两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案
一、选择题： 1、若)tan(,2
1
tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<=则的值是
A ．2
B ．－2
C ．211
D ．-2
11
2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是
A ．
1
6
B ．
15
C ．
29
D ．
310
3、如果的值是那么)4
tan(,41)4tan(,52)tan(π
απββα+=-=+
A ．
1318
B ．322
C ．1322
D ．-1318
4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?
?
?232则等于
A ．-
1
2
B ．-
32
C ．
12
D ．
32
5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=
；
7、若αα23tan ，则=所在象限是
；
8、已知=+-=??
?
??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ；
9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ；
10、化简3232sin cos x x +
=
。
三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。
，求已知)tan 1)(tan 1(4
3βαπ
βα--=
+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23
5
44θθθ=
+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 2
2
βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x
·cos()αβ+的值。
两角和与差的三角函数及倍角公式答案
一、 1、B
2、D 提示: tan x = 3, 所求1
2
2sin x , 用万能公式。
3、B 提示: ()απαββπ+=+--?
? ???44
4、A 提示: 把x =
π
3
代入
5、B
提示: ∵cos(A + B ) > 0
∴角C 为钝角。
二、 6、-2
2
7、分别用万能公式算出sin cos 22αα及。第二
8、-
12
9、－1
10、2326
sin()x +
π
三、 11、－4
12、2
13、
1725
14、-
35
资源信息表
5.4 (4)两角和与差公式的应用 上海市杨浦高级中学曹丽琼 一、教学内容分析 通过之前的学习，学生已初步掌握两角和与差的正弦、余弦与正切公式.本节课将对这组公式作进一步的应用，从中体会公式的作用. 辅助角公式的引入是本节课的重点，可以由具体实例出发，使学生经历由具体到一般的抽象思维过程，使辅助角公式的形成自然、易理解. 二、教学目标设计 （1）应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式，了解公式的形式以及辅助角的意义.能较为熟练的使用辅助角公式，从中体会公式的作用. （2）在推导的过程中，进一步提高对比、分析和知识运用的能力，逐步形成从具体到一般的抽象思维以及化归的数学思想. 三、教学重点及难点 两角和与差公式的应用； 辅助角公式的形成、理解.
四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、讲授新课 1、复习引入，设置问题 复习：两角和与差的正弦、余弦公式. βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 快速练习：利用两角和与差公式展开)3 sin(π α+. 学生完成.（2 3 cos 21 sin )3 sin(? +?=+ααπ α） 若要将表达式2 3 cos 21sin ? +?αα化简为只含一个三角比的形式，则表达式可以是)3 sin(23cos 2 1sin πααα+=? +? 问题1、表达式还可以是什么？为什么？ 学生回答（)37sin(23cos 2 1 sin πααα+=? +?、)6 cos(πα-等）
两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec
12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。
两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型，即给值求值，给值求角. (1)正确地理解、选用公式，把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系，一般可以适当变换已知代数式，从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能：探究已知与未知的内在联系，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法：通过两角和与差的三角函数公式的运用，会进行简单的求值、化简，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误； (2)公式不能灵活应用和变形应用； (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解； 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计
故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式，加深对知识的理解. 创设情境问题情境： 通过对热点考向的分析， 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用，以及整体代换思想的融 合，，提高学生的观察分析能 力，培养学生的应用意识。
典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题，意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析； 整体代换思想。 课堂梳理，可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质，巩固深化这节课的内 容.
