八年级几何综合题
（一）（2008学年静安区八下末）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC ． （1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；
（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
（二）（2008学年静安区八下末）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠C=45°，AB=8，BC=14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF ∥AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF=90°，PE=PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE=x ，MN=y ． （1）求边AD 的长；
（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．
（三）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE =CG ，AH =CF ．
求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（四）（2008学年徐汇区八下末）如图，在△ABC 中，AB =BC ，BD 是中线，过点D 作DE ∥BC ，过点A 作AE ∥
BD ，AE 与DE 交于点E ．
求证：四边形ADBE 是矩形． F H E
G C
D A
B
E
A
D
B
C
（五）（2008学年徐汇区八下末）如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC =5．对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交BC 、AD 于点E 、F ．在旋转过程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的最小度数．
（六）（2008学年徐汇区八下末）如图，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P 从点O 出发，在梯形OABC 的边上运动，路径为O →A →B →C ，到达点C 时停止．作直线CP.
（1）求梯形OABC 的面积；
（2）当直线CP 把梯形OABC 的面积分成相等的两部分时，求直线CP 的解析式； （3）当?OCP 是等腰三角形时，请写出点P 的坐标（不要求过程，只需写出结果）
（七）（2008学年金山区八下末）如图，四边形A BC D ，AB∥DC，55B ∠=°，185∠=°， 240∠=° （1）求∠D 的度数；
（2）求证：四边形A BC D 是平行四边形．
O
F E
D C
B
A
21D
C B
A
O
A
B
C
P
x
y
（八）（2008学年金山区八下末）如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，AB=DC ，AD∥BC，
AD=2，点P 为梯形内部一点，若PB=PC ，且PA⊥PD． （1）求证：PA=PD ； （2）求PA 的长.
（九）（2008学年金山区八下末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB=3，点E 在BC 上且∠BAE =30°，延长BC 到点F 使CF ＝BE ，连结DF ．
（1）判断四边形AEFD 的形状，并说明理由； （2）求DF 的长度；
（3）若四边形AEFD 是菱形，求菱形AEFD 的面积．
（十）（2008学年奉贤区八下末）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；（4分）
（2）AC = 2DG ．（4分）
A C
B
F
D E
G
（十一）（2008学年奉贤区八下末）边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动
点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）
⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；
如果不能，请简单说明理由。（2分）
（十二）（2008学年嘉定区八下末） 如图1，点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，四边形OCDE 是平行四边形.求证：OE 与AD 互相平分.
（十三）（2008学年嘉定区八下末）已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点（如图2）.
求证：（1）MN ∥BC ；
（2）)(2
1
AD BC MN -=.
A
B
C
D
O
E
图1
A
B
C
D
M N
图2
D C B A
E
F
P
。
O
D
C
B
A 备用图
O 。
O
F
E
D
C
B A
（十四）（2008学年嘉定区八下末）已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP . （1）若将AD 顺时针旋转?30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数. （2）若将AD 顺时针旋转α度)900(?<
（3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(?<
（十五）（2008学年浦东新区八下末）如图，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，AC BE ⊥，BD CF ⊥，垂足分别是E 、F ．
求证：CF BE =． A
B
C
D
P
图3
A
B
C
D
P
M
图4
A
C
D
P
B
图5
A
B
C
D
P
图6
O
G
E D
C
B
A
（十六）（2008学年浦东新区八下末）如图，点O 是⊿ABC 内任意一点， G 、D 、E 分别为AC 、OA 、OB 的中点，F 为BC 上一动点，问四边形GDEF 能否为平行四边形？若可以，指出F 点位置并且证明。
（十七）（2008学年浦东新区八下末）在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，
cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以
每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2
）．
（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；
（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．
（十八）（2007学年青浦区八下末）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=13cm ，AC=24cm 。
（1） 求：菱形ABCD 的面积；
（2） 如过点D 作BC DE ⊥，垂足为E ，求DE 的长
D
C
B
A
P
Q
O
E
D
A
B
C
（十九）（2007学年青浦区八下末）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，BC=3AD ，M 、N 为底边BC 的三等分点，联结AM ，DN 。
（1） 求证：四边形AMND 是平行四边形；
（2） 联结BD 、AC ，AM 与对角线BD 交于点G ，DN 与对角线AC 交于点H ，且BD AC 。试判断四边形AGHD
的形状，并证明你的结论。
（二十）（2008学年松江区八下末）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ,E 、F 分别是两腰的中点，联接AF ,
过点E 作EG ∥AF ,交BC 于点G ,联结FG . 求证：四边形AEGF 是平行四边形.
