一、多元函数、极限与连续
㈠二元函数
1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照
一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为
（或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自
变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是
一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。
㈡二元函数的极限
⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义，
是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正
数，使得对于适合不等式的一切点
，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当
时的极限，记作或, 这里
。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数
都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一
条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。
㈢多元函数的连续性
1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定
义，是 D 的内点或边界点且。如果
，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。
2 ．性质
⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的；
⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值；
⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两
个值之间的任何值至少一次；
⑷在有界闭区域 D 上的多元连续函数必定在 D 上一致连续。二、偏导数和全微分
㈠偏导数
⒈偏导数定义：设函数在点的某一邻域内有定义，
当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量
，如果存在，则称此极限为
函数在点处对的偏导数，记作，，
或
类似，函数在点处对的偏导数定义为
，记作，或。在实
际中求的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只
有一个自变量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以求时
只要将暂时看作常量而对求导数；求时，则只要将暂时看作常量而对求导数。偏导数可以推广到二元以上的函数
注意：对于一元函数来说可以看作函数的微分与自变量微分之商，而偏导数的记
号是一个整体符号，不能看作分母与分子之商。
⒉偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，
过做平面
，截此曲面得一曲线，此曲线在平面上的方程为
，则导数
，即偏导数，就是这曲线在点处的切线
对轴的
斜率。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所
截得的曲线在点处
的切线对轴的斜率。
⒊高阶偏导数：设函数在区域 D 内具有偏导数
，，那么在 D 内，都是，的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数
的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同有以下四个
二阶偏导数：，，
,
。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区
域 D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。（即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。）
㈡全微分
⒈全微分定义：如果函数在点的全增量
可表示为，其中 A 、B 不依
赖于、而仅与、有关，
，则称函数在点可微分，而称
为函数
在点的全微分，记作，即。如果函数
在区域 D 内各点都可微分，那么称这函数在 D 内可微分。
定理 1（必要条件）：如果函数在点可微分，则该
函数在点的偏导数
必定存在，且函数在点的全微分为
。
定理2（充分条件）：如果函数的偏导数在点连
续，则函数在该点可微分。
以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。
习惯上将自变量的增量、分别记作、；并分别称
为自变量的微分，则函数
的全微分可表示为。通常将二元函数的全微
分等于它的两个偏微分之和
这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数的情形。
三、多元复合函数的求导法则
㈠复合函数的全导数：如果函数及都在点可导，
函数在对应点
具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且其导数可用下列公式计算：
。此定理可推广到中间变量多余两个的情况，例如，，
