实验09 数值微积分与方程数值解(第6章)

实验09 数值微积分与方程数值求解

（第6章 MATLAB 数值计算）

一、实验目的

1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。

2. 掌握代数方程数值求解的方法。

3. 掌握常微分方程数值求解的方法。

二、实验内容

1. 求函数在指定点的数值导数

232()1

23,1,2,302

6x x x f x x x x x

==

2. 用数值方法求定积分

(1) 22210

cos 4sin(2)1I t t dt π

=

++?

的近似值。

程序及运行结果：

《数学软件》课内实验

王平

(2) 222

1I dx x

π

=+?

程序及运行结果：

3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组

6525494133422139211

x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-??-+-=?

?

++-=??-+=? 程序及运行结果：

4. 求非齐次线性方程组的通解

123412341

2342736352249472

x x x x x x x x x x x x +++=??

+++=??+++=?

5. 求代数方程的数值解

(1) 3

x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。

程序及运行结果（提示：要用教材中的函数程序line_solution ）：

(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。

23

sin ln 70

3210

50y x y z x z x y z ?++-=?+-+

=??++-=?

6. 求函数在指定区间的极值

(1) 3cos log ()x

x x x x

f x e ++=在(0,1)内的最小值。

(2) 332

12112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。

7. 求微分方程的数值解，并绘制解的曲线

22

50(0)0

'(0)0xd y dy

y dx dx y y ?-+=???

=??=???

程序及运行结果（注意：参数中不能取0，用足够小的正数代替）：

令y 2=y,y 1=y '，将二阶方程转化为一阶方程组：

'112'

21

12

5

1(0)0,(0)0

y y y x x y y y y ?=-??=??==??

8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线

123213

312123'''0.51(0)0,(0)1,(0)1

y y y y y y y y y y y y =??=-??

=-??===?

程序及运行结果：

三、实验提示

四、教程：第6章 MATLAB 数值计算（2/2）

6.2 数值微积分 p155 6.2.1 数值微分

1. 数值差分与差商

对任意函数f(x)，假设h>0。 ? 向前差分：()()()f x f x h f x ?=+- ? 向后差分：()()()f x f x f x h ?=--

? 中心差分：()(/2)(/2)f x f x h f x h δ=+-- 当步长h 充分小时，有

? 向前差商：()

'()f x f x h ?≈

? 向后差商：()

'()f x f x h ?≈

? 中心差商：()

'()f x f x h

δ≈

2. 数值微分的实现

MATLAB 没有提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff 。 ? DX=diff(X)：计算向量X 的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n -1。 ? DX=diff(X,n)：计算X 的n 阶向前差分。 例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。

? DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A 的n 阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列；dim=2，按行。

例6.18 （向前差分）求1~3阶差分p156

设x 由[0,2π]间均匀分布的10个点组成，求sin x 的1~3阶差分。

例6.19 （数值导数）3种方法求导p157

=+

()52

f x x

用不同的方法求f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f '(x)的图像。

6.2.2 数值积分 p157

1. 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法： ? 梯形法

? 辛普生(Simpson)?法

? 牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法 基本思想：

将整个积分区间[a ,b ]分成n 个子区间 [x i

, x i +1

]，i =1,2,…,n ，其中x 1

=a ，x n +1=b

这样求定积分问题就分解为求和问题。 2. 数值积分的实现

(1) 被积函数是一个解析式

调用格式： quad(fname,a,b,tol,trace)

quadl(fname,a,b,tol,trace)

? fname 是被积函数名。

? a 和b 分别是定积分的下限和上限。 ? tol 用来控制积分精度，默认tol=10-6

。

? trace 控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认trace=0。

例6.20（解析式函数数值积分）两种方法p158

用两种不同方法求 1

2

x I e

dx -=

?

调用格式：trapz(X,Y) ? Y=f(X)

? X=[x 1,x 2,...,x n ], x i

例6.21（表格函数数值积分）p159

用trapz 函数计算 1

20

x I e dx -=?

