生能结合具体情境， 体会到函数的概念即可，不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练．建议把P154骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的函数 关系图象，并设置问题情境，放入合作学习中，作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子，通过几何（等腰三角形）与 代数应用（游泳池换水）问题，使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围，想一想提出的问题很及时，让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间，又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节：一次函数 【教学目标】 （1）使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念，能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 （2）会求正比例函数、一次函数的解析式。 （3）会求一次函数的值，会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。
反比例函数基础练习题 答案：（1）C；（2）A． 答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B． （4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）． ①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解读式． （5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方M空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方M的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题： ①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________． ②研究表明，当空气中每立方M的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室； ③研究表明，当空气中每立方M的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 答案：（1）B；（2）4，8，（，）； （3）依题意，且，解得． （4）①依题意，解得②一次函数解读式为，反比例函数解读式为．（5）①，，； ②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效． 5．面积计算 （1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．
A．B．C．D． 第（1）题图第（2）题图 （2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则 （）． A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2 （3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值． 第（3）题图第（4）题图 （4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y 轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小． （5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________． 第（5）题图第（6）题图
x ) 可以写成 反比例函数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析 式 y = k (k ≠ 0) ，能判断一个给定函数是否为反比例函数； x 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数 y = 析和解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 k (k ≠ 0) 的性质，能利用这些性质分 x 【要点梳理】 【高清课堂 406878 反比例函数全章复习 知识要点】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如 y = k ( k 为常数，k ≠ 0 )的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量， y x 是函数，自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 要点诠释： 在 y = k x 中，自变量 x 的取值范围是 ， y = k ( ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 y = k x 中，只有一个待定 系数 k ，因此只需要知道一对 x 、y 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k 的值， 从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数 y = k ( k ≠ 0) 的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、 x 三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与 x 轴、 y 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 要点诠释：
教案学情分析一次函数 一、知识点的地位与作用 一次函数是初中阶段学生所要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础。由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题。 二、教材分析与学情分析 1、教材分析 由于一次函数与现实生活联系密切，在引入一次函数概念时，教材充分考虑概念的实际背景与形成过程，通过学生较熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中变量关系的变化规律，使学生领会和理解函数的基本概念及其思想方法。同时，淡化对函数概念过分形式化的定义，使学生对一次函数的认识从感性认识 上升到理性认识，增强他们对一次函数的应用意识。 研究一次函数离不开对图象特征的研究，数形结合思想是学习一次函数时必须体现的一种重要思想。教材通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画
图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，便于学生掌握正确的学习方法，逐步形成解决一次函数问题的技能。 运用一次函数解决实际问题时，考虑的面比较广，需要结合一次函数的解析式、图象和性质，有时会遇到比较复杂的问题情境，不但需要结合图象特征，还要进行数学建模，如运用方程、不等式等其他数学模型解决问题。所以，运用一次函数的知识解决复杂的实际问题对部分学生来说有一定的困难，需要选择适当的方法给予引导、突破。 2、学情分析 学习一次函数，意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之而变，这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃。学生在学习一次函数的过程中，对简单问题往往能根据课堂所学的概念知识，加上参阅书本知识，画出相应的函数图象解决，看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移，随着问题情境复杂化，他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象问的内在联系运用薄弱些，需要多练、多探、多问、总结经验。学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面： 将复杂问题情境转化为一次函数图象；
正、反比例函数的内容特点及教材分析 第一部分：初中函数内容的知识框架结构 1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用 函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。 2.初中学习函数的意义和要求 初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。 初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。 3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想 函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。 4.高中函数教学的介绍 课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。 第二部分：函数知识内容的教学研究 （一）函数内容的知识体系 初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，然后以两个最简单的函数（正比例函数和反比例函数）作为载体，让学生理解函数的图像与一些性质，再介绍函数常用的三种表示方法，最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数（一次函数和二次函数），使学生对函数有一个较完整的理解，并能进行简单的应用。 （二）函数内容的教材分析及教学注意事项 1．函数的相关概念教材分析及教学注意事项 (1)函数相关内容的概念框架与知识结构 函数的定义域
