![线面、面面平行的判定和性质随堂练习[附含答案]](https://img.doczj.com/img88/1fw1zbivz09ma5wu1k5hjx03684n0nta-81.webp)
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线面、面面平行的判定与性质
基础巩固强化
1.(文)(2011·海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α不同于l
的直线，那么下列命题中错误
．．的是( )
A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β
C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β
[答案] D
[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立．
(理)(2011·模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β
[答案] D
[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β，选项D正确．
2．(文)(2011·期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( )
A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β
[答案] D
[解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·省市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．α∥β，m?α，n?β?m∥n
B．l⊥β，α⊥β?l∥α
C．m⊥α，m⊥n?n∥α
D．α∥β，l⊥α?l⊥β
[答案] D
[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D.
3．(2011·模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( )
A．若α∥β，l?α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β
[答案] C
[解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C.
4．(2011·揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( )
A．α的所有直线与a异面
B ．α与a 平行的直线不存在
C ．α存在唯一的直线与a 平行
D ．α的直线与a 都相交 [答案] B
[解析] 由条件知a 与α相交，故在平面α的直线与a 相交或异面，不存在与a 平行的直线．
5．(2012·二模)三棱锥的三组相对的棱(相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱)分别相等，且长分别为2、m 、n ，其中m 2＋n 2＝6，则该三棱锥体积的最大值为( )
A.12
B.8327
C.33
D.23
[答案] D
[解析] 令m ＝n ，由m 2＋n 2＝6得m ＝n ＝3，取AB 的中点E ，则BE ＝22，PB ＝3，∴PE ＝102，CE ＝10
2
，∴EF ＝2，
∴V P －ABC ＝13S △PEC ·AB ＝13×(12×2×2)×2＝23，∵23>12，∴23>33，
23>83
27
，故选D.
6．(2011·模拟)下列命题中，是假命题的是( )
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B．平面α∥平面β，a?α，过β的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
[答案] D
[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β经过B 点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C
真；正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．
7．(2012·东城区综合练习)在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β；
④若平面α的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.
其中正确命题的序号为________．
[答案]②
[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；
②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．
8．(2011·文，15)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E 为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[答案] 2
[解析]∵EF∥平面AB1C，
平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，∴EF∥AC，
∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，
∴EF＝1
2AC＝
1
2
×22＝ 2.
9．(2011·一检)已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确命题的序号是________．
[答案]②④
[解析]对于①，直线m可能位于平面α，此时不能得出m∥α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥β，所
以α∥β，因此②正确；对于③，直线m，n可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.
10．(文)(2012·文，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
(2)求三棱锥A′－MNC的体积(锥体体积公式V＝1
3
Sh，其中S为
底面面积，h为高)．
[分析] (1)欲证MN∥平面A′ACC′，须在平面A′ACC′找到一条直线与MN平行，由于M、N分别为A′B，B′C′的中点，B′C′与平面A′ACC′相交，又M为直三棱柱侧面ABB′A′的对角线A′B 的中点，从而M为AB′的中点，故MN为△AB′C′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A′－MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决，视A′MC为底面，
则S△A′MC＝1
2
S△A′BC，∴V A′－MNC＝
1
2
V N－A′BC，又V N－A′BC＝V A′－NBC，易知A′N
为三棱锥A′－NBC的高，于是易得待求体积．
[解析](1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，
AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，
AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
(2)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
又A′N＝1
2
B′C′＝1，
故V A′－MNC＝V N－A′MC＝1
2
V N－A′BC＝
1
2
V A′－NBC＝
1
6
.
[点评] 本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P 为A′B′的中点)来证明；
(2)还可利用割补法求解．
(理)(2012·文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1；
②BA1⊥平面B1C1EF；
(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．
[分析] (1)①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行?线线平行”可推证．
②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证BA1⊥B1C1，只需证B1C1⊥平面AA1B1B，要证BA1⊥B1F，通过在侧面正方形AA1B1B 中计算证明即可．
(2)设BA1与B1F交于点H，连结C1H，则∠BC1H就是所求的角．
[解析](1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1?平面ADD1A1，
∴C1B1∥平面A1D1DA.
又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，
∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.
