任意阶幻方的构造方法
一、幻方分类
n 表示阶数
二、构造方法
以下幻方均指在n n ?（n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上1——2n 所构成的幻方。
1、奇数阶幻方——连续摆数法（如图一：以五阶幻方为例）
① 把1填在第一行正中；
② 把i a ()i ≤2放在1－i a 的右上一格；如：3、5、7、8、20等。
③ 如果i a 所要放的格已超出了顶行，那么就把它放在1－i a 的右一列的最下行；如：2、9、18、25。
④ 如果i a 所要放的格已超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的上一行的最左列；如：4、10、17、23。
⑤ 如果i a 所要放的格已超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内；如：16。
⑥ 如果i a 所要放的格已有数填入，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内。如：6、11、21。
图一
2、单偶数阶幻方()122＋
＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D ；如图二（a ）；
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方）
② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()
2221a a ——＋、在
C 中填入()22312a a ——＋、在
D 中填入()
22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）；如图二（b ）； （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）
③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调；如图二（c 、d ），
（不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）
④ 在C 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与B 中相应方格中的数字对调。
（因为01＝－
m ，所以在C 中没有取数） 图二（d ）即为所求幻方。
图二（a ） 图二（b ）
图二（c ） 图二（d ） 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例）
① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方；如图三（a ）
② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格；如图三（b ）
（正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格） ③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格；如图三（c ）
（从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n阶幻方，当遇到有底色的方格时空出不填即可）
④从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方，这样填满了有底色的方格。如图三（d）
图三（d）即为所求幻方。
图三（a）图三（b）
图三（c）图三（d）
参考书目：
1、《幻方及其他——娱乐数学（第二版）经典名题》吴鹤龄编著科学出版社
任意阶幻方的构造方法 一、幻方分类 n 表示阶数 二、构造方法 以下幻方均指在n n ?（n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上1——2n 所构成的幻方。 1、奇数阶幻方——连续摆数法（如图一：以五阶幻方为例） ① 把1填在第一行正中； ② 把i a ()i ≤2放在1－i a 的右上一格；如：3、5、7、8、20等。 ③ 如果i a 所要放的格已超出了顶行，那么就把它放在1－i a 的右一列的最下行；如：2、9、18、25。 ④ 如果i a 所要放的格已超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的上一行的最左列；如：4、10、17、23。 ⑤ 如果i a 所要放的格已超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内；如：16。 ⑥ 如果i a 所要放的格已有数填入，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内。如：6、11、21。 图一 2、单偶数阶幻方()122＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D ；如图二（a ）； （注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入() 2221a a ——＋、在
