））））））
直线与平面的位置关系第二章空间点、直线、平面之间的位置关系2.12.1.1
平面含义：平面是无限延展的1
2 平面的画法及表示0且横边画成邻平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，（1）倍长（如图）边的2等，也可以用表示平面的βα、平面2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面（等。、平面ABCD平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 三个公理：3
：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内）公理1（1 符号表示为C D
L A∈A α L => L αB∈α·B
A L A∈α B∈α 1作用：判断直线是否在平面内公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）公理B
A ·α·C ， => 有且只有一个平面α符号表示为：A、B、C三点不共线·∈α。使A∈α、B∈α、C 公理2作用：确定一个平面的依据。：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共）公理3（3 直线。βL
P∈∩β =>α∩β=L，且α符号表示为：P∈ 3作用：判定两个平面是否相交的依据公理αP L·空间中直线与直线之间的位置关系2.1.2
空间的两条直线有如下三种关系：1
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理4：平行于同一
条直线的两条直线互相平行。、是三条直线b、c符号表示为：设ab ∥a c=>a∥ b
∥c 平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。4强调：公理实质上是说 4作用：判断空间两条直线平行的依据。公理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3
注意点：4
O、b的相互位置来确定，与的选择无关，为简便，点Oa a'①与b'所成的角的大小只由一般取在两直线中的一条上；?∈θ )(0，；②两条异面直线所成的角2当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作；a⊥b ③两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；④计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直⑤
）））．
））））））
''''bbaa我们把b,∥∥a, 所成的锐角（或直角）叫作直线a，b，经过空间任一点O与线?90 b 所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于）。做异面直线a与 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系2.1.3 —
1、直线与平面有三种位置关系：有无数个公共点1）直线在平面内——（有且只有一个公共点——2）直线与平面相交（没有公共点）直线在平面平行——（3指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
∥αa α a∩α=A a .2.直线、平面平行的判定及其性质2 直线与平面平行的判定2.2.1
、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与1 此
平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示： a ααβ∥ => ab
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
）））．
））））））
a∥αb a β∥ a= b
βα∩作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：∥βαα∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。）））．
））））））
2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）
）））．
））））））
基础练习
一选择题
.abαab.的位置关系是、(都和平面)平行,1则直线若直线、..平行BA 相交..以上三
者都有可能DC 异面
ab.【解析】可以画出直线的三种位置关系的图形、【答案】D
.给出下列结论: 2①lαlα②aαaα③a∥;在平面直线平行于平面,内的无数条直线,则外∥则;若直线若直线∥bbαaα④abbαaα.其中结论正确则,就平行于平面∥?;内的无数条直线若直线,∥,则直线?,.)的个数为(A .1 B. 2 C. 3 D. 4
①lα①错误;内,【解析】所以直线还可能在平面②aα②错误;相交,直线所以还可能与平面③a α③错误;内直线,还可能在平面所以④αba④.,,与直线所以平行的直线都与直线正确平面平行内【答案】A
.P-ABC.)的六条棱所在的直线中,异面直线共有3在三棱锥如图所示,(..2对BA1
对