（二十一）（2008学年松江区八下末）如图，已知正方形ABCD 边长为4，对角线AC 、BD 交于O 点，E 、F 分别是边AB 、BC 上两点（与A 、B 、C 不重合），且OE ⊥OF .
(1)求证：BE=CF ;
(2)若EF=10,求BE 的长．
（二十二）（2008学年杨浦区八下末）如图，已知：等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点． 求证：四边形MENF 是菱形； H
G
D
B
C
A
N
M
G C
F
D
B E
A
D
C F
B
E
A
A
B
E
M
N
F
C
D
（二十三）（2008学年松江区八下末）如图1，A 、B 是直线 a 上的两个定点，点C 、D 在直线 b 上运动（点 C 在点 D 的左侧），AB=CD=4cm. 已知 a // b , a 、 b 间的距离为3cm ．连接AC, BD, BC ，把△ABC 沿BC 折叠得
△A 1 BC ．
(1) 当 A 1 、 D 两点重合时，则 AC = cm. ；（直接写出结果）
(2) 如图2，若 A 1 落在直线 b 的上方，连接 A 1 D , 探究 A 1D 与 BC 的位置关系，并说明理由； (3) 若A 1 落在直线 b 的下方，且以点A 1 、 B 、C 、 D 为顶点的四边形是矩形，求 AC 的长． (4) 若 A 1 落在直线 b 的上方，且以点A 1 、 B 、C 、 D 为顶点的四边形是矩形，则 AC = cm. ． （直
接写出结果）
（二十四）（2008学年杨浦区八下末）已知：梯形ABCD 中，AB//CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，联结BD （如图1）．点P 沿梯形的边,从点A B C D A →→→→移动，设点P 移动的距离为x ，BP =y . （1） 求证：∠A =2∠CBD ；
（2） 当点P 从点A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示．试求CD 的长； （3） 在（2）的情况下，点P 从点A B C D A →→→→移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰三角形？若能，
请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的取值；若不能，请说明理由．
D C B
A
b
a
图1
A1
D C B
A
b a
图2
A
B
C D （图1）
（图2）
y x
O
M N Q 8
5
（二十五）（2009学年奉贤区八下末）如图，已知△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和 ∠BAC 外角的平分线，BE ⊥AE ．
求证： AB=DE ．
（二十六）（2009学年奉贤区八下末）如图，在等腰梯形ABCD 中，∠C =60°，AD ∥BC ，且AD =AB =DC ，E 、F 分别在AD 、DC 的延长线上，且DE=CF ，AF 、BE 交于点P 。 （1）求证：AF=BE ；（4分） （2）请猜测∠BPF 的度数，并证明你的结论。（4分）
（二十七）（2009学年奉贤区八下末）已知：在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2.
