向量法：
取直角坐标系，作单位圆
取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A
取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B
OA与OB的夹角即为A-B
A（cosA,sinA),B(cosB,sinB)
OA=(cosA,sinA)
OB=(cosB,sinB)
OA*OB
=|OA||OB|cos(A-B)
=cosAcosB+sinAsinB
|OA|=|OB|=1
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4.
则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得
∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,
∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2
∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2
展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立
在公式Cα+β中，用-β替代β.
cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.
普高教材<<数学4>>(必修)125___126页有两角差的余弦公式推导.
照抄给你.
如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A, B,则
向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosβ,sinβ),
由向量数量积的坐标表示,有
向量OA*向量OB=(cosα,sinα)*(cosβ,sinβ)
=cosαcosβ+sinαsinβ
(1)如果α-β∈[0,π],那公向量OA与向量OB的夹角就是α-β,由向量数量积的定义,有
向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cos(α-β)=cos(α-β)
于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
(2)当α-β不∈[0,π],设向量OA与向量OB的夹角为θ,则
向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cosθ=cosθ=
cosαcosβ+sinαsinβ
另一方面.由图可知α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以
cos(α-β)=cosθ
也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
所以,对于任意角α,β有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
由两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,得
两角和的余弦cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)
=cosαcosβ-sinαsinβ,得
两角和的余弦公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,
两角差的正弦公式推导,则可由余弦公式及诱导公式很快得出; sin(α-β)=cos{π/2-(α-β)]=
cos{(π/2-α)+β)]=cos(π/2-α)cosβ-sin(π/2-α)sinβ
=sinαcosβ-cosαsinβ
两角和的正弦公式推导
sin(α+β)=sin[α-(-β)]=sinαcos(-β)-cosαsi n(-β)
sinαcosβ+cosαsinβ
作单位圆，做向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),俩向量夹角
cos(a-b)=(cosacosb+sibasinb)/|a|*|b|=cosacosb+sibasinb.
由梯形面积，得1/2 *1*1*sin(a+b)+1/2 *sina*cosa+1/2 sinbcosb=1/2 *(sina+sinb)*(cosa+cosb),sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,
将b换成-b,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
万能公式的推导：
三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]
【立方计算公式，不是体积计算公式】 完全立方和公式 (a+b)^3 =(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2)+ b^3 完全立方差公式 (a-b)^3 = (a-b)(a-b)(a-b)= (a^2-2ab+b^2)(a-b) = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2)-b^3 立方和公式： a^3+b^3 = (a+b) (a^2-ab+b^2） 立方差公式： a^3-b^3=(a-b) (a^2+ab+b^2) 3项立方和公式： a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差
两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型，即给值求值，给值求角. (1)正确地理解、选用公式，把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系，一般可以适当变换已知代数式，从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能：探究已知与未知的内在联系，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法：通过两角和与差的三角函数公式的运用，会进行简单的求值、化简，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误； (2)公式不能灵活应用和变形应用； (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解； 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计
故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式，加深对知识的理解. 创设情境问题情境： 通过对热点考向的分析， 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用，以及整体代换思想的融 合，，提高学生的观察分析能 力，培养学生的应用意识。
典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题，意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析； 整体代换思想。 课堂梳理，可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质，巩固深化这节课的内 容.
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
反三角函数公式 arc sin x + arc sin y = arc sin x – arc sin y = arc cos x + arc cos y = arc cos x – arc cos y = arc tan x + arc tan y = arc tan x – arc tan y = 2 arc sin x = 2 arc cos x = 2 arc tanx = cos (n arc cos x) = .
反三角函数图像与特征 反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)： ，该点切线斜率为－1 反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率 为1 拐点： ，该点切线斜率为－1 渐近线： 渐近线： .
名称 反正割曲线反余割曲线 方程 图像 顶点 渐近线 反三角函数的定义域与主值范围 函数主值记号定义域主值范围 反正弦若，则 反余弦若，则 反正切若，则 反余切若，则 反正割若，则 反余割若，则 式中n为任意整数. .