..4对 D C3对
APBCCPABBPAC.,对分别为,与,与与3【解析】根据异面直线的定义可知共【答案】C
..)4过一点与已知直线垂直的直线有(）））．
））））））
..两条一条 A B..无法确定无数条 C D.包括相交垂直和异面垂直【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,【答案】C
.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数
5.)(..无限个有限个 AB..没有或无限个 CD没有.因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点【解析】两平面相交或者平行,【答案】D
..,则这两个平面(6)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零..相交
BA 平行
..平行或相交 D 平行或重合 C.则两平面相交;若三点在平面的异侧,,【解析】若三点在平面的同侧则两平面平行【答案】D
..(7)下列说法中,正确的个数是①.平行于同一平面的两条直线平行②aαbaα.,那么直线直线平面平行于平面∥内的一条直线③αα.相交相交,若两平行直线中的一条与平面那么另一条也与平面④aαaα.在平面与平面,内的无数条直线相交那么直线内直线 (3)
2B0A1DC③.正确【解析】只有）））．
））））））
【答案】B
.abα是一个平面,给出下列三个命题,:是两条直线,8
①abbαaα;?如果∥∥,,那么②aαbαab;∥∥如果∥,,那么③abaαbα.如果,∥那么,∥∥.其中真命题有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
①aα①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行故中,,有可能在平面故内【解析】,②③bα③.. A综上可知内,故,不正确;不正确中,选有可能在平面【答案】A
.αβαβaα,下列四个命题中?∥:9平面,,直线满足
①aβ②aβ③aβ内的任何一条直线都不相交与;与内的无数条直线平行内的所有直线平行;;与④aβ.与无公共点.)其中正确命题的个数是( (4)
12CADB3αβaαaβ①.其他均正确错与,【解析】因为内的直线平行或异面∥,,直线?由此可知,
所以【答案】C
.ABCDABαCDαACα=EADα=FBDα=GBCα∩、、,、四点不共面,且∥平面,∩∥平面,,∩∩,10已知=HEFGH.则四边形是(),..矩形 BA平行四边形..正方形菱形 DC【答案】A
）））．
））））））
.αaαθθ.的取值范围是与平面(所成的角为),11则若平面外的直线 D.[0,],][0,)
C.(A.(0,)0B.aαθ=aαθ=aαθθ的取值范围是,0,),斜交时0;当⊥,时,综上的取值范围是【解析】当;∥时,(和.,][0【答案】D
.PABCPAPBPC两两垂直,则下列命题、:、12△为所在平面外的一点,且①PABC②PBAC③PCAB④ABBC.⊥⊥⊥⊥;;;.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3
∵PAPBPAPC∴PAPBC,平面⊥,⊥⊥【解析】,∴PABC①②③.,同理可证得⊥,即正确正确【答案】D ..),在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线(13无论怎么样放置室内有一根直尺,....垂直A异面DCB平行相交D
【答案】..αβ则(14若平面)、互相垂直,β.α中的任意一条直线都垂直于Aβ.α B中有且
只有一条直线垂直于βα. C平行于的直线垂直于β.α D内垂直于交线的直线必垂直于D
【答案】）））．
））））））
.ABCD-ABCDAABD的距离为则点到截面15的正方形在长方体,高为4,中,底面是边长为21111111.)(A.
B. C. D.
A-ABD=××=××hh=.的体积变换:解得,则62【解析】利用三棱锥,4111【答案】C
.PABCPAABCPA=ABCBC=AB=5,,底边,,8,16在点△是等腰三角形6所在平面外一点,中⊥平面PBC.的距离为(则)到A.4 B.5
C.3
D.2
ADBCDPDPDBCPDPBC的距离,易证的长即为⊥作【解析】⊥,于故,连接到,AD=PD=. 44,易求得【答案】A
.mnαβγ表示三个不同的平面,给出下列三个命题表示两条不同的直线,:17,已知,,mnnαmn..⊥)其中推理正确的个数为;(2)?∥(;(3)(1)?∥?.3
D C.2 A.0 B.1
mnnαnαmn,即命题(3)2)不正确;即命题(1)正确;若则∥若则或⊥?即命题,若则【解析】(∥,.故选C. 正确【答案】C
.lABCβCABAα18.β=lαBαl=DCβ,如图平面平面∩,则平面,∈),∈与平面,∩的交线是,∈(,?AB AC B.直线直线A.BCCD直线直线 D.C..β∴lD∵lβD【解析】平面∈,?,平面∈）））．））））））
∵DABABABC∴DABC,,平面∈,?平面∈∴DABCβ.在平面的交线上与平面∵CABCCβ∴CβABC的交线上,且平面∈在平面,∈平面与平面,∴ABCβ=CD.平面平面∩【答案】C
二填空题
1.ABCDEFABCDEF=AD=BC=ADBC所成,又则、6分别是,、与的中点,且85在空间四边形,中,. 角的大小为
