第十章 圆锥曲线
★知识网络★
第1讲 椭圆 ★知识梳理★
1. 椭圆定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.
当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;
当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10< （利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当122 22=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0>??;直线与椭圆相切0=??;直线与椭圆相离0 ★重难点突破★ 重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用 难点:椭圆的几何元素与参数c b a ,,的转换 重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 1.要有用定义的意识 问题1已知21F F 、为椭圆 19 252 2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。 [解析]2ABF ?的周长为204=a ，AB ∴=8 2.求标准方程要注意焦点的定位 问题2椭圆 142 2=+m y x 的离心率为21，则=m [解析]当焦点在x 轴上时， 32 1 24=?=-m m ； 当焦点在y 轴上时，316214=?=-m m m ， 综上3 16 = m 或3 ★热点考点题型探析★ 考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1. （20072佛山南海）短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2. (广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)已知P 为椭圆 22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆2 2 (3)1x y ++=和圆2 2 (3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴ PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系． ［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 【新题导练】 3. 如果方程x 2+ky 2 =2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. [解析](0,1). 椭圆方程化为22x +k y 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2 >2，即k <1. 又k >0，∴0 4.已知方程),0(,1sin cos 22πθθθ∈=+y x ,讨论方程表示的曲线的形状 [解析]当)4 ,0(π θ∈时，θθcos sin <，方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 当4 π θ= 时，θθcos sin =，方程表示圆心在原点的圆， 当)2 ,4( π πθ∈时，θθcos sin >，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 5. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上 的点的最短距离是3，求这个椭圆方程. [解析] ????==-c a c a 23?????==3 3 2c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122y =1. 考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率（或范围） [例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率 [解析] 3sin ||||2 1 =?= ?A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=?-+=A AC AB AC AB BC 2 1 32322||||||-= +=+= BC AC AB e 【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定 （2）只要列出c b a 、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围） （3）“焦点三角形”应给予足够关注 【新题导练】 6. (执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A . 45 B .23 C .2 2 D .21 [解析]选B 7. （江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ， mn 成等比数列，则椭圆 12 2=+n y m x 的离心率为 [解析]由??? ???≠=+=0222 2m n n m n n m n ?? ?==4 2n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22 8. (山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测) 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n （近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ） A ．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定 [解析] ?? ?=-=+m c a n c a ???-=+=?m n c n m a ，???=-=+m c a n c a 2''2''? ? ?-=+=?)(2') (2'm n c n m a ，选A 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） [例4 ] 已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 【解题思路】 把x y x -+2 2 看作x 的函数 [解析] 由 1242 2=+y x 得22212x y -=, 2202 122 ≤≤-∴≥- ∴x x ]2,2[,2 3 )1(212212222-∈+-=+-= -+∴x x x x x y x 当1=x 时,x y x -+22取得最小值2 3 ,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6 【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错 【新题导练】 9.已知点B A ,是椭圆22 221x y m n +=（0m >，0n >）上两点,且λ=,则λ= [解析] 由BO AO λ=知点B O A ,,共线,因椭圆关于原点对称,1-=∴λ 10.如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半 部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点 则1234567PF P F PF P F PF P F P F ++++++=________________ ［解析］由椭圆的对称性知： 352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ． 考点3 椭圆的最值问题 题型: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值 [例5 ]椭圆 19 162 2=+y x 上的点到直线l:09=-+y x 的距离的最小值为___________． 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 [解析]在椭圆上任取一点P,设P(θθsin 3,cos 4). 