第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+?
?
?
其中()lim ()x a p a p x +
+→=【右极限】，()lim ()x b
p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则
()()d ()
()d b b
a
c
p x f x x p b f x x -
=?
?
()a c b ≤≤
证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中，
①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由
()()d ()
()d b b
a
c
q x f x x q b f x x -
=?
?
即
[()()]()d [()()]()d b
b
a
c
p x p a f x x p b p a f x x +
-
+
-=-??
，可得一般情形
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+?
?
?
②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即
01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<
<<<<<=
而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使
1
1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-?
【第一积分中值定理】
于是，1
1()
()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-?
，求和得
1
11
1
()()d ()()()i i n
n
x i
i
i
i
i x i i p f x x p f x x
ξξξ--===
-∑∑?
（※）
现在，将左端做变换，即
1
11
1
()()d ()()d ()d i i i i n
n
x b b i
i x x x i i p f x x p f x x f x x --==??
=-??????∑∑
?
??
ξξ
1
11
2
()
()d ()()()d i n
b
b
i
i a
x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+
-??∑?
?
因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
M 分别表示函数()()d b
x
F x f x x =
?
()a x b ≤≤的最小值和最大值，则
1
1()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑?
112
()()()n
i
i i p m p p m
ξξξ
-=??≥+
-??∑()n p m ξ= 1
1
()()d i
i n
x i
x i p f x x ξ-=∑?
112
()()()n
i
i i p M p p M
ξξξ
-=??≤+
-??∑()n p M ξ=
于是，根据式(※)，就得到估计式
11
()()()()()n
n i
i
i
i n i p m p f x x
p M ξξξξ-=≤
-≤
∑
让最大小区间的长度0n
x
?→，注意到()()n p p b -→ξ，则得
()()()d ()b a
p b m p x f x x p b M -
-≤
≤?
若()0p b -
=，则
()()d 0b a
p x f x x =?
，可任意取[,]c a b ∈；若()0p b ->，则
1
()()d ()
b
a
m p x f x x M p b -≤
≤?
根据连续函数的介值定理，必有点()c a c b ≤≤，使1
()()()d ()
b
a
F c p x f x x p b -=
?
,即
()()d ()()()
()d b
b
a
c
p x f x x p b F c p b f x x --=
=?
?
注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。譬如，若函数()f x 在区间
[,]-ππ上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数k a 和k b 满足
,k k M M
a b k k
≤≤
(1,2,)k = 其中M 为正常数。事实上，因为区间[,]-ππ可被分成有限个子区间，而()f x 在每一个子区间[,]a b 上是单调有界函数，所以只要证明在[,]-ππ的子区间[,]a b 上有上面的估计式就可以了。根据第二积分中值定理，则有
1
1()cos d ()
cos d ()
cos d b c b k a
a
c
a f x kx x f a kx x f
b kx x +-
?
?
=
=+??ππ?
?
?
?
?
1sin sin sin sin ()()kc ka kb kc f a f b k k +---??=
+??π??
因此，
sin sin sin sin 1()()k kc ka kb kc a f a f b k k +-?++?≤
+??π??2()()M f a f b k k +-??≤+=??π 同理k M
b k ≤
积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用
ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.
第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx
中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对
高等数学论文 《二重积分学习总结》 ：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个 小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
目录 摘要................................................................................ I 关键词.............................................................................. I Abstract ........................................................................... II Key words .......................................................................... II 前言.. (1) 1预备知识 (1) 1.1相关定理 (1) 2 多元函数积分中值定理的各种形式 (2) 2.1 曲线积分中值定理的推广 (2) 2.1.1第一型曲线积分中值定理 (2) 2.1.2第二型曲线积分中值定理 (4) 2.2二重积分中值定理的探究及推广 (5) 2.3曲面积分中值定理的探究及推广 (7) 2.3.1第一型曲面积分中值定理 (7) 2.3.2第二型曲面积分中值定理 (7) 结论 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11)
摘要：积分中值定理是数学分析的重要定理，我们主要讨论了二元函数的曲线、重积分、曲面的各种形式中值定理，而且还给出了这些定理的证明过程，最后总结出各类积分中值定理的形式. 关键词：积分中值定理；第二中值定理；曲线积分中值定理；二重积分中值定理；曲面积分中值定理
积分中值定理的证明与应用 作者：王晶岩 作者单位：黑龙江工商职业技术学院,黑龙江,哈尔滨,150000 刊名： 中国新技术新产品 英文刊名：CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS 年，卷(期)：2009，""(5) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.刘玉琏.傅沛仁教学分析 1988 2.马玲高等数学解题方法指导 1996 3.阎政平积分中值定理证明的一点注记 1996(04) 4.薛嘉庆高等数学题库精编 2000 相似文献(10条) 1.期刊论文余桂东.YU Gui-dong积分中值定理的逆-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(1) 从积分中值定理的几何意义出发,探讨出有关积分中值定理的逆,并进一步推出微分中值定理的逆. 2.期刊论文郝玉芹.时立文.欧阳占瑞.HAO Yu-qin.SHI Li-wen.OUYANG Zhan-rui对积分中值定理结论的一点改动-河北能源职业技术学院学报2007,7(3) 本文对积分中值定理中取值区间进行讨论,证明在开区间上该定理仍然成立.这样可使积分中值定理与微分中值定理中的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性以及两个中值定理之间的联系. 3.期刊论文张武关于积分中值定理的正确应用与理解-太原教育学院学报2002,20(4) 积分中值定理是微积分学中最基本的定理之一,但是在实际教学与应用中常常会有误解,对它的理解也不够全面和深刻.因此,有必要对一般情况下积分中值定理进行推广和证明,并阐述它与微分中值定理的关系. 4.期刊论文唐伟国.唐仁献微分中值定理的级数表达式-湖南科技学院学报2008,29(8) 本文探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 5.期刊论文唐仁献微分中值定理的级数表达式-零陵学院学报2004,25(6) 探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 6.期刊论文潘新对积分中值定理的推广与应用-考试周刊2008,""(26) 文章对积分中值定理进行了讨论与推广.得到了四个推论,并且对给出的积分中值定理进行了一些应用. 7.期刊论文孙翠芳.程智微积分中值定理间点的关系-高等数学研究2009,12(6) 根据微分中值定理和积分中值定理定义微分点与积分点.证明严格单调函数与凸(凹)函数中微分点与积分点间的一些关系式,指出在函数对称的情况下微分点与积分点之间也存在着对称关系,并给出一类向量函数以及多项式函数中微分点与积分点间的关系式. 8.期刊论文宁存法.陈丫丫关于积分中值定理的注记-太原大学教育学院学报2007,25(z1) 在分析教材中第一积分中值定理的条件下,证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得,进一步将这个结论推广到被积函数f以区间端点a和b为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些应用. 9.期刊论文哈申浅谈微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式-内蒙古科技与经济2007,""(21) 本文介绍微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的简单应用,找出微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的辩证关系,从而使我们深入理解和运用微积分学的基本定理. 10.期刊论文薛国民关于一道数学竞赛题的解法探讨-考试周刊2008,""(26) 本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/0512716382.html,/Periodical_zgxjsxcpjx200905194.aspx 授权使用：台州科技职业学院(tzkjzy)，授权号：1d0d7b6a-acd1-4f5e-850e-9e170098c7d5 下载时间：2010年10月22日
