微分方程初步
一、单项选择题
1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）
A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶
2．微分方程222y x dx
dy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程
3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）
A.0'2)'(2=+-x yy y x
B.0'2=-+x yy xy
C.0'2=+y x xy
D.0)()67(=++-dy y x dx y x
4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）
A.x x x y +=ln
B.Cx x x y +=ln
C.x x x y +=ln 2
D.Cx x x y +=ln 2
5．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）
A ．2x y =
B ． c x y +=2
C ． 2cx y =
D ．0=y
6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）
A.x y =
B. c x y +=
C.cx y =
D.0=y
7. 设21,y y 是二阶常系数线性齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的解，21,C C 是两个任意常数，则下列命题中正确的是（ c ）
（A ） 2211y C y C +是微分方程的特解。
（B ）2211y C y C +不可能是微分方程的通解。
（C ）2211y C y C +是微分方程的通解。
（D ）2211y C y C +不是微分方程的解。
8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）
A 一阶微分方程
B 二阶微分方程
C 可分离变量的微分方程
D 一阶线性微分方程
9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）
A ．2x y e C =+
B ． x y Ce =
C ． 2x y Ce =
D ．22
x y Ce =
二、填空题
1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；
2．微分方程0=+y dx
dy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2
x y ce -=；
4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x y e C e C ++=<；
5. 微分方程03='+''y y x 的通解为 221x
C C y +=; 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
三、判断题
1．微分方程的通解中包含了它所有的解。(× ) 2. sin y y '=是一阶线性微分方程。( × ) 3. 221dy x y xy dx
=+++是可分离变量的微分方程。( √ ) 4．函数2x y x e =是微分方程20y y y '''-+=的解。( × ) 5. 设21,y y 是二阶常系数线性齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解，则2211y C y C +也是微分方程的解，其中21,C C 是两个任意常数。 (√ )
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 §6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者 扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一
个实际问题的步骤。 §6.2 定积分在几何中的应用 一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?) (2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 22 2x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 )
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b 第六章 定积分的应用 §6.1 定积分的元素法 §6.2 平面图形的面积 一、填空题 1．定积分 ? b a dx x f )(的几何意义是 。 2． )(x f 、g(x)在[a,b] 上连续，则由y=f(x),y=g(x)和x=a,x=b 所围成图形的 面积A= 。 3．计算y 2=2x 与y=x-4所围成图形的面积时，选用 作积分变量较为简捷。 二、选择题 1．曲线y=x ln 与直线0,,1 === y e x e x 及所围成的区域的面积S= 。 （A ）、2)11(e - （B ）、e e 1- （C ）、e e 1+ （D ）、e 1 1+ 2．曲线r=2acos θ所围图形的面积A= 。 （A ）、 θθπ d a 22 0)c o s 2(2 1 ? （B ）、θθππd a 2)c o s 2(21?- （C ）、 θθπ d a 2 20 )c o s 2(2 1? （D ）、2θθπd a 220)cos 2(21? 3．曲线?????==t a y t x 3 3sin cos 所围图形的面积A= 。 （A ）、 28a π （B ）、24a π （C ）、283a π （D ）、22 a π 三、求下列各曲线所围成的图形的面积。 1． 曲线y=x 3-6x 与y=x 2所围成图形的面积。 2． 曲线y=-x 2+-3及共在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成图形的面积。 3． 曲线y=sinx 与y=sin2x(0)π≤≤x 所围成图形的面积。 4． r =3cos θθcos 1+=r 及所围成图形的面积。 5． 摆线?? ?-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 的一拱（)20π≤≤t 与横轴所围成图形的面积。 四、在曲线族y=a(1-x 2)(a>0)中确定一条曲线，使该曲线和其在（-1，0）和（1，0）两点处 的切线所围图形的面积最小。 姓名______________ 学号__________________ 2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5) 第六章 定积分及应用 1.抛物线22y x =把圆22 8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比 2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22 221x y b a +≤的公共部分的面积. 3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积. 4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________ 5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功. 6. 求函数1tan ()1tan x f x x -= +在区间[0,]4 π上平均值. 7.计算定积分 221x x e dx e π π-+?. 8.