7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案
学习目标:
通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。
教学过程:
一、复习巩固:
1、在△ＡBC中，∠C=9０°,∠Ａ=45°,则ＢＣ：AC:AB = 。
2、在△ABC中，∠Ｃ＝90°。
（1)已知∠A＝30°,BC=8cｍ，（2)已知∠A=60°,ＡC＝3ｃm, 求:AB与AC的长; 求：ＡB与ＢC的长。
二、例题学习：
问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20ｍ，旋转１周需要１2ｍin。小明乘坐最底部的车厢(离地面约０．３m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？
拓展延伸：１、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达15.３m?
2、小明将有多长时间连续保持在离地面3０.3m以上的空中?
三、练习巩固
,
B B
A 1、如图，单摆的摆长A
B 为90cm ，当它摆动到∠B ＡB '的位置时,∠BAB '＝30°。问这时摆球B ＇
较最低点B 升高了多少?
2、已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面32m.求此时跷跷板与地面的夹角.
3、如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米?（结果精确到0.１米)
四、小结
五、课堂作业
B A
O B
A 初三数学课堂作业
１、如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为５米，那么这两树在坡面上的距离A Ｂ为 （ ）
A. αcos 5
B.
αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 5
第１题 第3题 第４题
2.(０9甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角）不能大于6０°,否则就有危险，那么梯子的长至少为 （ ）
A ．8米??B.83米? C .833米? Ｄ.433
米 3.(0９潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米.
A ．２5 ??Ｂ.253 C.10033 ?D ．25253+
４．已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面2m 。时跷跷板与地面的夹角为＿＿＿__
＿＿__。
7.如图,秋千链子的长度为3m,当秋千向两边摆动时,两边摆动的角度均为30°.求它摆动到最高位置与最低
位置的高度之差。
5.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B 到Ｃ处的距离.
6. 单摆的摆长ＡB 为90cm,当它摆动到A Ｂ’的位置时, ∠BAB’＝11°,问这时摆球B’
较最低点B 升高了多少(精确到1ｃm)?
sin110.191?≈cos110.982?≈tan110.194?≈
初中数学锐角三角函数的难题汇编含答案 一、选择题 1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（ ） A ．23 B ．22 C ．10 D ．243 【答案】D 【解析】 【分析】 分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】 解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ， ∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8， ∴AO=CO=4， ∵∠AOD ＝120°， ∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342 AM AM sin AOB AO ===∠， 342 CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ?===g △ 12231232BD CN S ?===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形 故选：D. 【点睛】
本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ） A ．500sin55m o B ．500cos55m o C ．500tan55m o D ．500cos55m o 【答案】B 【解析】 【分析】 根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】 在Rt △BDE 中，cosD= DE BD ， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°． 故选B ． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键． 3．如图，在ABC ?中，4AC =，60ABC ∠=?，45C ∠=?，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ） A ．22 B ．223 C ．23 D ．322 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD?D E 即可求出AE 的长度． 【详解】 ∵AD ⊥BC ∴∠ADC=∠ADB=90?