C 中填入()22312a a ——＋、在 D 中填入() 22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）；如图二（b ）； （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调；如图二（c 、d ）， （不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在C 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与B 中相应方格中的数字对调。 （因为01＝－ m ，所以在C 中没有取数） 图二（d ）即为所求幻方。 图二（a ） 图二（b ） 图二（c ） 图二（d ） 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方；如图三（a ） ② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格；如图三（b ） （正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格） ③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格；如图三（c ）
问题3.1、n –魔方阵 一、提出问题 所谓“n – 魔方阵”是指由1至n 这n 个不同整数构成的魔方阵，其魔方常数为n ( n + 1 ) / 2。例如，5 – 魔方阵和7 – 魔方阵如图3 – 1所示。易知，这两个魔方阵的魔方常数分别为15和28。 321541543 24321 52154 35432 1 ，4 3217651 76543254321762176543654321732176547654321 图3 – 1 5 – 魔方阵和7 – 魔方阵 n – 魔方阵的数字排列很有规律，若用人工的方法给出并不困难。现在要求给出：能让计算机自动输出n （≥ 3）为奇数时形如图3 – 1所示的n – 魔方阵的算法。 二、简单分析 n – 魔方阵较我们之后将要讨论的奇、偶数阶魔方阵，要简单许多。观察后不难发现： 1．要填入的n 个数字在阵列的每一行和每一列都要出现且仅出现一次，且各行（列）中的数字顺序相同，这里的顺序是指循环顺序，其中数字1接在数字n 的后面。 2．从阵列的行来看，每一行的第一个数字与它上一行正中间的数字相同。 通过对“n – 魔方阵”的分析，下面几个基本问题必须得到解决： ◆ 如何确定阵列第一行各个数字？ ◆ 在填入其他行的数字时如何保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行正中间的数字？ 三、设计准备 假设我们要构建的是一个n – 魔方阵，为此定义一个有n 行n 列的二维数组。 1．确定阵列第一行各个数字 这里我们处理的方法很简单，即可以利用循环方法顺序地在二维数组第一行中填写1，2，3，…，n 这n 个自然数即可。 2．填入其他行的数字，并保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六
偶数阶幻方的一种制作方法－双偶阶、单偶阶幻方 1. 双偶阶幻方（对称交换法） n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n×n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法） n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2 （1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k 格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这
幻方常规解法汇总 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按
三阶魔方玩法与口诀 一、前言 魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正 6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块（和中心轴支架相连）见下图： 学习魔方首先就要搞清它的以上结构，知道角块只能和角块换位，棱块只能和棱块换位，中心块不能移动。 魔方的标准色： 国际魔方标准色为：上黄－下白，前蓝－后绿，左橙－右红。 二、认识公式
公式说明：实际上就是以上下左右前后的英文的单词的头一个大写字母表示
三、拧魔方的步骤与口诀 步骤一、完成一层 （一）完成第一层十字 第一种情况如图所示： 公式为 R2 第二种情况如图所示： （白色下面颜色为橙色，为方便观察，特意翻出颜色） 橙白块要移到上右的位置，现在橙白块在目标位置的下面。 但其橙色片没有和橙色的中心块贴在一起。为此我们先做D’ F’ 即把橙色粘在一起，接着 R 还原到顶层,， F 是把蓝白橙还原到正确的位置(上面的 F’ 使蓝白块向左移了九十度)。 公式为D’ F’ R F 图解： 其它的一些情况 如下图： 橙白块的位置己对好，但颜色反了，我就先做R2化 （橙色下面颜色为白色，为方便观察，特意翻出颜色）
成第二种情况，然后用还原第二种情况的公式即可！ 上面两种情况都为前右的块要移到上后的位置。我们先 做R’D’ 移到前下的位置，再做R “把橙白还原上 去”，接着做D2 移到后下的位置。上面两种情况分别化为上面第一种和第二种情况。其对称情况亦是按类似上面的思想来还原！如果刚开始 时橙白块也还没对好，直接做R’ D 移到后下位置即可！ （二）完成第一层角块 依然把十字放在顶层，还原角块时，我们首先在底层找有没有我们要还原的角，没有的话再到顶层去找！基本的两种情况为： 公式：D’R’ D R公式：R’D’ R 图解： 公式：D’R’ D R 公式：R’D’ R 然而还可能会出现下面这种情况： 白色在底面！这种情况我们称之为不可见，在还原时我们 要做的就是令它的白色可见，同时它要位于底层！ 先做R’角处于后下右的位置，而且白色是可见的，然后做 D 或D2 移到后下左或前下左，接着要再做R 把白橙还原回去！再把那角移到前下右就是上面第二种情况了！ 最后还有两种情况，就是角块的位置已经对好，但颜色没对好，如下