②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，
又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1. 在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，
tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝
2
2
，即
∠A1B1F＝∠AA1B，
∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，
所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中，由AB＝2，AA1＝2，得BH＝4
6 .
在Rt△BHC1中，由BC1＝25，BH＝4
6得，
sin∠BC1H＝BH
BC1
＝
30
15
.
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是
30 15
.
[点评] 本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.
能力拓展提升
11.(文)(2011·模拟)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[答案] C
[解析]①设α∩β＝a，当l，m都与a相交且交点不重合时，满足①的条件，故①假；②中分别在两个平行平面的两条直线可能平行，也可能异面，故②假；由三棱柱知③真；故选C.
(理)
如图，在三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、K 分别为AC ′、
CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心．从K 、H 、G 、B ′中
取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为( )
A ．K
B ．H
C ．G
D ．B ′
[答案] C
[解析] 假如平面PEF 与侧棱BB ′平行则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FK ∥BB ′，排除A ；假如P 为B ′点，则平面PEF 即平面A ′B ′C ，此平面只与一条侧棱AB 平行，排除D.
若P 为H 点，则HF 为△BA ′C ′的中位线，∴HF ∥A ′C ′；EF 为△ABC ′的中位线，∴EF ∥AB ，HE 为△AB ′C ′的中位线，∴HE ∥
B ′
C ′，显然不合题意，排除B.
[点评] 此题中，∵EF 是△ABC ′的中位线，∴EF ∥AB ∥A ′B ′，故点P 只要使得平面PEF 与其他各棱均不平行即可，故选G 点．
12．(文)(2012·文，7)若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为( )
A.11
2 B ．5 C.92
D ．4
[答案] D
[解析]由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S＝2×[1 2
×(1＋3)×1]＝4，高为1.所以体积V＝4.
(理)(2012·文，6)下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
[答案] C
[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等位置关系的判定与性质，
对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，平面可相交．D选项这两个平面可相交(可联系墙角)，而C项可利用线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．
13．(2012·二模)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．
①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；
④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．
[答案]①③④
[解析]①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这
条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P 也可能没有一条直线与l ，m 都相交；④是假命题，因为过点P 可以作出无数条直线与l ，m 都异面，这无数条直线在过点P 且与l ，m 都平行的平面上．
[点评] 第③个命题易判断错误．当点P 与l 确定的平面α∥m 时，或点P 与m 确定的平面β∥l 时，过点P 与l 、m 都相交的直线不存在．
14．(2012·一模)过两平行平面α、β外的一点P 作两条直线，分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD ＝________.
[答案] 12
[解析] 由面面平行的性质定理可知AC ∥BD ，又由平行线分线
段成比例定理可得PA PB ＝AC BD ，即68＝9
BD
，得BD ＝12.
15．(文)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AB ⊥BB 1，AC ＝BC ＝BB 1＝2，D 为AB 的中点，且CD ⊥DA 1.
(1)求证：BB 1⊥平面ABC ； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D ；
(3)求三棱锥B 1－A 1DC 的体积．
[解析] (1)∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ， 又∵CD ⊥DA 1，∴CD ⊥平面ABB 1A 1，∴CD ⊥BB 1， 又BB 1⊥AB ，AB ∩CD ＝D ， ∴BB 1⊥平面ABC .
(2)连接BC 1，连接AC 1交CA 1于E ，连接DE ，易知E 是AC 1的中点，又D 是AB 的中点，则DE ∥BC 1，又DE ?平面CA 1D ，BC 1?平面CA 1D ，
∴BC 1∥平面CA 1D .
(3)由(1)知CD ⊥平面AA 1B 1B ， 故CD 是三棱锥C －A 1B 1D 的高，
在Rt △ACB 中，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，CD ＝2， 又BB 1＝2，∴V B 1
－A 1
DC ＝V C －A 1B 1
D ＝1
3
S △A 1B 1
D ·CD
＝16A 1B 1×B 1B ×CD ＝16×22×2×2＝43
. (理)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12
CD .
(1)求证：BC⊥平面ABPE；
(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
[解析](1)∵PO⊥平面ABCD，
BC?平面ABCD，∴BC⊥PO，
又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
又EA∥PO，AO?平面ABP，
∴EA?平面ABP，∴BC⊥平面ABPE.