，，则，其中称为全导数。
上述定理还可推广
到中间变量不是一元函数而是多元函数的情形。
㈡复合函数的偏导数 : 设，并且，，
则是
的复合函数。如果可微，函数，对
的偏导数存在，则
复合函数对的偏导数存在，且
㈢全微分形式的不变性 : 设函数具有连续偏导数，
则有全微分，如
果、又是的函数、，且这两个函数
也具有连续偏导数，则复合
函数的全微分为
由此可见，无论是自变量、的函数或中间变量、的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。
四、隐函数的求导公式
㈠、一个方程的情形
隐函数存在定理 1 ：设函数在点的某一邻域内具
有连续的偏导数，且
，，则方程在点的某一邻域
内恒能
唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满
足条件，并有
隐函数存在定理 2 ：设函数在点的某一邻域内
具有连续的偏导数，且
，，则方程在点的某
一邻域
内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件
，并有
㈡、方程组的情况
隐函数存在定理 3 ：设、在点的
某一邻域内
具有对各个变量的连续偏导数，又，
，且
偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比（ Jacobi ）行列式）：
在点不等于零，则方程组，在
点
的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数
，它们满足条件，并有
，，
，
五、方向导数、梯度
㈠、方向导数
1 、定义：设函数在点的某一邻域内有定
义，自点 P 引射线。设轴正向到射线的转角为, 并设
为上的另一点，且。我们考虑函数的增量
与和两点间的距离的比
值。当沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极
限为函数在点沿着方向的方向导数，记作，即
。
2 、定理：如果函数在点是可微分的，那么函数
在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有，
其中为 x 轴到方向的转角。
上述定义也可推广到三元函数，它在空间一点沿
着方向（设方向的方向角为）的方向导数可以定义为
，其中
，如果函数在所考虑的点处可微，则函数在该点沿着方向的方向导数为
㈡、梯度
1 、定义 ( 二元函数的情形 ) ：设函数在平面区域 D
内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这个向量称为函数在点的梯度，记作
，即，由梯度的定义可知，梯度的模为：
，
当不为零时， x 轴到梯度的转角的正切为
2 、与方向导数的关系：如果设是与方向同方向
的单位向量，则由方向导数的计算公式可知：
由此可知，就是梯度在上的投影，当方向与梯度的方向
一致时，有，
从而有最大值。所以沿梯度方向的方向导数达最大值，也就是说，梯度的方向是函数在该点增长最快的方向，因此，
函数在某点的梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。※上述所讲的梯度的概念也可推广到三元函数的情况。设函数在空间区域 G 内具有一阶连
续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量
，这个向量称为函数在点的梯度，即
六、多元函数的泰勒公式、极值和几何应用
㈠、二元函数的泰勒公式
定理：设在点的某一邻域内连续且有直到阶
的连续偏导数，
为此邻域内任一点，则有
一般地，记号表示
设，则上式可表示为
⑴，
公式⑴称为二元函数在点的n阶泰勒公式，而的表达式为拉格朗日型余项。
在泰勒公式⑴中，如果取，则⑴式成为 n 阶麦克劳林公式
㈡、多元函数的极值
定理 1 （必要条件）：设函数在点（, ）具有偏导
数，且在点
( , ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，
定理 2 （充分条件） : 设函数在点（, ）的某邻域
内连续且
有一阶及二阶连续偏导数，又，，令(, )=A,
(, )=B, (, )=C,
则 f(x,y) 在（, ）处是否取得极值的条件如下：
⑴ AC->0 时具有极值，且当 A<0 时有极大值，当 A>0 时有极小值；
⑵ AC-<0 时没有极值；
⑶ AC-=0 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。㈢、几何应用
1 、空间曲线的切线和法平面：
⑴设空间曲线的参数方程为，假设三个函数都可导，
在曲线上取相应于
的一点，则曲线在点 M 处的切线方程为
，
这里假设均不为零。如果有个别为零，则应按空间解析几何中有
关直线的对称式方程来理解。切线的方向向量成为曲线的切向量。向量
就是曲线在点 M 处的一个切向量。
⑵通过点 M 而与切线垂直的平面称为曲线在点 M 处的法平
面，它是通过点
而与 T 为法向量的平面，因此方程为
。
⑶若空间曲线的方程以的形式给出 , 则切线方程
为：
，其中分母中带下标 0 的行列式表示行列式在点的值；曲线在点处的法平面方程为
的值；曲线在点处的法平面方程为
2 、曲面的切平面和法线
⑴若曲面方程为，是曲面上一点，则曲面在点
M 处的
切平面的方程为：
；
法线方程为：
⑵若曲面方程为，则切平面方程为
或
；而法线方程为