C B A C B A C B A B 课题：28．1锐角三角函数（1） 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是 一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边 的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系． 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形
7.6用锐角三角函数解决问题(2)学案 学习目标: 通过具体的一些实例,能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。 教学过程: 一、复习巩固: 1、在△ＡBC中，∠C=9０°,∠Ａ=45°,则ＢＣ：AC:AB = 。 2、在△ABC中，∠Ｃ＝90°。 （1)已知∠A＝30°,BC=8cｍ，（2)已知∠A=60°,ＡC＝3ｃm, 求:AB与AC的长; 求：ＡB与ＢC的长。 二、例题学习： 问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20ｍ，旋转１周需要１2ｍin。小明乘坐最底部的车厢(离地面约０．３m)开始1周的观光,2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？ 拓展延伸：１、摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次到达15.３m? 2、小明将有多长时间连续保持在离地面3０.3m以上的空中? 三、练习巩固
, B B A 1、如图，单摆的摆长A B 为90cm ，当它摆动到∠B ＡB '的位置时,∠BAB '＝30°。问这时摆球B ＇ 较最低点B 升高了多少? 2、已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面32m.求此时跷跷板与地面的夹角. 3、如图,在离水面高度为5米的岸上有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米?（结果精确到0.１米) 四、小结 五、课堂作业
B A O B A 初三数学课堂作业 １、如图,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为５米，那么这两树在坡面上的距离A Ｂ为 （ ） A. αcos 5 B. αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 5 第１题 第3题 第４题 2.(０9甘肃定西)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角）不能大于6０°,否则就有危险，那么梯子的长至少为 （ ） A ．8米??B.83米? C .833米? Ｄ.433 米 3.(0９潍坊)如图,小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°,在C 点测得60BCD ∠=°,又测得50AC =米,则小岛B 到公路l 的距离为( )米. A ．２5 ??Ｂ.253 C.10033 ?D ．25253+ ４．已知跷跷板长4m ，当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面2m 。时跷跷板与地面的夹角为＿＿＿__ ＿＿__。 7.如图,秋千链子的长度为3m,当秋千向两边摆动时,两边摆动的角度均为30°.求它摆动到最高位置与最低 位置的高度之差。 5.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶,在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B 到Ｃ处的距离. 6. 单摆的摆长ＡB 为90cm,当它摆动到A Ｂ’的位置时, ∠BAB’＝11°,问这时摆球B’ 较最低点B 升高了多少(精确到1ｃm)? sin110.191?≈cos110.982?≈tan110.194?≈
7.6锐角三角函数解决问题(3) 学习目标： 1.掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、角有关的实际问题，培养学生。 2.经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 教学流程提纲 1.仰角、俯角的定义：如图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线 与水平线的夹角叫做俯角。右图中的∠1就是俯角，∠2就是仰角。 2.课本例题讲解 3.课本练习 4.拓展例题 如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离． 变式：如上图，飞机在一定高度上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行10km 后，在B处测得该小岛的俯角为60°,求飞机的飞行高度。 本节课2个目标你达成个？分别是：
7.6锐角三角函数解决问题(3)过关检测 1.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B处的仰角为30o，看这栋高楼底部C处的俯角为60o，若热气球与高楼的水平距离为90m，则这栋高楼有多高？（结果保留整数，2≈1.414，3≈1.732） 2.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45°方向，求此时灯塔B到C处的距离． 3.据黄石地理资料记载：东方山海拔DE＝453.20米，月亮山海拔CF＝442.00米，一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行，在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α，在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β，如图，已知tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847，若飞机的飞行速度为180米/秒，则该飞机从A到B处需多少时间？（精确到0．1秒）
第27课时 锐角三角函数 一、填空题 1．在△ABC 中，AB=2，的度数是______． 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________． 3．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 4．在△ABC 中，若AC=3，则cosA=________． 第5题图 第6题图 5．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°这时测得大树在地面 上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（? 6．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，?需要修一个如图所示的育苗棚，棚宽a=3m ， 棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m ，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m 2．（利用计算器计算，结果精确到1m 2） 二、选择题 7．若Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．sinB=23 B ．cosB=23 C ．tanB=23 D ．tanB=32 8．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．，12） B ．（12） C ．（-，-12） D ．（-12，-32） 9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆 12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，?若这位同学的目高 1.6米，则旗杆的高度约为（ ） A ．6.9米 B ．8.5米 C ．10.3米 D ．12.0米 10.．某市在“旧城改造”中，?计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环 境．已知这种草皮每平米售价30元，则购买这种草皮至少需要（? ）
锐角三角函数 ◆ 课前热身 1．sin30°的值为（ ） A ． 32 B ． 22 C ． 12 D ． 33 2.在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90o，则sin A 等于（ ） A ． 12 B ． 22 C ．32 D ．1 3.在Rt ABC △中，9032C AB BC ∠===°，，，则cos A 的值是 ． 4．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA= 4 3 ，则AC 的长是 5.计算：tan 60°=________． 【参考答案】 ** 2.B 3. 4.6 5. ◆考点聚焦 知识点 锐角三角函数、锐角三角函数值的符号、锐角三角函数值的变化规律、特殊角三角函数值 大纲要求 1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，?这也是本节的重点和难点． 2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值． 3．会用计算器求出已知锐角的三角函数值． 4．已知三角函数值会求出相应锐角． 5．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点． 考查重点与常见题型 1.求三角函数值，常以填空题或选择题形式出现； 2.考查互余或同角三角函数间关系，常以填空题或选择题形式出现； 3.求特殊角三角函数值的混合运算，常以中档解答题或填空题出现.