(3) 二重积分数值求解

(

,)d

b

c

a

I f x y dxdy =?

?

调用格式：

I=dblquad(f,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,trace)

例6.22（二重数值积分）p160

2

12

/2

212

sin()x

I e x y dxdy ---=+?

?

表 数值微积分函数和命令 p155~160

6.3 离散傅立叶变换 p160 6.3.1 离散傅立叶变换算法简述

在某时间片等距抽取N 个抽样时间t m 处的样本值f(t m )，记f(m)，m=1,2,...,N 。 ? 称向量F(k)(k=1,2,...,N)为f(m)的一个离散傅里叶变换，公式：

2(1)(1)/1

()(),1,2,,N

j m k N m F k f m e k N π---===∑L

又称F(k)为f(m)的离散频谱。

? 由F(k)逆求f(m)的过程，称离散傅立叶逆变换，公式：

2(1)(1)/1

()(),1,2,,N

j m k N k f m F k e m N π--===∑L

6.3.2 离散傅立叶变换的实现 p161

一维离散傅立叶变换函数：

(1) fft(X)：返回向量X 的离散傅立叶变换。 ? 设X 的元素个数为N 。

? 若N 为2的幂次，则为以2为基数的快速傅立叶变换。 ? 否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。 ? 对于矩阵X ，它应用于矩阵的每一列。 (2) fft(X,N)：计算N 点离散傅立叶变换。 ? 它限定向量的长度为N 。

?若X的长度小于N，则不足部分补零。

?若大于N，则删去超出N的那些元素。

?对于矩阵X，它应用于矩阵的每一列。

(3)fft(X,[ ],dim)或fft(X,N,dim)：前者与fft(X)基本相同，后者与fft(X,N)基本相同。

?dim=1时，作用于X的每一列。

?dim=2时，作用于X的每一行。

注：当已知给出的样本数N0不是2的幂次时，可取一个N使它大于N0且是2的幂次，然后利用函数格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。

一维离散傅立叶逆变换函数，调用格式：

(1)ifft(F)：返回F的一维离散傅立叶逆变换。

(2)ifft(F,N)：为N点逆变换。

(3)ifft(F,[ ],dim)或ifft(F,N,dim)：则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。

例6.23 （快速傅里叶变换）p161

给定数学函数

x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)

取N=128，试对t从0~1秒采样，用fft作快速傅立叶变换，绘制相应的振幅-频率图。

在0~1秒时间范围内采样128点，确定采样周期和采样频率。由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1，故在实际应用时下标应该前移1。

ix=real(ifft(X));%求逆变换，结果只取实部plot(t,x,t,ix,':')%逆变换结果和原函数的曲线norm(x-ix)%逆变换结果和原函数之间的距离ans =

2.2403e-014

表 离散傅立叶变换函数和命令 p160~163

函数/命令

说 明

fft 一维离散傅立叶变换函数 ifft

一维离散傅立叶逆变换函数

6.4 线性方程组求解 p163 6.4.1 直接解法

1. 利用左除运算符的直接解法

对于线性方程组Ax =b ，可利用左除运算符“\”求解：

x=A\b

? A 为方阵，若是奇异的，则给出警告信息。 ? b 为列向量，得一个解。 ? b 为矩阵，得多个解。

例6.24（左除）求解线性方程组p163

1234124

2341234251357926640

x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+=-??

+-=??+--=?

2. 利用矩阵的分解求解线性方程组

矩阵分解指按一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。 常见的矩阵分解： ? LU 分解 ? QR 分解

? Cholesky 分解 ? Schur 分解

? Hessenberg 分解 ? 奇异分解 (1) LU 分解

将一个矩阵表示为一个下三角阵和一个上三角阵的乘积形式。 已经证明，只要方阵A 是非奇异的，LU 分解是可行的。 调用格式：

? [L,U]=lu(A)：产生一个上三角阵U 和一个变换形式的下三角阵L (行交换)，满足A=LU 。

? [L,U,P]=lu(A)：产生一个上三角阵U 和一个下三角阵L 及一个置换矩阵P ，满足PA=LU 。

线性方程组Ax=b 的解：

x=U\(L\b) 或 x=U\(L\P*b)

注意：使用第一种格式时，矩阵L 往往不是一个下三角矩阵，但可通过行交换成一个下三角阵。

例 LU 分解 p164

111543211A -??