反三角函数的相互关系 arc sin x = arc cos x = arc tan x = arc cot x = sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
三角函数公式 ? 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 基本信息 ?中文名称 三角函数 ?外文名称
相关概念
余切：cotangent（简写cot）['k?u't?nd??nt] 正割：secant（简写sec）['si:k?nt] 余割：cosecant（简写csc）['kau'si:k?nt] 正矢：versine（简写versin）['v?:sain] 余矢：versed cosine（简写vercos）['v?:s?:d][k?usain] 直角三角函数 直角三角函数（∠α是锐角） 三角关系 倒数关系：cotα*tanα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα 平方关系：sin2α+cos2α=1 三角规律 三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 三角函数本质： 根据三角函数定义推导公式根据下图，有sinθ=y/ r;cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y 深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来， 比如以推导 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 推导： 首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能：理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程，进一步体会向量方法的作用，能运用公式进行简单的恒等变换； ? 过程与方法：通过适当强度的课前学生自学，课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合，逐步培养学生自学，敢于展示、认真聆听、积极交流的能力； ? 情感态度与价值观：自主展示实现自我价值，合作学习培养团队合作。 一．课前自学 1．问题提出： 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-，其他三个 ， ， 的情况又如何? 设计意图：通过对简单的易于进入的问题的探讨，在学生心中生成问题，激发求知欲，为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导： 如图1，在以坐标原点为圆心的单位圆O 中，已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义：若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ； 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 点B 的坐标可以用的三角函数表示为（ ， ） 则 的坐标（_________________） , 的坐标（_________________） _________________________________OA OB ?= 向量夹角 ， 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==（ ） （ ） =______________________________________ ____________________________________________(提示： OA 与OB 的模为？) =_________________________________ 提醒学生思考：如果角α β、改变结果是否会发生改变，进行推到过程的严谨性探究。
第12课时 三角函数和差公式及辅助角公式 1.函数y=sin （2x+6π）+cos （2x+3 π）的最小正周期和最大值分别为（ ） A π，1 B π，2 C 2π，1 D 2π，2 2、)4sin(2cos παα -=-22，则cos α+sin α的值为（ ） 3.函数y=sin （x+3π）sin （x+2 π）的最小正周期T 是（ ） 4、函数的最小正周期是________ . 5.函数的最大值为 _________________-。 6.已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ -上的值域 7.已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ω??ω?ωπx x 本小题满分12分）为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为 .2π （Ⅰ）美洲f （8 π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移 6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间. 8.已知函数。 （Ⅰ）求 的最小正周期： （Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。 2()sin(2)4f x x x π =--sin()cos()26y x x ππ=+-()4cos sin()16f x x x π=+-()f x ()f x ,64ππ??-????
9.已知函数 （1）求 的值； （2）设求的值． 10、已知函数 （1）求的最小正周期和最小值； 11.已知函数f （x ）=2cos （x+ 4π）cos （x-4 π）+3sin2x ，求它的值域和最小正周期 12．已知cos ? ???α－ π4＝14，则sin2α的值为 ( ) A.78 B ．－78 C.34 D ．－34 13．已知sin ????α－π3＝13，则cos ????π6＋α的值为 ( ) A.13 B ．－13 C.233 D ．－233 14．函数f (x )＝sin ? ???2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 15．y ＝sin(2x －π3 )－sin2x 的一个单调递增区间是( ) A ．[－π6，π3]B ．[π12，712π]C ．[512π，1312 π] D ．[π3，5π6 ] 16．设函数f (x )＝22cos(2x ＋π4)＋sin 2x (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期； (2)写出函数f (x )的单调递增区间． 18．已知函数 ()cos cos()3f x x x π=?-. (1)求2()3f π的值； (2) 求对称轴和对称中心； (3) 求使1()4f x <成立的x 的取值集合. 1()2sin(),.36f x x x R π=-∈5()4f π106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??∈+=+=???? cos()αβ+73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈()f x
反三角函数公式
反三角函数图像与特征 1 ：
反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.
