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平行位置关系
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垂直位置关系
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参考答案◆平行位置关系
基础导练
1．（1）（2）（3）
2．7
3． 2
4．（1）（2）（3）（4）
5． 2
达标训练
1.平行或相交
2. 1
3.（2）
4. 4
5.0
6.（4）
7.20
8.平面ABC和平面ABD
9.SG // 平面DEF，证明略
10.证明略
◆垂直位置关系
基础导练
1．充要
2．垂直
3．（1）（2）（4）
4．（4）
5．（4）
达标训练
1. 3
2.一条直线
3. 4
4.（1）（4）
5.（3）
6.（1）
7.（2）（5）
10
8.
4
9.证明略
10.证明略
课题：7.3两条直线的位置关系（二）垂直 教学目的： 1．熟练掌握两条直线垂直的条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 2．通过研究两直线垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力． 3．通过对两直线垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 教学重点：两条直线垂直的条件王新敞 教学难点：两直线的垂直问题转化与两直线的斜率的关系问题王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1、在平面几何中，两条直线垂直垂直的判定定理与性质定理是怎么描述的？ 2、问题：在直角坐标系中，怎样根据直线方程的特征判断两条直线垂直？ 二、讲解新课： 问题：如果两条直线的斜率分别是 1 k和 2 k，则这两条直线垂直时斜率之间有怎样的关系？ 用倾斜角的关系推导：如果 2 1 l l⊥，这时 2 1 α α≠，否则两直线平行王新敞设2 1 α α>，甲图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上方；乙图的特征是 1 l与 2 l的交 点在x轴下方；丙图的特征是 1 l与 2 l的交点在x轴上，无论哪种情况下都有2 1 90α α+ =．因为 1 l和 2 l的斜率为 1 k和 2 k，即0 1 90 ≠ α，所以0 2 ≠ α王新敞 2 2 1tan 1 ) 90 tan( tan α α α- = + =，即 2 1 1 k k- =或1 2 1 - = k k王新敞
反过来，如果2 11 k k - =或121-=k k ?20190αα+=?21l l ⊥． 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即 21l l ⊥?2 11 k k - =?121-=k k 王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 一般性结论：21l l ⊥?121-=k k 王新敞 或一条直线斜率不存在，另一条直线 斜率为0 三、例题讲解： 例1 判断下列两直线是否垂直，并说明理由： （1）121 :42,:5;4 l y x l y x =+=- + （2）1:536,:355;l x y l x y +=-= （3）12:5,:8.l y l x == 例2 求过点A （3，2）且垂直于直线4580x y +-=的直线方程 例3 已知直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，求a 的值． 解 ： ∵21+=a A ，12-=a A ，a B -=11，322+=a B 且两直线互相垂直 ∴0)32)(1()1)(2(=+-+-+a a a a ，解之得1±=a 王新敞
专题08立体几何 第二十讲空间点线面的位置关系 2019年 1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD， M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN∥平C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ． 6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
高三复习——立体几何平行问题专题（学生版） ——李洪波一、基础过关 1. 定理性质梳理 2.平行关系的总结 面面平行 线面平行线线平行
二、概念理解——判断下列命题真假 （1）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；（ ） （2）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；（ ） （3）若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点；（ ） （4）平行于同一平面的两条直线互相平行；（ ） （5）αα//,//a b b a ??； （ ） （6）b a b a ////,//?αα； （ ） （7）αα////,//a b b a ?； （ ） （8）b a b a //,//??αα； （ ） （9）已知平面 α，β 和直线 m ，若,//,m m αβ?，则 α
练习：如图13，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一 .求证：PQ∥平面BCE． 点P、Q，且AP DQ
解法二：（简要过程） A B C D F E P Q 解法三：（简要过程） A B C D F E P Q 四、举一反三 1．（17文科1）如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 2．（17文科2）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 2 AD ,
∠BAD =∠ABC =90°．证明：直线BC∥平面PAD ； 3．（16文科3）如图，四棱锥中，平面，AD BC ，AB ， 4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．证明MN 平面PAB .