(2)点E即为所求的点，即点M与点E重合．
取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，
∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，
又EA与PO都与平面ABCD垂直，∴EF∥AB，
∴F为PB的中点，∴NF＝1
2
OB＝1，∴EF＝2，
又CD＝2，EF∥AB∥CD，
∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，
∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC.
∴当M与E重合时，DM∥平面PBC.
16.
(2012·海淀区二模)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB、BB′、B′C′、C′D′的中点分别为E、F、G、H，如图所示．
(1)求证：AD′∥平面EFG；
(2)求证：A′C⊥平面EFG；
(3)判断点A、D′、H、F是否共面，并说明理由．
[解析]
(1)证明：连结BC′.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.
所以四边形ABC′D′是平行四边形．
所以AD′∥BC′.
因为F、G分别是BB′、B′C′的中点，
所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.
因为EF、AD′是异面直线，所以AD′?平面EFG.
因为FG?平面EFG，所以AD′∥平面EFG.
(2)证明：连结B′C.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′?平面BCC′B′，
所以A′B′⊥BC′.
在正方体BCC′B′中，B′C⊥BC′，
因为A′B′?平面A′B′C，
B′C′?平面A′B′C，A′B′∩B′C′＝B′，
所以BC′⊥平面A′B′C.
因为A′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.
因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG.
同理可证：A′C⊥EF.
因为EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG＝F，
所以A′C⊥平面EFG.
(3)点A、D′、H、F不共面．理由如下：
假设A、D′、H、F共面．连结C′F、AF、HF.
由(1)知，AD′∥BC′，
因为BC′?平面BCC′B′，AD′?平面BCC′B′.
所以AD′∥平面BCC′B′.
因为C′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.
因为AD′?平面AD′HF，所以AD′∥C′F.
所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．
所以A，D′、H、F点不共面．
1．设m、l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
[答案] B
[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
这个平面，故选B.
2.
如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，请求出此时PF FC的值；如果不存在，请说明理由．
[解析](1)因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD ＝AC＝a.
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB.
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)连结BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM∥平面AEC，在△PCE中过M作MF∥CE交PC 于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD 的中点．
又由PE:ED＝2:1，∴M为PE的中点，
又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PF:FC＝1.
3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EF∥
线面、面面平行的判定与性质定理 知识梳理 线面平行判定定理________________________符号： 性质定理________________________符号： 面面平行判定定理________________________符号： 性质定理________________________符号： 1、在正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，E、F分别为BC、1 1 D C的中点。 求证：EF∥平面D D BB 1 1 。 2、在正方形 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，P、Q分别为 1 AD、BD的中点。 证明：PQ∥平面 1 1 D DCC； 3、正方体中 1 1 1 1 D C B A ABCD-中，M，N，E，F分别是棱 1 1 B A， 1 1 D A， 1 1 C B， 1 1 D C的中点。 求证：平面AMN∥平面EFDB。 4、已知三棱柱 1 1 1 C B A ABC-中，D为线段 1 1 C A中点。 求证： 1 BC∥平面D AB 1 5、四棱锥P-ABCD中，E、F分别在PA、BD上，且有PE：EA=BF：FD，证明：EF//平面PBC。 6.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE. 7．如图所示，正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，侧面对角线AB 1 ，BC 1 上分别有两点E，F，且B 1 E=C 1 F. 求证：EF∥平面ABCD. 8、如图,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别
线面平行的判定定理和性质定理 教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
教学目的： 1.掌握空间直线和平面的位置关系； 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点：线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节有两个知识点，直线与平面和平面与平面平行，直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系，其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程： 一、复习引入： 1 空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ?． 3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线