那么点P 到直线l 的距离为： |9)sin(5|2 2 11| 12sin 3cos 4|2 2-+= +-+?θθθ.22≥ 【名师指引】也可以直接设点),(y x P ，用x 表示y 后，把动点到直线的距离表示为x 的函数，关键是要具有“函数思想” 【新题导练】 11.椭圆 19 162 2=+y x 的内接矩形的面积的最大值为 [解析]设内接矩形的一个顶点为)sin 3,cos 4(θθ， 矩形的面积242sin 24cos sin 48≤==θθθS 12. P 是椭圆122 22=+b y a x 上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，求||||21PF PF ?的最大值 与最小值 [解析] ],[| |,)|(||)|2(||||||12 211121c a c a PF a a PF PF a PF PF PF +-∈+--=-=? 当a PF =||1时，||||21PF PF ?取得最大值2 a ， 当c a PF ±=||1时，||||21PF PF ?取得最小值2 b 13. （20072惠州）已知点P 是椭圆1422 =+y x 上的在第一象限内的点，又)0,2(A 、)1,0(B ， O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________． [解析] 设)2 , 0(),sin ,cos 2(π θθθ∈P ，则 θθcos 22 1 sin 21?+?=+=??OB OA S S S OPB OPA OAPB 2cos sin ≤+=θθ 考点4 椭圆的综合应用 题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题 [例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围． 【解题思路】通过3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系 得到一个关于m 的不等式 [解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设22 22:1(0)y x C a b a b +=>> 由条件知1a =且b c =，又有222 a b c =+，解得 1,a b c === 故椭圆C 的离心率为2 c e a ==，其标准方程为：12 122 =+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ???? ? y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2 ∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴? ???? x 1＋x 2＝－2x 2 x 1x 2＝－3x 2 2 消去x 2，得3（x 1＋x 2）2 ＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1 k 2＋2 ＝0 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0 m 2 ＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 2 4m 2－1， 因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2 ＝2－2m 24m 2－1 >0，∴－1 2 容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1 2 ，1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】 14. (20072广州四校联考)设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2=，且1=?， 则P 点的轨迹方程是 （ ） A. ()0,0132322>>=+y x y x B. ()0,0132 3 22>>=-y x y x C. ()0,0123322>>=-y x y x D. ()0,012 3322 >>=+y x y x [解析] ),(),3,23(y x OQ y x AB -=-=132 3 22=+∴y x ，选A. 15. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，AB=2，AC= 2 2 。一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |+|PB |的值不变，直线l 经过A 与曲线E 交于M 、N 两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程； （2）设直线l 的斜率为k ，若∠MBN 为钝角，求k 的取值范围。 解：（1）以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A （－1，0），B （1，0） 由题设可得 222 2322)22(222||||||||22=+=++= +=+CB CA PB PA ∴动点P 的轨迹方程为)0(122 22>>=+b a b y a x ， 则1.1,222=-=== c a b c a ∴曲线E 方程为12 22 =+y x （2）直线MN 的方程为),(),,,(),,(),1(221111y x N y x M y x M x k y 设设+= 由0)1(24)21(0 22) 1(2 2222 2=-+++?? ?=-++=k x k x k y x x k y 得 0882>+=?k ∴方程有两个不等的实数根 2 221222121) 1(2,224x k k x x k k x +-=?+-=+∴ ),1(),,1(2211y x y x -=-=∴ )1)(1()1)(1()1)(1(112212121+++--=+--=?x x k x x y y x x 22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++= 2 22 222222 21171)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k k k +-=+++--++-+= ∵∠MBN 是钝角 0 即 021172 2<+-k k 解得：7 777<<- k 又M 、B 、N 三点不共线 0≠∴k 综上所述，k 的取值范围是)7 7,0()0,77(?- ★～～抢分频道★ 基础巩固训练 1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的 离心率为( ) A 213- B 215- C 2 1 5- D 23 [解析] B . =?=-?-=-?e ac c a c b a b 2 21)(2 15- 2. （广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设F 1、F 2为椭圆4 2x +y 2 =1的两焦点， P 在椭圆上，当△F 1PF 2面积为1时，21PF ?的值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 [解析] A . 1||321==?P PF F y S ， ∴P 的纵坐标为3 3 ± ，从而P 的坐标为)3 3 ,362(±± ，=?21PF 0， 3. (广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考)椭圆 22 1369 x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是 A ．20x y -= B ．2100x y +-= C ．220x y --= D ．280x y +-= [解析] D. 19 362 12 1=+y x , 19362 22 2=+y x ,两式相减得：0)(421212121=--+++x x y y y y x x ，4,82121=+=+y y x x ，2 1 2121-=--∴x x y y 4.在ABC △中，90A ∠= ，3tan 4 B =．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的 离心率e = ． [解析]=+= ===BC AC AB e k BC k AC k AB ,5,3,412 5. 