FGEGACG中点,,连接【解析】取,EF=FG=AD=FGADEFGEGBCEG=BC= 5又知,34,,∥,在△中,,∥.ADBC∴
EGF=∴与∠°90°,所成角为90 90°【答案】.DBCACBDBDBDABCD.ABCD-A分别是正方形中,2和如图,在正方体的对角线和1111111111
DBC; (1)∠的两边与的两边分别对应平行且方向相同. DBC的两边与2)∠的两边分别对应平行且方向相反(CBDDBCBCCBDBDB的两边分别对应∠∠的两边与所以并且方向相同∥1【解析】(),∥,,1111111.平行且方向相同）））．
））））））
DBBDDABCDBCBDA的两边分别对应平行且所以,∠∠∥的两边与,(2)并且方向相反,∥1111111.方向相反DBC BDA(1)∠(2)∠【答案】111111.aαbβab. 与?3的位置关系是若,?则,γaγb γab.即,且与【解析】可能异面,也可能存在平面?,使仍可以在同一平面内?,【答案】平行、相交或异面
.ABCD-ABCDEFBCCDEFBBDD的位置关系,中,的中点、则分别是棱与平面4、在正方体11111111. 是
OB.OFBOD的中点,【解析】如图,取,连接11CBEB∵OFBC,,1111BO.∴EFBE∴OFEB∴OF,,．四边形∥为平行四边形DDDBOBB∵EFBBD,,??平面平面1111D.DEFBB∴∥平面11【答案】平行βA'B'C'α.αβABC则这两,内和△,分别在平面和平面5若对应顶点的连线共点平面∥平面,△. 个三角形A'B'AB则共面与,,【解析】由于对应顶点的连线共点A'B'AB∥,由面与面平行的性质知.BCB'C'A'C'AC,故两个三角形相似同理∥,∥【答案】相似）））．
））））））
.条;平行6垂面有过平面外一点作该平面的垂线有个;平行线有条;
. 个平面有一无数无数【答案】一.AHHEFHEEFAEAF,连接,且则图中直角三角形的个数7⊥已知、⊥Rt△,所在的平面. 是AHEAHFHEFEFHEEFAHEFAEH,平面⊥,△⊥为直角三角形,又因为,⊥【解析】易知△,,△所以EFAEAEF..图中直角三角形个数为也是直角三角形4所以综上所述⊥即,△,【答案】4
. BABCD-A.BCDCDCD所成的角为与平面在正方体中,直线8111111
CDCDBCDBCBCBCOB所成,根据直线,可得直线【解析】连接与平面交⊥于点平面
.°111111CD=DBCODCOCDC=ODCODC所成的因此直线与平面∠可得30°,,,△在∠的角为,Rt中根据21111111
30 角为°【答案】30）））．
））））））
.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为29,求侧.面
与底面所成的二面角θ=θ=.°,所以【解析】易求得底面边长为2,高为3,tan
60.ABCD-ABCDAB=EADFCD.EFABC,若,在正方体如图,点则在∥中,上2,点为平面的中点1011111EF. 线段的长度等于
ACCEFEFAB可知∥平面,∥,由【解析】1=.EF=AC=×所以2强化练习选择题一
)
．下列命题中，正确的有( 1 ①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．垂直．P，有且仅有一个平面与l②过直线l外一点③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．的平面内．垂直于a垂直于直线⑤过点Aa的所有直线都在过点A B．3个A．2个
个5．DC．4个C
][答案②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．[解析]) ，平面2．设直线l、mα、β，下列条件能得出α∥β的是( m∥β∥m?α，且lβ，?A．lα，，且?βl∥m，．B l?αm m∥⊥⊥C．lα，mβ，且l．D l∥αm，且βl∥∥，m C
]答案[ ，其中可举反例如图，可举反例，如图排除法，][解析A(1)B(2)l，都平行于与ma C. (3)D可举反例，如图，故选）））．
））））））
与1，则BCD－ABC中，AB＝BC＝2，AA＝如图，在长方体3．(08·福建理)ABCD111111) 平面BBDD所成角的正弦值为(11
6 A.352 B.515 C.510 D.5D
答案][ D中，中点BDO，在长方体ABCD－ABC[解析]取111111
，∴CD，O⊥BC∵AB＝B＝21111111DBBD，C又CO⊥BB，O⊥平面11111所成的角，DC∴∠CBO 为直线B与平面BBD111122CC＋，＝5BCO Rt在△BOC中，C＝，2BC＝111110. ∴＝sin∠
OBC15APAABCDEF的底面是正六边形，P⊥平面ABC，－如图，已知六棱锥四川文．4(09·)P() ＝2AB，则下列结论正确的是）））．
））））））
ADPB⊥A．PBCAB⊥平面B．平面P PAE C．直线BC∥平面所成的角为45°D．直线PD与平面ABC D
][答案，AB得PA＝2A[解析]设AB长为1，由P＝2 ，又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2 ，，所以PA⊥AD又PA⊥平面ABC P所以△AD为直角三角形．，∴∠PDA＝45°，∵PA＝AD D.