??=-??

????

例6.25（LU 分解）求解线性方程组p166

1234124

2341234251357926640

x x x x x x x x x x x x x x +-+=??-+=-??

+-=??+--=?

(2) QR 分解

A 为方阵，调用格式：

? [Q,R]=qr(A)：产生一个正交矩阵Q 和一个上三角矩阵R ，满足A=QR 。

? [Q,R,E]=qr(A)：产生一个正交矩阵Q 、一个上三角矩阵R 及一个置换矩阵E ，满足AE=QR 。

线性方程组Ax=b 的解：

x=R\(Q\b) 或 x=E*(R\(Q\b))

例 QR 分解 p166

1115432710A -??

??=-??

????

5.0000 -4.0000 3.0000

2.0000 7.0000 10.0000

>>

例6.26（QR分解）求解线性方程组p167

1234

124

234

1234

2513

579

26

640

x x x x

x x x

x x x

x x x x

+-+=

?

?-+=-

?

?

+-=

?

?+--=

?

A是对称正定矩阵，调用格式：

?R=chol(A)：产生一个上三角阵R，使R'R=A。若A为非对称正定，则输出出错信息。

?[R,p]=chol(A)：不输出出错信息。当A为对称正定的，则p=0，R与上述格式得到的结果相同；否则p为一个正整数。若A为满秩，则R为一个阶数为q=p-1的上三角阵，且满足R'R=A(1:q,1:q)。

线性方程组Ax=b的解：

x=R\(R'\b)

例Cholesky分解p168（对称正定）

211

121

113

A

??

??

=-

??

??

-

??

例6.27（Cholesky分解）求解线性方程组p168（非对称正定）1234

124

234

1234

2513

579

26

640

x x x x

x x x

x x x

x x x x

+-+=

?

?-+=-

?

?

+-=

?

?+--=

?

6.4.2 迭代解法p168

迭代解法适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括：?Jacobi迭代法

?Gauss-Serdel迭代法

?超松弛迭代法

?两步迭代法

1. Jacobi迭代法

线性方程组Ax=b，若A为非奇异方阵，即a ii≠0(i=1,2,…,n)，则可将A分解为

A=D-L-U

?D为对角阵，其元素为A的对角元素。

?L与U为A的下三角阵和上三角阵。

于是Ax=b化为：

x=D-1(L+U)x+D-1b

与之对应的Jacobi迭代公式为：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

若序列{x(k+1)}收敛于x，则x必是Ax=b的解。

Jacobi迭代法的函数文件Jacobi.m p170

例6.28（Jacobi迭代法）求解线性方程组p170

设迭代初值为0，迭代精度为10-6。

121232310272106

x x x x x ?

-+-=??-+=?

2. Gauss-Serdel 迭代法

迭代公式：

x (k+1)=(D-L)-1Ux (k)+(D-L)-1b

和Jacobi 迭代相比，Gauss-Serdel 迭代用新分量代替旧分量，精度高。

Gauss-Serdel 迭代法的函数文件gauseidel.m p171

例6.29（Gauss-Serdel 迭代法）求解线性方程组 p171

设迭代初值为0，迭代精度为10-6。

121232310272106

x x x x x ?

-+-=??-+=?

例6.30（两种迭代法）求解线性方程组 p171

设迭代初值为0。是否收敛？

123122911172216x x x -????????????=??????????????????

6.4.3 求线性方程组的通解 p172

Ax=b ，n 为未知变量个数。

① rank(A)=n ，有唯一解： x=A\b

② b=0，为齐次方程组，x=0为平凡解。

rank(A)

③ b ≠0

? rank(A)=rank([A,b])=n ，有唯一解

x=A\b 或 x=pinv(A)*b

? rank(A)=rank([A,b])

通解=特解+齐次方程组的基础解系

用A\b 求特解。

? rank(A)

求线性方程组的函数文件line_solution.m p172

例6.31（求线性方程组的通解）p173

1234123412

3423135322223

x x x x x x x x x x x x -+-=??