两角和与差公式的应用 【导航练习】 1．已知A 、B 均锐角，且满足tan A ·tan B=tan A ＋tan B ＋1 ，则cos （A ＋B ）= . 2. sin x =2 2是tan x =1成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范围是 （ ） A ．（0，π2 ） B ．（π4 ,3π4 ） C ．（π2 ,3π4 ）∪（7π4 ,2π） D ．（3π4 ,π）∪（3π2 ,7π4 ） 4．已知α＋β=π4 ＋2k π （k ∈Z ），求证：（1＋tan α）（1＋tan β）= 2 5．已知cos x ＋cos y = 12 ,sin x －sin y = 14 ,求cos （x ＋y ）的值. 【巩固练习】 1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是 （ ） A ．43 B ．34 C ．53 D ．12 2．已知tan x = － 2 ,π 3．在△ABC 中，sin A = 35 ,cos B = 513 ,求sin C 的值。 4．求cos55°cos65°＋sin 25°的值。 5．求 42sin 18cos 318sin 的值。 6. 化简：sin （x ＋17°）cos （x －28°）＋cos （x ＋17°）sin （28°－x ） 7．求证：在△ABC 中，sin A cos B cos C ＋sin B cos C cos A ＋sin C cos B cos A = sin A sin B sin C 8. 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋ 3 tan B tan C = 3 ,又 3 tan A ＋ 3 tan B ＋1 = tan A tan B ,试判断 △ABC 的形状。 9．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos （α－β）= 1213 ,sin （α＋β）= － 35 ，求sin2α的值。 三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα 两角和与差及倍角公式（一） 【考点导读】 1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换； 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系； 4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”． 【基础练习】 1.sin163sin 223sin 253sin313+= ___________． 2. 化简2cos 6sin x x -=_____________ ． 3. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝___________ ． 4.化简： sin sin 21cos cos 2αααα +=++___________ ． 【范例解析】 例 .化简：（1） 4221 2cos 2cos 22tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+； （2） (1sin cos )(sin cos ) 22(0)22cos θθ θθθπθ ++-<<+． （1）分析一：降次，切化弦． 解法一 ： 原 式 = 2221 (2cos 1)2 2sin() 4cos () 4cos()4 x x x x π ππ----22 (2cos 1)4sin()cos() 44 x x x ππ -= --2cos 22sin(2)2 x x π = -1 cos 22 x =． 分析二：变“复角”为“单角”． 解法二 ：原式 221 (2cos 1)21tan 222(sin cos ) 1tan 22 x x x x x -= -?++2 2c o s 2c o s s 2(s i c o s s x x x x x x x =- ?++ 1c o s 2 x =． （ 2 ） 原 式 = 22 (2sin cos 2cos )(sin cos )2 22224cos 2 θ θ θθθθ+-22cos (sin cos )cos cos 2222cos cos 22θθθθ θθθ--?== 12 3＋cos2x 22cos()3x π + tan α 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换； ? 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力； ? 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。 一．课前自学 1．问题提出： 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个 ， ， 的情况又如何? 设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导： 如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ； 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 则 的坐标（_________________） , 的坐标（_________________） _________________________________OA OB ?= 向量夹角 ， 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==（ ） （ ） =______________________________________ ____________________________________________(提示： OA 与OB 的模为？) =_________________________________ 提醒学生思考：如果角α β、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。 练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．C．D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．B．C．D． 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（） A．B．﹣C．D．﹣ 7．（4分）（2008?海南）=（） A．B．C．2D． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） A．B．﹣C．﹣D． 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（） A．B．C．D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） 11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（） A．B．C．D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简： （1）； （2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）； 三角函数的两角和差及倍角公式练习题 一、选择题： 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ．310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A ．1318 B ．