ABC所成的角为45°，故选PD∴与平面BCC，∠＝60°BAC中，∠ACB＝90°，∠ACC．5(09·湖北文)如图，在三棱柱ABC－11111)
45°，侧棱CC的长为1，则该三棱柱的高等于(＝1
21 B. A.2233 D. C. 32A
][答案，⊥底面ABC于O解析[]作CO1. ，连CMCB作OM⊥于M1.
CN⊥AC于N，连作ON1
BC，，易知ON⊥ACOM⊥，＝为矩形，∠，∴＝又∠ACB Rt ONCMOCMN）））．
））））））
1 CN＝，CNC中，∠CCN＝60°，CC＝1，∴在Rt△11122. ＝CCM＝45°，CC＝1，∴CM △在Rt CMC中，∠11121332????22＝，OCNM＝＋＝，∴∴??2??22213??2＝OOC中，C在＝，1－Rt△C11??221.
∴三棱柱高为2上有两个动BD1，线段C如图，正方体ABCD－ABD的棱长为6．(09·宁夏海南文)1111112) ，则下列结论中错误的是(点E，F，且EF＝2 BE．AC⊥A ABCD．EF∥平面B －BEF的体积为定值C．三棱锥A的面积与△BEF的面积相等D．△AEF
D
答案][ B，，∴AC⊥BABCDABCD－ABCD得，BB⊥平面由正方体[解析]111111，?面BDDBBDD ⊥BD，∴AC⊥面B，BE又∵AC1111正确．BE，故A⊥∴AC∥BD，得，ABCDBD－由正方体ABCD111111ABCD，ABCD平面，BD?平面BD?11ABCD，∴BD∥平面11 B∥平面ABCD正确．，∴∴EF2，d＝的距离∵A到平面BDDB1121 V·Sd＝∴BEFBEFA△－3111. BBDd·＝△·＝S 111232）））．
））））））
正确．的体积为定值，故C∴三棱锥A－BEF
2 ＝、F是线段BD上两个动点，且EF，因E112 EF的距离不相等移动时，FA到EF的距离与B 到在E，D错．∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故＝ABCAB＝BC＝AA，∠ABC7．如图所示，在三棱柱ABC－ABC中，AA⊥底面，11111)
和BC所成的角是(分别是棱90°，点E、FAB、BB的中点，则直线EF11
60°B ．A．45°
120°D 90°．．CB
答案][GHC，易知]连结ABAB∥EF，连结B交BC于点G，取ACH，则的中点[解析1111.
∥EF∥AB12212，故＝BGHB＝a，a＝GHC＝＝设ABBC＝AAa，在△中，易知GHAB＝a，112222. 两直线所成的角为∠HGB＝60°
BC∥作方法外还可以在平面BCCB内过FFDGH[点评]除可用上述将EF平移到111EFD内求解
等．如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了．，C交B于D考虑在△11的位置关系为BDACADBCCDABABCD8．在空间四边形中，若⊥，⊥，则对角线与）））．
））））））
)
(
．相交但不垂直A ．垂直但不相交B ．不相交也不垂直C ．无法判断DB
答案][ ，于O[解析]作AO⊥平面BCD M，DC于N，连DO并延长交BC于连BO并延长交
，连CO并延长交BD于H AD∵BC⊥AO，BC⊥为△BDC的垂心，∴CH⊥BDO∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DM，同理BN⊥CD，∴BD，∴BD⊥平面AOC，又AO⊥.
⊥AC∴BD的正－－BDADC－ABCD中，截面ABD与底面ABCD所成二面角A．9正方体AB111111)
(切值等于23 B. A.233
D. C.2
C
答案][，∴⊥平面AAO⊥AC，BDAA，∴BDO设[解析]AC、BD交于O，连A，∵BD⊥111⊥AO，BD
为二面角的平面角．∴∠AOA1AA1C.
