两个平面平行的判定和性质（一） ●教学目标 (一)教学知识点 1．两个平面的位置关系． 2．两个平面平行的判定方法． (二)能力训练要求 1．等价转化思想在解决问题中的运用． 2．通过问题解决提高空间想象能力． (三)德育渗透目标 1．渗透问题相对论观点． 2．通过问题的证明寻求事物的统一性． ●教学重点 两个平面的位置关系；两个平面平行的判定． ●教学难点 判定定理、例题的证明． ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程． 平面的位置关系也需以实物(教室)为例，启发诱思完成．通过师生互议，解决例1问题． ●教具准备 投影片两张 第一张：(记作§9．5．1 A) 第二张：(记作§9．5．1 B)
●教学过程 Ⅰ．复习回顾 师生共同复习回顾，线面垂直定义，判定定理． 性质定理：归纳小结线面距离问题求解方法，以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题． 立体几何的问题解决：一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题；二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透，这些都需在实践中进一步体会． 下面继续研究面面位置关系． Ⅱ．讲授新课 1．两个平面的位置关系 除教材上例子外，我们以所在教室为例，观察面与面之间关系． ［师］观察教室前、后两个面，左、右两个面及上、下两个面都是平行的，而其相邻两个面是相交的．［师］打开教材竖直放在桌上，其间有许多个面，它们共同点是都经过一条直线．观察教室的门与其所在墙面关系，随着门的开启，门所在面与墙面始终有一条公共线．结合生观察教室的结论，引导其寻找平面公共点，然后给出定义． 定义：如果两个平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行． 如果两个平面有公共点，它们相交于一条公共直线． 两个平面的位置关系只有两种： (1)两个平面平行——没有公共点； (2)两个平面相交——有一条公共直线． ［师］两个平面平行，如平面α和平面β平行，记作α∥β． 下面给出两个示意图，同学们考虑哪个较直观？ ［生］图(1)较直观，图(2)不直观． ［师］从以上两种画法，告诉我们画图过程中应注意什么？图(2)为何不直观？
线面、面面平行的判定与性质 基础巩固强化 1.(文)(2011·北京海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 ．．的是() A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β [答案] D [解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立． (理)(2011·泰安模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案] D [解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确． 2．(文)(2011·邯郸期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是() A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β [答案] D [解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·浙江省温州市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β [答案] D [解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D. 3．(2011·宁波模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是() A．若α∥β，l?α，则l∥β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β [答案] C [解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.
高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习
面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 判定定理2 2.面面平行的性质 文字 图形 几何符号 简称 性质定理1 性质定理2 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F
F E D B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD . 4. 在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面 ABCD ，4PA . （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所 成角的正弦值为33，求PQ PB 的值． 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. P D C B A C A F E B M D
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
线面、面面关系的判定与性质 一、线面关系的转换网络图 1﹒线线平行： （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性）﹒ （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 这条直线和交线平行（线面平行→线线平行）﹒ （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行 →线线平行）﹒ （12）线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行﹒ 2﹒线线垂直： （9）线面垂直的性质：一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线（线面垂直→线线垂直）其它判定方法：利用平面几何中证明线线垂直的方法（如勾股定理，等腰直角三角形底边上的高，正方形（菱形）的对角线等）﹒ 3﹒线面平行： （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行（线线平行→线面平行）﹒ （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平行→线 面平行）﹒ 4﹒线面垂直： （7）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面（线线 垂直→线面垂直）﹒ （11）线面垂直的判定定理推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个 平面﹒ （14）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面﹒
（10）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个 平面（面面垂直→则线面垂直）﹒ 5﹒面面平行： （4）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行（线面 平行→面面平行）﹒ （13）定理：垂直于同一条直线的两个平面平行﹒ 6﹒面面垂直： （8）面面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，另一个平面过这条线，则这两个平面垂直 （面面垂直→则线面垂直）﹒ 7.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 这个角的范围为]90,0[0 . （2）斜线与平面成角计算一般步骤： ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把这个角放在三角形中计算. 注：斜线PA 与平面α所成的角为PAB ∠，其中α平面⊥PB . 二、典型例题 例1：三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥， 0 90=∠BAC ，证明：PAC BA 平面⊥. （判定定理、定义） 变式1：三棱锥ABC P -中，PA AC ⊥，ABC ?满足0 90=∠BAC ， AC PA =，D 是边PC 的中点， 证明：DAB PC 平面⊥. （判定定理、定义、等腰三角形的高） C B A P C D A P B P A B α
一、直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点 符号表示a?αa∩α=A a||α 图形表示 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b在平面α内，直线a在平面α外，猜想在什么条件下直线a与平面α平行.（a||b） 直线与平面平行的判断 判定 文字描述直线和平面在空间平面永无交点，则 直线和平面平行（定义） 平面外的一条直线一次平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行
图形 条件a与α无交点 结论a∥αb∥α ※判定定理的证明 知识点二、直线与平面平行的性质 性质 文字描述一条直线与一个平面平行， 则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平 面相交，这条直线和交线平行． 图形 条件a∥αa∥αa?βα∩β＝b 结论a∩α＝?a∥b 线面平行，则线线平行
特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 知识点三、平面与平面平行的判定 判定 文字描述如果两个平面无公共 点，责成这两个平面平 行一个平面内有两条相 交直线与另一个平面 平行，那么这两个平面 平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平 面垂直。 图形 条件α∩β＝?a，b?β a∩b＝P a∥α b∥αl⊥αl⊥β 结论α∥βα∥βα∥β
2.2 线面平行、面面平行的判定 例题解读: 例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. 例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线 求证：//MN 平面BCE 例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、 例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD.