四阶魔方还原公式图文教程 本文四阶魔方公式图解是针对四阶魔方教程的降阶法做更多的解释和说明。 四阶魔方被认为是2-5阶魔方玩法中最不好复原的,虽然五阶魔方的变化种类比4阶多,但是四阶魔方的中心块并不固定,也就不...顶层和底层都有风筝块和三角块,它们也被称为角块和边块。整个魔术方块总共有8个角块和8个边块。 四阶魔方的一种比较简单的转法：只要记住三个魔方公式 一、转中心四格 先从一面中心四格开始。利用旋转，建议将同色两格连在一起移动比较容易。例如： 注：2表示转二次 转好一面中心四格后，转其侧面的中心四格，可利用侧面之顺逆时针旋转来配对。当然，必须先记得各面颜色的相对位置。注意：因为四阶的中心块的位置会移动，所以合并后中心块必需在正确位置，也就是上白下黄、前绿后蓝、左橙右红。
二、合并棱块： 公式一：MD R F' U R' F MD'。 要配对的是相对平行的 其它情形利用旋转等转到上图，例如： 再用公式一 三、将中心四个当成一块，边两格当成一块，当成三阶魔方转。最好配合F2L、OLL、PLL转法处理。
四、处理特殊情形： 此处所说特殊情形，是三阶方块不可能出现的，但在四阶上会出现。共可分两类：换两个对面棱块, 公式二：MR2 U2 MR2 U2 MU2 MR2 MU2 以下三种情形，先用上面公式二，再利用三阶 PLL 或基本公式处理。 翻正一个棱块组, 公式三：MR2 B2 U2 ML U2 MR' U2 MR U2 F2 MR F2 ML' B2 MR2 公式中，转中间左右两圈时，可以同时带左右外圈一起转看看，观察其结果。特别要记的，就是处理特别情形的两个公式。所以此种四阶转法，比较简单。同样的，上述转法可以应用在「五阶魔方」上。特殊情形只有一种，是在配对最后一个边时，边中间点可能要自转180度。
求魔方阵的十种算法 魔方阵，古代又称“纵横图”，是指组成元素为自然数1、2…n的平方的n×n的方阵，其中每个元素值都不相等，且每行、每列以及主、副对角线上各n个元素之和都相等。 如3×3的魔方阵： 8 1 6 3 5 7 4 9 2 魔方阵的排列规律如下： (1)将1放在第一行中间一列； (2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放；每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1（例如上面的三阶魔方阵，5在4的上一行后一列）； (3)如果上一个数的行数为1，则下一个数的行数为n(指最下一行);例如1在第一行，则2应放在最下一行，列数同样加1； (4)当上一个数的列数为n时，下一个数的列数应为1，行数减去1。例如2在第3行最后一列，则3应放在第二行第一列； (5)如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第一行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。例如按上面的规定，4应该放在第1行第2列，但该位置已经被占据，所以4就放在3的下面； 1居上行正中央 依次右上切莫忘 上出框时往下写 右出框时左边放 右上有数下边写 右上出框也一样 一、魔方阵的简介 1.何谓矩阵？矩阵就是由方程组的系数及常数所构成的方阵。把用在解线性方程组上既 方便，又直观。 2.何谓n阶方阵？若一个矩阵是由n个横列与n个纵行所构成，共有个小方格，则称这 个方阵是一个n阶方阵。 3.何谓魔方阵？4 9 2 3 5 7 8 1 6定义：由n*n个数字所组成的n阶方阵，具有各对角线， 各横列与纵行的数字和都相等的性质，称为魔方阵。而这个相等的和称为魔术数字。若填入的数字是从1到n*n，称此种魔方阵为n阶正规魔方阵。 4.最早的魔方阵相传古时为了帮助治水专家大禹统治天下，由水中浮出两只庞大动物背
三阶魔方还原公式口诀图解
三阶魔方玩法与口诀 目录 一、前言 ________________________________________________ - 5 - 二、认识公式 ____________________________________________ - 6 - 三、拧魔方的步骤与口诀___________________________________ - 8 - 步骤一、完成一层____________________________________ - 8 - （一）完成第一层十字___________________________ - 8 - （二）完成第一层角块___________________________ - 9 - 步骤二、完成第二层_________________________________ - 10 - 步骤三、完成顶层___________________________________ - 12 - （一）顶层十字________________________________ - 12 - （二）顶层平面________________________________ - 13 - （三）顶层角块________________________________ - 14 - （四）顶层棱块________________________________ - 15 - 一、前言 魔方是3x3x3的三阶魔方，英文名Rubik's cube。是一个正 6 面体，有6种颜色，由26块组成，有8个角块；12个棱块；6个中心块
