二
王旭光 01211134
徐州师范大学 数学系 徐州 221116
摘要 一重积分有许多重要的性质和定理，这篇文章对二重积分中值定理作了推广，使结论更加广泛，并给出了商与积的中值定理.
关键词 二重积分；中值定理；可积；连续；最小值；最大值
一、引言
积分中值定理在微积分学中有非常广泛的应用，已有对此定理的推广形式作了研究.自 然联想到二重积分中值定理是否也可作进一步推广?另外,我们知道还有积分第二中值定理:
若在区间[]b a ,上f 为非负的单调递减函数,而g 是可积函数,则存在[]b a ,∈ξ,使得
()??
=ξ
a
b
a
g a f fg
是否也可推广到二重积分上?本文对以上两个问题作了进一步探讨,并给出了简单的应用.
二、二重积分中值定理的推广
二重积分中值定理[]
1 若()y x f ,在可求面积的有界闭区域D 上连续，()y x g ,在D 上
可积且不变号，则存在一点()D ∈ηξ,，使得
()()()()dydx y x g f dydx y x g y x f D
D
????=,,,,ηξ
推论 若()y x f ,，()y x g ,在可求面积的有界闭区域D 上连续，，则存在一点()D ∈ηξ,，使得
()()()()D g f dydx y x g y x f D
?=??ηξηξ,,,,
D ?——表示D 的面积.
证明 令()()()y x g y x f y x F ,,,=， ()1,=y x G .则F ，G 满足二重积分中值定理的条件，故存在一点()D ∈ηξ,，使得
()()()()()()()()D
g f dydx y x G F dydx y x G y x F dydx y x g y x f D
D
D
?===??????ηξηξηξ,,,,,,,, .
引理1
[]
2 若（1）()x f ，()x g 在[]b a ,上连续；
（2）()0≠x g ，[],x a b ?∈.
则存在一点[]b a ,∈ξ,使得
()()()()
ξξg f x g x f b a
b
a =?? . 证 见《上海海运学院学报》，V ol 16 No.1 Mar.1995.
另证[]
3 利用Cauchy 中值定理.
令
()()du u f x F x a
?=，()()du u g x G x
a
?=
则存在[]b a ,∈ξ 使得
()()()()()()()()()()ξξξξg f G F a G b G a F b F dx x g dx x f b a
b
a
=''=--=?
? .
定理1 假设 （1）()y x f ,，()y x g ,在平面区域D 上连续，
D =(){
()()}b x a x y x y x ≤≤≤≤,,ψ?
（2）()()D y x y x g ??≠,,0,.
则存在一点()D ∈ηξ,, 使得
()()()()
ηξηξ,,,,g f dydx y x g dydx y x f D
D =???? .
证明 因为()y x g ,在D 上连续且恒不为0，则
()0,≠??dydx y x g D
令
()()()
()
dy y x f x F x x ?
=ψ?,，()()()
()
dy y x g x G x x ?
=ψ?, 则
()()()
()
dy y f F ?
=ξψξ?ξξ, ，()()()
()
dy y g G ?
=ξψξ?ξξ,
由引理1，存在()b a ,∈ξ，使得
()()()()()
()()()
,,,,D D
f y dy f x y dydx
g x y dydx g y dy
ψξ?ξψξ?ξξξ=??????
再次运用引理1，存在()(())ξψξ?η,∈ 使得
()()()
()()()
()()
ηξηξξξξψξ?ξψξ?,,,,g f dy y g dy y f =?? 故有
()()()()
ηξηξ,,,,g f dydx y x g dydx y x f D
D =???? 证毕.
推论 在上述条件下，假设区域为形[][]d c b a D ,,?= ，其中 d c b a ,,,为常数且在同一象限.则存在点()D ∈ηξ, 使得
()()()()ξηηξ,4
1
,f d c b a D y x f D
++?=
??
其中 D ?表示D 的面积.
证明 令 ()xy y x g =, 则
()()()ξηd c b a D y x g D
++?=
??
4
1
, 代入定理1中结论化简即可.
定理2 若（1）()y x f ,在闭区域D 上连续且非负，[]b a x ,∈?，f 关于y 单调递减
D =(){
()()}b x a x y x y x ≤≤≤≤,,ψ?
（2）()y x g ,在D 上连续. 则存在可积曲线()[]b a D x y s ,,∈∈ξ使得
()()())(()()
()
dy y g dx x x f dydx y x g y x f s y b
a
D
?
???
*=ξξ?ξ?,,,, （*）.
证明 （I ）根据条件g 必有界，设L g ≤.f 连续必可积，从而
01
0lim =∑=→?t n
t f t σω
这里?是将D 分割成小区域t σσσ,...,,21，0→?表示分割越来越细，f t ω是()y x f ,在
i σ上的振幅.
又 fg 是可积的，设??
=
D
fg I 对于分割T 它能表示成如下两部分之和：
{()()()[]()
()
()}dx dy y x g x y x f y x f b
a
n
i x y x y i i i I ,,,1
11?∑?
=---=
+
{()()()()
()
}dx dy y
y y x g x y x f x x b
a n
i i i
i ?