例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO? 巩固练习： 1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对 4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤ 6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( ) (1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α (2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
高中数学-立体几何典型例题一 例1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b =I ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：α?b 或A b =αI ； （2）由图（2）可知：α//b 或α?b ． 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内， 且OQ 是 APC ?的中位线， ∴OQ PC //． ∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行． 典型例题三
例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面； （2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a =''I ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面． 说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α?b ． 求证：α//b ． 证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β． 设c =βαI ， ∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //． ∵α?b ，α?c ， ∴α//b ． 说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的． 典型例题五 例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角． AB SC 、分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移
面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 （ 判定定理2 ] 2.面面平行的性质 文字 图形 " 几何符号 简称 性质定理1 ， 性质定理2 [ 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. * 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A A B 1 C 1 C D 1 D G ， F
F E " B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF PBD 4. 在四棱锥P ABCD 中， AB CD AB AD 4,22,2AB AD CD PA ABCD 4PA / （Ⅰ）设平面 PAB 平面 PCD m =，求证： CD m BD ⊥PAC Q PB QC PAC 33PQ PB 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大 & 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. 6.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ． （Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值． ？ 7 如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足 P D C B A C A F E B M D
直线、平面平行的判定及其性质 1.下列命题中，正确命题的是④ . ①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥; ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序 号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 ①②③ 3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m⊥，m⊥n，则n∥ ②若m∥，n∥，则m∥n
③若m，n∥，则m∥n ④若m、n与所成的角相等，则m∥n 答案①②④ 4.已知直线,平面，则以下三个命题： ①若a∥,则a∥; ②若a∥∥,则b∥; ③若a∥∥,则a∥b. 其中真命题的个数是 . 答案0 5.直线平面M,直线,那么是的条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6.能保证直线a与平面平行的条件是 A. B. C. D.且 7.如果直线a平行于平面,则 A.平面内有且只有一直线与a平行 B.平面内无数条 直线与a平行 C.平面内不存在与a平行的直线 D.平面内的任意直 线与直线a都平行
8.如果两直线a∥b,且a∥平面,则b与的位置关系 A.相交 B. C. D.或 9.下列命题正确的个数是 10.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是 与α内的一条直线不相交与α内的两条直线不相交 与α内的无数条直线不相交与α内的所有直线不相交 12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置 关系 ∥α与α相交α∥α或b与α相交 13.如图所示，已知S是正三角形所在平面外的一点，且， 为△上的高，D、E、F分别是、、的中点，试判断与平面的位置关系，并给予证明.
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 b a a b a b D 1 C 1B 1A 1 D C B A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
2.2.1 直线与平面平行的判定 ：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ） 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行. （符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题 判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b 求证： a∥α 例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分 别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明： 例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面 AEC 的位置 关系，说明理由 a A F 点 B C1 C B
三练习： 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． ○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行； ○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ； ○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○ 4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面） ①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交 5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） . A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 . 7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？ 8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D 2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.