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
立体几何空间点线面关系题1 / 10 立体几何空间点线面关系题 1、（08天津）：设,a b 是两条直线，,a b 是两个平面，则a b ^的一个充分条件是（ ）。 A 、,//,a b a b a b ^^ B 、,,//a b a b a b ^^ C 、,,//a b a b a b 蘜 D 、,//,a b a b a b 蘜 2、（08安徽）已知,m n 是两条不同的直线，,,a b g 是三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） A 、//,//,m//n m n a a 若则 B 、,//a g b g a b ^^若，则 C 、//,//,//m m a b a b 若则 D 、,,//m n m n a a ^^若则 3、（08江西）设直线m 与平面a 相交但不垂直，则下列说法正确的是（ ） A 、在平面a 内有且只有一条直线与直线m 垂直 B 、过直线m 有且只有一个平面与平面a 垂直 C 、与直线m 垂直的直线不可能与平面a 平行 D 、与直线m 平行的平面不可能与平面a 垂直 4、（08湖南）已知直线m,n 和平面,a b 满足,,m n m a a b ^^^，则（ ） A 、n b ^ B 、//n b b ì或n C 、n a ^ D 、//n a a ì或n 5、对于两条不相交的空间直线,a b ,必存在平面a ，使得（ ） A 、,a b a a 烫 B 、,//a b a a ì C 、,a b a a ^^ D 、,a b a a 蘜 6、平面//a b 的一个充分条件是（ ） A 、存在一条直线,//,//a a a a b B 、存在一条直线,,//a a a a b ì C 、存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫 D 、存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫 7、（07浙江）：若P 是两条异面直线,l m 外任意一点，则（ ）
课时作业7 平行关系的性质 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是() A．平行 B．相交 C．异面 D．平行和异面 解析：∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB.又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH， ∴AB∥GH. 答案：A 2．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题： ①若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a?α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β. 其中正确的个数为() A．1B．2 C．3 D．4 解析：对于①，a∥b或a与b是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对． 答案：A 3．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是() A．E，F，G，H一定是各边的中点 B．G，H一定是CD，DA的中点 C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GC D．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC 解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE：EB＝AH：HD，且BF：FC ＝DG：GC. 答案：D 4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B在平面β内，则在平面β内且过点B的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线
//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b
【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b
立体几何线面关系的常见规律 规律一：线线平行与线线垂直的判定 1、直线与直线平行的判定方法： 公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行 2、直线与直线垂直的判定方法： 利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直 例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D，AB＝AD.求证： (1)AA1⊥BD； (2)BB1∥DD1. 证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD ⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M?平面A1AM， 所以BD⊥平面A1AM. 因为AA1?平面A1AM，所以AA1⊥BD. (2)因为AA1∥CC1，AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，所以AA1∥平面 D1DCC1. 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.
同理可得AA 1∥BB 1，所以BB 1∥DD 1. 例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC= 3 BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，求证：BC ⊥AM 方法小结： （1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘 （2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视 同步练习1：在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，． （1）求证：1CC AB ⊥； A 1A
立体几何---空间平行关系 【基础知识梳理】 1、平行关系知识框图 【基础知识检测】 一、选择题 1、平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（ ） A.一定平行 B.平行或相交 C.一定相交 D.平行或相交或异面 2、过直线l 外两点，作与直线l 平行的平面，这样的平面的个数是（ ） A.有无 数个 B.不能作出 C.只能作出一个 D.以上都有可能 3、已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? 4、下列命题正确的为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 （1）平行于同一直线的两平面平行 （2）垂直于同一直线的两平面平行. （3）若α ∥β, 则平面α 内任一直线 a ，a ∥β. （4）若n ?α ，m ? α，n ∥β，m ∥β，则α∥β. 二、填空题 5、点A 是平面α 外的一点，过A 和平面α 平行的直线有 条. 6、点A 是直线l 外一点，过点A 和直线l 平行的平面有 个. 7、过两条平行线中的一条和另一条直线平行的平面有 个.