已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为 _________. [解析] 13- [三角形三边的比是2:3:1] 6. (2008江苏)在平面直角坐标系中，椭圆22 22x y a b +=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心， a 为半径的圆，过点2,0a c ?? ??? 作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． [解析]=?=e a c a 22 综合提高训练 7、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 与过点A (2，0)，B (0，1)的直线l 有且只有一个公共点 T ，且椭圆的离心率2 3 = e ．求椭圆方程 [解析]直线l 的方程为：12 1 +- =x y 由已知 222242 3 b a a b a =?=- ① 由??? ????+-==+1 21122 22x y b y a x 得：0)41(2222222=-+-+b a a x a x a b ∴0))(4(222224=-+-=?b a a a b a ，即2244b a -= ② 由①②得：21 222= =b a ， 故椭圆E 方程为12 12 22 =+y x 8. (广东省汕头市金山中学2008－2009学年高三第一次月考) 已知A 、B 分别是椭圆12222=+b y a x 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P 22,1(-）在椭 圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点。 （1）求椭圆的标准方程； （2）点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC ，求sin sin sin A B C +的值。 [解析]（1）∵点M 是线段PB 的中点 ∴OM 是△PAB 的中位线 又AB OM ⊥∴AB PA ⊥ ∴2222222211112,1,12c a b c a b a b c =??? +====???=+?解得 ∴椭圆的标准方程为22 2 y x +=1 （2）∵点C 在椭圆上，A 、B 是椭圆的两个焦点 ∴AC ＋BC ＝2a ＝AB ＝2c ＝2 在△ABC 中，由正弦定理， sin sin sin BC AC AB A B C == ∴ sin sin sin A B C + ＝ 2 BC AC AB +== 9. (海珠区2009届高三综合测试二)已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在, [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()( )()1,2, 0,2, 0,2-. 设椭圆的标准方程是()0122 22>>=+b a b y a x . ()( )() ( ) ()2240122012 222 2 2 2 >=-+-+ -+--= +=BC AC a 则 2=∴a 224222=-=-=∴c a b . ∴椭圆的标准方程是.12 42 2=+ y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:???=++=4 22 2 2y x kx y 消去y 整理得,( )048212 2 =+++kx x k 有2 2 1221214 ,218k x x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即() ()042121212 =++++x x k x x k 所以,() 0421******* 2 22=++-++k k k k 图8 即,021482 2 =+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+= x y ,或22+-=x y . 所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点. 参考例题： 1、 (惠州市2009届高三第二次调研考试) 从椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴 引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F , A 为椭圆的右顶点， B 是椭圆的上顶点,且(0)AB OP λλ=> . ⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆的准线方程是x =±. [解析] ⑴、 AB OP λ= ，AB ∴∥OP ，∴△1PFO ∽△BOA , 111PF FO c bc PF BO OA a a ∴ = = ?= ， 又22 11222(,)1PF c b P c y PF a b a -?+=?=，b c ∴=, 而2 2 2 a b c = +22 22 a c e ∴=?= . ⑵、x =± 为准线方程，2 2a a c ∴==, 由22 2 222 10 5a a b c b a b c ?=?=??=???=???=+? ． ∴所求椭圆方程为221105x y +=． 2、设21,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若3 21π =∠PF F ，证明：21PF F ?的面积 只与椭圆的短轴长有关 [解析]由?? ???=-+=+3cos ||||2||||||2|||212 21222121 πPF PF F F PF PF a PF PF 得?????=-+=+||||4||||4|)||(212 22212 221PF PF c PF PF a PF PF ，2 22214)(4||||3b c a PF PF =-=∴， 2 2213 334||||21b S b PF PF PF F =?=∴?，命题得证 第2讲 双曲线 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当21212||F F a PF PF >=-时, P 的轨迹为双曲线; 当21212||F F a PF PF <=-时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义: ; （双曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 解析：平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 重点:了解双曲线的定义、标准方程，会运用定义和会求双曲线的标准方程，能通过方程研 究双曲线的几何性质 难点: 双曲线的几何元素与参数c b a ,,之间的转换 重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究双曲线的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点 P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足212F F a >，二要注意是一支还是两支 ∴>=-10621PF PF P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为 )0(116 92 2>=-x y x 2.注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，3 13=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] (20042广东) 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北 两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=34034=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 1340 5680340568010202 2 22222222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1. （吉林省长春市2008年高中毕业班第一次调研）设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形， .12462 1 ||||212121=??