典型例题一 例1：已知正方体ABCD-ABQD,. 求证：平面 ABQ,//平面GBD . 证明：T ABCD-A1B1C1D1为正方体，??? D1A//C1B , 又GB二平面C1BD , 故D1A//平面GBD . 同理D1B1 //平面 C1BD . 又D1A D1B^ -D1, ?平面AB1D1//平面GBD . 说明：上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明，只需连接AC即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离. 典型例题二 例2：如图，已知'■ // '■ , A a , A三卅a // ：. 证明：过直线a作一平面， 求证：a :-. :=耳,- =b . T I ? a^/b 又a/L
/. a//b 在同一个平面内过同一点A有两条直线a,ai与直线b平行 二a与ai重合，即a二：-. 说明：本题也可以用反证法进行证明. 典型例题三 例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交. 已知：如图，〉// I “A. 求证：丨与］相交. 证明：在［上取一点B，过I和B作平面，由于与a有公共点A , 与1有公共点B . 二与〉、［都相交. 设=a，: = b . T ： // '■ /. a//b 又I、a、b都在平面内，且I和a交于A . T I与b相交. 所以I与1相交.
典型例题四 例4:已知平面:// - , AB , CD为夹在a, CD的中点. 求证：EF //■ , EF // -. 证明：连接AF并延长交［于G . ?/ AG CD=F ??? AG , CD确定平面，且 :=AC , '■ = DG . ，所以AC // DG , .ACF =/GDF , 又.AFC "DFG , CF =DF , △ ACF 也厶DFG . ? AF =FG . 又AE =BE , ??? EF // BG , BG 故EF // . 同理EF // : 说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理. 典型例题六 例6如图，已知矩形ABCD的四个顶点在平面上的射影分别为
线面、面面平行的判定、性质定理 1、已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系 是（ ） Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a ，b 相交但不垂直 Ｄ．a ，b 异面 2、已知：b αβ=，a α//，a β//，则a 与b 的位置关系 是（ ）． Ａ．a b // Ｂ．a b ⊥ Ｃ．a 、b 相交但不垂直 Ｄ．a 、b 异面 3、过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为（ ） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 4、a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是（ ） Ａ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在 Ｂ．过A 有且只有一个平面平行于a 和b Ｃ．过A 至少有一个平面平行于a 和b Ｄ．过A 有无数个平面平行于a 和b 5、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 6、如图，正方形ABCD 的边长为13，平面ABCD 外一点P 到正方形各顶点的距离都是13，M ，N 分别是PA ，DB 上的点，且58PM MA BN ND ==∶∶∶． （1）求证：直线MN //平面PBC ； （2）求线段MN 的长． 7、如图，已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点， 求证：PD //平面MAC ． 8、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ， 11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ． 9、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，试作出过AC 且与直线1D B 平行的截面，并说明理由． 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：平面 1A BD //平面11CD B ． 11、如图，M 、N 、P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且 AM MB CN NB CP PD ==∶∶∶． 求证：（１）AC //平面MNP ，BD //平面MNP ； （２）平面MNP 与平面ACD 的交线AC //． 12、如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ． 13、如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E 、F 分别是PA 、BD 上的点且::PE EA BF FD =，求证：EF //平面PBC ． A C 1 C A 1 C 1 C A 1 C 1C A D
平面与平面平行的判定与性质 一、选择题 1．平面α∥平面β，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，则直线AC ∥直线B D 的充要条件是（ ） A ．A B ∥CD B ．AD ∥CB C ．AB 与C D 相交 D ．A 、B 、C 、D 四点共面 2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 3．平面α∥平面β，直线a ?α，P ∈β，则过点P 的直线中（ ） A ．不存在与α平行的直线 B ．不一定存在与α平行的直线 C ．有且只有—条直线与a 平行 D ．有无数条与a 平行的直线 4．下列命题中为真命题的是（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．垂直于同一条直线的两个平面平行 C ．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D ．若三直线a 、b 、c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 均平行． 5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d ，l ?α，l ′?β,则l 与l ′之间的距离的取值范围为（ ） A ．（d ，∞） B ．（d ，＋∞） C ．{d} D ．（0，∞） 6．已知直线a 、b 、c ?