7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：2 , 0(π 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． 9．求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交．．．．的直线，我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度， 叫做两条异面直线间的距离． 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课： 1．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内（无数个公共点）； （2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）； （3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类． a α?，a A α=，//a α． a α a α 2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 推理模式：,,////l m l m l ααα???． 证明：假设直线l 不平行与平面α， ∵l α?，∴l P α=， 若P m ∈，则和//l m 矛盾， 若P m ?，则l 和m 成异面直线，也和//l m 矛盾，
在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法 一、两条直线平行的判定方法 （1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义） （2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。 如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角 互补，则两直线平行。 ②三角形、梯形中位线定理。 ③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。 ④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。 （3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。 （5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。 （6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 （7）用向量证明。 二、一条直线和一个平面平行的判定 （1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义） （2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。 （3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面. （线面平行的性质）。 （4）向量法。 三、两个平面平行的判定 （1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义） （2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。 （3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 （4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。 （5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
. 线面，面面平行证明 一．线面平行的判定 1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行. 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 3.符号表示为：,,////a b a b a ααα??? 二．面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 符号语言:_____________________________________________________________________ 选择题 1．已知直线1l 、2l , 平面α, 1l ∥2l , 1l ∥α, 那么2l 与平面α的关系是（ ）. A. 1l ∥α B. 2l ?α C. 2l ∥α或2l ?α D. 2l 与α相交 2．以下说法（其中a ，b 表示直线，α表示平面） ①若a ∥b ，b ?α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ?α，则a ∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是（ ）. A. b ∥α B. b 与α相交 C. b ?α D. b ∥α或b 与α相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB ?α 5．如果点M 是两条异面直线外的一点，则过点M 且与a ，b 都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个 6 .已知两条相交直线ａ、ｂ，ａ∥平面α，则ｂ与平面α的位置关系 ( ) A ｂ∥α B ｂ与α相交 C ｂ?α D ｂ∥α或ｂ与α相交 7．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题： ① ////m m αββα????? ② //////m n n m β β? ??? ③ ,m m n n αβ?? ????异面 其中假命题有 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 8．若将直线、平面都看成点的集合，则直线ｌ∥平面α可表示为 ( ) A ｌ?α B ｌ?α C ｌ≠α D ｌ∩α＝? 9．平行于同一个平面的两条直线的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或相交或异面 10．下列命题中正确的是( ) ① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 ③若一个平面内任何一条直线都平行于零一个平面,则这两个平面平行 ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于零一个平面,则这两个平面平行
2.2.1 线面与面面平行的判定 【使用说明及学法指导】 1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲； 2．小组合作，动手实践。 【学习目标】 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用； 【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用 一、自主学习 1.预习教材P54～ P57,完成下列问题 复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________. 讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？ 2.导学提纲 探究1：直线与平面平行的背景分析 实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动 的一边l与墙所在的平面位置关系如何？ 实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？ 结论： 探究2：直线与平面平行的判定定理 问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一 结论表示出来吗？ 直线与平面平行的判定定理 定理： 反思：思考下列问题 ⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？