一、多元函数、极限与连续 ㈠二元函数 1 ．二元函数的定义：设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P （x，y）∈ D ，变量按照 一定法则总有确定的值与它对应，则称是变量 x 、y 的二元函数（或点 P 的函数），记为 （或），点集 D 为该函数的定义域， x 、y 为自 变量，为因变量，数集为该函数值域。由此也可定义三元函数以及三元以上的函数。二元函数的图形通常是 一张曲面。例如是球心在原点，半径为 1 的上半球面。 ㈡二元函数的极限 ⒈设函数 f（x,y）在开区域（或闭区域） D 内有定义， 是 D 的内点或边界点，如果对于任意给定的正数，总存在正 数，使得对于适合不等式的一切点 ，都有成立，则称常数 A 为函数f（x,y）当 时的极限，记作或, 这里 。为了区别一元函数的极限，我们把二元函数的极限叫做二重极限。
⒉注意：二重极限存在是指沿任意路径趋于，函数 都无限接近 A 。因此，如果沿某一特殊路径，例如沿着一 条定直线或定曲线趋于时，即使函数无限接近于某一确定值，我们也不能由此判定函数的极限存在。 ㈢多元函数的连续性 1 ．定义：设函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内有定 义，是 D 的内点或边界点且。如果 ，则称函数 f（x，y）在点连续。如果函数 f（x，y）在开区间（或闭区间） D 内的每一点连续，那么就称函数 f（x，y）在 D 内连续，或者称 f（x，y）是 D 内的连续函数。 2 ．性质 ⑴一切多元初等函数在其定义域内是连续的； ⑵在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上一定有最大值和最小值； ⑶在有界闭区域 D 上的多元连续函数，如果在 D 上取两个不同的函数值，则它在 D 上取得介于这两
班级：_______________ 学号：______________ 姓名：________________ 第十三章 多元函数的极限与连续性 §1. 平面点集 1.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2 ,|E x y y x =<； (2)(){}2 2,|1E x y x y =+≠；(3)(){},|0E x y xy =≠； (4)(){},|0E x y xy ==；(5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+；(6)()1,|sin ,0E x y y x x ?? ==>???? ； (7)(){}2 2,|10,01E x y x y y x =+==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 2．证明：平面点列{}n P 收敛的充要条件是：任给正数ε，存在正整数 N ，使得当n N >时，对一切正整数p ，都有(,)n n p P P ρε+<. （其中(,)n n p P P ρ+表,n n p P P +之间的距离）
§2. 多元函数的极限和连续性 1.求下列极限（包括非正常极限）： (1) 2200lim x y x y x y →→++； (2) ()332200 sin lim x y x y x y →→++； (3) 2200 x y →→； (4) ()22 00 1 lim sin x y x y x y →→++； (5) ()2 2 2 2 lim ln x y x y x y →→+； (6) 00lim cos sin x y x y e e x y →→+-； (7) 3 2 2 4200 lim x y x y x y →→+； (8) ()02 sin lim x y xy x →→； (9) 10 ln y x y x e →→+ (10) 12 1 lim 2x y x y →→-； (11) 4400 1 lim x y xy x y →→++； (12) 2222001lim x y x y x y →→+++；
第十五章 多元函数的极限与连续性 §1 平面点集 1．设(){} ,n n n P x y =是平面点列，()000,P x y =是平面上的点. 证明0lim n n P P →∞=的充要条件是0lim n n x x →∞=，且0lim n n y y →∞ =. 2． 设平面点列{}n P 收敛，证明{}n P 有界. 3． 判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)(){}2,|E x y y x = <； (2)(){}22,|1E x y x y = +≠； (3)(){},|0E x y xy = ≠； (4)(){},|0E x y xy = =； (5)(){},|02,222E x y y y x y =≤≤≤≤+； (6)()1,|sin ,0E x y y x x ? ?==>????； (7)(){}22,|10,01E x y x y y x = +==≤≤或； (8)(){},|,E x y x y =均为整数. 4．设F 是闭集，G 是开集，证明\F G 是闭集，\G F 是开集. 5．证明开集的余集是闭集. 6．设E 是平面点集. 证明0P 是E 的聚点的充要条件是E 中存在点列{}n P ，满足 ()01,2,n P P n ≠= 且0lim n n P P →∞ =. 7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理. 8．用致密性定理证明柯西收敛原理. 9．设E 是平面点集，如果集合E 的任一覆盖都有有限子覆盖，则称E 是紧集. 证明紧集是有界闭集. 10．设E 是平面上的有界闭集，()d E 是E 的直径，即 ()()',''sup ',''P P E d E r P P ∈=.
