练习 6.1
1. 若)(x F '=)(x f ,则)(x F 是)(x f 的原函数，)(x f 的原函数全体称为)(x f 的不定积分。
区别是：)(x f 的不定积分描述了所有满足导数是)(x f 的函数，而原函数只是任一个满足导数是)(x f 的函数。
2. （1）3
x e - （2）c x +cos （3）a
1 （4）
2 （5）-1 （6）2
1-
（7）
2
1-
3.（1）(10)10x c '+= ?+=c x dx 1010
（2）x c x sin )cos 2(='+- ?+-=c x xdx cos 2sin 2 （3）dx x c x d 455)(=+ c x dx x +=?545 4.解：由题意c
x x f +=2)(，又由 1)1(=f ，知 1-=c ，因此 12)(-=x x f 。
5.解：由题意x
x x f 1)(ln )(=
'=，所以 2
1)(x
x f -
='
练习 6.2 1.（1）c x x
x +-
+1
2
ln 2
（2）c x x x ++
+3
42
3cos 3arcsin
（3）
c
x e e x
e e
x
e ++-++1
1
1
（4）=dx x x x )9264(+-? =
c
x
x
x
++
-9
9
ln 166
ln 244
ln 1
（5）=c x
dx x dx x x x +==???8
158
78
14
12
1158
)(
（6）=c
x dx x +=
?4
54
15
4
（7）=c
x x x
dx
x x ++-=++-?arctan 3
)111(3
2
2
（8）=c
x x
dx x
dx x
dx x
dx x x
dx x
++-
=++-=
+-?????
arctan 11
1
1
2
)
1(1
22
2
2
2
2
2
（9）c
x x dx x
dx x ++
=+=
?
?2
sin 2
2
cos 12
cos 2
（10）=c
x x dx x
x
+-=+
?cot tan )cos
1sin
1(
2
2
（11）=c x x dx x +--=-?cot )1(csc 2 （12）=c x x dx x
x ++
=
+?
2
tan 2
1cos
2cos 122
2. 解：由题意知 c(x)=7x+c x +50 由固定成本为 1000 知 c=1000 因此 c(x)=7x+501000+x 练习6.3
8
9
3
2
2
23
2
23
22
11(53)5(53)5
45
1
12(2)2(21)4
43
1(21)6
2(3)ln (1ln )3
(4)csc csc cot ln(csc (5)csc csc cot x
x
x
dx x d x x c x x c
x c x x c
x
e dx de e c
x x x d x xdx dx x x ---=-=
-+==
-+=-+=
=
++==-+--==
-?
????
?
???8
（1）（
5x-3)2
2
2
2
2
2
22
22
2
cot )ln |csc cot |csc cot (6)111(7)(1)ln |1|111
1
1
1
1(8)ln(1)ln
1
21
2
11
1(9)21
(1)
11
1
(10)23
(3)(1)x x x c
x x x
x dx dx x dx dx x x x c
x x x dx dx x c c
x x
dx dx c x x x x dx dx x x x x =-+-+-==
-+=-++++++=
=++=++=
=-+++++=+-+-?
?
????
???
??
?2
2
2
11
11
11ln(3)ln(1)4
3
4
1
4
4
11
11(11)arctan 25
(1)
2
2
2
11(12)()()()()2.22
(1)222l 11t dx dx x x c
x x x dx dx c
x x x f ax b dx ax b d ax b F ax b c
a
a
t dt dt dt t t
t =-
+
=-
++
-++-+=
=++++++=++=
++-=
+
=-++???
????
???
22
3
2
4
34
n(1)ln(2)33311(ln |1|)(1)(2)(1)14
4
4
4
4
1
1(2)(1)2
(3)2221
2
1
t
t
t c x c
t
dt t t t c x x t
t t t tdt
dt t t ++=++=
-+++=
+-
→=
++??
--++==++?
?
?2
1(2)444ln |11
4ln(1t dt dt t t t x c
-+=-++
+=-++?
??
??
2
2
2
2
222 (4)
sin cos
1
sec tan
cos
=
(5)
sec cos1
3tan3sin3sin x x dx tdt
dt tdt t c
t
c
t dt
t t
dt c
t t t ==
===+
+
====-+?
??
?
???
令
原式
令
原
式
22
2
=-
1
(6).ln
3
(7)sin dx=acostdt
x a sin cos
=-a cost+c
cos
=-a
(8).
c
x
x c
x a t
t
a tdt
a t
c
+
==++
=
?
??
??
令
ln2
x c
==+++??