探究3：两个平面平行的判定定理 问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 吗？由此你可以得到什么结论？ 问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外 一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？ 试试：在长方体中，回答下列问题 面,AA∥面BB C C，则面AA B B∥面BB C C吗？ ⑴如下图，AA AA B B 面，则A ADD 面吗？ 面∥DCC D ⑵如下图6-2，AA∥EF，AA∥DCC D 面，EF∥DCC D ⑶如下图，直线A C和B D相交，且A C、B D都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A B C D∥平面ABCD吗？ 反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？ 两个平面平行的判定定理： 如图所示，∥. 反思： ⑴定理的实质是什么? ⑵用符号语言把定理表示出来. 二、典型例题 例1. 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？
2.2.1 直线与平面平行的判定及性质教学设计 一、教材分析 直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、教学目标 1、知识与技能 （1）通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用。 （2）进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想像能力。 2、过程与方法 （1）启发式：以实物（门、书、景色）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。 （2）指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用。 3、情感态度与价值观 （1）让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。 （2）在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。 三、教学的重点与难点 教学重点：直线和平面平行的判定定理的发现及其应用。 教学难点：从生活经验归纳发现直线和平面平行的判定定理。 四、教学过程 （一）引入新课 1、内容回顾，老师带领学生复习直线与平面的已学内容。 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的 点都在这个平面内） 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面没有公共点——直线与平面平行
直线与平面平行 2、直观感知 老师提问学生：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 学生举例：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 （二）新授内容 1、如何判定直线与平面平行： 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那 么这条直线和这个平面平行。 老师给学生讲解例题： 例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于 经过另外两边的平面。 已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的 中点。求证：EF∥平面BCD AE＝EB ?EF∥BD AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面BCD BD ?平面BCD 2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和
线面、面面平行的判定、性质定理 1、已知： b ，a//， a//，则 a 与b的位置关系是（） Ａ． a// bＢ． a b Ｃ． a ，b相交但不垂直Ｄ． a ，b异面 2、已知： b ，a//，a//，则a与b的位置关系是（）． Ａ． a// bＢ．a b Ｃ． a 、b相交但不垂直Ｄ．a、b异面 3、过平面外的直线l ，作一组平面与相交，如果所得的交线为 a ， b ， c ，?，则这些交线的位置关系为（） Ａ．都平行 Ｂ．都相交且一定交于同一点 Ｃ．都相交但不一定交于同一点 Ｄ．都平行或都交于同一点 4、 a ， b 是两条异面直线， A 是不在a，b上的点，则下列结论成立的是（） Ａ．过 A 且平行于 a 和 b 的平面可能不存在 Ｂ．过 A 有且只有一个平面平行于 a 和 b Ｃ．过 A 至少有一个平面平行于 a 和 b Ｄ．过 A 有无数个平面平行于 a 和 b 5、如图，已知点P 是平行四边形AB C D 所在平面外的一点， E ， F 分别是 P A ， B D 上的点且 PE∶EA BF ∶FD ，求证：EF//平面PBC． P E D C F 6、如图，正方形 A BC D的边长为1 3，平面 A BC D 外一点 P 到正方形各顶点的距离都是13 ，M，N 分别是 PA ， DB 上的点，且 PM ∶M A BN∶ND 5∶8 ． （ 1）求证：直线 MN // 平面PBC； P （ 2）求线段M N的长． M D C E N A B 7、如图，已知P 为平行四边形 A B C D 所在平面外一点，M 为 PB 的中点， 求证： PD //平面MAC ．P M B A C D 8、如图，在正方体ABC D A1B1C 1D1中，E ，F 分别是棱 B C ， C 1 D 1的中点，求证：EF //平面BB1D1D ．D1F C 1 A 1 B1 D C A B A B E
2.2 线面平行、面面平行的判定 例题解读: 例1.如图，ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点，M 为SC 的中点. 求证：SA ∥平面MDB. 例2.正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线 求证：//MN 平面BCE 例3.已知ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH、 例4. 如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心.求证：PQ ∥平面ACD.
