《数学分析》自主研究课题：
二、三重积分中值定理的证明和应用
摘要：本报告探究的是由积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理引伸出的推广形式的二重积分中值定理和二、三重积分中值定理的证明及其相关应用。 关键词：积分第一中值定理，推广形式的二重积分中值定理，二、三重积分中值定理 一、引言
在《数学分析》的学习过程中我们已经详细了解了的积分第一中值定理（一重积分中值定理）及其证明和应用，而对二、三重积分中值定理并没有给出详细的证明和应用，所以本报告将详细的对其作出证明和说明其简单的应用.
二、积分第一中值定理（一重积分中值定理）
(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点ε∈[a,b],使得
)()()(a b f dx x f b
a
-=?
ε.
??=D
D
S f d y x f ),(),(ηεσ和(推广形式的积分第一中值定理)若f 和g 都在[a,b]上连续，且）（x g 在[a,b]上不变号，则至少存在一点b][a,∈ε，使得
?
?=b
a
b
a
dx x g f dx x g x f )()()()(ε
（明显当1g ≡）
（x 时，即为积分第一中值定理） 三、推导二、三重积分中值定理及证明 由积分第一中值定理我们类似的推导出
二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则存
在D ∈）
ηε,(，使得 ??=D
D
S
f d y x f ),(),(ηεσ,
这里S D 是区域D 的面积.
证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，S D 为这个区域的面积.存在最大值M 和最小值m ，得 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 使用积分不等式性质得
mS D ≤??D
d y x f σ),(≤MS D ,
即 m ≤
??D
D d y x f S
σ),(1
≤M.
再由连续函数的介值性，至少存在一点D ∈）
ηε,(,使 ??=
D
D
d y x f S f ,),(1
),(σηε
即
由此定理得证.
那对于二重积分是否也存在
推广形式的二重积分中值定理：若),(y x f 在有界闭区域D 上
连续，),(y x g 在D 上可积且不变号，则存在一点D ∈）
ηε,(，使得
????=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(
显然定理是存在的，下面我们就来证明一下
证明：由于),(y x f 在有界闭区域D 上连续，所以),(y x f 在D 上存在最大值M 和最小值m ，有 m ≤),(y x f ≤M,D y x ∈),(, 又),(y x g 在D 上不变号，当),(y x g ≥0时，有
m ),(y x g ≤),(y x f ?),(y x g ≤M ),(y x g ，D y x ∈),(. 由二重积分的比较性质，可得
??????≤≤D
D
D
d y x g M d y x g y x f d y x g m σσσ),(),(),(),(
当??=D
d y x g 0),(σ时，由上式知??=D
d y x g y x f 0),(),(σ,
这时对任意的D ∈）
ηε,(，都可使 ????=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(成立.
当??D
d y x g σ),(>0时，由上式得
M
d y x g d y x g y x f m D
D
≤≤
????σ
σ
),(),(),(,由闭区域连续函数的介值定理
知，至少存在一点D ∈）
ηε,(，使 ????=
D
D
d y x g d y x g y x f f σ
σ
ηε),(),(),(),(，
即 ????=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(.
同理可证当),(y x g <0时，
????=D
D
d y x g f d y x g y x f σηεσ),(),(),(),(也成立.
由此，定理得证.
特别的，当1),(≡y x g 时，即为二重积分中值定理.
三重积分中值定理：若),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，则存在V ∈),,(ζηε,使得 ???=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε,
这里V v 是积分区域V 的体积.
证明：由于),,(z y x f 在三维空间可求体积的有界闭区域V 上连续，V v 为这个区域的体积.存在最大值M 和最小值m,有 m ≤),,(z y x f ≤M, V y x ∈)z ,,(. 使用积分不等式性质得
m V v ≤???V
dV z y x f ),,(≤M V v ,
即 m ≤
???dV z y x f V ),,(1
v
≤M.
再由连续函数的介值性，至少存在一点V ∈),,(ζηε使
???=
V
v
dV z y x f V f ),,(1
),,(ζηε，
即 ???=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε.
由此定理得证.
同样的，对于三重积分中值定理，也有推广形式的三重积分中值定理，这里不详细证明了.