=?= ∴?PF PF S F PF 故选B 。 2. (2008广州二模文)如图2所示，F 为双曲线116 9: 2 2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称， 则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27 [解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C 3. (广州市越秀区2009 届高三摸底测试) P 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 左支上的一 点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a - （B ）b - （C ）c - （D ）c b a -+ ［解析］设21F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为0x ， 由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=?=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程 [例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162 x －4 2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程． 【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22 a x －22b y =1.由题意易求c =25. 又双曲线过点（32，2），∴2 2 )23(a －24b =1. 又∵a 2 +b 2 =（25）2 ，∴a 2 =12，b 2 =8. 故所求双曲线的方程为122 x －8 2y =1. 解法二：设双曲线方程为k x -162 －k y +42＝1， 将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122 x －8 2y ＝1. 【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. 【新题导练】 4.(广州六中2008-2009学年度高三期中考试)已知双曲线的渐近线方程是2 x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为 14 2 2 =- λ λ y x ，20104 52 =∴=∴λλ ， 当0<λ时，化为14 22 =---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为 221205 x y -=或12052 2=-x y 5. (2008年上海市高三十校联考)以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是 03=±y x 的双曲线方程为___________________. [解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-2 2 3y x ， 9)32(342 =∴=∴λλ，双曲线方程为13 922=-y x 6. (2008中山市一中第一次统测) 已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为 A ．22 1(1)8y x x -=<- B ．22 1(1)8 y x x -=> C ．1822 =+y x （x > 0） D ．22 1(1)10 y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围 [例3] 已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲 线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ． 【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决 [解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =， 解得18 3 PF a =，223PF a =，在12PF F ?中，由余弦定理，得22 22218 98173 2382494964cos e a a c a a PF F -=??-+=∠， 要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得5 3 e =．即e 的 最大值为5 3 ． (方法2) a c a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12 ||4||PF PF =，等价于3 5,421≤∴≥-+e a c a (方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =， ∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35= ，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为5 3 ． 【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化； （2）点P 在变化过程中， | || |21PF PF 的范围变化值得探究； （3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键 【新题导练】 7. (山东省济南市2008年2月高三统一考试) 已知双曲线 22 1x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为 ． [解析]当0,0>>n m 时， 16 9=n m ，9252 =+=m n m e ，当0,0< 1625 2=+=n n m e ，=∴e 53或54 8. （2008届华南师范大学附属中学、广东省实验中学、广雅中学、深圳中学四校联考） 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐 近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．215+ B ．2 C ．2 15+或2 D ．不存在 [解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2 +=，=+∴c a a 2c ab ?3， 2=∴e 题型2 与渐近线有关的问题 [例4] (20072汕头)若双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长， 则双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.5 D.2 【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系 [解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122 222 =+==a b a c e ,所以5=e 【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 【新题导练】 9. 双曲线22 149 x y -=的渐近线方程是 ( ) A. 23y x =± B. 49y x =± C. 32y x =± D. 9 4 y x =± [解析]选C 10. （湖南师大附中2009届第三次月考）焦点为（0，6），且与双曲线12 22 =-y x 有相同 的渐近线的双曲线方程是 （ ） A ．124 1222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．112242 2=-y x [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B ★～～抢分频道★ 基础巩固训练 1. 