讨论下列反常积分的收敛性： （1） 01m x dx x +∞+? （,0n m ≥） （2）0arctan n x dx x +∞? （3）1201(ln )dx x x ? 第七章 空间解析几何与向量代数 1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________ 2.设直线L ：321021030 x y z x y z +++=??--+=?，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ） （A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交. 3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积. 第八章 多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y ?????. 2.设x z xy y =+ ，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________ 3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ?=，则 '(0)?=_________. 4.设方程33 3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ???. 5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =- （a 是不为零的常数），求2z u v ??? 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a 第六章定积分的应用 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 第六章 微分方程 【考试要求】 1．理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解． 2．掌握可分离变量方程的解法． 3．掌握一阶线性方程的解法． 4．了解二阶线性微分方程解的结构． 5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法． 【考试内容】 一、微分方程的基本概念 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称为方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程． 方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶． 如果函数()y f x =满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解． 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时，这样的解叫做微分方程的通解． 当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件． 满足给定初始条件的解，称为微分方程满足该初始条件的特解． 二、可分离变量的微分方程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 ()()g y dy f x dx = 的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含 y 的函数和dy ，另一端只含x 的函数和 dx ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．此方程两端同时积分，方程左端对变量y 积分，方程右端对变量x 积分，即 ()()g y dy f x dx =??， 便可求出其通解． 三、一阶线性微分方程 形如 ()()dy P x y Q x dx += 或 ()()y P x y Q x '+= 的方程称为一阶线性微分方程．“线性”是指在方程中含有未知函数y 和它的导数y '的项都是关于y 、y '的一次项， 而()Q x 称为自由项． 1．一阶齐次线性微分方程 当自由项()0Q x =时，()0y P x y '+= 称为一阶齐次线性微分方程．它的通解 为 ()P x dx y Ce -? =． 说明：在式()P x dx y Ce -? =中，求解 ()P x dx ?时只需求出一个原函数即可． 2．一阶非齐次线性微分方程 当自由项()Q x 不恒为零时， ()()y P x y Q x '+= 称为一阶非齐次线性微分方 程．它的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -??? ?=+???? ?． 说明：求解 ()P x dx ?时也只需求出一个原函数即可． 四、二阶常系数线性微分方程 1．二阶常系数线性微分方程解的结构 形如 ()y py qy f x '''++= 的二阶微分方程，由于方程中未知函数y 及其各阶导 数都以一次（线性）形式出现，故称为二阶常系数线性微分方程．其中p 、q 为常数，()f x 是自变量x 的函数． 第六单练习题 一、选择题 1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（ C ） A 、（0，0，0） B 、（0，0，-2） C 、111,,222?? ??? D 、111,,222?? -- ??? 2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（ B ） A 、(-1,1,1) B 、(1,1,-1) C 、(-1,-1,-1) D 、(1,-1,1) 3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y '=（ B ） A 、00000 (2,)(,)lim x f x x y f x y x ?→-?-? B 、00000(,)(,) lim x f x y f x x y x ?→--?? C 、00000 (,)(,) lim x f x x y y f x y x ?→+?+?-? D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →-- 4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（ D ） A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续 B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数 C 、00000 lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y ρ→''???-?-?=?? D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y ρρ→''?-?-???=???? 其中ρ=5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则 (,)(,) f x y f x y x y ??+=??（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y - 6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z 7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可微 D 、可微 8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零 C 、两个偏导数在点),(000y x P 的值都等于零 微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用 第六章定积分的应用 名称 主要内容 定积分的元素法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（?