◆备考兵法 充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆． ◆考点链接 1．sin α，cos α，tan α定义 sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值 ◆典例精析 例1（内蒙古包头）已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c =， tan b B a =和222a b c +=； 由3 sin 5 A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===，所以选A ． 【答案】A 例2（湖北荆门）104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)(20092008)-??+---=3313412222 ??? ?+--= ???，故填3 2． 【答案】 3 2 例3（黑龙江哈尔滨）先化简．再求代数式的值．22 ()211 1a a a a a ++÷+-- 其中a ＝tan60° －2sin30°． 30° 45° 60° sin α cos α tan α α a b c
第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时 1.了解直角三角形中一个锐角固定，它的对边与斜边的比也随之固定的规律. 2.理解并掌握锐角的正弦的定义. 3.能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角形中求一个锐角的正弦值. 一、温故互查： 1. 什么叫Rt△？它的三边有何关系？ 2.Rt△中角、边之间的关系是：①°② 二、设问导读： 阅读教材P74-77页，自学两个思考及探究，自学例1. ①在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c；∠A的对边与斜边的比叫做∠A的_______，即sinA=________. ②在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a=3、b=4，则sinB=______. ③在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则sinA= )()( =____. ④在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA= )()( =____. ⑤在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，则sinA= )()( =____. 三、自我检测： 1如图，求sinA和sinB的值. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sinA的值是________. 3.正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=_________. 第3题图第6题图 4在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值________.
5.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC=2，sinA= 3 2 ，则求AC 的长. 6.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，且OP ＝5，PA ＝4，则sin ∠APO=_______. 四、巩固训练： 1.如图长5米的梯子以倾斜角∠CAB 为30°靠在墙上，则A 、B 间的距离为多少？ 2.若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则A 、B 间距离为多少？ 3.若长5米的梯子靠在墙上，使A 、B 间距为2.5米，则倾斜角∠CAB 为多少度？ 4.点P （2，4）与x 轴的夹角为α，则sinα=______. 5.在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，∠C 是直角，求证：sin 2A+sin 2B=1. 6.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AD ＝5，BC ＝6，则sin ∠BCD=______. 五、拓展延伸 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，求证：sinA+sinB=5 7. 六、 课堂小结 七、作业|：《名校课堂》第53页——第54页
《用锐角三角函数解决问题》教案1 教学目标 1、了解测量中坡度、坡角的概念． 2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题． 3、进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 重点难点 重点：有关坡度的计算． 难点：构造直角三角形的思路． 教学设计 一、引入新课 如下图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B l 的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A ．从图形可以看出，1111 B C BC AC AC ，即tan A 1＞tan A ． 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度． 二、新课 1．坡度的概念，坡度与坡角的关系． 如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC ，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角．从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡． 2．习题讲解． 1．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0．1米)
分析：四边形ABCD是梯形，通常的辅助线是过上底的两个顶点引下底的垂线，这样，就把梯形分割成直角三角形和矩形，从题目来看，下底AB＝AE＋EF＋BF，EF＝CD＝12．51米．AE在直角三角形AED中求得，而BF可以在直角三角形BFC中求得，问题得到解决．2．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角．和坝底宽AD．(i ＝CE：ED，单位米，结果保留根号) 三、练习 课本第114页课内练习． 四、小结 会知道坡度、坡角的概念能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决． 五、作业 课本117页习题7．6的1、2题． 《用锐角三角函数解决问题》教案2 教学目标 知识与技能 1．通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系． 2．把实际问题转化为数学问题，同时借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明． 数学思考与问题解决 经历实际问题数学化的过程，进一步体会三角函数在解决问题中的作用，不断探索解决实际问题的方法和规律． 情感与态度 在独立思考探索解决问题方法的过程中，培养学生不断克服困难，增强应用数学的意识和解决实际问题的能力．
28．1《锐角三角函数》第一课时——正弦 【学习目标】 1:经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2:能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 B 【导学过程】 一、自学提纲：A C 1、如图在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m，?求AB 2、如图在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m，?求BC A B C 二、合作交流： 问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在△ R t ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？B A C 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