练习6.4
1. (1)
c
x
x
x
xdx
x
x
x
d
x
x
x
xdx
xdx
x
+
-
=
-
=
-
=
=
?
?
?
?
4
ln
2
1
2
1
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
1
ln
2
2
2
2
2
2
(2)
c
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
x
xd
x
x
xdx
x
x
x
x
d
x
xdx
x
+
+
+
-
=
-
+
-
=
+
-
=
+
-
=
-
=
?
?
?
?
?
cos
2
sin
2
cos
sin
2
sin
2
cos
sin
2
cos
cos
2
cos
cos
sin
2
2
2
2
2
2
(3)
c
x
x
x
dx
x
x
x
xd
dx
x
x
x
+
-
-
=
+
-
=
=?
?
?
cot
2
1
csc
2
csc
2
1
csc
2
csc
2
1
sin
cos
2
2
2
2
3
(4)
c
x x
x dx x
x
x
x
xd
x d x
x
dx x
x
+++-=++
+-
=+-=++=+??
??arctan 2211
21
11
2
1112
1)1()
1(21)
1(2
2
2
2
2
2
2
22
2
(5)
??????+
-
=-=-
==
xdx
xdx x x xdx x x x x
xd x x x xd xdx sec
sec
tan sec tan sec
tan sec sec tan
tan sec tan sec sec 3
2
3
因此
c
x
x x x xdx +++=
?2
tan sec ln tan sec sec 3
（6）
?
=?
=+t
a t
a dx
x
a x
t
a x sec tan
2
2tan 2
2
2
设a 2
sec
c
x a x x
a x c a x a
x a a
x a
x
a a
c
t s e t t t a
dt t t a
+++-
+=
++
+-+=++-=-=?2
ln 2
2
ln 2
)
tan ln(tan sec )sec (sec 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
（7）
c
x
x x dx
x
x x x xdx +-+
=--
=??
2
2
1arcsin 1arcsin arcsin
（8）xdx
e x e x e xde x e xdx e x e x
d e
x e xdx e
x
x
x
x x x x x
x
x
cos sin cos sin cos sin cos cos cos cos ?????-
+=+=+=-
=
因此 c x x e x d x e x
x
++=?2
)
s i n (c o s c o s
（9） c
x x x c t t t tdt
t t t td tdt
t tdt
dx x x
t ++=++=-====
?????=
cos
2sin
2cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos cos
2
设
（10）
c
e
e e e
c u u u u du u u u u u du
u
u u u
u d u
u u du
u
u dx e e
x
x
x
x u
e x
x
x
++-
+-
=++-+-=??
? ??+-+
-=++
-
=+-==
????
?
=)1ln(2
1ln arctan 1)1ln(2
1ln arctan 111arctan 111
1arctan 1arctan 1
arctan 1arctan arctan 22
22
2
设
2.解： 由已知得 )sin (
)(sin )('=+=
?
x x x f c x
x dx x f 或
因此
()()()()()c
x
x x xf dx
x f x xf x xdf dx x f x +-
=-
=
='???sin
习题六
1． 单题
（1）C （2）A （3）C 4）D （5）B （6）C （7）B （8）B （9）A （10）D
（11）C （12）A （13）C （14）D （15）B （16）C （17）B （18）C （19）C （20）D 2．解：已知 x x xe f -=')( 因)(x f ??=--==x x x d e xe
?
=-u x ?+--=+-=+
--c e
e
x c e ue
ude
x x
u u
u
)(
由此曲线过（0，0）知.0)0(=f 即C=1 于是 1)(+--=-z x x e xe f
3；解：由边记函数为 x f x 220)(-=
知边际函数 ?+-=-=c x x dx x R x 2)(20)220( 又0)(=x R 知C=0 于是 2)(20x x R x -=
4．根据提议：求函数为p Q x 5100)(-= 成本为2
)(2
05.01215Q
Q c x -
+=
既利润关于P 的函数为：
2
)()
4100(2
05.0)5100(15).5100(P P P P L x -+
----12
令0)('=P L 得 P=
7
120
即当P 为120/7时利润最大 5．解：由已知得 )
()
(')
(1x x x f f
f x =
即 c x f x +=||ln )(
又0)1(=f C=0 即 )(x f =ln|x| 6.(1) =
-?2
33
x dx c x x x d +-=
--?32
3
1
)23(2
1)23()
23(3
1
(2) c
x dx x dx x x +-==?
2
2
2
2
cos 2
1sin 2
1sin
(3) ??
+-=-=c x x
x d dx x
x cos 2cos cos cos sin
(4) c
e de
e
dx e e
x
x
x
x
x
+==
??sin cos cos
(5)
c x
x
x d dx x x +--
=---
=-??