例5.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO? 巩固练习： 1.若α//l ，α∈A ，则下列说法正确的是（ ） A.过A 在平面α内可作无数条直线与l 平行 B.过A 在平面α内仅可作一条直线与l 平行 C.过A 在平面α内可作两条直线与l 平行 D.与A 的位置有关 2.若直线a∥直线b ，且a∥平面α，则b 与a 的位置关系是（ ） A 、一定平行 B 、不平行 C 、平行或相交 D 、平行或在平面内 3. 如图在四面体中，若直线EF 和GH 相交，则它们的交点一定（ ）. A.在直线DB 上B.在直线AB 上 C.在直线CB 上 D.都不对 4.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线( A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 5.已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ?α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的( ) A ．①④ B．①⑤C．②⑤ D．③⑤ 6.若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是 () A.α?l B.α//l C.αα//l l 或? D.相交和αl 7若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交且垂直 8.若直线l 上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.相交C.平行或相交 D.平行、相交或在平面α内 9.下列命题正确的个数是( ) (1)若直线l 上有无数个点不在α内，则l ∥α (2)若直线l 与平面α平行，l 与平面α内的任意一直线平行 (3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行 (4)若一直线a 和平面α内一直线b 平行，则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
《线面平行判定定理及性质定理的应用》学案 例1.（13山东）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。 （Ⅰ）求证：AB//GH ； （Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 例2. （13安徽）如图，圆锥顶点为p 。底面圆心为o ，其母线与底面所成的角为22.5°。 AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°， （Ⅰ）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （Ⅱ）求cos COD ∠。 练习： 1．如图，在四棱锥ABCD P -中，PA=PB ，底面ABCD 是菱形，且0 60=∠ABC ，点M 是AB 的中点，点E 在棱PD 上，满足DE=2PE ，求证：EMC //面PB 。 A P E B C D
2．如图，四棱锥ABCD E -，ABCD 为直角梯形，ABE 为直角三角形， EB EA BC CD AB BC AB CD AB ⊥==⊥,22,,//。问：线段EA 上是否存在点F ，使FBD //面EC ，若存在，求出 EA EF 的值；若不存在，说明理由。 3．如图，五面体4AB 111=-中，B BCC A ，底面ABC 是正三角形，AB=2.四边形1 1B BCC 是矩形。问：D 在AC 上运动，当D 在何处时，有11BDC //AB 面，并说明理由。 4．(12福建改编)如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，11==AD AA ，E 为CD 中点。 问：在棱1AA 上是否存在一点P ，使得//DP 平面AE B 1？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由。 A B C D E B C D 1 C 1 B
直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一 直线与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ? ??? ? a ?α b ?αa ∥b ?a ∥α 思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二 平面与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ? ??? ? a ?α， b ?αa ∩b ＝A a ∥β，b ∥β?α∥β 思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一 直线与平面平行的判定定理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. 求证：(1)EH ∥平面BCD ； (2)BD ∥平面EFGH . 证明 (1)∵EH 为△ABD 的中位线， ∴EH ∥BD . ∵EH ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，
∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1綊BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
2.2.1 直线与平面平行的判定 ：知识要点 直线与平面平行的判断方法有两种 1 根据定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . （ 一般用反证法． ） 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平 面平行. （符号表示为： a ,b ,a//b a// . 图形如图所示） . 二：例题 判定定理证明：已知： a α， b α，且 a ∥b 求证： a∥α 例 1 ：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另 外两边所在的平面。 已知：如图空间四边形 ABCD 中，E 、F 分 别是 AB 、 求证： EF ∥平面 BCD 证明： 例 2: 正方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为 DD 1的中点，试判断 BD 1与平面 AEC 的位置 关系，说明理由 a A F 点 B C1 C B
三练习： 1. 判断下列说法是否正确，并说明理由． ○1 平面 外的一条直线 a 与平面 内的无数条直线平行则直线 a 和平面 平行； ○2平面 外的两条平行直线 a,b ，若 a// ，则b// ； ○3 直线a 和平面 平行，则直线 a 平行于平面 内任意一条直线； ○ 4 直线 a 和平面 平行，则平面 中必定存在直线与直线 a 平行． A. l 1 ∥α B. l 2 α C. l 2 ∥α或l 2 α D. l 2 与α相交 3．以下说法（其中 a ，b 表示直线， 表示平面） ①若 a ∥b ， b ，则 a ∥ ②若 a ∥ ，b ∥ ，则 a ∥b ③若 a ∥b ， b ∥ ，则 a ∥ ④若 a ∥ ，b ，则 a ∥b 其中正确说法的个数是（ ） . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 4.已知a ，b 是两条相交直线， a ∥ ，则 b 与 的位置关系是（ ）. A. b ∥ B. b 与 相交 C. b α D. b ∥ 或 b 与 相交 5. 如果平面 外有两点 A 、B ，它们到平面 的距离都是 a ，则直线 AB 和平面 的 位置关系一定是（ ） . A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB 6．平面 与△ ABC 的两边 AB 、 AC 分别交于 D 、E ，且 AD ∶DB=AE ∶EC ，求证： BC ∥平面 . 7．P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点， E 为PB 的中点， O 为 AC ， BD 的交点. （1）求证：EO ‖平面PCD ； （2）图中EO 还与哪个平 面平行？ 8. 在正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别为棱 BC 、C 1D 1的中点. 求证： EF ∥平面 BB 1D 1D 2. 已知直线 l 1、l 2 , 平面α, l 1 ∥l 2 , l 1∥α 那么 l 2 与平面 α 的关系是（ ）.
