《数学分析》第十六章_多元函数的极限与连续

第十六章 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )

§1 平面点集与多元函数 ( 3 时 )

一. 平面点集: 平面点集的表示: ),(|),{(y x y x E =满足的条件}.

1. 常见平面点集:

⑴ 全平面和半平面: }0|),{(≥x y x , }0|),{(>x y x , }|),{(a x y x >,

}|),{(b ax y y x +≥等.

⑵ 矩形域: ],[],[d c b a ?, 1|||| ),{(≤+y x y x }.

⑶ 圆域: 开圆, 闭圆, 圆环. 圆的个部分. 极坐标表示, 特别是

}cos 2|),{(θθa r r ≤和}sin 2|),{(θθa r r ≤.

⑷ 角域: }|),{(βθαθ≤≤r .

⑸ 简单域:-X 型域和-Y 型域.

2. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.

空心邻域和实心邻域, 空心方邻域与集

}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-

二. 点集的基本概念:

1. 内点、外点和界点：集合E 的全体内点集表示为E int , 边界表示为E ?.集合的内

点E ∈, 外点E ?, 界点不定.

2. 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 .

例1 确定集} 4)2()1(1|

),( {22<++-≤=y x y x E 的内点、外点集、边界和聚点.

3. 开集和闭集: E int E =时称E 为开集,E 的聚点集E ?时称E 为闭集.存在非开非闭集.2R 和

空集φ为既开又闭集.

4. 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .

5. 有界集与无界集:

6. 点集的直径)(E d ：两点的距离) , (21P P ρ.

7. 三角不等式：

||21x x -（或||21y y -）|||| )()(2121221221y y x x y y x x -+-≤-+-≤.

三. 点列的极限:设) , (n n n y x P =, ) , (000y x P =.

定义 0lim P P n n =∞

→的定义 ( 用邻域语言 ) . 例2 ) , (n n y x → ) , (00y x ?0x x n →, 0y y n →, ) (∞→n .

例3 设0P 为点集E 的一个聚点. 则存在E 中的点列} {n P , 使0lim P P n n =∞

→. 四. 2R 中的完备性定理:

1. Cauchy 收敛准则:

先证{) , (n n y x }为Cauchy 列?} {n x 和} {n y 均为Cauchy 列.

2. 闭集套定理: [1]P 89.

3. 聚点原理: Weierstrass 聚点原理，列紧性.

4. 有限复盖定理:

五. 二元函数:

1. 二元函数的定义、记法、图象：

2. 定义域：

例4 求定义域：

ⅰ> ),(y x f 192222-+--=

y x y x ; ⅱ> ),(y x f )

1ln(ln 2+-=x y y . 3. 有界函数:

4. n 元函数:

§2 二元函数的极限 ( 3 时 )

一. 二元函数的极限:

1. 二重极限A P f D P P P =∈→)(lim 0的定义: 也可记为),(lim ),(),(00y x f y x y x →A =或

A y x f y y x x =→→),(lim 00

例1 用“δε-”定义验证极限 7)(lim 22)

1,2(),(=++→y xy x y x . [1]P 94 E1. 例2 用“δε-”定义验证极限 0lim 2

22

0=+→→y x xy y x . 例3 设??

???=≠+-=).0,0(),( , 0),0,0(),( ,),(222

2y x y x y x y x xy y x f

证明0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .(用极坐标变换 ) [1]P 94 E2.

Th 1 A P f D

P P P =∈→)(lim 0?对D 的每一个子集E ,只要点0P 是E 的聚点,就有A P f E P P P =∈→)(lim 0. 推论1 设D E ?1,0P 是1E 的聚点.若极限)(lim 10P f E P P P ∈→不存在, 则极限)(lim 0P f D

P P P ∈→也不存在. 推论2 设D E E ?21,,0P 是1E 和2E 的聚点.若存在极限1)(lim 10A P f E P P P =∈→,2)(lim 2

0A P f E P P P =∈→, 但21A A ≠,则极限)(lim 0P f D

P P P ∈→不存在. 推论3 极限)(lim 0P f D

P P P ∈→存在?对D 内任一点列} {n P ,0P P n →但0P P n ≠,数列)}({n P f 收敛 .

2 方向极限:

方向极限A y x f =+++→)sin , cos (lim 000

θρθρρ的定义. 通常为证明极限)(lim 0

P f P P →不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关; 或沿两条特殊的路径的极限存在而不相等.但应注意, 沿任何方向的极限存在且相等 ?/ 二重极限存在 ( 以下例5 ).

例4 设??

???=≠+=. )0,0(),( , 0),0,0(),( , ),(22y x y x y x xy y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. (考虑沿直线kx y =的方向极限). [1]P 95 E3.

例5 设???+∞<<-∞<<=.

,0,0,1),(2其余部分时，当x x y y x f 证明极限),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在. [1]P 95 E4.

二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.

例6 求下列极限:

ⅰ> )0,0(),(lim →y x 2

22y x y x +; ⅱ> )0,3(),(lim →y x y xy sin ; ⅲ> )0,0(),(lim →y x xy xy 11-+; ⅳ> )0,0(),(lim →y x 2222)1ln(y

x y x +++. 3． 极限),(lim

),(),(00y x f y x y x →+∞=的定义: 其他类型的非正常极限，→),(y x 无穷远点的情况.

例7 验证)0,0(),(lim →y x +∞=+22321y

x . Ex [1]P 99—100 1⑴—⑹，4，5.

二. 累次极限:

1. 累次极限的定义: 定义.

例8 设2

2),(y x xy y x f +=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . [1]P 97 E6. 例9 设222

2),(y

x y x y x f +-=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限 . 例10 设x

y y x y x f 1sin 1sin ),(+=, 求在点) 0 , 0 (的两个累次极限与二重极限.

2. 二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 )

⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数y

x y x f 1

sin ),(=在点) 0 , 0 (的情况 .

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. (例10)

⑷ 两个累次极限存在(甚至相等) ?/二重极限存在. ( 参阅例4和例8 ).

综上, 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系. Th 2 若全面极限),(lim ),(),(00y x f y x y x →和累次极限),(lim lim 0

0y x f y y x x →→(或另一次序)都存在,则必相等. ( 证 ) [1]P 98. 推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.

注: 推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.

推论2 两个累次极限存在但不相等时, 全面极限不存在.

注: 两个累次极限中一个存在,另一个不存在?/全面极限不存在. 参阅⑵的例.

§3 二元函数的连续性 (2 时 )

一． 二元函数的连续概念：由一元函数连续概念引入.

1. 连续的定义:

定义 用邻域语言定义连续.

注: 函数),(y x f 有定义的孤立点必为连续点 .

例1 设???????=++≠++=. 0 , 1, 0 , ),(222

2222y x m m y x y x xy y x f

证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (沿方向mx y =连续 .

例1 设?

??+∞<<∞-<<=. , 0, ,0 , 1),(2其他x x y y x f ( [1]P 101) 证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (不全面连续但在点) 0 , 0 (f 对x 和y 分别连续.

2. 函数的增量: 全增量、偏增量.用增量定义连续性.

3. 函数在区域上的连续性.

4. 连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性. (仅证复合函数连续性[1]P 102).

二. 一致连续性: 定义.

三.有界闭区域上连续函数的性质:

1. 有界性与最值性. ( 证 )

2. 一致连续性. ( 证 )

3. 介值性与零点定理. ( 证 )

Ex [1]P 104—105 1 ⑴—⑸，2，4，5.