-+-=??++-=?

微分方程数值解实验报告

微分方程数值解法 课程设计报告 班级：_______ 姓名：___ 学号：__________ 成绩： 2017年 6月 21 日

摘要 自然界与工程技术中的很多现象，可以归结为微分方程定解问题。其中，常微分方程求解是微分方程的重要基础内容。但是，对于许多的微分方程，往往很难得到甚至不存在精确的解析表达式，这时候，数值解提供了一个很好的解决思路。，针对于此，本文对常微分方程数值解法进行了简单研究，主要讨论了一些常用的数值解法，如欧拉法、改进的欧拉法、Runge—Kutta方法、Adams法以及椭圆型方程、抛物型方程的有限差分方法等，通过具体的算例，结合MATLAB求解画图，初步给出了一般常微分方程数值解法的求解过程。同时，通过对各种方法的误差分析，让大家对各种方法的特点和适用范围有一个直观的感受。 关键词：微分方程数值解、MATLAB 目录

摘要 (2) 目录 (3) 第一章常微分方程数值解法的基本思想与原理 (4) 1.1常微分方程数值解法的基本思路 (4) 1.2用matlab编写源程序 (4) 1.3常微分方程数值解法应用举例及结果 (5) 第二章常系数扩散方程的经典差分格式的基本思想与原理 (6) 2.1常系数扩散方程的经典差分格式的基本思路 (6) 2.2 用matlab编写源程序 (7) 2.3常系数扩散方程的经典差分格式的应用举例及结果 (8) 第三章椭圆型方程的五点差分格式的基本思想与原理 (10) 3.1椭圆型方程的五点差分格式的基本思路 (10) 3.2 用matlab编写源程序 (10) 3.3椭圆型方程的五点差分格式的应用举例及结果 (12) 第四章总结 (12) 参考文献 (12)

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

偏微分方程数值解实验报告

偏微分方程数值解实验报告

1、用有限元方法求下列边值问题的数值解：''()112x -y +y =2s i n ,0∈∈??∈(0,)?， 其中取1ν= 要求画出解曲面。迭代格式如下： 1221212111111111122142212n n n n n n j j j j j j n n n n n n j j j j j j V V V V V V h h V V V V V V h h τ++++++++++-+-??-()-()()-()??++?????? ??-+-+??=+??????

1、 %Ritz Galerkin方法求解方程 function u1=Ritz(x) %定义步长 h=1/100; x=0:h:1; n=1/h; a=zeros(n-1,1); b=zeros(n,1); c=zeros(n-1,1); d=zeros(n,1); %求解Ritz方法中内点系数矩阵 for i=1:1:n-1 b(i)=(1/h+h*pi*pi/12)*2; d(i)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2+h*pi*pi/2*sin(pi/2*x(i+1))/2; end %右侧导数条件边界点的计算 b(n)=(1/h+h*pi*pi/12); d(n)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2; for i=1:1:n-1 a(i)=-1/h+h*pi*pi/24; c(i)=-1/h+h*pi*pi/24; end %调用追赶法 u=yy(a,b,c,d) %得到数值解向量 u1=[0,u] %对分段区间做图 plot(x,u1) %得到解析解 y1=sin(pi/2*x); hold on plot(x,y1,'o') legend('数值解','解析解') function x=yy(a,b,c,d) n=length(b); q=zeros(n,1); p=zeros(n,1); q(1)=b(1); p(1)=d(1); for i=2:1:n