2
2
2
2
252125)25(4
1
25
(6) c x x x
x x d dx x x
x x ++-=
+-=
+--?
?+-|54|ln 2
1)
54(2
1
5
42
2
5
422
2
(7) ??
+-
=
-=
c
x x dx x
xdx 12
6sin 2
2
6cos 13sin
2
(8) ??
?+==
=
c x x
x d x x x
d dx x x x )]ln[ln(ln ln ln ln ln ln ln ln ln )
ln(ln
.ln .1
(9)
c
x x x c u u u
du x x d dx x x ++++
+=+++=+=
+++=
++?
?
?
)321ln()2ln(22
)1()
1(3
212
2
2
2
2
(10)
??+-=-=?c
e
x d e
xdx e
x
x
x
cos cos cos cos sin
(11)
c
x x x x
d x x x d x xdx ++
-=+--=--=???5
cos _
cos 32cos cos )cos
cos
21(cos )cos
1(sin
5
3
4
2
2
2
5
(12)
??
+=-=-c x x
x d dx x
x 3
ln arcsin ln
3ln ln
312
2
(13)
c x
x x d x
x dx
+-=
---=--?
?
arcsin 11)
arcsin 1()arcsin 1(1)
arcsin 1(2
2
2
(14)
c
x x dx
x xdx xdx x +-=
-=
=
???
4sin 27
18
1)4cos 1(8
12sin
4
1cos sin 2
2
2
(15)
c x arcsun
x
dx x
dx +=
-=
-??
4
33
1)3
4(3
1
9162
2
2
(16)
?
?++--=+---
=-+c x x
x x
x d dx x x arcsin 1arcsin 1)1(2
1
112
2
2
2
(17) c e e
de
e
e
dx
x
x
x
x
x
+=+=
+??-arctan 1
2
(18)
c x x
xdx x xd dx x x xdx +-=
-
=
-=
????tan 3
tan
tan
tan tan
)1(sec
tan
tan
3
2
2
2
2
4
(19)
c
x
x x
d x x xd xdx dx x
+-
-=+-=-==
????3
cot cot cot )cot
1(cot csc csc sin
1
3
2
2
44
(20)
??+-
=
--=c
x x x xd xdx x 6
8
5
2
5
3
cos
6
1cos
8
1cos cos
)cos 1(cos
sin
3
53
8
5
3
2
3
1
1
(21)3
3
1(1)(1)3
8
5
85
x u
t
x
x
t
t
t t d t c
c
==???→
-?-=
-
+=
-
????
2
2
12
(22)ln(1)1111(
)ln
ln
1
1
1
t d t dt
t t
t dt c c
t t t →-=--=
-
=+=+-++????
385
2
2
7
5
3
7/65/6
3/6
1/6
6(23)611661263ln ||751
66263ln |
7
5t
t
t
t dt dt
t
t
t t t t t c
t x
x
x
x
c
?→
=---=-----++=-
-
---+???
3sec 2
3sec tan (24)9sec 3tan 111cos sin 9
9
9
x t
t t dt
t t
tdt t c c
x
=????→==
+=
+???
2
2tan 3
3
2
2
1
2sec 1
(25)cos 8sec
4
(4)1sin 4
x t
t
dx tdt t
x t c c
=???→=
+=
+=
+???
2tan sec
(26)tan sec csc ln |csc cot |1ln ||ln |
x
x
t
e u
u t
d dt
t t
tdt t t c
c c
u u
e
===
???→???→
=
=-+=-
+=+???
??
32
32331
(27)(21)(21)3
11
(2)(41)33
x
x
x
x
x e xdx x
de
x x e
e x dx
+=+=+-
+???
23311(2)(41)3
9
x
x
x x e
x de
=+-
+?
23332
3331411
(2)(41)
39
9
1414(2)3
9
27x
x
x
x x
x
x x x e e e d x x x x e
e
e
c
+=+-?+++=
+-
?+
+?
（28）c e xe xdx e dx e x x x x xt +-==??ln
（29）xdx
e
x e
x e
xdx
e x e xde
x e
xdx e
x
x
x
x x x
x
x
cos cos sin sin sin sin sin cos ????---------
-=+=-
=
因此
c
e x
x xdx e
x
x
+-=
?-2
cos sin cos
（30）
c
x x x
c
e
te
e t dt
e te
e t dt te e t dt
e e
t dt e t dt e e
t
dx x
x t
t
t
t
t
t
t
t
t t
t
t
t
t
x +++-
=+---=+--=-+-=+
-===
-----------=??????