BC B ' C ' 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个 △R t ABC 中，∠C=90°，当∠A=30° 时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的 对边与斜边的比都等于 2 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问： 当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画 Rt△ABC 和 Rt △A ′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′=a，那么 与 AB A ' B ' 有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大 小如何，?∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念： 规定：在 Rt △B C 中，∠C=90， ∠A 的对边记作 a ，∠B 的对边记作 b ，∠C 的对边记作 A 斜边c b B 对边a C c ． 在 △R t BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦， 记作 sinA ，即 sinA= = a c ． sinA ＝ ∠ A 的对边 a = ∠ A 的斜边 c 例如，当∠A=30°时，我们有 sinA=sin30°= ； 当∠A=45°时，我们有 sinA=sin45°= ． 四、学生展示： 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和 sinB 的值． B 3 B 3 5 13 A 4 C C A (1) (2)
7.6 用锐角三角函数解决问题（3）学案 学习目标： 进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 学习过程： 课前准备 仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与 水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角． 探究新知 例题1、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m ，此时观测气球，测得仰角为40°。若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢？ 例2、在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公 x m h m A D B 27 50m 40
楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58） 知识运用 1.如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。 （参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65） 2、为了改善楼梯的安全性能，准备将楼梯的倾斜角由65度调整为40度，已知原来的楼梯的长为4米，调整后的楼梯要占多长的一段楼梯地面. 当堂反馈 1、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为? 60，看这栋高楼底部的俯角为? 30，热气球与高 楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到 C A B
1.1锐角三角函数（1）学案 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1.千年古寺青檀寺中有一座报国塔，小明很想知道 古塔的高度，但小明没有足够长的尺子，怎么办呢？于 是聪明的小明想了这样的办法：小明在塔前的A 处仰望 塔顶，测得仰角∠1的大小，再往塔的方向前进50米到 B 处又测得仰角的大小，根据这些他就求出了塔的高 度．你知道他是怎么做的吗？ 通过本章的学习，我们就会揭开小明这样做的谜 底．从今天这节课开始，我们就来学习九年级（下）第一章的内容：直角三角形的边角关系． 2．你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 3⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ A B 1 2
二、呈现问题，探索新知 ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵222111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? （5）概念的生成 由于直角三角形中的锐角A 确定以后，它的对边与邻边之比也随 之确定，因此我们有如下定义： 如图，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与邻边之 比便随之确定，这个比叫做∠A 的 (tangent)，记作tanA ，即 tanA ＝ ． 三、巩固提高，应用新知 例1 如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 坡度 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向 上每前进100m 就升高60m ,那么山坡的坡度i (即tan α)就是: 603tan 1005 i α===．
锐角三角函数的简单应用
板 书 设 计 7.6锐角三角函数的简单应用（1） 教 学 环 节 学生自学共研的内容方法 （按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容） 教师施教提要 （启发、精讲、 活动等） 再 次 优 化一、 例题 教学 【【典型例题】 1. “五一”节,小明和同学一起到游乐场游玩. 游乐场的大型 摩天轮的半径为20m,旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的 车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光,经过2min后,小明离地 面的高度是多少? (1).摩天轮启动多长时间后,小明离地面的高度将首次达到 10m? (2).小明将有多长时间连续保持在离地面10m以上的空中? 2．1.单摆的摆长AB为90cm,当它摆动到AB’的位置时, ∠ BAB’=11°,问这时摆球B’较最低点B升高了多少(精确到 1cm)? 分析：如图，小 明开始在车厢点 B，经过2min后 到了点C，点C 离地面的高度就 是小明离地面的 高度，其实就是 DA的长度 DA= AE - sin110.191 ?≈cos110.982 ?≈ tan110.194 ?≈ sin110.191 ?≈cos110.982 ?≈tan110.194 ?≈