常微分方程数值解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念，如单步法和多步法，显式和隐式，方法的阶数，整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等；掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法，例如欧拉（Euler）方法、改进的欧拉方法、龙贝－库塔（Runge-Kutta）方法、阿达姆斯（Adams）方法等，要注意各方法的特点及有关的理论分析；掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想，并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差；熟练掌握龙格－库塔（Ｒ－Ｋ）方法的基本思想，公式的推导，Ｒ－Ｋ公式中系数的确定，特别是能应用“标准四阶Ｒ－Ｋ公式”解题；掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念，并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点：欧拉方法，改进的欧拉方法，龙贝－库塔方法。 难点：R—K方法，预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法，这也是科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件，即存在常数L＞0，使对，有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ，h称为步长，求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，再研究公式的局部截

偏微分方程数值解

偏微分方程数值解 偏微分方程地构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。一般情况下,这些模型都需要用数值方法去求解。本书提供了标准数值技术的简明介绍。借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程的一些简单例子介绍了常用的有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式、对流扩散问题、多重网络、共轭梯度法。利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。本书全面讨论了这些方法的性质,并附有典型的图像结果,提供了不同难度的例子和练习。 本书可作为数学、工程学及计算机科学专业本科教材,也可供工程技术人员和应用工作者参考。 偏微分方程数值解---学习总结(2) 关于SobolveSobolve空间的几个重要定理 迹定理 : ΩΩ是 RdRd 的一个有界开子集，具有李普希茨连续边界?Ω?Ω, s>12s>12, 则 a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs?12(?Ω),满足γ0v=v ∣∣?Ω,?v∈Hs(Ω)∩C0(Ωˉˉˉˉ), b.存在唯一的连续映射R0：Hs?12(?Ω)→Hs(Ω),满足γ0°R0°φ=φ,?φ∈Hs?12(?Ω).(1)(2)(1)a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs?12(?Ω),满足γ0v=v|?Ω,?v∈

Hs(Ω)∩C0(Ωˉ),(2)b.存在唯一的连续映射R0：Hs?12(?Ω)→Hs(Ω),满足γ0°R0°φ=φ,?φ∈Hs?12(?Ω). 迹定理把区域内部与边界联系起来. 上面定理中边界?Ω?Ω当被它的一个子集ΣΣ代替时，结论依然成立. S=1时， γ0:H1(Ω)→H12(?Ω)?L2(?Ω)||γ0v||0,?Ω≤||γ0v||2,?Ω≤C||v||1=C(||v||0+||?v||0).γ0:H1(Ω)→H12(?Ω)? L2(?Ω)||γ0v||0,?Ω≤||γ0v||2,?Ω≤C||v||1=C(||v||0+||? v||0). 注意几个范数 ||?||k||?||0||?||1||??||0=||?||k,2=||?||L2=||?||1,2=(||?||20+||??||20)12=|?|1.(3)(4)(5)(6)(3)||?||k=||?||k,2(4)||? ||0=||?||L2(5)||?||1=||?||1,2=(||?||02+||??||02)12(6)||?? ||0=|?|1. 庞加莱不等式(Poincare inequality): 假设ΩΩ是 RdRd 的一个有界联通开子集，ΣΣ是边界?Ω?Ω的一个非空的李普希茨连续子集. 则存在一个常数 CΩ>0CΩ>0满足 ∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|?v(x)|2dx,?v∈H1Σ(Ω),其中H1Σ(Ω)={v ∈H1(Ω),γΣv=v∣∣Σ=0}.∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|?v(x)|2dx,?v∈HΣ1(Ω),其中HΣ1(Ω)={v∈H1(Ω),γΣv=v|Σ=0}.

常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-

第六章定积分空间解析几何

姓名______________ 学号__________________ 2012级信息计算科学 《高等数学选讲》练习题(5) 第六章 定积分及应用 1.抛物线22y x =把圆22 8x y +≤分成两部分，求这两部分面积之比 2. 求两椭圆22221x y a b +≤，22 221x y b a +≤的公共部分的面积. 3.求三叶玫瑰线sin3r a θ=（a>0）所围成的图形的面积. 4.设由y 轴，2,y x y a ==（01a <<）所围成的平面图形，由y a =，2y x =，1x =所围的平面图形都绕y 轴旋转，所得旋转体的体积相等，则a =_________ 5.一圆锥形水池，池口直径30m ，深20m ，池中盛满了水.试求将全部池水抽出池外需做的功. 6. 求函数1tan ()1tan x f x x -= +在区间[0,]4 π上平均值. 7.计算定积分 221x x e dx e π π-+?. 8.讨论下列反常积分的收敛性： （1） 01m x dx x +∞+? （,0n m ≥） （2）0arctan n x dx x +∞? （3）1201(ln )dx x x ?