)2ln 2)((ln 122222)(ln 2
2
2
22
2
2
22
ln 2
2
设
（31）()
()()()()c
x x x x x xdx
x x x xd x x dx x ++-=-
=-
=??
?2ln 2ln ln
2ln ln ln ln 2
2
2
2
2
（32）c
e
e
x e
x c
te e t tde e t dt
e e t de t dt t e dx e
x
x
x t t t t t t t t x
t x
++-=+-=-=-===
?????=
3
3
3
3
3
663636333333
3
2
222
222设
（33）()
()
(
)
(
)
c
x x x c
t t dt t
dt t
t
dt
t
t x d x x dx x x
x t
x ++-
++=
+-+=+-
+=
+-=
+++-+=
+++?????=+3
2arctan
3
1134ln 2
13
arctan
3
19ln 2
19
1
9
91
29
21
21341
2
2
2
2
2
22
2
设
（35）c
x x x x dx x x dx x x dx x x dx x x x ++
-+
+
-=
???
? ??+--+???
??+--=
?
?
? ??-+-=
???
?
??+--????33ln 3
2122ln 2
2131313212121221
3121
655222242
（37）
c
x
x x dx
x
x
dx x x
++
+-=
-
-=-??11
1ln
2
111
1
1
2
2
2
4
(40) c x x x x
d x x dx x x x
+???
??-+=-+-+=-+-??2
211ln 4111ln 11ln 2111ln 11 （41）c
x x x x dx
x
x x
x x x xd dx x
x
+-+=+
==
???tan cos ln tan cos sin tan cos ln tan tan cos ln cos cos ln 2
（42）
()
()
()
()()
c
x
x
c u u du u
u u
u d u
t tdt
x dx
x dx x x
u
t t
x +++
+=
++=-=
--=
+=
+=
+?
?
?
?
?
=+=2
2
2
2
3
2
2
12
2
223
11
111112
112
112
112
32
2
32
3
设
设
(43)()
()
()
()
(
)c
t
t
c t
t dt t dt t
dt t t
dx x x
dx x x
++++=
+++
+=+-
+=
+=
+=+?????
4
4
2
2
4
2
4
424
7
11
41
1ln 4
1
11
41
1ln 4
111
41
1141141
14
1
1
(44)
()
()
()
c
x x x d x dx
+-=
+--=+-??2
12arctan
4
14
121221
4
122
2
(45) ()
()()()()
c x
e
dx
x e
x e x dx x xe
x
x
x
x ++=
+'+-'+=
+?
?111112
2
(46)
c
x x x x c u u u d u du u
u du
u u du u u u
t t dt
x x dx
x
x x dx
u
x t
x +++++=+??
? ??
--??? ??-=?
?
? ??-??? ??
-=
-=-=???? ??
-=
+
??? ?
?
-=
+
??? ??
+=
++??
?
???
?
=
=+2
2
tan 2
322
12
2
122ln 6cot 6csc ln 66csc cos sin 31
21
tan 3sec 2sec 23
21tan 23sec 2
343
2143211ππππ设设
(47)
()
(
)
()
()
c
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(48)
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33294373233
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2
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1
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2
2
2
2
2
2
2
2
7.（1）()()()c b ax f a
b ax df a
dx b ax f ++=
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（2）()()()()()()c x f x f x dx x f x f x x f xd dx x f x +-'='-'='='??? （3）()[]()()[]()()[]c x f a x df x f dx x f x f a a
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2
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1 ),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f += +=+=2 2 2 ) ,(1; ),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(2 2 -+ -= y x y x f （2）;) 1ln(4),(2 2 2 y x y x y x f ---= （3）;1),(2 22 22 2c z b y a x y x f - - -= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---+ + = 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(22<+<=
（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限： （1）2 2 1 01lim y x xy y x +-→→= 11 001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim 2 2 )0 1=++= ++→→e y x e x y y x （3）4 1) 42() 42)(42(lim 42lim 00 0- =++ +++- =+- →→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2)sin(lim )sin(lim 20 2=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0y x y x y x -+→→ （2）2 2 2 2 20 0) (lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 20 -=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 20 ==-+→→=→y y y x y x y y x y
第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f （2）;) 1ln(4),(222y x y x y x f ---= （3）;1),(22 2222c z b y a x y x f ---= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---++= 解（1） （2） （3） （4） 4（1）1 lim y x →→（2）lim 1→→y x
（3）41 )42()42)(42(lim 42lim 000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2) sin(lim )sin(lim 202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0 0y x y x y x -+→→ （2）22 22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 00 20-=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00 20==-+→→=→y y y x y x y y x y 所以极限不存在。 （2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0( 则1lim )(lim 44 022 2220 0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244 0222220 20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。 6．指出下列函数的间断点： （1）x y x y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。 解 （1）为使函数表达式有意义，需022 ≠-x y ，所以在022 =-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x y y x z += ,21x y y x z -=??，2 1y x x y z -=??. (2) )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x z -=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y z -=-=??