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
二元函数的极限 二元极限存在常用夹逼准则证明 例1 14)23(lim 2 12=+→→y x y x 例2 函数?? ???+=01sin 1sin ),(，x y y x y x f .00=≠xy xy ，在原点（0,0）的极限是0. 二元极限不存在常取路径 例3 证明：函数）），（，，00)(()y (442≠+=y x y x y x x f 在原点（0，0)不存在极限. 与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略. 上述二元函数极限)(lim 0 0y x f y y x x ，→→是两个自变量x 与y 分别独立以任意方式无限趋近于0x 与0y .这是个二重极限. 二元函数还有一种极限： 累次极限 定义 若当a x →时（y 看做常数），函数)(y x f ，存在极限，设当b y →时，)(y ?也存在极限，设 B y x f y a x b y b y ==→→→)(lim lim )(lim ，?， 则称B 是函数)(y x f ，在点)(b a P ，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即 C y x f b y a x =→→)(lim lim ，. 那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如： 1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3. 2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2. 多重极限与累次极限之间的关系 定理 若函数)(y x f ，在点），000(y x P 的二重极限与累次极限（首先0→y ，其次0→x ）都存在，则 )(lim lim (lim 0 000y x f y x f y y x x y y x x ，），→→→→=. 二元函数的连续性 定理 若二元函数)(P f 与()P g 在点0P 连续，则函数)()(P g P f ±，)()(P g P f ，) ()(P g P f （0)(0≠P g ）都在点0P 连续
数学分析 第16章多元函数的极限与连续计划课时： 1 0 时
第16章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 余集c E . 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1||||),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域: -X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- §2.3 二元函数的极限与连续 定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在 常数A,,当（即）时，都有 则称A是函数当点趋于点时的极限,记作 或 或或。必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能 使与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限 存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不 存在的重要方法之一。 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二 元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如若有, 其中 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 而,根据夹逼定理知 ,所以 例5求（a≠0)。解。例6求。解由于且 ,所以根据夹逼定理知 . 例7 研究函数在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k值，可得到不同的极 限值,所以极限不存在,但 。注意：的区别, 前面两个求极限方式的 本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因 为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第 一项也不存在极限,但是, 由于, 因此 由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1若累次极限和二重极限 都存在,则 三者相等（证明略）。推论若存在但 §5.1 多元函数的概念、极限与连续性 一、多元函数的概念 1. 二元函数的定义及其几何意义 设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()p x y D ∈，，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x y ，的二元函数，记以()z f x y =，，D 称为定义域。 二元函数()z f x y =，的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。 例如 22: 1z D x y =+≤二元函数的图形为以原点为球心，半径为1 的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心， 半径为1的闭圆。 2. 三元函数与n 元函数。 ()()u f x y z x y z =∈ΩΩ，，，，，，为空间一个点 集则称()u f x y z =，，为三元函数 ()12n u f x x x =，，，，称为n 元函数。 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 【例1】 求函数arcsin 3 x z = 解 要求13 x ≤，即33x -≤≤； 又要求0xy ≥即00x y ≥≥，或00x y ≤≤， 综合上述要求得定义域300x y -≤≤??≤?或030 x y ≤≤??≥? 【例2】 求函数()2ln 21z y x =-+的定义域。 解 要求2240x y --≥和2210y x -+> 即 2222212x y y x ?+≤??+>?? 函数定义域D 在圆2222x y +≤的内部 （包括边界）和抛物线212y x +=的左侧（不包括抛物线上的点） 【例3】 设()22 f x y x y x y y +-=+，，求()f x y ，。 解 设x y u x y v +=-=，解出()()1122 x u v y u v = +=-， 代入所给函数化简 ()()()()221184 f u v u v u v u v +-+-，＝ 故 ()()()()221184f x y x y x y x y +-+-，＝ 【例4】 设()22 35f x y xy x xy y ++++，＝，求()f x y ，。 解 ()22223525x xy y x xy y xy +++=++++ ()25x y xy =+++ ∴ ()25f x y x y =++， 二、 二元函数的极限 设()f x y ，在点()00x y ，的去心邻域内有定义；如果对任意0ε>，存在0δ>，只要 0δ<，就有()f x y A ε-<， 则记以()00lim x x y y f x y A →→=，或()() ()00lim x y x y f x y A →=，，， 称当()x y ，趋于()00x y ，时，()f x y ，的极限存在，极限值为A ，否则，称为极限不存在. 