=b a dx x f A )(）三步骤的方法： 1、将i i i x f A ?≈?)(ξ记为dx x f dA )(= 2、将∑ =→n i 1 lim λ写为 ? b a 平面图形的面积 直角坐标系 X-型 Y-型 ?? ?<<<<)()(:21x f y x f b x a D A ?-=b a dx x f x f A ))()((12 ??? <<<<) ()(:21y g x y g d y c D A ?-=d c dy y g y g A ))()((12 极坐标系 ?? ?<<<<) (0:θβ θαr r D A ? =β αθ θd r A )(22 1 体积 旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积 ???<<<<)(0:x f y b x a D A 绕x 轴旋转： dx x f V b a ?=)(2 π 已知垂直于x 轴的平面截立体所得截面面积为)(x A ,立体又被夹于a x =和b x =两平面间，则： ?=b a dx x A V )( 已知垂直于y 轴的平面截立体所得截面面积为)(y A ,立体又被夹于c y =和d y =两平面间，则： ?=d c dy y A V )( 绕y 轴旋转： dx x xf V b a ?=)(2π ???<<<<)(0:y g x d y c D A 绕y 轴旋转： dy y g V d c ?=)(2 π 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 L ：)(x f y =，],[b a x ∈ dx y ds 21'+=； ? '+=b a dx y s 21 L ：)() ()(βαψ?≤≤?? ?==t t y t x dt t t ds )()(22ψ?'+'= dt t t s ?'+'=βα ψ?)()(2 2 L ：)(θr r =，βθα≤≤； θθθd r r ds )()(22'+=； θθθβ αd r r s ?'+=)()(22 物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力 第六章 习题6-1 1. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a??. (2)令()1,()1e e x x f x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>, 从而()(0)0f x f ≥=,说明1e x x ≥+,又e x 1+x .所以 1 1 (1)e d d x x x x >+??. 4. 估计下列各积分值的范围： 第六章 常微分方程 一、填空题 1．x ce y 2-= 2. 1()x x y xe e C x --=--+ 3. y =()x e x C + 4. 044=+'-''y y y 二、单项选择题 1. A 2.C 3.C 4.A 5.D 6. C 7.A 8. A 9. B 10. D 三/计算题 1.解：通解为 []11ln ln sin ...........................3sin 1 cos .............................................6dx dx x x x x x y e e dx C x x e e dx C x x C x - -????=+??????=+????=-+??分 分 2.解：通解为 []tan tan ln cos ln cos 1...........................2cos 1cos 11cos ..............................4cos cos 1.....................................cos xdx xdx x x y e e dx C x e e dx C x xdx C x x x C x --?? ? ?=+???? ?? =+?? ?? ?? = +???? =+???分分...............6分 求微分方程 x x y y x ln =-' 满足初始条件11==x y 的特解． 3.解： x y x y ln 1 =- ' ??? ? ??+??=?-C dx e x e y dx x dx x 1 1)(ln () ??? ??+=+=??-C dx x x x C dx e x e x x ln )(ln ln ln ?? ? ???+=C x x 2)(ln 2 由 11 ==x y 得1=C , 所以?? ? ???+=12)(ln 2x x y ． 4.解：令y u x =,则dy du u x dx dx =+,原方程化为1du x dx u =,即2 2u e Cx =.通解为 2 2 2y x e Cx =. 第六单练习题 一、 选择题 1、在球x 2+y 2+z 2-2z =0内部的点是（ C ） A 、（0，0，0） B 、（0，0，-2） C 、111,,222?? ??? D 、111,,222?? -- ??? 2、点(1,1,1)关于xy 平面的对称点是（ B ） A 、(-1,1,1) B 、(1,1,-1) C 、(-1,-1,-1) D 、(1,-1,1) 3、设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在对x ,y 的偏导数，则00(,)x f x y '=（ B ） A 、00000 (2,)(,)lim x f x x y f x y x ?→-?-? B 、00000(,)(,) lim x f x y f x x y x ?→--?? C 、00000 (,)(,) lim x f x x y y f x y x ?→+?+?-? D 、0000(,)(,)lim x x f x y f x y x x →-- 4、函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处可微的充分条件是（ D ） A 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处连续 B 、f (x ,y )在点(x 0,y 0)处存在偏导数 C 、00000 lim (,)(,)0x y z f x y x f x y y ρ→''???-?-?=?? D 、00000(,)(,)lim 0x y z f x y x f x y y ρρ→''?-?-???=???? 其中ρ=5、已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则 (,)(,) f x y f x y x y ??+=??（ B ） A 、22x y - B 、x y + C 、22x y + D 、x y - 6、平行于z 轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A 、03=-+y x B 、03=++y x C 、01=+-z y D 、5=z 7、二元函数224),(y x y x f z +==在点（0，0）处（ D ） A 、连续、偏导数不存在 B 、不连续、偏导数存在 C 、连续，偏导数存在但不可、可微 8、若可微函数),(y x f z =在点),(000y x P 有极值，则（ C ）． A 、两个偏导数都大于零 B 、两个偏导数都小于零定积分的应用教案
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