，∴选＝AOA＝2tan∠1AOBC，6于C，若AB＝BCβαβ－l－中，A∈，AB⊥平面于B，⊥平面αα10．在二面角)
(l3＝，则二面角α－－β的平面角的大小为60°．30°A．B）））．
））））））
C．30°或150°D．60°或120°
[答案]D
[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
D ，∩l ＝设平面ABC β的平面角或补角，－l －则∠ADB 为二面角α ，＝，BC 3∵AB ＝6 ，ADB ＝60°∴∠BAC ＝30°，∴∠.
120°∴二面角大小为60°或) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( 11．(2010·重庆文，9) 3个B 个1 ．恰有A ．只有 D ．有无穷多个C ．恰有4个 D [答案]
角直线上所45° 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成[解析]D. 有点到两条直线的距离都相等，故选的中点，则为CD －C ，E －12．ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角ABD )
AED 的大小为( ∠ B ．30° A ．45° 90°D60° ．C ．D 答案] [BD
F [解析]设BD 中点为，则AF ⊥⊥BD ，CF
BCD ，∴AF ⊥面∴∠AFC ＝90° BD 的中点，、∵E 、F 分别为CD BC ，∴EF ∥ ⊥CDEF ，⊥∵BCCD ，∴D.
故选.⊥，∴⊥平面，∴⊥又AFCDCDAEFCDAE ）））．
））））））
，有下列四个命题：β，m ⊥α13．已知l ? ；?l ∥m ⊥β?lm; ②α⊥β①α∥. βm ?α∥⊥
β； ④l ⊥m ③l ∥?α) 其中正确的命题是( B ．③与④A ．②与④
DC ．①与② ．①③D [答案] [解析]
?α⊥m ???β?m ⊥?βα∥??? B ，
m ⊥l ，∴①正确否定A 、?
??β l ?
?α又m ⊥???α⊥?l ?m ∥ l ???D. ，
故选β⊥α，∴③正确否定C ?
??β l ?
SO 上，的球面上，球心O 在AB 14．已知三棱锥S －ABC 的各顶点都在一个半径为r ) r ，则球的体积与三棱锥体积之比是(⊥底面ABC ，AC ＝2B ．2π πA ．D ．4π 3πC ． D
] [答案2，三棱锥的底面易知为等r 所在大圆面积为][解析 此三棱锥的高为球的半径，ABC π43r π 3V 1球
22，∴球体积＝4π，rr 腰直角三角形．腰长为2，所以三棱锥底面面积为(2)＝r ＝
12V 3锥
r 3D.
，故选与三棱锥体积之比为4
π
是锐角三角形，那么必有BCDAD ，且△BDAD ．在空间四边形ABCD 中，⊥BC ，⊥15) ( ⊥平面ADCABD A ．平面 ）））．
））））））
B ．平面ABD ⊥平面AB
C C ．平面ADC ⊥平面BC
D D ．平面ABC ⊥平面BCD [答案] C
16．已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题： ①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α； ②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线； ③若m ?α，l ?β，且l ⊥m ，则α⊥β； ④若l ?β，且l ⊥α，则α⊥β； ⑤若m ?α，l ?β，且α∥β，则m ∥l . 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．③④ D ．②③ C ．①④ C
[答案] 由直线与平面垂直的判定定理知，①正确；[解析]
ml 与可能平行，也可能是异面直线，故②不正确；对于②，若l ∥α，m ?α，则 、β有可能平行或相交，也有可能垂直，故③是错误的；对于③，满足题设的平面α 由面面垂直的判定定理知，④是正确的；. 与l 可能平行，也可能是异面直线，故⑤是错误的．故正确的命题是①、④对于⑤，m α表示平面，17．若a 、b 表示直线， ；⊥a ⊥α，ab ，则b ∥α① ，则α，a ⊥bb ⊥α；②a ∥ b ⊥α，则b ；⊥a ∥③a α，. ⊥a ?α，则b ，④a ⊥αb ) 上述命题中正确的是( ．②③B A ．①② D ．②③④ C ．③④ C [答案]
或②bb 解析[] ①∥α或?α b ⊥αb ∥α α③、④正确，或b ?C.