二、（1）巩固练习3．已知跷跷板长4m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离 地面1.5m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°). 4．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形 面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m， 当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起比较方便. 他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断 他安装是否比较方便? 课后练习 【基础演练】 1．如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆动时，两 边的摆动角度均为30o。求它摆动至最高位置与最低位置的 高度之差（结果保留根号）． 让学生小结 60o O A B
24. 3 锐角三角函数(1) 【学习目标】 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。能根据三角函数的概念进行计算 【学习重点】理解三角函数的概念 【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、的比值固定这一事实。 【课标要求】掌握锐角三角函数 【知识回顾】 如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 【自主学习】 探究1：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C=∠C′=90°， ∠A=∠A′，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A的对边与斜边的比∠A的邻边与斜边的比∠A的对边与邻边的比∠A的邻边与对边的比
概念：在Rt△BC中，∠C=90，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c． 在Rt△BC中，∠C=90°， 我们把叫做∠A的正弦，记作，即． 我们把叫做∠A的余弦，记作，即． 我们把叫做∠A的正切，记作，即． 【例题学习】 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求△ABC 中∠B的三个三角函数值． 你有什么发现？ 【巩固训练】 1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（） A．3 5 B． 4 5 C． 3 4 D． 4 3 2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=2 3 ，则边AC的长是( ) A．13 B．3 C．4 3 D． 5 3在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则有（） A ． ．．． C B A
九年级数学下册 28.1 锐角三角函数学案（3）（无答案）新人 教版 ⑴:能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 ⑵:能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习重点】 熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【学习难点】 30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 【导学过程】 一、自学提纲： 一个直角三角形中， 一个锐角正弦是怎么定义的？ 一个锐角余弦是怎么定义的？ 一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流： 思考： 两块三角尺中有几个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？． 三、教师点拨： 归纳结果 30°45°60° siaA cosA tanA 例3：求下列各式的值． （1）cos260°+sin260°．（2）cos45 sin45 ? ? -tan45°． 例4：（1）如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90， 6，3A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3a ． 四、学生展示： 一、课本83页 第1 题 课本83页 第 2题 二、选择题． 1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3 5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．下列各式中不正确的是（ ）． A ．sin 260°+cos 2 60°=1 B ．sin30°+cos30°=1 C ．sin35°=cos55° D ．tan45°>sin45° 3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B 32．1 4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1 2 ，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=1 2 ， cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形 D ．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（ ）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．45 7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）． A ．小于12 B ．大于12 C ．大于3 2 D ．大于1 8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（ ）． A ． 3231 3331.3. 62 2 2B C D + 9．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC 3，?则∠CAB 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．以上都不对 10．sin 272°+sin 2 18°的值是（ ）． A ．1 B ．0 C ．12 D ．3 2
C B C B C B A 课题：28．1锐角三角函数（1） 目标导航： 【学习目标】 ⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 ⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠ A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比 都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°，
课题：锐角三角函数的简单应用（2）——方位角 主备：林金强 课型：新授 编号：90706 班级 姓名 备课组长签名【教学过程】： 教学目标：使学生掌握三角函数的简单应用——对方位角的认识。例题讲解： 例1. 如图，在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 测得B 地的走向是南偏东52°，现A 、B 公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是( ) A 、北偏西52° B 、南偏东52° C 、西偏北52° D 、北偏西52° 例2. 海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 方向，求此时灯塔B 到C 处的距离． 例3.一船以每小时20海里的速度沿正东方向航行。上午8某灯塔位于它的北偏东30°的B 处，上午9时行到C 正北方向，此时它与灯塔的距离是多少海里？( 例4.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B