第二章数学模型与定解问题 2.1典型方程 三类基本的二阶偏微分方程是: (1)波动方程 0)(2 =++-zz yy xx tt u u u a u (2)热传导方程 0)(=++-zz yy xx t u u u k u (3)拉普拉斯方程 0=++zz yy xx u u u 许多数学物理问题都可归结为解偏微分方程的问题,特别是可归结为解上面所列举的三个偏微分方程的问题.我们将开始研究这些方程,首先仔细考察表示这些物理问题的数学模型. 2.2弦的振动 在数学物理中最重要的问题之一是拉紧的弦的振动问题.由于它较简单, 且经常出现在许多数学物理的分支中,所以在偏微分方程理论中把它作为一个典型的例子. 让我们考察一长为 l 的两端固定的拉紧的弦.我们的问题是要确定弦的运动方程,用它来描述在给定初始扰动后任一时刻t 的弦的位移u(x,t). 为了能.得出一个较简单的方程,我们作下面的一些假设: (1)弦是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻弦的张力总是沿着弦的切线方向; (2)弦的每一段都不伸长,因此根据胡克(Hooke)定律,张力是常数; (3)弦的重量与其张力相比很小; (4)弦的偏移与其长度相比很小; (5)位移后的弦在任一点上的斜率与1相比很小; (6)弦只有横振动. 我们考察弦上一微小元素.设T 是如图2.1所示的两端点上的张力.作用在弦的这一微小元素上的垂直方向的力是: αβsin sin T T - 图（Figure ）2.1
根据牛顿第二运动定律,合力等于质量乘以加速度.因此 tt su T T ?=-ραβsin sin (2.2.1) 其中ρ是弦的密度,s ?是这一小段位移后的弦的弧长.因为位移后的弦的斜率很小,所以有 x s ?≈? 因为角α和β都很小,所以 ααtan sin ≈, ββtan sin ≈ 于是等式(2.2.1)变成 tt u T x ?=-ραβtan tan (2.2.2) 但是,由微积分学我们知道,在时刻t 有 x x u )(tan ≈α 及 x x x u ?+≈)(tan β 于是等式(2.2.2)可以写成 tt x x x x x u t u u x ρ =-??+])()([1 令x ?趋于零取极限,得 xx tt u a u 2 = (2.2.3) 其中ρ T a = 2 。方程(2.2.3)称为一维波动方程. 如果在弦的每单位长度上有外力F 作用着,方程(2.2.3)具有下列形式: f u a u xx tt +=2 (2.2.4) Where ρ F f = ,而外力可以是压力、重力、阻力以及其他力等 2.3膜的振动 膜振动方程在数学物理的许多问题中出现.在我们导出膜振动方程前,像在弦振动的情形中一样,我们作下列一些简化的假设: （1） 膜是柔软与有弹性的,即它不能抵抗弯矩,因此在任何时刻它的张力 总是在膜的切平面内; (2) 膜的每一块元素都没有伸张变形, 因此根据胡克定律, 张力是常数;
第一篇 微积分模型 在微积分部分的应用实例中，通过对应用问题建模主要培养应用极限、连续、相对变化率、微元、无穷级数、最优化和微分与差分方程等思想解决实际应用问题的能力。 函数的性质包括分段性质、单调性、奇偶性等，由函数的基本性质可以产生对函数进行分类的方法。与函数基本特性相关的应用实例有：市话费是降了还是升了，外币兑换与股票交易中的涨跌停板，库存问题与库存曲线，“另类”的常量函数，蠓虫分类的初等数学模型，核军备竞赛问题等。 数列与函数的极限和函数连续性质是处理变量变化过程的工具，应用重要极限计算连续复利利率的计算，应用函数的连续性和介值定理解决特殊的应用问题。与极限和连续等内容相关的应用实例有：从科赫雪花谈起，复利、连续复利与贴现，出售相同产品的公司为什么喜欢扎堆，椅子为什么能放稳等。 导数、微分是函数的相对变化的极限过程，函数的特性和极值理论可以解决经济管理中的实际应用问题，导数、微分在经济管理中的应用反映为边际、弹性等。相关的应用实例有：影子为什么那么长，边际是什么？弹性是什么？商家应该怎样制定自己的价格策略？不同消费群体的需求弹性问题，机械与人工的调配问题，易拉罐的形状，这批酒什么时候出售最好，该不该接受供货商的优惠条件，作者与出版商的利益冲突等。 微元分析是微积分中一种重要的分析方法，特别是函数的连续求和归结为该函数的积分。与积分和微元分析内容相关的应用实例有：洛伦兹曲线与基尼系数，均匀货币流的总价值与投资回收期的计算，下雪时间的确定，第二宇宙速度是怎样计算出来的等。 离散变量的求和可以用无穷级数来表达，无穷级数的求和是一个极限过程。与无穷级数内容相关的应用实例有：最大货币供应量的计算，政府支出的乘数效应，运用现值计算进行投资项目的评估，谈谈龟兔赛跑悖论 等。 如果影响研究问题的主要因素有两个或者两个以上，则要用多元函数的微积分学来处理，涉及到多元函数偏导数、偏边际、偏弹性和交叉弹性、条件极值等内容。相关的应用实例有：空调销售量的预测，相互关联商品的需求分析，衣物怎样漂洗最干净，拉格朗日乘数与影子价格等。 变量的变化过程可以用微分方程或差分方程来描述，通过对微分方程或差分方程的建立与求解，可以研究变量的形态和变化规律。与微分方程和差分方程相关的应用实例有：人口模型，单种群动物模型，相对封闭环境中的传染病模型，江河污染物的降解系数，怎样计算固定资产的折旧，放射性元素衰变模型，市场上的商品价格是怎样波动的，再谈下雪时间的确定，溶液浓度模型，饲养物的最佳销售时机，信贷消费中每月还款金额的确定，资源的合理开发与利用，从诺贝尔奖谈起，蛛网模型，梵塔问题，平面内直线交点的个数，菲波那契数列的通项公式等。 1