高中数学必修二学案(034) 班级_________姓名_________组别_____ 编写人 朱永 审核人 赵春梅 线面平行的判定定理与性质定理练习 1．下列命题正确的是 ( ) A 一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行 B 一直线与平面平行，则平面内有且只有一个直线与已知直线平行 C 一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行 D 一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面 2．若直线l 与平面α的一条平行线平行，则l 和α的位置关系是( ) A α?l B α//l C αα//l l 或? D 相交和αl 3．若直线a 在平面α内，直线a,b 是异面直线，则直线b 和α平面的位置关系是 ( ) A ．相交 B 。平行 C 。相交或平行 D 。相交且垂直 4．下列各命题： （1） 经过两条平行直线中一条直线的平面必平行于另一条直线； （2） 若一条直线平行于两相交平面，则这条直线和交线平行； （3） 空间四边形中三条边的中点所确定平面和这个空间四边形的两条对角线都平 行。 其中假命题的个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 5．E 、F 、G 分别是四面体ABCD 的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截面平行的棱的条数是( ) A ．0 B 1 C 2 D3 6．直线与平面平行的充要条件是 ( ) A ．直线与平面内的一条直线平行 B 。直线与平面内的两条直线不相交 C ．直线与平面内的任一直线都不相交 D 。直线与平行内的无数条直线平行 7．若直线上有两点P 、Q 到平面α的距离相等，则直线l 与平面α的位置关系是 ( ) A 平行 B 相交 C 平行或相交 D 或平行、或相交、或在内 8．a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) A 过不在a,b 上的任何一点，可作一个平面与a,b 都平行 B 过不在a,b 上的任一点，可作一直线与a,b 都相交 C 过不在a,b 上任一点，可作一直线与a,b 都平行 D 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 9．判断下列命题是否正确： (1)过平面外一点可作无数条直线与这个平面平行 ( ) (2)若直线α?l ，则l 不可能与α内无数条直线相交 ( ) (3)若直线l 与平面α不平行，则l 与α内任一直线都不平行 ( ) (4)经过两条平行线中一条直线的平面平行于另一条直线 ( ) (5)若平面α内有一条直线和直线l 异面，则α?l ( ) 【本课小结】 从知识上学到________________________________________ 从方法上学到________________________________________ 还有哪些疑惑________________________________________ 下节目标解读____________________________________________ 包铁一中引导行三线教学法
线面、面面平行的判定与性质 基础巩固强化 1.(文)(2011·海淀期中)已知平面α∩β＝l，m是α不同于l 的直线，那么下列命题中错误 ．．的是( ) A．若m∥β，则m∥l B．若m∥l，则m∥β C．若m⊥β，则m⊥l D．若m⊥l，则m⊥β [答案] D [解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β时，才能成立． (理)(2011·模拟)设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列命题中正确的是( ) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，则n∥β [答案] D [解析]A选项不正确，n还有可能在平面α，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β，选项D正确． 2．(文)(2011·期末)设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是( ) A．若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β [答案] D [解析]选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．(理)(2011·省市测试)已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．α∥β，m?α，n?β?m∥n B．l⊥β，α⊥β?l∥α C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．α∥β，l⊥α?l⊥β [答案] D [解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?α这种情形；对于选项C，可能出现n?α这种情形．故选D. 3．(2011·模拟)已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的假命题是( ) A．若α∥β，l?α，则l∥β B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若α⊥β，α∩β＝l，m?α，m⊥l，则m⊥β [答案] C [解析]对于选项C，直线l与m可能构成异面直线，故选C. 4．(2011·揭阳模拟)若a不平行于平面α，且a?α，则下列结论成立的是( ) A．α的所有直线与a异面
高一数学直线与平面平行的判定和性质教案 教学目标 （一）本节知识点 直线与平面的位置关系，直线与平面平行的判定定理，直线与平面平行的性质定理。 （二）课时安排 在学习了前面关于平面、空间直线等立体几何中的基础概念之后接触到的立体几何中的又一研究重点直线与平面的位置关系，所以本节内容处于一个承上启下的位置。安排用三个课时来完成。 （三）本堂课教学目标 1．教学知识目标 进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系。理解并掌握直线与平面平行的判定定理及直线与平面平行的性质定理。 2．能力训练：掌握由“线线平行”证得“线面平行”和“线面平行”证得“线线平行”的数学证明思想。进一步熟悉反证法；进一步培养学生的观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高学生的逻辑推理能力。 3．德育渗透：培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度。建立“实践――理论――再实践”的科学研究方法。 （四）教学重点、难点 重点：直线与平面平行的判定和性质定理。 难点：灵活的运用数学证明思想。 （五）教学方法：启发式、引导式、找错教学。多注重观察和分析，理论联系实际。 （六）教具：模型、尺、多媒体设备 二、教学过程 （一）内容回顾 师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，有几种？可将图形给以什么作为划分的标准？出引导作答生：三种，以直线与平面的公共点个数为划分标准，分别是 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的点都在这个平面内） 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面平行 注：我们也将直线与平面相交和平行统称为直线在平面外 （二）新授内容 1．如何判定直线与平面平行 师：请同学回忆，我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？ ①生：借助定义，用反证法说明直线与平面没有公共点（证明直线在平面外不能说明直线与平面平行） ②直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 已知：a?α，b?α，且a∥b 从学生的直观感
2线线、线面、面面平行的判定与性质 姓名： 分数： 知识记忆： 1.空间两条直线有 种位置关系： 、 、 ． 2.平行线的传递性： 。 3.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 4.直线与平面的位置关系有 种：直线在平面 、直线与平面 、直线与平面 ． 5.线面平行判断：如果面外线平行于面内线，那么 .（线线平行 ，则 ） 6.线面平行性质：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线 。（线面平行，则 ）. 7.空间两个平面就有 种位置关系： 与 ． 8.面面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面 ．（线线平行 ，则 ） 9.面面平行的判定：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．（面面平行，则 ） 一、填空题： 1.长方体1111ABCD A B C D 中,直线1DD 平面11BCC B （平行、垂直），理由是 。 二、选择题 1“空间四点D C B A ,,,不在同一平面内”是“直线CD AB ,异面”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 2.两个平面平行的条件是（ ） A ．一个平面内有一条直线平行于另一个平面 B ．一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面 C ．一平面内有两条相交直线都平行于另一个平面 D ．一平面内有无数条直线都平行于另一个平面 3.下列命题中正确的是（ ） A ．分别在两个平行平面内的两条直线是异面直线 B. 分别通过两条平行直线的两个平面平行 C. 分别在两个平行平面内的两条直线平行 D. 分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面 三、解答题： 1.已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中 点（如图）．判断四边形 EFGH 是否为平行四边形？ 2. 在如图所示的一块木料中，已知BC ∥平面1111A B C D ，BC ∥11B C ，要经过 平面11A C 内的一点P 与棱BC 将木料锯开，应当怎样画线？
直线、平面平行的判定及其 性质总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。【判定】 线面平行→线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。【性质】 线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。【判定】 面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。【性质】 线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。【线面垂直定义】 线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。【性质】
线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。【判定】 面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。【性质】 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上。 公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上。 公理三：三个不共线的点确定一个平面。 推论一：直线及直线外一点确定一个平面。 推论二：两相交直线确定一个平面。 推论三：两平行直线确定一个平面。 公理四：和同一条直线平行的直线平行。（平行线的传递性）
线面、面面平行的判定与性质 一、线线、线面、面面平行间的相互转化 （1）平行公理:平行于同一直线的两直线平行（线线平行的传递性） （2）线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行（线线平行→线面平行） （3）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行 （线面平行→面面平行） （4）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行（线面平行→线线平行） （5）面面平行的性质定理：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（面面平 行→线面平行） （6）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面 面平行→线线平行） 三、证明线线平行的方法： （1）线线平行的传递性； （2）三角形中位线； （3）平行四边形对边平行； （4）三角形中对应边成比例； （5）线面平行的性质定理. 三、典型例题 例：已知四棱锥ABCD P ,E 是PD 的中点.证明：ACE PB 面// E P D B A C
变式1：已知四棱锥ABCD P -,E 是AD 的中点，F 是PB 的中点.证明：ACE PB 面//. 变式2：已知四棱锥ABCD P -,BC EF //,EFHG 平面与ABCD 平面相交于HG ， PB HI //,证明:PBC IG 面//. 四、巩固训练 1.三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 边的中点.求证：1AC ∥平面1CDB . P D B A C E F E P D B A C F G H I B A C A 1 B 1 C 1 D