2019-2020学年重庆市南开中学八年级（下）期
中数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．
1．要使分式的值为0，则x的值为（）
A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2
2．下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形
D．三个角是直角的四边形是矩形
3．运用分式的性质，下列计算正确的是（）
A． B．C． D．
4．一个凸五边形的内角和为（）
A．360°B．540°C．720°D．900°
5．根据下列表格对应值，判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的取值范围为（）
x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c﹣0.590.84 2.29 3.76
A．﹣0.59＜x＜0.84 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 6．用配方法解方程x2+6x﹣15=0时，原方程应变形为（）
A．（x+3）2=24 B．（x﹣3）2=6 C．（x+3）2=6 D．（x﹣3）2=24
7．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为4000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少多少元？则根据题意可列代数式为（）
A．B．
C．D．
8．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=155°，则∠A的度数为（）
A．155°B．130°C．125°D．110°
9．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB=2，△DOE的面积为，则AE的长为（）
A．B．2 C．1.5 D．
11．平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，如图①由2个小菱形组成，图②由8个小菱形组成，图③由18个小菱形组成，…，照图中规律，则第⑦个图案中，小菱形的个数为（）
A．76 B．84 C．98 D．102
12．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH=DF；
②∠AEF=45°；
③S
四边形EFHG =S
△DEF
+S
△AGH
，
其中正确的结论有（）
A．①B．①②C．①③D．①②③
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上．
13．要使分式有意义，则x的取值范围为．
14．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．
16．关于x的分式方程有增根，则m= ．
17．已知等腰△ABC的一边长c=3，另两边长a、b恰是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0的两个根，求△ABC的周长．
18．如图，E为正方形ABCD外一点，AE=DE=3，∠AED=45°，则BE的长为．
三、解答题：（本题共3小题，19题10分，20题10分，21题10分，共30分）解答
时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．化简：
（1）
（2）．
20．解方程：
（1）
（2）2x2﹣4x+1=0．
21．先化简，再求值：÷（﹣m+1），其中m是方程x2+3x﹣3=0的根．
四、解答题：（本题共5小题，22题8分，23题10分，24题8分，25题10分，26题12分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，且满足BF=DE，连接AE、CE、AF、CF．求证：四边形AECF为平行四边形．
23．今年3月20日，“2016重庆国际马拉松赛”在南滨路如期举行，马拉松爱好者张老师作为业余组选手也参与了此次马拉松全程比赛．专业组选手上午8点准时出发，30分钟后张老师出发；在冠军选手到达终点一个半小时后，张老师抵达终点．已知马拉松全程约为42千米，张老师的平均速度是冠军选手的．
（1）求冠军选手和张老师的平均速度分别为多少？
（2）若明年张老师参加马拉松比赛的起跑时间不变，他计划不超过中午十一点抵达终点，则张老师今年必须加强跑步锻炼，使明年参加比赛时的平均速度至少比今年的平均速度提高百分之多少才能完成计划？
24．观察下列方程及其解的特征：
①x+的解为x
1=2，x
2
=；
②x+的解为x
1=3，x
2
=；
③x+的解为x
1=4，x
2
=；
…
解答下列问题：
（1）根据解的特征，猜测方程x+的解为，并写出解答过程；
（2）直接写出关于x的分式方程2x+的解为．
25．菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长．
（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．
26．如图①，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．
（1）直接填空：B（，），F（，）；
（2）如图②，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C 与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）如图③，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年重庆市南开中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．
1．要使分式的值为0，则x的值为（）
A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．x=﹣2
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件可得x+1=0，且x﹣2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+1=0，且x﹣2≠0，
解得：x=﹣1，
故选：C．
2．下列说法正确的是（）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．三条边相等的四边形是菱形
D．三个角是直角的四边形是矩形
【考点】矩形的判定；菱形的判定．
【分析】由矩形和菱形的判定方法得出选项A、B、C错误，选项D正确．
【解答】解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项A错误；
B、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项B错误；
C、∵四条边相等的四边形是菱形，
∴选项C错误；
D、∵三个角是直角的四边形是矩形，
∴选项D正确；
故选：D．
3．运用分式的性质，下列计算正确的是（）
A． B．C． D．
【考点】分式的基本性质．
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：A、分子分母都除以x2，故A错误；
B、分子分母都除以（x+y），故B错误；
C、分子分母都减x，分式的值发生变化，故C错误；
D、分子分母都除以（x﹣y），故D正确；
故选：D．
4．一个凸五边形的内角和为（）
A．360°B．540°C．720°D．900°
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的内角和：（n﹣2）?180°进行计算即可．
【解答】解：根据正多边形内角和公式：180°×（5﹣2）=540°，
故选B．