322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+= ； 7、若αα23tan ，则=所在象限是 ； 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ，则 ； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · ； 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题： 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 第4课时两角和与差的正切公式 【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导岀两角和与差的正切公式 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明 【教学重点与难点】 重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用 难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点.【教学过程】 导入 我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75 . 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75的值. 问题引入 两角和、差的正弦公式： sin( ) ______________________ ，sin( ) _____________________ 两角和、差的余弦公式： cos( ) __________________ ，cos( ) ___________________ 构建新知 推导过程 分子分母同时除以cos cos ，得 两角和、差的正切公式： tan tan tan() 1 tan tan 用代替，就可得到 tan tan tan() 1 tan tan 例题分析 例1 求值 (1) tan 750 ； ( 2) tan 17 0 1 tan 17 tan 43 0 0tan 43° 1 tan 75 0 1 tan 75 0 (1) tan 750 tan (45 30 ) (2) tan17 0 (3) tan 43 0 tan17 0 tan 430 tan (17 43 tan 75 0 1 tan 75 0 tan 45 tan 75 1 tan 45 tan 75 tan (45 75 ) 例2 已知tan( ) -,tan 3 ，求 5 7 解 tan tan ( ) 随堂训练 1 ?填空： 0 1 3 (1) tan 105 1 「 5 tan tan 12 12 tan tan 12 12 1 tan 15° 1 tan 150 tan 30 (4) tan150 1 tan15 0 1门 tan 15 1 1 tan15 2.已知tan 3, tan( )3 , 求tan 2 5 特殊角的三角函数值 (3) 3 解 tan tan ( ) 两角和、差及倍角公式（一） 【考纲解读】 1. 掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系； 2. 能运用上述公式进行简单的恒等变换. 【基础回顾】 1. 和、差角公式： sin()______________________αβ±=； cos()______________________αβ±=； tan()______________________αβ±=. 2. 二倍角公式： sin 2______________________α=； cos 2_____________________________________________α===； tan 2______________________α=. 3. 半角公式： =αsin _________________； _________________________________________________cos ===α； ________________tan =α. 4.降幂公式： 2sin _________________α=； 2cos _________________α=. 5.辅助角公式： sin cos ______________a x b x +=, (其中sin ______cos ______??==，). 【基础练习】 1. 已知),,2( ,53cos ππαα∈-= 的值求)4cos(απ-。 2. 已知)3 cos(,1715sin πθθθ-= 是第二象限角，求 3. 利用两角和差公式求下列各式的值 （1）?15sin (2)?75cos (3) ?15tan 4. 的值求已知)3tan(,3tan παα+ = 5.求下列各式的值： （1）??+??18sin 72cos 18cos 72sin （2）??+??12sin 72sin 12cos 72cos 6.化归：))tan()(os A )sin(A (?ω?ω?ω+++x x c x 、 、即化归成 （1） =-x x sin 23cos 21 （2）=+x x cos sin 3 （3）=-)sin (cos 2x x （4）=-x x sin 6cos 2 【高考例题】 4. （04重庆）sin163sin 223sin 253sin313_____??+??=. 5. （05北京）在ABC ?中，已知2sin cos sin A B C =，那么ABC ?是___三角形. 三角函数和差与二倍角公式试题 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三角函数和差与二倍角单元检测题 一．选择题 1. 已知x x 2sin ,31 )4sin( 则=-π 的值为 A.97 B.95 C.94 D.9 2 2. =+οοοο55cos 10cos 35cos 80cos A ． 22 B ．2 2- C ． 2 1 D ．21- 3. 已知βαβαβαcos cos ,3 1 )cos()cos(则=-++的值为 A.21 B.31 C.41 D.61 4. 已知3(,),sin ,25 παπα∈=则tan()4π α+等于 A.17 B.7 C.1 7 - D.7- 5. (文)0000 sin15cos75cos15sin105+等于 A.0 B. 1 2 C.32 D.1 6. 设α是第四象限角，53sin -=α，则=+)4 cos(2π α A.57 B.51 C .57- D.5 1 - 7. 函数()sin cos f x x x =最小值是 A.-1 B. 12 - C. 1 2 D.1 8. 已知4 sin 5 θ= ，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= A.2425- B.1225- C.45 - D.2425 9. 的值是0 15cot 15tan + 3 3 4. 4. 32. 2.D C B A + 10. 已知3 1)4sin(=- π α，则)4cos(απ +的值等于 A. 232 B.－23 2 C.31 D.－31 一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+ []sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值. 教育学科教师辅导讲义 教学内容 一、 上次作业检查与讲解； 二、 学习要求及方法的培养： 三、 知识点分析、讲解与训练: Mite 一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin (° ± 0) = sin QCOS 0 土 cos osin 0 —令空?》sin 2a = 2 sin a cos a (o±0) = cosfzcos^ + sinc^sin p — cos2a = cos?