以椭圆 221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线22 1916 x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A 2. (2008深圳二模) 已知双曲线的两个焦点为1(0)F 、20)F ，M 是此双曲线上 的一点，且满足120MF MF ?= ，12||||2MF MF ?= ，则该双曲线的方程是 （ ） A ．2219x y -= B ．22 19y x -= C ．22137x y -= D ．22173 x y -= [解析]由 12||||2MF MF ?= 和402 221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A 3. (2008揭阳一模)两个正数a 、b 的等差中项是9 2 ，一个等比中项是,b a >则双曲线12 22 2=-b y a x 的离心率为( ) A ． 53 B ．4 C ．54 D ．5 [解析] 414,5=∴==c b a ，选B 4. (2008珠海一模)设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为 两曲线的一个公共点，且满足021=?PF PF ，则2 212 2 21) (e e e e +的值为( C ) A ．2 1 B ．1 C ．2 D ．不确定 [解析] C. 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2， 2224)()(c m a m a =-++21 1222 21222=+∴=+∴e e c m a 5. (2008珠海质检)已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，过 F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离 心率的取值范围是（ ） (A).),21(+∞+ (B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3( [解析] 210122122222 + a b ，选B 6. (山东省滨州市2008年高三第一次复习质量检测) 曲线 )6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(1952 2<<=-+-n n y n x 的 （ ） 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 题型归纳： 题型1向量与圆锥曲线相结合的问题 1.设12F F ，分别是双曲线2 2 19y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ?=，则12PF PF += 2.设P 为双曲线2 2 112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为 题型2变量取值范围问题 3、设 1F ,2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左右焦点。1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最值； （2）设过定点()2,0M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB ∠为锐角（O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的范围 题型3圆锥曲线中的最值问题 4、设P 是椭圆()2 2211x y a a +=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上一个动点，求PQ 的最大值. 5、已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y=kx+m （0km ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，若线段AB 中点在直线x+2y=0上，求?FAB 的面积的最大值。 … 题型4定值问题 6.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 题型5 存在性问题 7.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23e =，A 、B 是椭圆上关于,x y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于(1,0)P ，点 F 是椭圆的右焦点．Ⅰ）设AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的值； （Ⅲ）过P 的直线交椭圆于,C D 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得CED ∠总被x 轴平分，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 题型6对称性问题 8.已知双曲线2 213y x -=上存在关于直线:4l y kx =+的对称点，求实数k 的取值范围. 圆锥曲线复习 【复习指导】 1、掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质； 2、圆锥曲线的应用。 【重点难点】 重点：椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程及几何性质 难点：圆锥曲线的应用 【教学过程】 一、知识梳理 1、焦点在x轴上的椭圆、双曲线、抛物线的定义、图像和性质： 同样，类比得到焦点在y轴的椭圆、双曲线、抛物线的图像和性质。 小试牛刀： （1）已知椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 （2）已知双曲线 19 -252 2=y x 上一点P 到椭圆的一个焦点的距离为12，则点P 到另一个焦点的距离（ ） A 2 B 22 C 2或22 D 4或22 （3）如果方程22 2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围 是 （ ） A.（0，+∞） B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) （4）方程 12 --42 2=+t y t x 所表示的曲线为C ，有下列命题： ①若曲线C 为椭圆，则4t 2<<； ②若曲线C 为双曲线，则2t 4t <>或； ③曲线C 不可能为圆； ④若曲线C 为焦点在y 轴的双曲线，则4t >。 以上命题正确的是 。 （5）抛物线的焦点是双曲线369-422=y x 的左顶点，则抛物线的标准方程为 。 二、典例示范 类型一 圆锥曲线的定义及其应用 例一 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心M 的轨迹方程. 变式训练： 点B(-4,0),C(4,0)且△ABC 的周长是18,则△ABC 的顶点A 的轨迹方程。 类型二 圆锥曲线的标准方程与几何性质 例二 （1）求焦点为（0,6）且与双曲线1-2 2 2 y x 有相同渐近线的 双曲线方程； 思考：若将焦点为（0,6）该为焦距为12，求标准方程。 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 --- ） ； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 2021年高中数学2.7圆锥曲线复习课（3）教学案苏教版选修1-1班级：高二（）班姓名：____________ 1.如果方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 2.一个椭圆的离心率，准线方程是x＝4，对应的焦点F(2,0)， 则椭圆的方程是； 3.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点， 如果x1＋x2＝6，那么|AB|长是； 4．如图，已知OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点， 且S△ABF＝，∠BAO＝30°， 则双曲线的方程为____________ 5.