5．根据下列表格对应值，判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的取值范围为（）
x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c﹣0.590.84 2.29 3.76
A．﹣0.59＜x＜0.84 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.59和0.84最接近0，再看对应的x的值即可得出答案．
【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．
则ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．
故选B．
6．用配方法解方程x2+6x﹣15=0时，原方程应变形为（）
A．（x+3）2=24 B．（x﹣3）2=6 C．（x+3）2=6 D．（x﹣3）2=24
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】把常数项﹣15移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．【解答】解：移项得，x2+6x=15，
配方得，x2+6x+9=15+9，
即（x+3）2=24，
故选A．
7．临近春节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为4000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到x名．如果包车租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来少多少元？则根据题意可列代数式为（）A．B．
C．D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；分式的加减法．
【分析】关键描述语是：原有的员工每人分担的车费﹣实际每人分担的车费，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：
﹣．
故选：D．
8．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=155°，则∠A的度数为（）
A．155°B．130°C．125°D．110°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB=∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出
∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°﹣∠BED=25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=155°，
∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=180°﹣∠BED=25°，
∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=130°．
故选：B．
9．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】根的判别式．
【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0，然后解两个不等式得到a的取值范围，继而可得整数a的最大值．
【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0，解得a≤，∴a的取值范围是a≤且a≠1．
则整数a的最大值为0，
故选：A．
10．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB=2，△DOE的面积为，则AE的长为（）
A．B．2 C．1.5 D．
【考点】矩形的性质．
【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S
=S
△BOE
△DOE
=，由三角形的面积则可求得DE 的长，得出BE 的长，然后由勾股定理求得答案．
【解答】解：连接BE ，如图所示：
由题意可得，OE 为对角线BD 的垂直平分线， ∴BE=DE ，S △BOE =S △DOE =， ∴S △BDE =2S △BOE =． ∴DE?AB=， 又∵AB=2， ∴DE=， ∴BE=
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：AE==
=1.5．
故选：C ．
11．平移小菱形可以得到美丽的“中国结”图案，如图①由2个小菱形组成，图②由8个小菱形组成，图③由18个小菱形组成，…，照图中规律，则第⑦个图案中，小菱形的个数为（ ）
A ．76
B ．84
C ．98
D ．102
【考点】利用平移设计图案；规律型：图形的变化类．
【分析】细观察图形发现第一个图形有2×12=2个小菱形；第二个图形有2×22=8个小
菱形；第三个图形有2×32=18个小菱形；由此规律得到通项公式，然后代入n=7即可求得答案．
【解答】解：解：第一个图形有2×12=2个小菱形；
第二个图形有2×22=8个小菱形；
第三个图形有2×32=18个小菱形；
…
第n个图形有2n2个小菱形；
第7个图形有2×72=98个小菱形；
故选：C．
12．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：
①AH=DF；
②∠AEF=45°；
③S
四边形EFHG =S
△DEF
+S
△AGH
，
其中正确的结论有（）
A．①B．①②C．①③D．①②③
【考点】四边形综合题．
【分析】先判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠
AEF=45°，得出②正确；连接HE，判断出S
△EFH ≠S
△EFD
得出③错误．
【解答】解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt △ABH 中，∠AHB=90°﹣∠ABH=67.5°， ∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°， 在△ADE 和△CDE 中，
∴△ADE ≌△CDE ， ∴∠DAE=∠DCE=22.5°， ∴∠ABH=∠DCF ， 在Rt △ABH 和Rt △DCF 中， ∴Rt △ABH ≌Rt △DCF ，
∴AH=DF ，∠CFD=∠AHB=67.5°， ∵∠CFD=∠EAF+∠AEF ， ∴67.5°=22.5°+∠AEF ， ∴∠AEF=45°，故①②正确； 如图，连接HE ，
∵BH 是AE 垂直平分线， ∴AG=EG ， ∴S △AGH =S △HEG ， ∵AH=HE ，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°， ∴∠DHE=45°， ∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°， ∴EH=ED ，
∴△DEH 是等腰直角三角形，
∵EF 不垂直DH ， ∴FH ≠FD ， ∴S △EFH ≠S △EFD ，
∴S 四边形EFHG =S △HEG +S △EFH =S △AHG +S △EFH ≠S △DEF +S △AGH ，故③错误， ∴正确的是①②， 故选B ．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卷中对应的横线上． 13．要使分式
有意义，则x 的取值范围为 x ≠﹣3 ．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，x+3≠0， 解得x ≠﹣3． 故答案为：x ≠﹣3．