（1）如图①，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图②，当四边形EFGH 为菱形，且BF = a 时，求△GFC 的面积（用含a 的代数式表示）；
（二十八）（2012学年东陆中学八下暑假作业） 如图，在梯形ABCD 中，A D ∥BC ，DC ⊥BC,沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 上，记为E,如果AD=4,BC=6,求EB 的长。
A D
E
D C A B E
F H G
D C A B E
F H G
E A C D F
B
P
A B
C D E
F
B C
（二十九）（2012学年东陆中学八下暑假作业）（1） 边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AEFG,两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），求风筝的面积。
A B E
F
D C
G （2）如图，梯形ABCD 的两底长AD=6,BC=10,EF 为中位线，而且∠B=90°
如果P 为AB 上一点，而且PE 将梯形ABCD 分成面积相等的两区域，则⊿EFP 与梯形ABCD 的面积比是多少。 A B
E F Ｐ
D C
（三十）（2013年上海中考）如图8，在△ABC 中，0
=90ABC ∠， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；
（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．
[来源:https://www.doczj.com/doc/045744513.html,]
（三十一）（2009学年闵行区八下末）如图，在正方形ABCD 中，点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除
外），联结DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线，垂足为点E 、F ． （1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？
请证明你的结论；
（2）当点P 在边BC 上时，正方形的边长为2．设CE = x ，AF = y ．
求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）在（2）的条件下，当x = 1时，求EF 的长．
D
C
B
D C
B
A
E
F
P
F
E D
A
B
C
图8
O
E
D
C
B A
（三十二）（2009学年松江区八下末）如图,平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O 点，与DC 分别交于E 、 F 两点(1) 求证：DF =CE ；(2) M 为边AB 上不与端点重合的任意一点，过M 作MN ∥BF , 交AE 于点N ，MG ∥AE 交BF 于点G ，求证：四边形MNOG 是矩形．
（三十三）（2009学年松江区八下末）在一张长8cm 、宽4cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH (见方案一)，记菱形EFGH 的面积为S 1；乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF (见方案二), 记菱形AECF 的面积为S 2，请你通过计算，比较S 1与S 2的大小？
（三十四）（2009学年松江区八下末）直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠D ＝90°，AD=CD =4，∠B ＝45°，点E 为直线DC 上一点，联接AE ，作EF ⊥AE 交直线CB 于点F ． （1）若点E 为线段DC 上一点（与点D 、C 不重合），（如图1所示），
① 求证：∠DAE ＝∠CEF ；② 求证：AE=EF ； （2）联接AF ，若△AEF 的面积为2
17
，求线段CE 的长(直接写出结果，不需要过程)．
（三十五）（2009学年浦东新区八下末）已知：如图，在ABC ?中，AC BD ⊥，AB CE ⊥, 垂足分别为D 、E ，BD 与CE 相交于点O ，且CE BD =．求证：OC OB =．
（方案一） E
G
B A D
C F
H
E
F
B A
D
C （方案二）
M
A
D
C
F B
E G
O
N
Ｂ Ａ
Ｃ
Ｆ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｄ
P
N
M C
B
A
（三十六）（2009学年浦东新区八下末）如图所示，在Rt ABC △中，9030C A ∠=∠=°
，°． （1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
（2）在已作的图形中，若l 分别交AB AC 、及BC 的延长线于点D E F 、、，连接BE ．
求证：2EF DE =．
（三十七）（2009学年浦东新区八下末）已知：如图，在ABC ?中，4,90==?=∠BC AC C ，点M 是边AC 上一动点（与点A 、Ｃ不重合），点N 在边CB 的延长线上，且BN AM =，联结MN 交边AB 于点P ．
（1）求证：NP MP =；（2）若设y BP x AM ==,，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当BPN ?是等腰三角形时，求AM 的长．
（三十八）（2010学年普陀区八下末）如图，在ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =. 求证：四边形EBFD 是平行四边形.
（三十九）（2010学年普陀区八下末）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知//AD BC ,AB CD =,AE BC ⊥于E ，
60B ∠=?,45DAC ∠=?,6AC =,求梯形ABCD 的周长。.
C
B
A （第22题）C D
B A
E F D
A
N
M D
C
B A
N M
D C
B
A D
C B A （四十）（2010学年普陀区八下末）如图，在正方形ABC
D 中，点
E 、
F 分别是边AB 、AD 的中点，DE 与CF 相交于
G ，DE 、CB 的延长线相交于点
H ，点M 是CG 的中点. 求证：（1）//BM GH (2)BM CF ⊥
（四十一）（2010学年黄浦区八下末）如图，在平行四边形ABCD
中，AB ⊥BD ，M 、N 分别为边AD 与BC 的中点.求证：四边形BMDN 是菱形.
（四十二）（2010学年黄浦区八下末）如图，在矩形ABCD 中，BM ⊥AC ，DN ⊥AC ，M 、N 是垂足. （1）求证：AN =CM ；（2）如果AN =MN =2，求矩形ABCD 的面积.
（四十三）（2010学年黄浦区八下末）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD . （1）如果∠A =?50，∠B =?80，求证：AB CD BC =+.