∴选) 、βγ ，下面四个命题中，正确的是(、，三个平面、、．已知三条直线18mnl α
γα
⊥??A. β∥ α??γβ⊥?? ）））．
））））））
β∥m ??B. ⊥β?l ?m ⊥l ??
γm ∥??C. nm ∥ ??γ∥n ??
γα∥?? ?α∥D.β?
γβ∥
[答案]D
[解析]对于A，α与β可以平行，也可以相交；对于B，l与β可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m与n可以平行，可以相交，也可以异面．
19．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面()
A．有且只有一个
B．可能存在也可能不存在
C．有无数多个
D．一定不存在
[答案]B
[解析]当a⊥b时，有且只有一个．
当a与b不垂直时，不存在．
20．(08·安徽)已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
[答案]D
21．如图，正方体ABCD－ABCD中，点P在侧面BCCB及其边界上运动，并且总111111是保持AP⊥BD，则动点P的轨迹是()
1
B．线段C A1．线段BC B1中点连成的线段BB中点与CC C．11C中点与B中点连成的线段BC D．11）））．
））））））
[答案]A
[解析]∵DD⊥平面ABCD，∴DD⊥AC，11又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD，1∴AC⊥BD.同理BD⊥BC.
111又∵BC∩AC＝C，∴BD⊥平面ABC. 111而AP⊥BD，∴AP?平面ABC.
11又P∈平面BBCC，∴P点轨迹为平面ABC与平面BBCC的交线BC.故选A. 11111122．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是()
A．平行B．垂直
D．不能确定C．斜交
B
答案][. ⊥b⊥a，lb解析]设a，为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l[. ⊥′，∴la′过a作平面β∩α＝a′，则a∥a l⊥b′，同理过b作平面γ∩α＝b′，则.
l⊥α∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴) ．设有直线23m、n与平面α、β，则在下面命题中，正确的是( β，m?α，n?β，则α∥∥A．若mn⊥n，n?β，则α∥β．若B m⊥α，m⊥
αβm?α，则⊥C．若m∥n，nβ，，则βα⊥β，D．若m⊥nm⊥α，n?C
[答案]
. β得，由对于C m∥n，n⊥βm⊥][解析C.
α又m?，可得α⊥β.∴应选)
(，则△ABC的形状为ABCABD24．如图已知平面CBD⊥平面，且DA⊥平面
．锐角三角形A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．不能确定DB
]答案[⊥，∴DAABCDABCAEDBCAEDBAEA解析[]过作⊥，则⊥平面，∴⊥，又⊥平面）））．））））））
BC，BC⊥平面DAB，又DA∩AE＝A，∴AB，∴△ABC为直角三角形．∴BC⊥BAF在棱BCD的棱长为2，动点E，(2010·25．北京理，8)如图，正方体ABCD－A111111，大于零)(x，y，zy＝1，AE＝x，DQ＝，DP＝z、上，动点P，Q分别在棱ADCD上，若EF1)
的体积则四面体
PEFQ(
x，y，z都有关A．与有关，与y，z无关．与B x有关，与x，z无关C．与y无关x，y D．与z有关，与D
[答案]的风格，即在变化中寻找不变，从图中8,14,20这道题目延续了北京高考近年解析[]1)z 变化面积的ABCD，而当P点变化(即可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为矩形114 CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．时，它到平面AB11边上＝4，P′是AB30°，AB＝8，B＝，PC⊥平面ABC，PC90°ABC26．在△中，C＝)
PP′的最小值为(动点，则7 B. A．2
19
C．27 D.
C
][答案
ABPCP解析[]作′⊥AB，垂足为′，则易知PP′⊥，
∴PP′为所求最小值．得，，∠AB＝8B＝30°中，由△在Rt ABC，3CP′＝2）））．
））））））
，PC⊥平面ABC又，P′C∴PC⊥27.
，∴PP′＝∵PC＝427．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下列四个命题：
①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l⊥m；
③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.