14．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016=0有一根为x=﹣1，则a+b= 2016 ． 【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b 的值． 【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2016=0得：a+b ﹣2016=0， 即a+b=2016． 故答案是：2016．
15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则EF= 2.5 cm ．
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据勾股定理求出AC ，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC ，BO=OD ，求出
BD、OD，根据三角形中位线求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A BC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=2.5cm，
故答案为：2.5．
16．关于x的分式方程有增根，则m= 3 ．
【考点】分式方程的增根．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母得：2x﹣4+1﹣m=﹣x，
由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入整式方程得：1﹣m=﹣2，
解得：m=3，
故答案为：3
17．已知等腰△ABC的一边长c=3，另两边长a、b恰是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）=0的两个根，求△ABC的周长．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况：①a=b，c=3；②b=c讨论解答即可．【解答】解：（1）若c为底边，则a=b，故原方程有两个相等的实数根，
则[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣）=0，
解答：k=，
当k=时，原方程为x2﹣4x+4=0
则x
1=x
2
=2，即a=b=2，
∴△ABC的周长为7．
（2）若c=3为腰，可设a为底，则b=c=3
∵b为原方程的根，
所以将b=3代入原方程得32﹣3（2k+1）+4（k﹣）=0，
解得：k=2，
当k=2时，原方程为x2﹣5x+6=0，
解得：x=2或3，
即a=2，b=3，
∴△ABC的周长为8．
18．如图，E为正方形ABCD外一点，AE=DE=3，∠AED=45°，则BE的长为3．
【考点】正方形的性质．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分线交EF于点O，则点O 是△ADE的外心，DG=a，则OE=OD=a，FG=2a，BF=a，在Rt△DEG中，利用勾股定理求出a2，再在Rt△EFB中，利用勾股定理求出BE即可．
【解答】解：过点E作EF⊥BC于F，交AD于G，作AE的垂直平分线交EF于点O，则点O是△ADE的外心，
∴∠AOD=2∠DEA=90°，OA=OD=OE，
∴OG=DG=AG，设DG=a，则OE=OD=a，FG=2a，BF=a，
在Rt△DEG中，DE2=EG2+DG2，
∴9=（a+a）2+a2，解得a2=，
∴BE====3．
故答案为3．
三、解答题：（本题共3小题，19题10分，20题10分，21题10分，共30分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
19．化简：
（1）
（2）．
【考点】分式的混合运算．
【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式===x+y；
（2）原式=?=．
20．解方程：
（1）
（2）2x2﹣4x+1=0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解分式方程．
【分析】（1）先去分母，再解一元一次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）去分母得，x（x+2）﹣8=x2﹣4，
整理得，2x﹣8=﹣4，
解得x=2，
检验把x=2代入x2﹣4=0，x=2不是原方程的解，
∴原方程无解；
（2）∵a=2，b=﹣4，c=1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×1=16﹣8=8＞0，∴原方程有两个不等的实数根，
∴x===，
x 1=，x
2
=．
21．先化简，再求值：÷（﹣m+1），其中m是方程x2+3x﹣3=0的根．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的式的减法，再算除法，根据m是方程x2+3x﹣3=0的根得出m2+3m=3，代入原式进行计算即可．
【解答】解：根据题意知，m2+3m﹣3=0，
∴m2+3m=3，
原式=÷（﹣）
=÷
=×
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣1．
四、解答题：（本题共5小题，22题8分，23题10分，24题8分，25题10分，26题12分，共48分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，且满足BF=DE，连接AE、CE、AF、CF．求证：四边形AECF为平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】连接AC交BD于O，因为?ABCD，所以OA=OC，OB=OD，再得出BE=DF，所以OE=OF，根据平行四边形的判定可知：四边形AECF为平行四边形．
【解答】证明：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BF=DE，
∴BF﹣EF=DE﹣EF，
∴BE=DF，
∴OA=OC，OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
23．今年3月20日，“2016重庆国际马拉松赛”在南滨路如期举行，马拉松爱好者张老师作为业余组选手也参与了此次马拉松全程比赛．专业组选手上午8点准时出发，30分钟后张老师出发；在冠军选手到达终点一个半小时后，张老师抵达终点．已知马拉松全程约为42千米，张老师的平均速度是冠军选手的．
（1）求冠军选手和张老师的平均速度分别为多少？
（2）若明年张老师参加马拉松比赛的起跑时间不变，他计划不超过中午十一点抵达终点，则张老师今年必须加强跑步锻炼，使明年参加比赛时的平均速度至少比今年的平均速度提高百分之多少才能完成计划？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【解答】解：（1）设冠军选手的速度为x千米/时，
，
解得，x=21，
经检验x=21是原分式方程的解，
∴，
即冠军选手的速度是21千米/时，张老师的平均速度是14千米/时；
（2）设张老师明年参加比赛时的平均速度比今年的平均速度提高x%，
，
解得，x≥25，
即张老师明年参加比赛时的平均速度至少比今年的平均速度提高25%，才能完成计划．24．观察下列方程及其解的特征：
①x+的解为x
1=2，x
2
=；
②x+的解为x
1=3，x
2
=；
③x+的解为x
1=4，x
2
=；
…
解答下列问题：
（1）根据解的特征，猜测方程x+的解为x
1=﹣2，x
2
=﹣，并写出解答过程；
（2）直接写出关于x的分式方程2x+的解为x
1=，x
2
=+．．
【考点】解分式方程．
【分析】（1）根据给出方程及解的特点，得到规律；首先把给出方程转化成类似方程，然后写出其解；
（2）把给出的方程化简，利用整体的思想，转化为类似方程的形式并计算它的解．
【解答】解：（1）方程x+=﹣的解为x
1=﹣2，x
2
=﹣．
因为方程x+=﹣可方程变形为x+=﹣2﹣，
根据此类方程解的特点，其解为x
1=﹣2，x
2
=﹣；
故答案为：x
1=﹣2，x
2
=﹣；