例5 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气 旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220 千米的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米， 风力就会减弱一级，该台风中心现在以15千米／时的速度沿北偏东300方向往 C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四 级，则称为受台风影响． （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有 多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【当堂训练】： 1.如图，A 市东偏北60°方向有一旅游景点M ，在A 市东偏北30?°的公路上向前行800米到C 处，测得M 位于C 的北偏西15°，则景点M 到公路AC?的距离MN 为________米（结果保留根号）． 2.如图王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ） A ．350m B ．100 m C ．150m D ．3100m 3.如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东30゜的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，则敌舰与两炮台的距离分别为_______米（结果保留根号）． 4.如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，?为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长多少？ 学生笔记栏
28．1锐角三角函数（1）导学案 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 【自主探究 】 （一）、自学课本P61-63 思考下列问题： 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值是 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 思考3：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，∠B 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，60°角的对边与斜边的比值 思考4： Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与 有什么关系．为什么？ C A C A
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比值 5、在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的________，记作________，即_________． （二）、学习检测 1、 如图(1)，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA=_____ sinB=______． 2、 如图(2)，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA=_____ sinB=_____ 3． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2 3，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．4 3 D ． 5 4．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ） A ．a b B ．b a C D 【合作学习】 1、在Rt △ABC 中，∠C=900 ，sinA=5 3 ,求sinB 的值. 2、如图，Rt △ABC 中，∠C=900，CD ⊥AB 于D 点，AC=3，BC=4，求sinA 、sin ∠BCD 的值. 【达标测评】 1、在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=5cm,BC=3cm,则sinA=______,sinB=________. 2、在Rt △ABC 中，∠C=900，如果各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A 、扩大两倍 B 、缩小两倍 C 、没有变化 D 、不能确定 3、在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=15，sinA=3 1 ，则AC=_______，S △ABC =_______. B A 图2 图1
姓名： 课题名称:锐角三角函数的定义（学案） 教师寄语：每一个问题的解决都促进智慧提升，每一次思考研究都伴随心智成熟 一、目标 明确方向 1.认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA,cotA ）及它们的值的取值范围（重点） 2.在回顾利用相似三角形知识测量，计算物体高度的过程基础上，联想函数概念，观察发现，建立锐角三角函数概念（难点） 3.在应用知识解决问题的过程中，观察、联想、分析、推断可以获得数学发现，体验数学活动充满探索性和创造性. 二、温故 知识奠基 1.直角三角形的边角性质： ①勾股定理： . ②定理1 直角三角形的两个锐角 . ③定理2 直角三角形斜边上的中线 . ④定理3 直角三角形300角所对直角边 . ⑤如图：Rt △ABC 中，边b 是∠ B 的 边 ，边c 是∠ B 的 边，边a 是 边. 2.函数概念：一个 .两个 .一种 . 3.相似三角形的性质：对应角 ,对应边 . 三、自主 思考探究 直角三角形的边与角之间存在某种关系： [问题1]当Rt △ABC 的锐角A 确定后，是否还存在其它边之比是确定的？ 如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°.则sinA= ，cosA= ， tanA= ，cotA= . 四、选择 巩固新知 1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列式子中一定成立的是( ) A.a=c·cos B B.a= b· cosB C.a=c · tanB D.a=b · tanB 2.在△ABC 中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论成立的是（ ）.
A. sinA=54 B. cosA=45 C. tanA=34 D. cotA=34 五、示范 规范求解（例1） 六、对学 达标诊断 （1）求出∠D 的四个三角函数值； （2）求出∠F 的四个三角函数值； 七．合作 知识共赢 [问题2]探究同角三角函数关系（注：∠F 的正弦值的平方（sinF ）2 =sin 2F.） sin 2F+cos 2F= sin 2D+cos 2D= [问题3]互余锐角的三角函数值之间的关系如何？ [问题4]你还发现： 4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA= 35,求cosB. 5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=23,BC=4,求AC. 八.总结 知识达成 1. 2. 3. 九.研究 拓展提高 1. 在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB. 变式：在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=45,求tanB. 2.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则sin α的值为（ ） 3.已知α为锐角，且tan α=43,求sin 3cos 2cos sin αααα-+的值.