编号 2010011202 毕业论文（设计） （ 2014 届本科） 论文题目：积分中值定理 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2010级本科（2）班 作者姓名：曹强 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2014 年 5 月 5 日
目录 诚信声明-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。摘要 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1定积分中值定理及推广 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.1定积分中值定理----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.2定积分中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.2定积分第一中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.1定积分第一中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.2定积分第一中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------- 3 1.3定积分第二中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.1定积分第二中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.2积分第二中值定理的推广 ---------------------------------------------------------------------------------- 6 1.4 重积分的中值定理 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.1二重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.2三重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5曲线积分中值定理 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.1第一曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.2第二曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.6 曲面积分中值定理 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.6.1第一曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 1.6.2第二曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 2中值点的渐进性 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 10 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 13 3积分中值定理的应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.1估计积分值------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.2求含定积分的极限 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 3.3确定积分值符号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15 3.4比较积分大小---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.5证明函数的单调性 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.6证明定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 结论 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 英文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。致谢 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21
第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．
《数学分析》自主研究课题： 二、三重积分中值定理的证明和应用 摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言 在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用. 二、积分第一中值定理（一重积分中值定理） (积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得 )()()(a b f dx x f b a -=? ε.
??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得 ? ?=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ε （明显当1g ≡） （x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出 二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存 在D ∈） ηε,(，使得 ??=D D S f d y x f ),(),(ηεσ, 这里S D 是区域D 的面积. 证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得 mS D ≤??D d y x f σ),(≤MS D , 即 m ≤ ??D D d y x f S σ),(1 ≤M. 再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈） ηε,(,使 ??= D D d y x f S f ,),(1 ),(σηε 即
对于积分中值定理的一点思考 摘要 积分中值定理是高等数学中重要的一部分，中值定理是人们认识高等数学世界、解决数 学问题的重要武器，本文在数学分析教材中第一积分中值定理的条件下，证明了介值点ξ必可在开区间 ),(b a 内取得，并且给出几分中值定理及其推广的一些应用. 关键词 积分中值定理 积分中值定理应用 积分中值定理的推广 第一积分中值定理 极限 一 引言 推广的积分第一中值定理： 若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在[a, b]上至少存在一点ξ使得 ??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ （1） 推广的积分中值定理可改进如下： 定理1：若函数f(x)与g(x)在闭区间[a, b]上连续，且g(x)在[a, b]上不变号，则在) ,(b a 上至少存在一点ξ使得??=b a b a x d x g f x d x g x f )()()()()()(ξ。 对其证明如下： 因为)(x f 在],[b a 上连续，故)(x f 在],[b a 上存在最大值和最小值，不妨分别设为M 和m,即M x f m ≤≤)(，则必存在x x x x b a 2 1 2 1 ],,[,<∈，使m f x =)(1 ，M f x =)(2 ， 又因为 )(x g 在],[b a 上不变号，不妨设0)(≥x g ,则?≥b a dx x g 0)(， 且有)()()()(x Mg x g x f x mg ≤≤，又)(x f 和)(x g 都在],[b a 可积，则)()(x g x f 在] ,[b a 也可积，从而有 ???≤≤ b a b a b a dx x g M dx x g x f dx x g m )()()()( （2）
积分中值定理的推广与应用
系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月
国内图书分类号：O172.2 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学
申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月
摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用
ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the calculus.Many questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about median.It is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of teaching.This article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.