8、过两条异面直线中的一条和另一条直线平行的平面有 个. 9、如果21//l l ，1l 平行于平面α，则2l 与平面α 10、如果两直线b a ,相交，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是—— 三、解答题 11、如图，已知Q P 、是正方体1111-D C B A ABCD 的面ABCD 和面1111D C B A 的中心， 求证：PQ //平面11A ADD 立体几何---空间平行关系答案 1-3D4C 5-7无数个8、一个9、平行或在平面内
两条直线的位置关系判断 方法 设平面上两条直线的方程分别为1 1 1 1 2 2 2 2 :0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为112 2 ,a b D a b =112 2 ,x c b D c b -= -112 2 y a c D a c -= - 1 l 和相交?0D ≠ 1 221b a b a ≠? 1 l 和2 l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 1 l 和重合?0===x y D D D 二．比值法 1 l 和相交2 12 1 b b a a ≠ ()0b ,a 2 2≠； 1 l 和垂直?0b a b a 2 21 1=+； 1 l 和平行2 1 212 1 c c b b a a ≠= () 0c ,b ,a 222≠； 1 l 和重合2 1 212 1 c c b b a a == ()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法
1 1 1 2 2 2 :y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交2 1k k ≠ ； 1 2 l l ?与平行2 121 b b k k ≠=， 12l l ?与重合2 121b b k k ==，； 12l l ?与垂直-1 .=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在；
1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【考点】空间位置关系判断 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 2.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥ 【答案】C 【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.
【考点】线线位置关系 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.学~ 3.【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线...,满足12l l ⊥,23//l l ,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( ) A .14l l ⊥ B .14//l l C ..既不平行也不垂直 D ..的位置关系不确定 【答案】D 【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理． 4.【2016高考山东文数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析： “直线和直线相交”?“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”?“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．
高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总 （一）立体几何中平行问题 证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。 主要方法是②、③两法 在使用判定定理时关键是确定出面内的 与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似 例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内， 且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面； （2）面AMN∥面EFBD.
证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图， 则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ； 证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，
第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2
两条直线的位置关系及其判定教学目标 (1)熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系. (2)理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角. (3)能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标. (4)掌握点到直线距离公式的推导和应用. (5)进一步掌握求直线方程的方法. (6)进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法. (7)通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法. 教学建议 一、教材分析 1.知识结构 2.重点、难点分析重点是两条直线的平行与垂直的判断;两条直线的夹角;点到直线的距离. 难点是两条直线垂直条件的推导;一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导. 页 1 第 本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂
直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的 应用，因此非常重要. (1)平行与垂直 ①平行 在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件(即判定定理和性质定理)转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况. ②垂直 教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件.结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：或一个为0，另一个不存在. (2)夹角①应正确区分直线到的角、直线到的角、直线和 的夹角这三个概念. 到的角是带方向的角，它是指按逆时针方向旋转到与重合时所转的角，它与到的角是不同的，如果设前者是，后者是，则+ = . 与所夹的不大于的角成为和的夹角，夹角不带方向. 页 2 第
立体几何线面关系 一、柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式 概念基本性质表面积
二、线面关系及判定 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （4）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直那么它和这条斜线的射影垂直。 （3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断： （1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 5、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断： （1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