第四章 微积分模型 今天人们不论从事什么活动都讲究高效益,即希望所采取的策略使某个或某些指标达到最优。商店订货要使订货、存贮等费用最小，体育比赛运动员要创造最好的成绩，工程设计要追求最佳方案。普遍存在的优化问题经常成为人们研究的对象，建立这类问题的模型，我们称为优化模型。 建立优化模型首先要确定所关心的优化指标的数量描述，然后构造包括这个指标及各种限制条件的模型，通过模型求解给出达到优化指标的所谓策略。本章仅考虑定常情况(即所给的策略不随时间改变)。 4.1 不允许缺货模型 某配送中心为所属的几个超市送配某种小电器，假设超市每天对这种小电器的需求量是稳定的，订货费与每个产品每天的存贮费都是常数。如果超市对这种小家电的需求是不可缺货的，试制定最优的存贮策略(即多长时间订一次货，一次订多少货)。 如果日需求量价值100元，一次订货费用为 5000元，每件电器每天的贮存费1元，请给出最 优结果。 模型假设: （1）每天的需求量为常数r ； （2）每次的订货费用为c 1，每天每件产品的存贮费为c 2 ； （3）T 天订一次货,每次订Q 件，且当存贮量 为0时，立即补充，补充是瞬时完成的； （4）为方便起见，将r ，Q 都视为连续量。 模型建立 将存贮量表示为时间的函数(),0q t t =时，进货Q 件这类小电器,储存量(0),()q Q q t =以需求r 的速率递减，直到q (T )=0。 易见 Q=rT (4.1) 一个周期的存贮费用 C 2= A c ds s q T 20 )(=? 一个周期的总费用 C =2 2 21rT c c + 每天平均费用 2 )(21rT c T c T c += (4.2) 模型求解 求T ，使)(T c 取最小值。 由 0=dT dc ，得 2 12 1 2,2c r c Q rc c T = = (4.3)
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上 述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞2221 11(1)(2)n n n ??+++ ?+?? L =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++≤≤=+L 而且 21lim 0n n →∞=，2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 222111lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++= ?+? ?L . （2）因为22222240!1231n n n n n < =<-g g g L g g ，而且4lim 0n n →∞=， 所以，由夹逼定理得
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5
D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4
微积分课后习题答案 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
微积分第八章课后习题答案 习题8-1 1.（1）一阶；（2）二阶；（3）一阶；（4）三阶；（5）三阶；（6）一阶；（7）二阶；（8）一阶。 2.（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是微分方程的通解。 3.1 22 y x =+.4.将所给函数及所给函数的导数代人原方程解得： 21 ()(1)2 u x x dx x x C =+=++?. 习题8-2 1.（1）原式化为：ln dy x y y dx = 分离变量得： 11 ln dy dx y y x = 两边积分得：11 ln dy dx y y x =?? 计算得：()11ln ln d y dx y x =? ? 即：()1ln ln ln y x C =+ 整理：1ln y C x = 所以：原微分方程的通解为：Cx y e =； （2）原式化为：()()2211y x dy x y dx -=-- 分离变量得： ()()22 11y x dy dx y x -=-- 两边积分得：()() 22 11y x dy dx y x -=--?? 计算得： ()()() ()22 22 1111112211d y d x y x -=----?? 即：()()221ln 1ln 1y x C -=--+ 整理：22(1)(1)y x C --=