α，且a ∥β、b ∥β、c ∥β，则“a 、b 、c 到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要的条件 7．给出以下命题： ①夹在两个平行平面间的线段，较长的与平面所成的角较小； ②夹在两个平行平面间的线段，如果它们的长度相等，则它们必平行； ③夹在两个平行平面间的线段，如果它的长度相等，则它们与平面所成的角也相等； ④在过定点P 的直线中，被两平行平面所截得的线段长为d 的直线有且只有一条，则两平行平面间的距离也为d 其中假命题共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．设α∥β，P ∈α，Q ∈β当P 、Q 分别在平面α、β内运动时，线段PQ 的中点X 也随着运动，则所有的动点X （ ） A ．不共面 B ．当且仅当P 、Q 分别在两条平行直线上移动时才共面 C ．当且仅当P 、Q 分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D ．无论P 、Q 如何运动都共面 二、填空题 9．已知α∥β且α与β间的距离为d ，直线a 与α相交于点A 与β相交于B ，若 d AB 332= ，则直线a 与α所成的角＝___________． 10．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若P A ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则ＢD 的长为__________． 11．已知点A 、B 到平面α的距离分别为d 与3d ，则A 、B 的中点到平面α的距离为________． 12．已知平面α内存在着n 个点，它们任何三点不共线，若“这n 个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n 的最小值为_________． 三、解答题
线面、面面平行的判定与性质 一、线线、线面、面面平行间的相互转化 （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性） （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行（线线平行→线面平行） （3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行 （线面平行→面面平行） （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行） （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平 行→线面平行） （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面 面平行→线线平行） 三、证明线线平行的方法： （1）线线平行的传递性； （2）三角形中位线； （3）平行四边形对边平行； （4）三角形中对应边成比例； （5）线面平行的性质定理. 三、典型例题 例：已知四棱锥ABCD P ,E 是PD 的中点.证明：ACE PB 面// E P D B A C
变式1：已知四棱锥ABCD P -,E 是AD 的中点，F 是PB 的中点.证明：ACE PB 面//. 变式2：已知四棱锥ABCD P -,BC EF //,EFHG 平面与ABCD 平面相交于HG ， PB HI //,证明:PBC IG 面//. 四、巩固训练 1.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边的中点.求证：1AC ∥平面1CDB . P D B A C E F E P D B A C F G H I B A C A 1 B 1 C 1 D
直线与平面平行的判定和性质
（二）新授内容 1．如何判定直线与平面平行 在平面外能不能说明直线与平面平行？ 不能说明直线与平面平行） ②直线与平面平行的判定定理 面平行。 已知：a?α，b?α，且a∥ 求证：a∥α 师：你们会采用什么方法证明定理？ 证明：∵ a∥b∴经过a,b确定一个平面β ∵a?α，b?α∴α与β是两个不同的平面。∵b?α，且b?β∴α∩β 假设a与α有公共点P，则P∈α∩β＝ 点P是a、b的公共点这与a∥b矛盾，∴a∥α例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是面BCD 证明：连结BD AE＝EB ?EF∥BD AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面 BD ?平面BCD 评析：要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD 证明线面平行的问题转化为证明直线的平行2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行， 这条直线和交线平行。 已知：a∥α，a?β,α∩β＝b（如右图） 求证：a∥b
证明：α∩β＝b ?b ?a a ?β a ∥α ? a ∩b=φ ?a ∥ b b ?β 评析：证明用到了“同一平面的两直线没有公共点，则它们平行” 例2、如图，平面α、β、γ两两相交，a 、b 、c 为三条交线，且a ∥b ，那么a 与c 、b 与c 有什么关系？为什么？ 师：猜a 与c 什么关系？生：平行 师：已知a ∥b 能得出什么结论，怎样又可征得a ∥c 解：依题可知：α∩γ=a,β∩γ=b,α∩β借助多媒体将 ∵a ?α,b ?α,且a ∥b ∴b ∥α 图形多角度展 又∵b ? β, α∩ β=C ∴b ∥示，便于观察 又∵a ∥b, ∴a ∥c 师：b ∥α,过b 且与α相交的平面有多少个？这些交线的位置关系如何？ 多媒体展示过 生：有无数条交线，且它们相互平行。 程 注： ①性质定理也可概括为由“线面平行”证得“线线平行” ②过b 且与α相交的平面有无数个，这些平面与α的交线也有无数条，且这些交线都互相平行 3．练习 ①能保证直线a 与平面α平行的条件是（ A ） A.a ?α,b ?α,a ∥b B .b ?α,a ∥b C. b ?α,c ∥α,a ∥b,a ∥c D. b ?α,A ∈a,B ∈a,C ∈b ,D ∈b 且AC ＝BD ②下列命题正确的是（ D F ） A. 平行于同一平面的两条直线平行 B. 若直线a ∥α,则平面α内有且仅有一条直线与a 平行 C. 若直线a ∥α,则平面α内任一条直线都与a 平行 D. 若直线a ∥α,则平面α内有无数条直线与a 平行 E. 如果a 、b 是两条直线，且a ∥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面 F. 如果直线a 、b 和平面α满足a ∥b ，a ∥α,b ?α，那么b ∥α ③若两直线a 与b 相交，且a 平行于平面α，则b 与α的位置关系是 平行或相交 ④如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一矩形。 （1）求证：CD ∥平面EFGH ； （2）求异面直线AB 、CD 所成的角