反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。接下来分享三角函数万能公式及推导过程。 三角函数万能公式 (1)(sinα)^2+(cosα)^2=1 (2)1+(tanα)^2=(secα)^2 (3)1+(cotα)^2=(cscα)^2 (4)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（任意非直角三角形） 三角函数万能公式推导过程 由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0 转化1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0 即(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0 又cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB 得(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0 (cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC 得证（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC 同角三角函数的关系公式 倒数关系公式 ①tanαcotα=1 ②sinαcscα=1 ③cosαsecα=1 商数关系公式 tanα=sinα/cosα
cotα=cosα/sinα平方关系公式 ①sin2α+cos2α=1 ②1+tan2α=sec2α ③1+cot2α=csc2α
练习： 一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第 象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例： 例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简 解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 （注意象限、符号） 例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式
1、同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系: sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系: sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) ⒉两角与与差的三角函数公式 sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα ·tanβ) tan(α－β)＝(tanα－tanβ)/(1＋tanα ·tanβ) 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦与正切公式(升幂缩角公式) sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦与正切公式(降幂扩角公式) 1－cosα sin^2(α/2)＝————— 2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2)
sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 万能公式推导 附推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))、、、、、、*, (因为cos^2(α)+sin^2(α)=1) 再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式 ⒍三倍角的正弦、余弦与正切公式 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 3tanα－tan^3(α) tan3α＝—————— 1－3tan^2(α) 三倍角公式推导 附推导: tan3α＝sin3α/cos3α ＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α),得: tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα ＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα ＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α) ＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα ＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) ＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α)) ＝4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α＝3sinα－4sin^3(α) cos3α＝4cos^3(α)－3cosα 三倍角公式联想记忆
1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=tanAtanB -1tanB tanA +tan(A-B)=tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B)=cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B)=cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A=A tan 12tanA 2-Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A -cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a)=-sinacos(-a)=cosa sin(2π-a)=cosacos(2π-a)=sinasin(2π+a)=cosacos(2 π+a)=-sina sin(π-a)=sinacos(π-a)=-cosasin(π+a)=-sinacos(π+a)=-cosa tgA=tanA=a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a +cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +-tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a)=a sin 1sec(a)=a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 8、反三角函数公式 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π－arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π－arccotx
诱导公式 目录2诱导公式 2诱导公式记忆口诀 2同角三角函数基本关系 2同角三角函数关系六角形记忆法 2两角和差公式 2倍角公式 2半角公式 2万能公式 2万能公式推导 2三倍角公式 2三倍角公式推导 2三倍角公式联想记忆 2和差化积公式 2积化和差公式 2和差化积公式推导 诱导公式 ★诱导公式★ 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈z) 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k2π/2±α(k∈z)的个三角函数值，
一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．C．D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．B．C．D． 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（） A．B．﹣C．D．﹣ 7．（4分）（2008?海南）=（） A．B．C．2D． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） A．B．﹣C．﹣D． 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（） A．B．C．D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） 11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（） A．B．C．D． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ． 三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简： （1）； （2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）；
反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2 arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy) 三角函数公式推导过程 万能公式推导: sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*， （因为cos^2(α)+sin^2(α)=1） 再把*分式上下同除cos^2(α)，可得 sin2α=2tanα/(1+tan^2(α)) 然后用α/2代替α即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 三倍角公式推导: tan3α=sin3α/cos3α =(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα) =(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα) 上下同除以cos^3(α)，得： tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α)) sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα =2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα =2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α) =3sinα－4sin^3(α) cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα =(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α) =2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α)) =4cos^3(α)－3cosα 即 sin3α=3sinα－4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)－3cosα 和差化积公式推导: 首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a- b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 反三角函数常见公式 李浩翔 .,)1()1()1()()()1()1(#.,0,,1),1(*)0(,2 3)1(),0(,2)1()0(,2 )1(#),0(,2)1(*arcsin )1csc(,arccos )1sec(sec )1arccos(csc )1arcsin(arccos )arccos(),()(,2 arccos )()2)((sec )sec()(arccos )arccos() (csc )csc()(arcsin )arcsin(2csc sec ,2,2arccos arcsin 是显然的第二个等号由余角关系第一个等号得证证明：是显然的第二个等号由余角关系第一个等号得证于是可直接取反函数＞又则证明：令＜＞＜＞，，余切的特殊性）： 倒数关系（注意正切和则可得利用例：设”即可证明□构造“证明利用奇函数的性质即可负数关系： （易证）余角关系： πππππππππππ πππππππ-=?-=-=-?--=--=--=====-=+=-==--=-=-======-=-=-- =-=?? ???-=--=--=-?? ???-=--=--=-=+=+= +arcctgx x arctg x arctg arcctgx x arctg arcctgx x arcctg x arctg x arctg arcctgx y x ctgy x tgy x x arctg y x arcctgx arctgx x arcctg x arcctgx arctgx x arcctg x arctgx arcctgx x arctg x arctgx arcctgx x arctg x x arc x x arc x arc x x arc x x x x f x f x x f x f x arc x arc arcctgx x arcctg x x x arc x arc arctgx x arctg x x x arc x arc arcctgx arctgx x x三角函数公式推导过程
反三角函数常见公式
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