所以：原微分方程的通解为：22(1)(1)y x C --=； （3xydx =- 分离变量得： 1dy y = 两边积分得： 1dy y =? 计算得：()2 1ln 12y x = - 即：1ln y C = 整理：y = 所以：原微分方程的通解为：y = （4） 1y e Cx -=-； （5）sin 1y C x =-； （6）1010x y C -+=； （7）22ln 22arctan y y x x C -=-+； （8）当sin 02y ≠时，通解为ln |tan |2sin 42y y C =-；当sin 02 y =时，特解为2(0,1,2,)y k k π==±±； （9）222ln x y x C +-=； （10）22ln ln x y C +=。 2.（1）tan 2 x y e =；（2）(1)sec x e y +=；（3）2(1)22y x e y +-=；（4） 1 ln |1|1a x a y =--+；（5）24x y =；（6）323223235y y x x +--=；（7）sin y x =； （8）cos 0x y =。
微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，
微积分课后题答案
习题四 A 1 用积分公式直接求下列不定积分。 （1）c x x x dx x x x dx x x x x +-+=+-=+-----??22 1 2323 3 421829)49(149 （2）c x x dx x x dx x x x ++=+=+??- 21 252 123 252 )()1 ( （3）c x x dx x x dx x x x ++=++=+++??arctan )1 13(1133322 224 （4）c x e dx x e x x ++=+?ln 32)3 2( （5）c e c e e dx e dx e x x x x ++=+==??555 5555)3(53ln 51)3(3ln 1)3()3( （6）c e c e e dx e dx e x x x x x ++=+==??)7(27ln 1)7(7ln 1)7(7222 22 2用积分公式直接求下列不定积分。 （1）c x x x dx x x x dx x x x dx x x +++=++=++=+???-21 232521212322 234 52)2()12()1( （3）c x xdx x dx x x dx x x x +-=?==??? 2csc 22csc 2cot 42sin 2cos 4cos sin 2cos 222 （5）c x e dx x e dx x e x e x x x x +-=-=-??-ln )1 ()( （6）c x dx x dx x x x x dx x x x x +=-=+--++=+-+-+???arcsin 2112)1)(1(11)1111( 2 （7）c x x dx x x dx x x x ++=-=---??41 4 7 4 5 43 2474)()11( （9）c x e e dx e e dx e e e e dx e e x x x x x x x x x x ++-=+-=++-+=++???2)1(1 )1)(1(112223 3 用第一类换元法求下列不定积分： （1） c e c e du e x d e dx e x u u x x +-=+-=-=--=---? ??)( （4）c ae ae c u u dx u dx ae dx e a x x x x x x +=+= ==???)(ln 1 ln 1)(
《微积分》(中国商业出版社 经管类)课后习题答案 习 题 二 1.列数列}{n x 当∞→n 时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限： （1）; )1(1>= a a x n n （2）; 3) 1(n n x -= （3）; 1 1n g x n = （4）; )11()1(n x n n +-= （5）; 1 )1(3n x n n -+= （6）; 1sec n x n = （7）; 2642)12(531lim n n n ++++-++++∞→ （8）. 2 121121211lim )1(22-∞→++++++ n n 解：1）收敛.因为当∞→n 时,; )1(>∞→a a n 所以; 0→n x 所以. 01 lim lim ==∞ →∞ →n x n x a x 2)因为?????==为奇数为偶数 n n x x n n 3 1 3 所以 n x 是发散的; 3)发散的.因为当∞→n 时,01→n ;所以-∞→=n g x n 1 1; 4)因为?? ?-=为奇数 为偶数n n x n 1 1 所以n x 是发散的; 5)收敛的.因为当∞→n 时, 01→n ;所以31 )1(3→-+=n x n n ;即∞ →x lim 3=n x ; 6)收敛的.当∞→n 时, 01→n ;11 sec →n ;即∞ →x lim 1=n x ; 7)因为n n n n n n n n +=+-+=++++-+++12 )22(2) 121(2642)12(531 ; 所以∞ →x lim 11=+n n ; 所以是收敛的; 8)因为 232 11) 21(12121 12 121121211121) 1(221=--- - =++++++ ----n n n n 1211-+n