(7-sin 2 a -2cos 2 a-\ = l-2sin 2 a 7 1+COS 2Q n cos 「a= ---------- 2 .9 l — cos2o sirr a= ---------- 2 r 2 tan a tan 2a = ------- - l-tarr a 二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有： (1) 巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换.如 G = (Q + 0)-0 = (Q -0) + 0, 2Q = (G + 0) + (Q -0) , 2a = (0 + a)-(0-a), 心=2?呼,呼十号俘") ⑵三角函数名互化(切割化弦)， ⑶公式变形使用(tana 土tan0 = tan (仅±0)(1^tanotan")。 1 I y zy I / cos 等), (4)三角函数次数的降升(降幕公式：cos2 6Z = —-—, sin%= —与升幕公式： 2 2 1+ cos 2a = 2 cos2a , 1-cos 2a = 2 sin2a)。 １ / 2 第四~五课时 三角函数的和角公式、差角公式 [教学目标] 1、通过两角差的正弦公式的推导和证明，继而导出三角函数的和角公式、差角公 式，学生进一步理解与运用函数的思想，进一步渗透基本量的数学思想方法（基本量思想就是一种函数的思想）。 2、使学生掌握三角函数的和角公式、差角公式，并会应用这组公式解决一些有关三 角函数的求值问题。 3、在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及其数学表 达方式。 [教学重点与难点] 本节课的重点是使学生掌握三角函数的和角公式、差角公式。 难点是应用三角函数的和角公式、差角公式求三角函数值。 [教学过程设计] 一、三角函数的和角公式的推导与证明。 1、推导两角和的正弦公式。（参阅课本第75~76页）。 2、给出两角和的余弦公式。 3、利用同角三角函数恒等式，对正切函数可得两角和的正切公式。 (板书) 三角函数的和角公式 sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β cos(α+β)= cos αcos β-sin αsin β tan(α+β)=β αβαtan tan -1tan tan + 二、三角函数的差角公式的推导。 直接用和角公式结合负角公式，导出三角函数的差角公式：（参阅课本第76页） (板书) 三角函数的差角公式 sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β tan(α-β)=β αβαtan tan 1tan tan +- 三、和角、差角三角函数公式在计算三角函数式值中的应用。 1、求三角函数的值 例4：不使用计算器，求下列各式的值：（略——参阅课本第76页） 练习4：课本第76页，课内练习4） 2、已知角α、β的（部分）三角函数值，求和角、差角的三角函数值。 )tan(),cos(),sin(),23,(,43cos ),,2(,32sin 5βαβαβαππββππαα+++∈-=∈= 求已知例： （解略——参阅课本第78页） 练习5：课本第79页，课内练习5~1、2、3 三角函数的两角和差及倍角公式练 习题 欧阳学文 一、选择题： 1、若)tan(,2 1 tan ),2 (53sin βαβπαπα-= <<=则的值是 A ．2 B ．－2 C ．211 D ．-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A ．16 B ．15 C ．29 D ． 3 10 3、如果的值是那么)4 tan(,4 1)4 tan(,5 2)tan(παπββα+=-=+ A ．1318 B ． 322 C ．1322 D ．-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ? ? ?232则等于 A ．-12 B ．-32 C ．12 D ． 32 5、在?ABC A B A B 中，··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 二、填空题： 6、角αβαβ终边过点，角终边过点，则(,)(,)sin()4371--+=； 7、若αα23tan ，则=所在象限是； 8、已知=+-=?? ? ??+θθθθθπ sin 2cos cos sin 234cot ，则； 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan ·； 10、化简3232sin cos x x + =。 三、解答题： 11、求的值。 ·??+?100csc 240tan 100sec 12、的值。，求已知)tan 1)(tan 1(4 3βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 235 44θθθ=+ 14、已知 )sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根，求是方程x x ·cos()αβ+的值。 答案： 一、 1、B 2、D 提示: tanx = 3, 所求12 2sin x , 用万能公式。 3、B 提示: ()απ αββπ+ =+--? ? ?? ?44 4、A 提示: 把x =π3 代入 《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。 三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课 三角函数两角和与差, 以及万能公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 向量法： 取直角坐标系，作单位圆 取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A 取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A（cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB =|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立 在公式Cα+β中，用-β替代β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立. 1、同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系: sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) ⒉两角与与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα ·tanβ) tan(α－β)＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ) 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦与正切公式(升幂缩角公式) sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦与正切公式(降幂扩角公式) 1－cosα sin^2(α/2)＝————— 2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))、、、、、、*, (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦与正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α) 三倍角公式推导 附推导: tan3α＝sin3α/cos3α ＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α),得: tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导
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