第5讲 多元函数及其极限与连续 本节主要内容： 第一节 多元函数的基本概念 1 领域 2 平面区域的概念 3 聚点与孤立点 4 n 维空间的概念 5 多元函数的概念 6 二元函数的极限 7 多元函数的连续性 8 二元初等函数 9 闭区域上连续函数的性质 讲解提纲： 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 在第一至第六章中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数. 一、平面点集,邻域,点集E 的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、连通集、区域、 闭区域、有界集、无界集等概念. 点集},|||{),(00δδ<=PP P P U 称为点0P 的邻域. 平面区域的概念：连通 的开集称为区域或开区域；开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 如果对于任意给定的0>δ，点P 的去心邻域),(0 δP U 内总有E 中的点，则称P 为E 的聚点；如果存在),(0δP U ，使得φδ=E P U ),(0 ，则称P 为E 的孤立点.. 二、n 维空间中的线性运算,距离, n 维空间的概念. n 元有序数组),,,(21n x x x 的全体称为n 维空间 三、多元函数的概念 设非空点集,n R D ?映射R D f →:称为定义在D 上的n 元函数，记作 ;),(),,,(21D P P f u x x x f u n ∈==或 称点集D 为函数的定义域，数集 }),(|{D P P f u u ∈=为函数的值域. 四、二元函数的极限 设二元函数),()(y x f P f =的定义域为D ，),(000y x P 为D 的聚点. 如果存 1 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 0x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==- 例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= 11022 = +=． 第十六章 多元函数的极限与连续 总练习题 1、设E ?R 2是有界闭集，d(E)为E 的直径. 证明：存在P 1,P 2∈E ， 使得ρ(P 1,P 2)=d(E). 证：由d(E)=E Q ,P sup ∈ρ(P ,Q)知，对εn =n 1, ? P n ,Q n ∈E ，使d(E)<ρ(P n ,Q n )+n 1. {P n },{Q n }均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列{Pn k },{Qn k }， 记Pn k →P 1, Qn k →P 2，k →∞. ∵ρ(Pn k ,Qn k )≤d(E)<ρ(Pn k ,Qn k )+k n 1 ， 令k →∞得ρ(P 1,P 2)≤d(E)≤ρ(P 1,P 2)，即d(E)=ρ(P 1,P 2). 又∵E 为闭集，∴P 1,P 2∈E ，得证! 2、设f(x,y)= x y 1 ,r=22y x +,k>1，D 1={(x,y)|k x ≤y ≤kx}, D 2={(x,y)|x>0,y>0}. 分别讨论i=1,2时极限i D )y ,x (r lim ∈+∞ →f(x,y)是否存在，为什么？ 解：1 D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)存在；2 D )y ,x (r lim ∈+∞ →f(x,y)不存在. 理由如下： (1)当(x,y)∈D 1时，k k 12 +|x|≤r=22y x +≤2k 1+|x|， ∴由r →+∞可得x →∞，又|f(x,y)|=|x y 1|≤2x k →0, x →∞， ∴1 D )y ,x (r lim ∈+∞→f(x,y)=1 D )y ,x (x lim ∈∞ →f(x,y)=0存在. (2)对y=x k , 当x>0时，y>0，∴(x,x k )∈D 2，且 当x →∞时，r=22y x +=22x k x + →+∞，但f(x,y)=x y 1=k 1， 第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞， 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有． 注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< ?ε?， 0δ?>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<． 第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) §1 平面点集与多元函数 ( 3 时 ) 一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}. 1. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >, }|),{(b ax y y x +≥等. ⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }. ⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 }cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤. ⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r . ⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域. 2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集 }||0 , ||0|),{(00δδ<-<<- 第6章多元微分学 教学目的： 1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5．掌握多元复合函数偏导数的求法。 6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7．了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。 9．会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1．二元函数的极限与连续性； 2．函数的偏导数和全微分； 3．方向导数与梯度的概念及其计算； 4．多元复合函数偏导数； 5．隐函数的偏导数 6．曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7．多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点： 1．二元函数的极限与连续性的概念； 2．全微分形式的不变性； 3．复合函数偏导数的求法； 4．隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 5．拉格郎日乘数法； 6．多元函数的最大值和最小值。 6.1 二元函数的极限与连续6．1．1 区域 1．平面点集 由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组),(y x 之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组 ),(y x 与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面. 