若椭圆长轴长与短轴长之比为，它的一个焦点是， 则椭圆的标准方程是 6.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么点到右焦点的距离为 7.已知定点、, 且, 动点满足,则的最小值是 8.椭圆上的一点M到左焦点的距离为，是的中点， 是坐标原点，则等于 9.设椭圆的焦点为，点为其椭圆上的动点， 当为钝角时，点横坐标的取值范围是。 10.已知有三点、、 （Ⅰ）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）设点关于直线的对称点为，求过点的抛物线的标准方程。 11.椭圆的两个焦点， 是椭圆上任意一点。求证：，。 班级：高二（）班姓名：____________ 1．椭圆上一点到它的左焦点的距离为6，则点到椭圆左准线的距离 2.（06浙江）双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比 是3，则等于 3.（13江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为 ，右焦点为,右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为 . 4.（xx江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上位于轴上方的两点， 且直线与直线平行，与交于点P． 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 与圆锥曲线有关的几种典型题 一、教案目标 (一)知识教案点 使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等． (二)能力训练点 通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教案，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力． (三)学科渗透点 通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教案，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法． 二、教材分析 1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用．) 2．难点：双圆锥曲线的相交问题． (解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．) 3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．) 三、活动设计 演板、讲解、练习、分析、提问． 四、教案过程 (一)引入 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，今天来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”． (二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法 设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： (2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α． 分析一：由弦长公式易解． 由学生演板完成．解答为： ∵抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)． 设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1． 将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． ∴ k=±1． 椭圆（高三复习课） 恩平市第一中学张雪梅 一、教学内容分析 圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。 二、学生学习情况分析 本班是普通文科班，此课之前，学生已经在人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1—1》（A版）第二章《圆锥曲线与方程》中学习过相关内容。此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“练习探索——自主复习——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。 三、教学目标 1、知识与能力：能用自己的语言描述椭圆的定义；准确地写出椭圆两种形式的标准方程；能根据椭圆的定义及标准方程画出椭圆的几何图形；并概括出椭圆的简单几何性质。 2、过程与方法：通过了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；理 解数形结合的思想，并能用数形结合的思想结合椭圆的有关性质，解决椭圆的简单应用问题。 3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 四、教学重点与难点 教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。 2、了解椭圆的简单应用。 教学难点：椭圆的定义和简单几何性质的应用，理解数形结合的思想。 五、教学过程 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 第二章圆锥曲线与方程 一、课程目标 在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。 二、学习目标： （1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 三、本章知识结构框图： 四、课时分配 本章教学时间约需9课时，具体分配如下： 2.1 曲线与方程约1课时 2.2 椭圆约2课时 2.3 双曲线约2课时 2.4 抛物线约2课时 直线与圆锥曲线的位置关系约1课时 小结约1课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课） 一、教学目标 知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。 过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。 情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义 观。 二、教学重点与难点 重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． 难点：作相关点法求动点的轨迹方法． 三、教学过程 (一)复习引入 平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0． 解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1， 其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程． 圆锥曲线习题课教案 一、教学目标： (1)巩固并灵活运用圆锥曲线的定义及标准方程； (2)注意研究方程的形式和基本量的几何意义 ； (3)通过本节的学习，可以培养我们观察、推理的能力。 二、重 点：圆锥曲线的定义及其性质应用。 三、难 点：直线与圆锥曲线相交问题。 四、数学探究 问题1：圆锥曲线定义的灵活运用： 例1.如果双曲线19 162 2=-y x 右支上一点P 到它的右焦点的距离等于2，则点P 到左准线的距离为__________. 1、已知双曲线x 2 - y 2 =1,点F 1,F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若P F 1⊥P F 2, 则∣P F 1∣+∣P F 2∣的值为______________. 2、 若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ? 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 3、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为_______. 