四、二、三重积分中值定理的应用
1.设),(y x f （),,(z y x f ）有界闭区域D(V)上的连续函数，
)(V D ??是包含定点
P 0),(00y x （P 0),,(000z y x ）的D(V)的有界闭子
域，由积分中值定理得,存在D ∈),(ηε(V ∈),,(ζηε),使 ????=D
D S f d y x f ),(),(ηεσ
(?????=V
v V f dV z y x f ),,(),,(ζηε)
其中显然D ?∈),(ηε（V ?∈),,(ζηε），)(D D V S 是区域D(V)的面积（体积）.当)(V D ??的区域d 趋于零，便有 ),(),(lim ),(10
d 0
d lim
y x f f d y x f S D
D
==???→?→ηεσ.
（),,(),,(lim ),,(1
d 0d lim z y x f f dV z y x f V
V
V
==???→?→ζηε）
这个极限过程与证明变上限定积分对上限求导的极限过程是类似的，所以上式的极限为重积分在点P 0),(00y x （P 0),,(000z y x ）处对区域的导数.根据重积分中值定理，可以证得一个连续函数的重积分对区域的导数等于其被积函数.
2.应用重积分中值定理估计积分值 例： 估计积分??≤+++=
10
22cos cos 100y x y x d I σ
的值. 解：由于),(y x f =
y
x 22cos cos 1001
++在有界闭区域
}
10|),{(≤+=y x y x D 上连续，则由中值定理
D
D
S y x d ?++=++??ηεσ2222cos cos 1001
cos cos 100(其中D ∈),(ηε).而
100
1cos cos 10011021,
20022≤++≤=ηεD S ，则
??≤+≤++≤
10
222cos cos 10051100
y x y x d σ
.
3.求极限： 例1.求
??≤+→2
22,),(1
lim
2
ρρσπρ
y x d y x f 其中),(y x f 为连续函数.
解：由积分中值定理，至少有一点D ∈),(ηε，D={(x,y)|222ρ≤+y x },使
??=D
f d y x f ),,(),(1
2
ηεσπρ
则 ??
≤+→→→==2
22)0,0(),(lim ),(1
lim 0
02
ρηερηεσπρ
y x f f d y x f .
例2.证明??=+∞→D
n n d y x 0)(sin lim 2
2σ，}20|),{(22π
≤+≤=y x y x D . 证明：对)2
,0(π
ε∈?，存在0<δ<ε,有
σσσπ
δπ
δππd y x d y x d y x y x n y x n y x n ??????≤
+≤--≤+≤≤
+≤+++=+2
2
222
02
22022222222)(sin )(sin )(sin
σσπ
δπ
δπd y x d y x y x n y x n ????≤
+≤--≤+≤+++≤
2
2
222
02
22222|)(sin ||)(sin | +
-?≤)2
(
sin δπ
ξn
σπ
δπ
d y x ??≤
+≤-2
2
221
δπ
ξ+?
<2
sin n
其中ξ∈[0,δ
π
-2],所以|sin ξ|<1,故存在N ，当n>N 时，有
ξn
sin <ε.故上式为：
επ
επ
εσπ
)12
(
2
)(sin 202
2
22+=+?
<+??≤
+≤d y x y x n
即
??
=+∞→D
n n d y x 0)(sin lim 2
2σ
五、体会
通过这次的自主探究实践，让我得出所研究课题的结论，让我体会到数学知识的紧密联系，在学习的过程中不断积累知识，从而去解决更深一层的问题，做到不抛开条件去解决问题，比如在证明过程中用到的介值定理和积分不等式性质等，在掌握这些定理的同时，要学会应用。在得出结论后，应善于利用这些定理和结论去解决更实际的问题，例如求极值，证明极限存在等。通过学习数学，希望自己能够培养严谨，善于质疑的学习态度，能够提高自己的逻辑思维，积极参与自主研究课题，锻炼自己的实践能力。
第二积分中值定理 若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? 其中()lim ()x a p a p x + +→=【右极限】，()lim ()x b p b p x --→=【左极限】。特别，若()0p a +=，则 ()()d () ()d b b a c p x f x x p b f x x - =? ? ()a c b ≤≤ 证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。其次，在下面的证明中， ①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由 ()()d () ()d b b a c q x f x x q b f x x - =? ? 即 [()()]()d [()()]()d b b a c p x p a f x x p b p a f x x + - + -=-?? ，可得一般情形 ()()d () ()d () ()d b c b a a c p x f x x p a f x x p b f x x + - =+? ? ? ②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。 证 首先划分区间[,]a b ，即 01211i i n n a x x x x x x x b --=<<< <<<<<= 而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使 1 1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-? 【第一积分中值定理】 于是，1 1() ()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-? ，求和得 1 11 1 ()()d ()()()i i n n x i i i i i x i i p f x x p f x x ξξξ--=== -∑∑? （※） 现在，将左端做变换，即 1 11 1 ()()d ()()d ()d i i i i n n x b b i i x x x i i p f x x p f x x f x x --==?? =-??????∑∑ ? ?? ξξ 1 11 2 () ()d ()()()d i n b b i i a x i p f x x p p f x x ξξξ--=??=+ -??∑? ? 因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 积分中值定理的推广与应用 系别数学系 专业数学与应用数学姓名韩凤 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 国内图书分类号： 吕梁学院本科毕业论文（设计） 积分中值定理的推广与应用 姓名韩凤 系别数学系 专业数学与应用数学 申请学位学士学位 指导教师张润玲 职称副教授 日期2011年6月 摘要 在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用. 关键词：积分中值定理；推广；应用 ABSTRACT The integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems. Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications. 这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx 谈谈拉格朗日中值定理的证明 引言 众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理 如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；（3）()()b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf 罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ? AB 上至少有一点()(),C f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1， 注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的. 2拉格朗日()lagrange 中值定理 若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,内可导；则在()b a ,内至少存在一点ζ，使()()()a b a f b f f --= ζ' 拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧 ? AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2， 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理 3.1 教材证法 证明 作辅助函数 ()()()()f b f a F x f x x b a -=-- 显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，而且 ()()F a F b =．