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f + =),(，求) ,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y x xy y x f + =--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1( 2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++= ) ,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?= 3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22 -+-=y x y x f （2）;) 1ln(4),(222y x y x y x f ---= （3）;1),(22 2222c z b y a x y x f ---= （4）.1),,(2 2 2 z y x z y x z y x f ---++= 解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2） { y y x y x D ,10),(22<+<=
（3） ????++=),(2 2222b y a x y x D （4）{} 1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D 4．求下列各极限： （1）2 21 01lim y x xy y x +-→→=11 00 1=+- （2）2ln 0 1)1ln(ln(lim 02 2 )0 1=++= ++→→e y x e x y y x （3）41 )42()42)(42(lim 42lim 000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （4）2) sin(lim )sin(lim 202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x 5．证明下列极限不存在： （1）;lim 0 0y x y x y x -+→→ （2）22 22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim 00 20-=-+=-+→→=→x x x x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00 20==-+→→=→y y y x y x y y x y x
第二章简单线性回归模型 研究经济变量之间的关系时，最基本且最简单的是只有两个变量的情况，两个变量最简单的关系是线性关系。研究变量间因果关系，最常用的方法是回归分析方法。所以,这章我们会从最简单的线性回归模型入手,来介绍在基本假定完全满足的条件下,规范的计量经济研究的基本理论和方法,为以后的内容打下基础。 回归分析与回归方程 一、回归与相关 1、经济变量间的依存关系：通过第一章的学习，我们已经知道了计量经济学研究的中心问题就是各种经济变量之间的相互依存关系。而现实经济中各种经济变量之间的相互关系可以分为两类： （1）确定性关系：函数关系Y=f（X）当一个或若干个经济变量X取一定数值时，另一个变量Y一定会有确定的值与之相对应的。例如当价格不变时，销售额Y与销售量X之间的关系等。 （2）不确定性关系：相关关系。当一个或若干个经济变量X取一定数值时，与之相对应的另一个变量Y值不确定，但按某种规律在一定范围内变化。例如，上一章的例子中，居民消费支出Y与可支配收入X之间就是这种关系。不是说收入一定，消费支出就一定，因为还有其他别的因素在影响着消费支出，但是，会呈现出居民消费支出随可支配收入增加而增长的规律性变动趋势。我们可以表示为Y=f（X，u），其中u为随机变量。 2、相关关系 ◆对相关关系最直观的描述方式是坐标图—散布图（P15） （1）相关关系的类型 从涉及的变量数量看 简单相关：只有两个变量的相关关系 多重相关（复相关）：三个或三个以上变量 ●从变量相关关系的表现形式看 线性相关——散布图接近一条直线 非线性相关——散布图接近一条曲线 ●从变量相关关系变化的方向看 正相关——变量同方向变化，同增同减 负相关——变量反方向变化，一增一减 不相关 相关系数——反映变量间线性相关程度。至于具体的相关系数如何计算，在这里我不想过多地说，大家目前只需要知道相关系数就是表示变量之间相关的程度。 现在，我们假设把每个班女生的数量与得胃病的人数作为两个变量，通过散布图来看它们之间的关系，有可能会得出两者数字之间有相关关系的结果，但我们是不是可以得出女生更容易患胃病的结论呢？ 相关关系≠因果关系 计量经济学研究关心的是变量间的因果关系，及其隐藏在随机性后面的统计规律性，这有赖于回归分析方法 3、回归分析 回归的古典意义：高尔顿遗传学的回归概念。英国生物学家高尔顿在遗传学研究中发现相对于一定身高的父母，子女的平均身高有朝向人类平均身高移动或回归的趋势。 回归的现代意义：关于一个应变量对若干解释变量依存关系的研究 回归的目的（实质）：由已知或固定的解释变量去估计应变量的总体平均值。 P16图2.2 假设我们研究个人消费支出对个人可支配收入的依存关系，对应于各种个人可支配收入，个人消费支出虽不确定，但总会在一定的范围内变动。而且，平均说来，个人消费支出总是随着收入水平的增加而上升的。 回归分析就是要根据对个人消费支出与可支配收入的观测数据，确定当解释变量可支配收入
习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2