偶数阶魔方阵构造方法 2009-11-03 10:23:40| 分类：其他|字号大中小订阅 （1）n = 4k(4的整数倍时) (1) 先将整个方阵划分成k*k个4阶方阵，然后在每个4阶方阵的对角线上做记号 (2) 由左而右、由上而下，遇到没有记号的位置才填数字，但不管是否填入数字，每移动一格数字都要加1 (3) 自右下角开始，由右而左、由下而上，遇到没有数字的位置就填入数字，但每移动一格数字都要加1 例：k=1时构造完如下 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 1 5 1 （2）n = 4k + 2 本法填制魔方阵时，先将整个方阵划成田字型的四个2 k + 1阶的奇数阶小方阵，并以下法做注记： 1,右半两个小方阵中大于k+2的列。 2，左半两个小方阵中( k + 1 , k + 1 )的格位。 3，左半两个小方阵中除了( 1 , k + 1 )的格位之外，小于k +1的列。 以奇数阶魔方阵的方法连续填制法依左上、右下、右上、左下的顺序分别填制这四个小方阵。 将上半及下半方阵中有注记的数字对调，魔方阵完成。 例：k=1时构造完如下 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 幻方阵 幻方是什么呢？如右图就是一个幻方，即将n*n（n>=3）个数字放入n*n的方格内，使方格的各行、各列及对角线上各数字之各相等。 我很早就对此非常感兴趣，也有所收获。 8 1 6 3 5 7 4 9 2 本数学模型于1999年9月26日构造。 奇阶幻方 当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。 偶阶幻方 当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey为单偶模型，我对双偶（4m 阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。YinMagic 是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。 在填幻方前我们做如下约定：如填定数字超出幻方格范围，则把幻方看成是可以无限伸展的图形，如下图： Merzirac法生成奇阶幻方 在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方： 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 loubere法生成奇阶幻方 在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移二格继续填写。如下图用Louberel法生成的7阶幻方： 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 1 6 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 horse法生成奇阶幻方 先在任意一格内放入1。向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。如下图用Horse法生成的5阶幻方：77 58 39 20 1 72 53 34 15 6 68 49 30 11 73 63 44 25 16 78 59 40 21 2 64 54 35 26 7 69 50 31 12 74 55 45 36 17 79 60 41 22 3 65 46 37 27 8 70 51 32 13 75 56 47 28 18 80 61 42 23 4 66 57 38 19 9 71 52 33 14 76 67 48 29 10 81 62 43 24 5 一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。则马步可以表示为2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。对于2X+Y相应的跳步可以为2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方为魔鬼幻方。 Hire法生成偶阶幻方 将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。在Ａ内两对角线上填写1、2、3、……、n，各行再填写1、2、3、……、n，使各行各列数字之和为n*(n+1)/2。填写方法为:第1行从n到1填写，从第2行到第n/2行按从1到进行填写(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，从第n/2+1到第n 行按n到1进行填写，对角线的方格内数字不变。如下所示为6阶填写方法： 1 5 4 3 2 6 6 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6
构造幻方 所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。 幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。 奇数阶幻方的经典方法－罗伯 奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？ 我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下： 把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。 按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图： 罗伯法（连续摆数法）的助记口诀： 1居上行正中央，依次斜填切莫忘。 上出框界往下写，右出框时左边放。 重复便在下格填，角上出格一个样。 1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中 依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字 上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中 右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中 重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中 角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方 1.双偶阶幻方（中心对称交换法） n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1=4×4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11 换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