（2）如果AB CD BC =+，设∠A =?x ，∠B =?y ，那么y 关于x 的函数关系式是_______.
（四十四）（2010学年静安区八下末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ，EF =AD ．求证：四边形AEFD 是矩形．
M
H
G
F E
D
C
B A
A B E F C D
（四十五）（2010学年静安区八下末）已知点E 是正方形ABCD 外的一点，EA=ED ，线段BE 与对角线AC 相交于点F ，
（1）如图1，当BF=EF 时，线段AF 与DE 之间有怎样的数量关系？并证明；
（2）如图2，当△EAD 为等边三角形时，写出线段AF 、BF 、EF 之间的一个数量关系，并证明．
（四十六）（2010学年宝山区八下末）如图5，菱形ABCD 的对角线交于点O ，已知菱形的 周长为54，且AC 是BD 的2倍，试求该菱形的面积．
（四十七）（2010学年宝山区八下末）如图8，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥， E 、G 分别是AB 、CD 的中点， 点F 在边BC 上，且BF=1/2（AD+BC)（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形； （2）联结AF ,若AG 平分FAD ，求证：四边形AEFG 是矩形．
（四十八）（2010学年宝山区八下末）如图9，已知矩形ABCD ，把矩形ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ．
（1）若AB=3，BC=6，试求四边形ABDE 的面积； （2）记AD 与BE 的交点为P ，若AB=a ，BC ＝b ，
试求PD 的长（用a 、b 表示）． A B
C
D E F A
B
C
D E F D
C
B
A
（图5）
O B
E A D
G
C
F
（图8）
A
（图9）
B
C
D
E
（四十九）（2010学年宝山区八下末）已知边长为1的正方形ABCD 中， P 是对角线AC 上的一个动点（与点A 、C 不重合），
过点P 作 PE ⊥PB ，PE 交射线DC 于点E ，过点E 作EF ⊥AC ，垂足为点F . （1）当点E 落在线段CD 上时（如图10），
① 求证：PB=PE ；
② 在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；
（2）当点E 落在线段DC 的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能，试求出AP 的长，如果
不能，试说明理由．
（五十）（2010学年嘉定区八下末）如图6.在平行四边形ABCD 中，O 为对角线的交点，点E 为线段BC 延长线上的一点，且BC CE 2
1
.过点E 作EF ∥CA ，交CD 于点F ，联结OF . （1）求证：OF ∥BC ；
（2）如果梯形OBEF 是等腰梯形，判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
A B
（图6）
D
C
O
E
F
（五十一）（2010学年嘉定区八下末）已知：如图7.四边形ABCD 是菱形，6=AB ，?=∠=∠60MAN B .绕顶点A 逆时针旋转MAN ∠，边AM 与射线BC 相交于点E （点E 与点B 不重合），边AN 与射线CD 相交于点F .
（1）当点E 在线段BC 上时，求证：CF BE =；
（2）设x BE =，ADF △的面积为y .当点E 在线段BC 上时，求y 与x 之间的函数关系式，写出函数的定义域；
（3）联结BD ，如果以A 、B 、F 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE 的长.