两条直线的位置关系判断方法 设平面上两条直线的方程分别为11112222:0,:0 l a x b y c l a x b y c ++=++= 一．行列式法 记系数行列式为1 122,a b D a b = 和相交?0D ≠1221b a b a ≠? 1l 和2l 平行?0,0x D D =≠或0,0y D D =≠ 和重合?0 ===x y D D D 二．比值法 和相交()0b ,a 22≠； 和垂直?0b a b a 2211=+； 和平行()0c ,b ,a 222≠； 和重合()0c ,b ,a 222≠ 三．斜率法 111222:y 0.:y 0l k x b l k x b =+==+=（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 12l l ?与相交21k k ≠； 2121b b k k ≠=， 2121b b k k ==，； -1.=21k k ; 特别提醒：在具体判断两条直线的位置关系时，先考虑比值法，但要注意前提条件(分母不 为零)；再考虑斜率法，但也有条件(两条直线的斜率都存在)，最后选择行列式(无条件)； 注：（1）两直线平行是它们的法向量（方向向量）平行的充分非必要条件； （2）两直线垂直是它们的法向量（方向向量）垂直的充要条件； （3）两条直线平行?它们的斜率均存在且相等或者均不存在； （4）两条直线垂直?他们的斜率均存在且乘积为-1，或者一个存在另一个不存在； 1122,x c b D c b -=-1122y a c D a c -=-1l 2l 1l 2l 1l 2l ?2 121b b a a ≠1l 2l 1l 2l ?21212 1c c b b a a ≠=1l 2l ?2 12121c c b b a a ==12l l ?与平行12l l ?与重合12l l ?与垂直
同步练习 第I 卷（选择题） 1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）. A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥n B 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥β C 、若n ∥,n α∥β,则α∥β D 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ 3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α?，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l ∥α，m α?，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//b B ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα// C ．若α//a 且β//a ，则βα// D ．若αγ//且βγ//，则βα// 7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α?，则//a α B ．若//a α，b α?，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要 9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ） ①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α?,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥
高一数学 必修二 空间中平行与垂直关系 强化练习 1.空间中，垂直于同一直线的两条直线 A. 平行 B .相交 C .异面 A.若 m//l, n//l ，则 m//n B .若 m 〃 ，n 〃 ，则 m//n C.若m ,m ,则 D .若m , ，则m 〃 或m 3. 下列说法正确的是（） A. 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行 B. 两个平面相交于唯一的公共点 C. 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点 D. 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行 4. 如图，ABCD- A i BiGD 为正方体， A. BD// 平面 CBD B. AG 丄B i C C. AC 丄平面CBD D. 直线CC 与平面CBD 所成的角为45° 5. 如图，四棱锥 V ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧 棱长为.5的等腰三角形，则二面角 V AB C 的大小 （ ） A. 30 B . 45 C . 60 D . 120 6. 下列四个结论： ⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。 ⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。 ⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。 ⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。 其中正确的个数为（ ） A. 0 B . 1 C . 2 D . 3 7.在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为.2，其余各棱长都为1，则二面角 A CD B 的 余弦值为（ ) A. 1 B .1 C .-D 2 3 3 .3 2.已知互不相同的直线l,m,n 与平面 ，则下列叙述错误的是（ （） D .以上均有可能
直线与平面平行的判定 一、教学思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，让学生在观察分析、自主探索，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 二、学生学习情况分析： 学生基础差，学习积极性不高，学习方面有一定困难。 三，教学目标：本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 四、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 五、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）判定定理的探求过程 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②平面内一条直线③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？ 4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示） 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简单概括：（内外）线线平行，线面平行
空间中直线与直线之间的位置关系 [学习目标] 1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题. 知识点一空间中两条直线的位置关系 1.异面直线 (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. ②不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.如图中，虽然 有a?α，b?β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O， 所以a与b不是异面直线. (2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线. (3)判断方法 方法内容 定义法依据定义判断两直线不可能在同一平面内 定理法 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线为异面直线(此结 论可作为定理使用) 反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平 行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不 是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线 2.空间中两条直线位置关系的分类 (1)按两条直线是否共面分类 ? ? ?共面直线 ?? ? ??相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点 平行直线：同一平面内，没有公共点 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
(2)按两条直线是否有公共点分类 ??? 有且仅有一个公共点——相交直线 无公共点? ?? ?? 平行直线异面直线 思考 (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ (2)两条垂直的直线必相交吗？ 答 (1)不一定.可能相交、平行或异面. (2)不一定.可能相交垂直，也可能异面垂直. 知识点二 公理4(平行公理) 知识点三 空间等角定理 1.定理 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 思考 如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？ 答 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面 知识点四 异面直线所成的角 1.概念：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).