反比例函数易错题汇编附答案 一、选择题 1．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2 k y x = 的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( ) A ．20x -<<或04x << B ．2x <-或04x << C ．2x <-或4x > D ．20x -<<或4x > 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】 观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<， 故选B ． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 2．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数y 1=1 k x （x>0）的图象上，顶点B 在函数y 2= 2k x （x>0）的图象 上，∠ABO=30°，则 2 1 k k =（ ） A ．-3 B ．3
C． 1 3 D．- 1 3 【答案】A 【解析】 【分析】 根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，和勾股定理，设出适当的常数，表示出其它线段，从而得到点A、B的坐标，表示出k1、k2，进而得出k2与k1的比值． 【详解】 如图，设AB交x轴于点C，又设AC=a. ∵AB⊥x轴∴∠ACO=90° 在Rt△AOC中，OC=AC·tan∠OAB=a·tan60°3 ∴点A3a，a） 同理可得点B3，-3a） ∴k1332， k23a×（-3a）3a ∴2 133 3 3 k a k a ==-. 故选A. 【点睛】 考查直角三角形的边角关系，反比例函数图象上点的坐标特征，设适合的常数，用常数表示出k，是解决问题的方法． 3．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数 4 y x =的图象上，且﹣ 2＜a＜0，则（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可．
反比例函数基本知识点题型梳理 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）； ②1 kx y -=（0k ≠）； ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 注：（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 （6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反 比例函数 x k y = 中的两个变量必成反比例关系。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点3反比例函数的图像及画法 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
注意：①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 x k y = （0k ≠） k 的 符号 0k > 0k < 图像 性质 ①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是 0y ≠ ②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ① x 的取值范围是 0x ≠，y 的取值范围是 0y ≠ ②当0k <时， 函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
“反比例函数”集体备课 一、教材分析 本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础． 二、重点难点 反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点． 反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点． 三、课时安排 1.1 反比例函数 1课时 1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时 1.3 反比例函数的应用 1课时 复习、评价2课时，机动使用2课时，合计8课时． 四、教学建议 （1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处． （2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等．
反比例函数基础练习题及答案
反比例函数练习 一．选择题（共22小题） 1．下列函数中，y是x的反比例函数的为（）A．y=2x+1 B．C． D．2y=x 2．）函数y=k是反比例函数，则k的值是（） A．﹣1 B．2 C．±2 D．± 3．若y=（m﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，则m的值为（） A．m=2 B．m=﹣1 C．m=1 D．m=0 4．若y与x成反比例，x与z成反比例，则y 是z的（） A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定
5．反比例函数（m为常数）当x＜0时，y 随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．C．D．m≥ 6．已知k1＜0＜k2，则函数y=和y=k2x﹣1的图象大致是（） A．B． C． D． 7．在同一直角坐标系中，函数y=kx+k与y=（k≠0）的图象大致为（） A．B．C． D．
8．下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（） A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1 9．若ab＞0，则函数y=ax+b与函数在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C． D． 10．若方程=x+1的解x 0满足1＜x0＜2，则k可能是（） A．1 B．2 C．3 D．6 11．如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（）
第11题图第12题图 A．πB．2πC．4πD．条件不足，无法求 12．如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A．y=B．y=C．y= D．y= 13．关于反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（） A．图象经过点（1，1）B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小 14．如图是反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象，则 一次函数 y=kx﹣k的 图象大致是（）
专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解） 【学习目标】 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k y k x = ≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k y k x =≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、反比例函数的概念 一般地，形如k y x = (k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明：在k y x = 中，自变量x 的取值范围是，k y x = ()可以写成 ( )的形式，也可以写成 的形式. 要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k y x = 中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式. 要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象 反比例函数()0k y k x = ≠的图象是双曲线， 它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点， 即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 特别说明： 观察反比例函数 的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．