第七章 空间解析几何与向量代数 1.设一平面通过原点及（6，-3，2），且与平面420x y z -+=垂直，则此平面方程为_________ 2.设直线L ：321021030 x y z x y z +++=??--+=?，及平面π：420x y z -+-=，则直线L （ ） （A ）平行于平面π. （B ）在平面π上. （C ）垂直于平面π. （D ）与平面π斜交. 3. 已知A 点和B 点的直角坐标分别为（1,0,0）与（0,1,1）.线段AB 绕z 轴一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面z=0,z=1所围成立体的体积. 第八章 多元函数微分法及其应用 1.设2(,)u xf x y xy =-，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2,u u x x y ?????. 2.设x z xy y =+ ，其中()y y x =是由方程221x y +=所确定的函数，则dz dx = _________ 3.设函数(,)f x y 可微，(0,0)0f =，'(0,0)x f m =，'(0,0)y f n =，()[,(,)]t f t f t t ?=，则 '(0)?=_________. 4.设方程33 3z xyz a -=，求隐函数的偏导数2z x y ???. 5.设(,)z f x y =是二次连续可微函数，又有关系式u x ay =+，v x ay =- （a 是不为零的常数），求2z u v ???

微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用

第六章定积分的应用

课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

实验4常微分方程数值解

实验4 常微分方程数值解 化工系毕啸天2010011811 【实验目的】 1. 练习数值微分的计算； 2. 掌握用MATLAB 软件求微分方程初值问题数值解的方法； 3. 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题； 4. 了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题目3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg 燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N 的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 3.1 燃料燃烧过程物理模型分析 设火箭质量为m，高度为h，速度为v，加速度为a，火箭推力为F，重力加速度为g，阻力为f。 1.由火箭上总共携带燃料1080kg，燃料燃烧率为18kg/s，可知火箭上升时间t=60s时，燃料全部烧尽。 2.由阻力正比于速度的平方，比例系数0.4kg/m，可知阻力表达式为f=0.4v2。 3.由于燃料燃烧，火箭的质量是时间的函数，易知m(t)=m0-18t 4. 5.根据牛顿第二运动定律，有。代入数据有 解出 由以上5条分析，我们得到了一个常微分方程组： 初值条件为：v0=0,h(0)=0,t60s. 3.2 程序代码 根据常微分方程组的初值问题，在MATLAB中计算数值解。 记x(1) = h，x(2)= v，x =(x(1), x(2))T 首先编写M文件 function dx = Rocket(t,x) dx=[x(2);(32000-0.4*x(2)^2)/(1400-18*t)-9.8];%以向量形式表示微分方程 end ts=0:60 %终点时间为60s，步长定义为1即可

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

偏微分方程数值解复习题(2011硕士)

偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?

常微分方程数值解法

第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解)，大部分的方程是求不出初等解的。另外，有些初值问题虽然有初等解，但由于形式太复杂不便于应用。因此，有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法，在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法；此外，还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。 第一节 欧拉法 求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy （1） 的数值解，就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<<

偏微分方程数值解期末试题及答案(内容参考)

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

常微分方程的数值解

实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1．掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法； 2．通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题； 3．了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段，在全过程中假设重力加速度始终保持不变，g=s2。 在第一个过程中，火箭通过燃烧燃料产生向上的推力，同时它还受到自身重力（包括自重和该时刻剩余燃料的重量）以及与速度平方成正比的空气阻力的作用，根据牛顿第二定律，三个力的合力产生加速度，方向竖直向上。因此有如下二式： a=dv/dt=/m=/(1400-18t) dh/dt=v 又知初始时刻t=0，v=0，h=0。记x(1)=h，x(2)=v，根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下： function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[*x(2)^2)/(1400-18*t)]; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60;

x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[*(v.^2))./(1400-18*t)]; [t,h,v,a]; 数据如下： t h v a 000