4、若动圆与圆1)2(22=+-y x 外切，又与直线01=+x 相切，则动圆圆心轨迹方程是__________. 问题2：求圆锥曲线的标准方程 方法：待定系数法 例 2.与双曲线14 162 2=-y x 有公共焦点，且过点)2,23(的双曲线的标准方程是_______________. 5、抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线)0(122 22>>=-b a b y a x 的一个焦点并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为)6,2 3(，求抛物线和双曲线的方程. 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y 北京市北纬路中学徐学军 《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计 一、教材分析及学生情况分析 本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。 数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。 学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。 二、教学目标 根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标： 知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。 过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法， 学会解决相关的问题。 情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。 三、教学重点、难点、关键 本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ 3 2，a＋b＝3． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值． ★★如图，椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）经过点P（1， 3 2），离心率e＝ 1 2，直 线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． ★★椭圆C：x2 a2＋ y2 b2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为 3 2，过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； （Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只 有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明 1 kk1＋ 1 kk2 为定值，并求出这个定值． - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 ＋y2 b2＝1（ a＞b＞0）的离心率为 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且A D⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值． - 3 - 2020高考数学圆锥曲线复习方法 2017高考数学圆锥曲线复习方法 圆锥曲线之所以叫做圆锥曲线，是因为它是从圆锥上截出来的。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到了圆;把平面渐渐倾斜，得到了 椭圆;当平面倾斜到"和且仅和"圆锥的一条母线平行时，得到了抛物线;用平行圆锥的轴的平面截取,可得到双曲线的一边，以圆锥顶点 做对称圆锥,则可得到双曲线。 在高中的学习中，平面解析几何研究的两个主要问题，一个是根据已知条件，求出表示平面曲线的方程;而另一个就是通过方程，研 究平面曲线的性质. 那么接下来，我们就就着这两个问题来说啦 1、曲线与方程 首先第一个问题，我们想到的就是曲线与方程的这部分内容了。 在学习圆锥曲线这部分内容之前，我们最早接触到的就是曲线与方程这部分内容。在这部分呢，我们要注意到的是几种常见求轨迹 方程的方法。在这里呢，简单的说一下，一共有四种方法：1.直接 法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的 几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这 种方法叫直接法. 2、定义法 利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.这种方 法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件. 3、相关点法 若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程.这种方法称为相关点法(或代换法). 4、待定系数法 求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 (二)椭圆，双曲线，抛物线 这部分就可以研究第二个问题了呢。在椭圆，双曲线以及抛物线里，最最重要的就是他们的标准方程，因为我们可以从它们的标准方程中看到许多东西，包括顶点，焦点，图形的画法等等等等，所以这个呢是要求我们必须要会的。(不会的通宵快去恶补~~~) 在一般做题的时候，我们要首先要根据题意来画图，这点特别重要，我们要清楚题目要我们求什么才能继续做下去不是。接下来就是根据题意来写过程了，我们的一般步骤呢都是建系，设点，联立方程，化简，判断△，韦达定理，列关系式，整理，作答。在考试中，我们按照步骤一步一步的写，写到韦达定理至少8分有了。当然了，各圆锥曲线的几何性质也尤其重要，包括离心率，顶点，对称性，范围，以及焦点弦，准线，渐近线等等。这些性质大家也要熟练掌握并且会应用。在这部分呢，还有很多很多的专题，譬如弦长问题，那大家还记得弦长公式吗?中点弦问题，我们通常会用到点差法，那么何为点差法呢?就是把两点坐标代入曲线方程作差后得到直线的斜率和弦中点坐标之间的关系式，这种方法。还有一类问题就是直线与圆锥曲线的位置关系。分为三大类：有直线与椭圆的位置关系，就是看△;直线与双曲线的位置关系，先看联立之后的方程中的a，如果a=0方程有一解，直线与双曲线有一个公共点(直线与渐近线平行)，a≠0的时候，还是看△啦;而直线与抛物线与直线与双曲线的位置关系是类似的，当a=0直线与抛物线有一个公共点(直线与抛物线的轴平行或重合)，a≠0的时候，还是看△。 实用文档 2021年高考数学 圆锥曲线复习课 1． 一定要重视椭圆、双曲线、抛物线（注：抛物线只有一个定义）第一定义，有很多题可以转化为定义去做。 例如： （1） 求与圆和圆相切的点的轨迹方程 （2） 求与圆相切且过点（5，0）的点的轨迹方程 （3） 是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，M ，N 是左、右顶点，P 是双曲线上的一点，且的内切 圆与切于点T.求T 的坐标 （4） 试在抛物线上找一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （2，1）的距离之和最小。求该点坐标 2． 一定要重视椭圆、双曲线、抛物线（注：抛物线只有一个定义）第二定义： （1）已知椭圆内有一点A （1，1），分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点.（1）求的最大值、最小值及对应的点P 坐标（2） 实用文档 求的最小值及对应的点P 的坐标 （2）推导椭圆、双曲线、抛物线的焦半径公式非常方便 （3）特别重视抛物线的定义：①（1）AB 为抛物线上的动弦，且|AB|=a （a 为常数，且），求弦AB 中点M 离准线最近的距离（2）在（1）中如把改成02020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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