?∑-=-1,,1
1
I I 21+=
（II ）对于
I
1
，由于
{()()
()
()()()}dx dy y x g x y x f y x f I i b
a
n
i x y x y i i ,,,11
11
-=-≤?
∑?-
=
{()()()()
()
()}dx dy y x g x y x f y x f m
j x x n
i x y x y i j j
j i i ,,,1
1
111
1∑?∑?
==-----
t n t f t L σω∑=≤1
因此有
01
lim =→I
o
T ，从而当0→T 时，I 2也必有限，并且I I
T =→2
lim
. 令
()()()
()
dy y x g y G x y x ?
=?,
则())(0=x G ?，且()()x y G 连续函数，所以
()()()
()()()()x G x G
dy y y y x g y
y i i
x x i i 1
1,--=?-
故
()()()()()()[]dx x y G x y G x y x f i i
b a
n
i i I
1
1
1
2
,-=--=?
∑
=
{()()()()[()()]())(())(()()()()}dx
x G x x f x G x x f x x f x x f x y G y y y n i
i b
a
n i i
ψ??1
1
11,,,,---=+--?∑ =()()()()()()[]()()()()dx x G x y x f x y x f x y x f x y G b
a
n n i i i i ?∑?
?????+---=-ψ1111,,,
由于()0,≥y x f ，且x 0
?
，()()()()0,,0
1
≥--x f x f y x y x i
i ，()()0,0
1
≥-x f y x n .
因此分别用()()x y G 在[]b a ,上的最小值m 与最大值M 代替上式中所有的()()x G
y i
与
()()x G ψ后，得
()()()()dx x x f M dx x x f m b
a
T b
a I
I
??≤=
≤→??,,2
lim
（**）
（III ） 若[]()()0,,,=∈?x x f b a x ?，则由条件()0,≡y x f ，此时满足（*）的ξ可取()b a ,上任意值.
若[]()()0,,,000>∈?x x f b a x ?，则将（**）改写成
()()M dx
x x f m b
a
I ≤≤
??,
由连续函数()()x y G 的介值性定理，一定存在
()()[()]ξψξ?ξ,∈y s
,[]b a ,∈ξ使得
()()ξs y G ()()?=
b
a dx
x x f I ?,
即
()()())(()()
()
dy y g dx x x f dydx y x g y x f s y b
a
D
?
???
*=ξξ?ξ?,,,, .
推论1 若将定理2中，[]b a x ,∈?，
f
关于y 单调递减改为：[]b a x ,∈?，f 关
于y 单调递增，则有下述结论：存在()()()[]b a y s ,,∈≤≤ξξψξξ?
()()())(()()
()
dy y g dx x x f dydx y x g y x f s y b
a
D
?
???
*=ξψξξψ,,,, .
推论2 若改为：[]b a x ,∈?，f 关于y 单调递增，则有下述结论：存在
()()()[]b a y s ,,∈≤≤ξξψξξ?，使得
()()())(()()
()
()()()()
()
dy y g x x f dy y g dx x x f dydx y x g y x f x x y b
a
y b
a
D
s s ?
??
???
+*=ψξξ?ξψξ?,*,,,,,.
若[]b a x ,∈?f 关于y 单调递减，则令()()()()x x f y x f y x h ψ,,,-=，再利用定理2； 若[]b a x ,∈?f 关于y 单调递增，则令()()()()x x f y x f y x h ?,,,-=，再利用推论1 .
三、推广的二重积分中值定理的应用
例 若（1）()y x f ,在闭区域D 上连续且非负，[)+∞∈?,a x ，f 关于y 单调递减
D =(){
()()}+∞<≤≤≤x a x y x y x ,,ψ?;
(2)
()()dx x x f a
?
+∞
?,存在;
（3）()y x g ,连续且
()dxdy y x g D
??,收敛;
则
??
D
fg 收敛.
证明 因
()dxdy
y x g D
??,收敛，故 存在正数K ，使得对任意的可积曲线
()[)+∞∈∈,,a D x y s η 有
()
()()
K y g s y ≤?ηη?η,.
又
()()dx x x f a
?
+∞
?,存在，故a M ≥?>?,0ε，当21,A A M ≥时有
()()K dx x x f A A ε?≤?2
1
,
由定理2，()21,A A ∈?ξ 使得
()()
()
()()()()()
()
?
?
??=
2
1
2
1
,*,,,A A y A A x x
dy y g dx x x f y x g y x f s ξξ?ψ?ξ?
K K
?≤
ε
ε≤ .
所以
??
D
fg 收敛.
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京:高等教育出版社,1987.297--299. [2] 严振祥.积分中值定理的推广[J]. 上海:上海海运学院学报,1995,29--33. [3] 辛钦.数学分析八讲[M]. 武汉:武汉大学出版社，1998.171--172.
An Extention about the Mean Value Theorem of Double Integral
Wang Xuguang 01211134
（Department of Mathematics, Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116）Abstract There are many important theorems and properties in the integral,this paper extends the double integrals mean value theorem and gives a corresponding theorem for product and quotient of integrations.
Keywords double integral; mean-value theorem;integrable;continuous;maximum;minmum