偏微分方程数值解法

一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即：

微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用

微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用

第六章定积分的应用 名称 主要内容 定积分的元素法 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（?=b a dx x f A )(）三步骤的方法： 1、将i i i x f A ?≈?)(ξ记为dx x f dA )(= 2、将∑ =→n i 1 lim λ写为 ? b a 平面图形的面积 直角坐标系 X-型 Y-型 ?? ?<<<<)()(:21x f y x f b x a D A ?-=b a dx x f x f A ))()((12 ??? <<<<) ()(:21y g x y g d y c D A ?-=d c dy y g y g A ))()((12 极坐标系 ?? ?<<<<) (0:θβ θαr r D A ? =β αθ θd r A )(22 1 体积 旋转体体积 已知平行截面面积的立体体积 ???<<<<)(0:x f y b x a D A 绕x 轴旋转： dx x f V b a ?=)(2 π 已知垂直于x 轴的平面截立体所得截面面积为)(x A ,立体又被夹于a x =和b x =两平面间，则： ?=b a dx x A V )( 已知垂直于y 轴的平面截立体所得截面面积为)(y A ,立体又被夹于c y =和d y =两平面间，则： ?=d c dy y A V )( 绕y 轴旋转： dx x xf V b a ?=)(2π ???<<<<)(0:y g x d y c D A 绕y 轴旋转： dy y g V d c ?=)(2 π 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 L ：)(x f y =，],[b a x ∈ dx y ds 21'+=； ? '+=b a dx y s 21 L ：)() ()(βαψ?≤≤?? ?==t t y t x dt t t ds )()(22ψ?'+'= dt t t s ?'+'=βα ψ?)()(2 2 L ：)(θr r =，βθα≤≤； θθθd r r ds )()(22'+=； θθθβ αd r r s ?'+=)()(22 物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力

常微分方程数值解法

第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。

matlab常微分方程的数值解法实验报告

实验四 常微分方程的数值解法 指令： [t,y]=ode23(‘fun ’,tspan,yo) 2/3阶龙格库塔方法 [t,y]=ode45(‘fun ’,tspan,yo) 4/5阶龙格库塔方法 [t,y]=ode113(‘fun ’,tspan,yo) 高阶微分方程数值方法 其中fun 是定义函数的文件名。该函数fun 必须以为dx 输出量，以t,y 为输入量。tspan=[t0 tfina]表示积分的起始值和终止值。yo 是初始状态列向量。 考虑到初始条件有 00 d , (0)0,d d , (0)0. d S SI S S t I SI I I I t ββμ?=-=>??? ?=-=≥?? (5.24) 这就是Kermack 与McKendrick 的SIR 仓室模型. 方程(5.24)无法求出()S t 和()I t 的解析解.我们先做数值计算。Matlab 代码为： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(2,1); a=1; b=0.3; dy(1)=a*y(1).*y(2)-b*y(1); dy(2)=-a*y(1).*y(2); ts=0:.5:50; x0=[0.02,0.98]; [T,Y]=ode45('rigid',ts,x0); %plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*') plot(Y(:,2),Y(:,1),'b--') xlabel('s') ylabel('i') 任务： 1 画出i （t ）， 2分析各参数的影响 例57：求解两点边值问题：0)5(,0)1(,32 ==='-''y y x y y x 。（注意：相应的数值解法比较复杂）。 y=dsolve('x*D2y-3*Dy=x^2','y(1)=0,y(5)=0','x') ↙ y = -1/3*x^3+125/468+31/468*x^4

(整理)常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法--差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<<<<=L （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1,,1n n n n u u hf t u n N +=+=-L 方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t L 上的差分解1,,N u u L 。