二元的序实数组),(y x 的全体, 即{}R y x y x R R R ∈=?=,),(2就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质B 的点的集合, 称为平面点集, 记作： {} B y x y x E 具有性质),(),(=。 例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 {} 222),(r y x y x C <+= 如果我们以点P 表示),(y x ，以OP 表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 {} r OP P C <= . 2．邻域 设),(000y x P 是xoy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点),(000y x P 距离小于 δ的点),(y x P 的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为),(0δP U , 即 }|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U . 邻域的几何意义：),(0δP U 表示xoy 平面上以点),(000y x P 为中心、δ >0为半径的圆的内部的点),(y x P 的全体. 点0P 的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U ο ， 即 ：}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U ο . 注：如果不需要强调邻域的半径δ, 则用)(0P U 表示点0P 的某个邻域, 点0P 的去心邻域记作)(0P U ο . 3．点与点集之间的关系 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种: 第十三章 多元函数的极限和连续性 教学目的：本章在平面点集相关概念基础上建立多元函数及其极限和连续概念和理论， 为学习多元函数微积分学奠定基础。 教学重点难点：多元函数极限和连续概念和理论。 §1、平面点集 一 邻域、点列的极限 定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的平面点集，叫做0 M 的ε邻域，记为()0,O M ε。 定义2 设(),n n n M x y =，()000,M x y =。如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。就称点列{}n M 收敛，并且收敛于0M ，记为0lim n n M M →∞=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。 性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →?→→。 （2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。 二 开集、闭集、区域 设E 是一个平面点集。 1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ?，就称0M 是E 的内点。 2． 外点：设1M E ?，若存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使()1,O M E η?=Φ，就称1M 是E 的外点。 3． 边界点：设*M 是平面上一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε， 其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。E 的边界点全体叫做E 的边界。 4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。 5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻域()*,O M ε， 至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。 性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。 6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。 多元函数的极限与连续习题14?y)3x?2lim(。1.用极限定义证明:2x?1y?）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存0,0讨论下列函数在（2. 在性。y?x?y)f(x,；1）（y?x11nnsis?(x?y)if(x,y) (2) ； yx33yx??y)(x,f；(3) 2y?x1ni?ysf(x,y)。(4) x22yx22)x?ylim(；（1）3. 求极限0?x0?y22yx?lim；）（2 220?x11?x?y?0?y1sin)x?ylim(；3（）22y?x0x?0y?22)y?sin(xlim。）（4 22y?x0?x0?y ln(1?xy)??x?0?y)xf(,在其定义域上是连续的。试证明函数4. ?x?0?yx? 214)??2ylim(3x。1.用极限定义证明:2?x1?y x?2,y?1|x?2|?0,|y?1|?0，，不妨设因为5?|?4?|x?2|x?2|?|x?2?4|有，22|?12?2y22y?14|?|3x?x|3? ?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1| ?15[|x?2|?|y?1|] ???0，要使不等式 2??1|]|y?x?15[|?2|?|3x?2y?14|成立 ??,1?min{}，于是取30?????)x,y?(0???|y?|?1,||x?20???min{1,}：，， 30 2?)12,,y)?((x?|?14x?2y|3，即证。且，有 2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 x?y?,y)(fx；（1）yx?x?yx?y?1limllimlimim??1，， yxy?x?0??x0y?00xy?二重极限不存在。 x?yx?y1?0lilimm??。，或3?xx?yy0x?x0?xy?x?y2 11siny)sin)?(x?f(x,y；(2) yx110?|(x?y)sinsin|?|x|?|y| yxlim(|x|?|y|)?0limf(x,y)?0。可以证明所以x?x?00y?0y?0 111?xf(x,y)?(x?y)sinsin0y?极限不存在，，当时，?kxy 11nnsii(x?y)slimlim不存在，因此yx0x?0y?11nnsi?y)silimlim(x同理不存在。yx0??0xy 33yx?f(x,y)?；(3) 2yx?3x2limf(x,y)?lim?0， 2x?x0x?x?0x?y23xx??y? 0,0）时有当P(x, y)沿着趋于（3323)x?xx?(f(xlim,y)?lim?1，322x?x?x0?x0x?32x?y?x?limf(x,y)不存在；所以0?x0?y 0?,y)limlimf(xlimlimf(x,y)?0。，0x??0y?0x?0y 1sin?y(x,y)f(4) x1|y?ysin||0?|x0?y)f(x,lim，∴ 0?x0?y11nmysin?0limlilimlimysi不存在。，xx0?y0y?0x?x?0二元函数的极限与连续5页word文档
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