于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使 ()()()()0''=--- =a b a f b f f F ζζ.即()()()a b a f b f f --=ζ'. 3.2 用作差法引入辅助函数法 证明 作辅助函数 ()()()()()()?? ???? ---+-=a x a b a f b f a f x f x ? 显然，函数()x ?在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，()()0==b a ??，因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得 ()()()()0''=---=a b a f b f f ζζ?，即 ()()()a b a f b f f --=ζ' 推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ?，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有： 推广的积分中值定理及其应用 摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性. 关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理 Promotion of Integral Mean Value Theorem and Its Application Abstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system to promote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after. Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明 简单不等式 定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有?≥b a dx x f 0)(。 定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有?>b a dx x f 0)(。 证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0?∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有 )(21)(0x f x f ≥ 由积分对区间的可加性，知????++=b a a b dx x f dx x f dx x f dx x f αβ βα)()()()( ?≥β αdx x f )( ? ≥βαdx x f )(210 0))((2 10>-=αβx f 。 推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有?=b a dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[] b a x ,∈。 推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有?=b a dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ， []b a x ,∈。 积分平均值定理 定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ 证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ???≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )( )()()(a b M dx x f a b m b a -≤≤-? 从而有 M dx x f a b m b a ≤-≤?)()(1。 如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ， 有?-=b a a b f dx x f ))(()(ξ。 第三章中值定理证明 1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义 1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 中值定理的应用方法与技巧 中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f b a -=?ξ。积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得??=b a b a dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。 一、 微分中值定理的应用方法与技巧 三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。 例一．设)(x ?在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==??。证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+') ()(η?ξ?成立。 证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(??ξ?。 任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ?==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=') 0()1(0)(??η?。 两式相加得：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得 b a b a +='+') ()(η?ξ? 成立。 证法2：任意给定正整数b a ,，令)()(,)(21x x f ax x f ?==，则在[0,1]上对 编号 2010011202 毕业论文（设计） （ 2014 届本科） 论文题目：积分中值定理 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级： 2010级本科（2）班 作者姓名：曹强 指导教师：完巧玲职称：副教授 完成日期： 2014 年 5 月 5 日 目录 诚信声明-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。摘要 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1定积分中值定理及推广 ---------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.1定积分中值定理----------------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.1.2定积分中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------------- 2 1.2定积分第一中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.1定积分第一中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 3 1.2.2定积分第一中值定理的推广 ------------------------------------------------------------------------------- 3 1.3定积分第二中值定理及推广---------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.1定积分第二中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 4 1.3.2积分第二中值定理的推广 ---------------------------------------------------------------------------------- 6 1.4 重积分的中值定理 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.1二重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 7 1.4.2三重积分的中值定理----------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5曲线积分中值定理 ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.1第一曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.5.2第二曲线积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------- 8 1.6 曲面积分中值定理 -------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 1.6.1第一曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 1.6.2第二曲面积分中值定理 ------------------------------------------------------------------------------------ 10 2中值点的渐进性 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 10 2.1第一积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 10 2.2第二积分中值定理中值点的渐进性 ----------------------------------------------------------------------------- 13 3积分中值定理的应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.1估计积分值------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 3.2求含定积分的极限 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 15 3.3确定积分值符号 ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 15 3.4比较积分大小---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.5证明函数的单调性 --------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 3.6证明定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 16 结论 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18 参考文献--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19 英文摘要-------------------------------------------------------------------------------------------------- 错误！未定义书签。致谢 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21 拉格朗日中值定理是微分学中最重要的定罗尔定理来证明。理之一，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，也是微分学的理论基础。一般高等数学教材上，大都是用罗尔定理证明拉朗日中值定理，直接给出一个辅助函数，把拉格朗日定理的证明归结为用罗尔定理，证明的关键是给出—个辅助函数。 怎样构作这一辅助函数呢?给出两种构造辅助函数的去。 罗尔定理：函数满足在[a，b止连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈)==o (如图1)。 拉格朗日定理：若f(x)满足在『a，b』上连续，在(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在_ ∈，使(如图2). 比较定理条件，罗尔定理中端点函数值相等，f ，而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制，即不一定相等。我们要作的辅助函数，除其他条件外，一定要使端点函数值相等，才能归结为: 1.首先分析要证明的等式：我们令 (1) 则只要能够证明在(a，b)内至少存在一点∈，使f(∈ t就可以了。 由有，f(b)-tb=f(a)-ta (2) 分析(2)式，可以看出它的两边分别是F(X)=f(x)-tx在b,a观点的值。从而，可设辅助函数F(x)=f(x)-tx。该函数F(x)满足在{a.b{上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b) 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F。(∈)=O。也就是f(∈)-t=O，也即f(∈ )=t，代人(1 )得结论 2.考虑函数 我们知道其导数为 且有 F(a)=F(b)=0. 作辅助函数，该函数F(x)满足在[a，b]是连续，在(a，b)内可导，且f F 。根据罗尔定理，则在(a，b)内至少存在一点∈，使F’ 从而有结论成立. 分类号 编号 本科生毕业论文（设计） 题目拉格朗日中值定理证明中的辅助函数的构造及应用 作者姓名常正军 专业数学与应用数学 学号 2 9 1 0 1 0 1 0 2 研究类型数学应用方向 指导教师李明图 提交日期 2 0 1 3 - 3 - 1 5 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交毕业论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 论文作者签名：年月日 摘要拉格朗日中值定理是微积分学三大基本定理中的主要定理，它在微积分中占据极其重要的地位，有着广泛地应用。关于它的证明，绝大多数教科书采用作辅助函数的方法，然后利用罗尔中值定理的结论证明拉格朗日中值定理来证明。罗尔中值定理是其的特殊形式，而柯西中值定理是其的推广形式，鉴于微分中值定理的广泛地应用，笔者将从以下几个不同的角度探讨拉格朗日中值定理中辅助函数的构造，以及几个方面的应用加以举例。 关键词：拉格朗日中值定理辅助函数的构造证明及应用 Abstract Lagrange mean value theorem is the main theorem of calculus three basic theorem, It occupies an important status and role in the calculus, has wide application. Proof of it, the vast majority of textbooks by using the method of auxiliary function, and then use the conclusion of Rolle's theorem to prove the Lagrange mean value theorem. Rolle mean value theorem is a special form of it, and Cauchy's theorem is extended form of it, given the widely application of the differential mean value theorem. This paper will discuss the construction of auxiliary function of the Lagrange mean value theorem from several following different angles, and several applications for example. Keyword: Lagrange mean value theorem The construction of auxiliary function Proof and Application 第二讲 微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中 值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理 微分中值定理 罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ． 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导； 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．积分中值定理的推广与应用
积分第二中值定理证明
谈谈拉格朗日中值定理的证明(考研中的证明题)
推广的积分中值定理及其应用
关于高等数学常见中值定理证明及应用
积分平均值定理、积分第二中值定理
高等数学-中值定理证明
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
积分中值定理
拉格朗日中值定理的证明
拉格朗日中值定理证明中辅助函数构造及应用
微分与积分中值定理及其应用
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