（五十二）（2010学年浦东新区八下末）已知：如图，AE ∥BF ，AC 平分∠BAD ，交BF 于点C ，BD 平分∠ABC ，交AE 于点D ，联结CD .求证：四边形ABCD 是菱形．
（五十三）（2010学年闵行区八下末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC=8，对角线AC ⊥AB ，∠B=60°，M 、N 分别是边AB 、DC 的中点，连接MN ，求线段MN 的长．
A M
N
D C
B E F
（图7）
A D
C
B （备用图）
F
O E
D
C B
A
第21题图
（五十四）（2010学年浦东新区八下末）如图，ABCD 是正方形，点G 是线段BC 上任意一点（不与点B 、C 重合），DE 垂直于直线AG 于E ，BF ∥DE ，交AG 于F . （1）求证：EF BF AF =-；
（2）当点G 在BC 延长线上时（备用图一），作出对应图形，问：线段AF 、BF 、EF 之间有什么关系（只写结论，不要求证明）？
（3）当点G 在CB 延长线上时（备用图二），作出对应图形，问：线段AF 、BF 、EF 之间又有什么关系（只写结论，不要求证明）？
（五十五）（2010学年闵行区八下末）已知：如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE ．AF ∥BC ，
且AF=BC ，连接DF ．（1）求证：四边形AFDE 是平行四边形；（2）如果AB=AC ，∠BAC=60°，求证：AD ⊥EF ．
（五十六）（2011学年宝山区八下末）如图8，已知梯形ABCD 中，
AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，直线EF 交边AD 的延长线于点M ，联结BD ．
（1）求证：四边形DBEM 是平行四边形；
（2）若BD =DC ，联结CM ，求证：四边形ABCM 为矩形．
备用图二备用图一A B C D G A B C D G
G F
E
D C B A 第25题图 A
B
C
D
E
F
M
（图8）
（五十七）（2010学年闵行区八下末）已知：如图，在正方形ABCD 中，AB=4，E 为边BC 延长线上一点，连接DE ，BF ⊥DE ，垂足为点F ，BF 与边CD 交于点G ，连接EG ．设CE=x ． （1）求∠CEG 的度数；
（2）当BG=2时，求△AEG 的面积。
（3）如果AM ⊥BF ，AM 与BC 相交于点M ，四边形AMCD 的面积为y ， 求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．
（五十八）（2011学年宝山区八下末）如图9，已知平行四边形ABCD ， E 是对角线AC 延长线上的一点，
（1）若四边形ABCD 是菱形，求证BE =DE ；
（2）写出（1）的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，
若是真命题，试给出证明；若是假命题，试举出反例．
（五十九）（2011学年静安区八下末）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 、F 在边BC 上，BE =CF ， EF =AD ． 求证：四边形AEFD 是矩形．
（六十）（2011学年奉贤区八下末）已知，在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠ABC =90°， BC =2AD ，点E 、F 分别是BC 和DC 的中点，联结AE 、EF 和BD ，AE 和BD 相交于点G . （1）求证：四边形AECD 是平行四边形；
（2）求证：四边形EFDG 是菱形。
D C
B
A
E （图9）
A B E F C D
A
B
D F G
（六十一）（2011学年宝山区八下末）已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，联结CF ，P 是CF 的中点，联结EP 、DP ．
（1）如图11，当点E 在边AB 上时，试研究线段EP 与DP 之间的数量关系和位置关系；
（2）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转90°，试在图12中画出符合题意的图形，并研究这时（1）
中的结论是否仍然成立；
（3）把（1）中的正方形AEFG 绕点A 任意旋转某个角度（如图13），试按题意把图形补画完整，并研究（1）中
的结论是否仍然成立．
（六十二）（2011学年奉贤区八下末）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E 是边CD 上的任意一点（不与C 、
D 重合）， 将△AD
E 沿AE 翻折至△AFE ，延长E
F 交边BC 于点
G ，联结AG ． （1）求证：△ABG ≌△AFG ； （2）若设DE =x ，BG =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3) 联结CF ，若AG ∥CF ，求DE 的长。 D
C
B
A
（图12）
（图11）
D
C B
A
E
F
P
G D C
B
A
E
F
（图13）
G
(图5)
C
G
A
E
D B
F
（六十三）（2011学年浦东新区八下末）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
点G 在边BC 上，且()BC AD CG +=2
1
．
（1）求证：四边形DEGF 是平行四边形； （2）联结DG ，若ADE ADG ∠=∠2，求证：四边形DEGF 是矩形．
（六十四）（2011学年浦东新区八下末）已知：如图，梯形A B C D 中，AD ∥BC ， 90=∠A ，
45=∠C 4==AD AB ．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作BE EF ⊥交直线CD 于点F ．联结BF ．
（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示）
①求证：EF BE =．
②设x DE =，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．
（六十五）（2011学年杨浦区八下末）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边ABCD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG //DB 交CB 的延长线于点G ．（1）求证：DE ∥BF ；
（2）若∠G ＝90?，求证：四边形DEBF 是菱形． F
E D
C B
A D C
B A
G
A B
C
D
F
E A
B
C D G
E
F