三阶魔方玩法教程 下图是本教程介绍的三阶魔方入门的玩法（层先法）复原的基本步骤示意图： 第一步：底棱归位（又称底部架十字，底层四个棱块正确复原的过程） 注：（本教程以白色为底面，为了方便交流与学习，请统一把白色作为底面）。 魔方底层架十字可以无师自通，只是我们这一步要复原的四个 棱块的相对位置顺序要注意，由于我们以白色中心块做底层，按照 我们现在的主流魔方的贴纸的帖法（上黄下白，前蓝后緑，左橙右 红），如果我们先复原了白蓝这个棱块，那我们在保持白色中心块 在底部的情况下，白红的棱块就一点要放在白蓝棱块的右边，白橙棱块放在白蓝棱块的左边，白緑棱块放在白蓝棱块的对面，由于魔方的中心块不会发生变化，所以在原的过程中，我们是以中心块为参照物的，第一步我们在复原白蓝、白红、白绿、白橙这四个棱块的时候，我们可以先把白色面旋转到顶层，和黄色中心块同一个平面，然后再把他对应的另一个颜色（蓝或红或緑或橙）经过旋转最上层，使之和对应的中心块的颜色同色，这样我们再旋转180度，对应的棱块就正确复原到底部了。 注意：图1-1的情况是没有正确归位的情况，需要调整白蓝和白红两个棱块的位置，才是正确的完成了底棱归位。 第二步：底角归位（复原魔方第一层四个角块） 魔方的四个底角正确归位以后一定会出现倒T字型，如图2所示，如果不是这样肯定是底面角块没有正确归位（位置错了，重新来过）。 底角归位也可无师自通，有兴致的朋友可以自己琢磨一些技巧和完成这一步。有难度的朋友可参考我下面介绍的一种技巧来完成，我们先看图2-1和图2-2，首先我们先确定目标块的位置是在他要正确归位的正上面的位置，然后我们再看白色的面朝向何方，就很快的能快速判断出来是下图几种情况中的哪一种了。 复原基本思想：先将目标角块调至顶层侧面，再转动能与之相连形成顺色整体的面，使目标角与底棱连成一个(1×1×2)的归位整体，再转至正确的位置。因此，下列的五个实例并没有必要死记。 图2-1 图2-2 图201 图202 图203
奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法 罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方） 一居上行正中央，依次斜填切莫忘， 上出格时往下填，右出格时左边放， 排重便在下格填，角上出格一个样。 六阶幻方，具体的做是： 偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方 双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方， 可用<对称交换法>，方法很简单: 1) 把自然数依次排成方阵
2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线 3) 把这些对角线所划到的数，保持不动 4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调 幻方完成！ 单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方 方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>: 1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵, 2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵 3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止 六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中 传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横
图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。 图1 河图洛书图2 纵横图 长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。 杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九
长沙理工大学 《数据结构》课程设计报告 田晓辉 学 院 计算机与通信工程 专 业 计算机科学与技术 班 级 计08-01 学 号 200850080110 学生姓名 田晓辉 指导教师 陈倩诒 课程成绩 完成日期 2010年7月10日
课程设计成绩评定 学院计算机与通信工程专业计算机科学与技术班级计08-01学号200850080110 学生姓名田晓辉指导教师陈倩诒 完成日期2010年7月10日 指导教师对学生在课程设计中的评价 评分项目优良中及格不及格课程设计中的创造性成果 学生掌握课程内容的程度 课程设计完成情况 课程设计动手能力 文字表达 学习态度 规范要求 课程设计论文的质量 指导教师对课程设计的评定意见 综合成绩指导教师签字 2010年7月10日
课程设计任务书 计算机与通信工程学院计算机科学技术专业 课程名称数据结构课程设计时间2010学年第2学期18～19周学生姓名田晓辉指导老师陈倩诒 题目用C语言解决魔方阵问题 主要内容：建立一个n*n阶的矩阵，在这个矩阵中填入1到n2（n为奇数）个数，使得每行、每列以及每条对角线的和相等。 要求： （1）通过实际项目的分析、设计、编码、测试等工作，掌握用C 语言来开发和维护软件。 （2）按要求编写课程设计报告书，能正确编写分析、设计、编码、测试等技术文档和用户使用手册。 应当提交的文件： （1）课程设计学年论文。 （2）课程设计附件（主要是源程序）。
用C语言解决魔方阵的问题 学生姓名：田晓辉指导老师：陈倩诒 摘要本课程设计主要解决设计一个n×n的矩阵中填入1到n2的数字（n为奇数），使得每一行、每一列、每条对角线的累加和都相等的问题。在课程设计中，系统开发平台为Windows 7，程序设计语言采用Visual C++6.0，程序运行平台为Windows 98/2000/XP/7。在程序设计中，采用了C 语言结构化程序设计思想和过程设计方法，以功能函数为基本结构，对问题中的要求做出了准确的实现。程序通过调试运行，初步实现了设计目标。 关键词程序设计；C++6.0；结构化；过程设计；功能函数
幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标
五阶魔方降阶法 降阶法，顾名思义就是把魔方的阶数降下来。大家见得最多的魔方就是三阶魔方，一般的降阶法也是指的将高阶魔方降成三阶魔方来解。降阶法解高阶魔方的思路是：首先还原高阶魔方的面心，然后将各条棱对好，此时的魔方就基本变成了一个三阶魔方，然后再按照三阶魔方的解法复原即可。之所以说“基本”，是因为对于偶数阶魔方，有可能还需要一些特殊的处理，而奇数阶的魔方就肯定能直接还原。在最后按照三阶魔方还原的过程中，只能也只需要转动表面一层（偶数阶除外）。 三、指令公式系统介绍 在下文中，我将使用如下的指令系统 F——前面R——右面U——上面D——下面B——后面L左面字母表示对应的表面顺时针转动90度，在后面加'表示逆时针转动90度，加2表示转动180度。在字母前面加T表示转动两层，加M表示转动第二层，加M1表示转动中间层。如F R' U2 TB M1D' MF' TU2等。MR＝TR R' 对于五阶魔方来说，我们第一步来完成六面中心块的复原，第二步完成12个棱块的复原，第三步我们就完全可以用三阶的公式来完成复原了 四、各面中心块的还原 形成中心块，变成型如： 在我们完成中心块的时候，前面我们完全可以不用公式，自己根据玩魔方的经验，完全可以完成4面中心块的复原，只是在完成最后两面中心块的过程中为了保持已经完成的四面的中心块不被破坏，处理用的步骤稍微复杂一点，下面介绍的就是两个这样的公式，其实也就是一点点小小的技巧，很多朋友估计不看公式也是这样来完成的，在此，我们仅仅是提供一种思路，其中的一些技巧，大家可活学活用。中心块的还原可以分两步完成， 第一步，复原中心块中的“角块”。这一步可以只用1个公式TR U TR'(T右上 T右’)。 第二步，复原中心块中的“边块”。这一步也可以只用1个公式R TU' R' TU R TU' R' TU R' TU' R2 TU。 右 T上’右’ T上右 T上’右’ T上右’ T上’右2 T 上 TR U TR' U TR U2 TR'TR' F' M1R' F TR F' M1R
奇数阶幻方 教授（带图） 11 18 25 2 9 10 12 19 21 3 4 6 13 20 22 23 5 7 14 16 17 24 1 8 15 （1）五阶幻方
（2）七阶幻方
22 31 40 49 2 11 20 21 23 32 41 43 3 12 13 15 24 33 42 44 4 5 14 16 25 34 36 45 46 6 8 17 26 35 37 38 47 7 9 18 27 29 30 39 48 1 10 19 28 （1）幻方简介： 幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。 《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方 宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。 （2）解幻方方法： 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
还原 二阶魔方 第一步 还原底层这一步的目的是要将二阶魔方的其中一层还原，很简单，可以自己摸索着旋转，也可以使用二阶魔方初级教程中的第二步的两个公式：1、R' D' R 2、FDF'另外，还有两个也较常用的公式，但可记可不记，因为用上面两个
公式可以达成，使用这两个公式是为了省一两步：1、R'DR2、FD'F'。 上面的方法是很死板的，适合初学，可以自己加强对魔方的理解。关于这个理解，其实很简单，只要把二阶魔方当作一个三阶魔方就可以了，并且还要想象，想象魔方中间有一个永远不会被破坏的“十字架”，然后再把三阶魔方的公式给“套”上去。 第二步 还原顶面这个时候要把魔方倒过来了，就像三阶魔方一样。其实也可以在一开始的时候就把魔方倒过来做第二步的目的是将二阶魔方顶面还原。注意是顶面啊不是顶层，这步相当于三阶魔方的OLL，同样也可以使用三阶魔方的OLL 公式。这里使用的是GAN的高级公式，用初级方法也可以达到同样的目的。
第三步 还原顶层这一步，用一个公式就可以了，而且是最后一步，首先转转顶面看看是不是已经对好（概率1/6），如果不是就首先找一条边，这条边的两个角有相同的颜色（概率2/3），两角中间的棱颜色和下面两层的颜色我们不用关心。把这条边放在背面。这虽然是对于三阶魔方的方法，但同样可以应用到二阶魔方上。还有一种情况，是魔方相对的两个方块需要互换，这其实是三阶魔方中的四角互换。
过程: 第一步:底面---> 第二步:顶面(OLL) ---> 第三步:整体换 角(XLL)完成! 第一步：底面 这一步里十五秒的观察很重要,尽量在十五秒把第一面的完成步骤想好,争取在在两秒完成一面！ 第二步：OLL(第二面） 二阶的OLL并不是很多有如下几种，公式都很顺手。 OLL1 OLL2 OLL3 OLL4 R2 U2 R' U2 R'2 F RUR'U' RUR'U' F' F R U R' U' F' R U R' U' R' F R F' OLL5 OLL6 OLL7 F R' F' R U R U' R' R U' U' R' U' R U' R' R U R' U R U' U' R' 第三步：移形换位