其中正确的两个命题是()
A．①②B．③④
D．①③C．②④
D
]答案[) 山东文，4)在空间，下列命题正确的是(28．(2010·A．平行直线的平行投影重合．平行于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一平面的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两条直线平行DD
[答案]内的平行投影为两个点，当两平行α当两平行直线都与投影面α垂直时，其在][解析错；在正方A相交但不垂直时，其在α内的平行投影可平行，故直线所在平面与投影面αB都平行，但平面BCC及平面－ABCDABCD中，直线AA与平面BCCBCDDC体11111111111及平面B B错；同样，在正方体ABCD－ABCD中，平面BCC相交，故与平面CDDC11111111正CDDC都与平面ABCD垂直，但此二平面相交，故C错；由线面垂直的性质定理知D11确．) 、γ，下列命题中，正确命题的个数为(β29．对于直线m、n和平面α、αm，则n⊥①若m∥α，n ⊥n∥αα②若m⊥，n⊥m，则γ⊥③若α⊥β，γβ，则α∥α，m?β，则βα⊥m④若⊥B．2A．1
4
．3．DCA
][答案[]①②③错，④正确．解析)给定下列四个命题：广东文(09·．30 ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；）））．
））））））
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是()
A．①和②B．②和③
D．②和④C．③和④
D
][答案) 是一条直线，以下命题正确的是(，31．(09·浙江文)设αβ是两个不同的平面，lβ，则l?A．若l⊥α，α⊥βl?β，则B．若l∥α，α∥βl⊥βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β．若l∥α，α⊥β，则DC
][答案A错；l∥β或l?β，β[解析]l⊥α，α⊥?错；∥β或l?β，B，l∥αα∥β?l正确；β?l⊥β，C l⊥α，α∥，则l与β位置关系不确定，D错．l若∥α，α⊥βα，β为不重合的平面，给出下列4个命题：．32a、b为不重合的直线，α；?b∥且①a∥αa∥b；b∥α⊥②a⊥α且ab?⊥α；?③a⊥α且a⊥bb. a∥α④a⊥β且α⊥β?) 其中正确命题的个数为
( B．1A．0
3 DC．2．A [答案]
a∥α???b∥α或[解析]b?α；?a∥b??a⊥α???b∥α或b?α；?a⊥b??a⊥β???a∥α或a?α. ?α⊥β??33．如图，BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，PD⊥BC于D，则图中共有________个直角三角形()
）））．
））））））
B．A．875
D．6C．A
[答案]
共8个．PDB△PAC，△PAD，△PAB，△PDC，△，△CDA，△BDA，△CAB[解析]ππ、A与两平面，A∈α，B∈β，ABα、β所成的角分别为和.过．34如图，平面α⊥平面β64
)
B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、ABA′B′等于(B′，则
1 ∶∶1 B．3A．23
∶．C3∶2 D．4A
][答案π，[解析]由已知条件可知∠BAB′＝4π，设AB＝2a，∠ABA′＝6ππa，
cos a则BB′＝2a sin＝2，A′B＝2a＝364′＝′中，得∴
在Rt△BB′AA′B′＝a，∴ABA′B) (下列条件
中，是平面，能得出直线a⊥平面α的是b35．已知a、、c是直线，α、β?αb?α，ca A．a⊥c，⊥b，其中αb⊥，b∥B．aβ，a∥αC．⊥βb⊥αD．a∥b，D
][答案可平行、可相与b时，aα⊥，∥，可知相交的条件；如图与中缺解析[]A bc(1)bαa错；B交，相交时也可垂直，故）））．
））））））
错．AB，故C可以是α⊥β，直线aAC，也可以是如图(2)是一个正方体，满足的中点，下面四个结论中CA、BC、D、E、F分别是AB36．在正四面体P－ABC中，) 的是(不成立．．．BC ∥平面PDF A．⊥平面PAE B．DF PDF⊥平面ABC C．平面AE⊥平面ABC D．平面P C
答案][. ∥BCAB、CA中点，∴DF[解析]∵D、F分别为A正确．BC∥平面PDF，故∴ABC 为正四面体，又∵P－. DF.∴PO⊥内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABCP∴在底面ABC. DF，∴AE⊥E为BC中点，∴AE⊥BC又∵，故B正确．O，∴DF⊥平面PAE∩又∵POAE＝
，AE，PO⊥平面ABC?又∵PO面P D⊥面ABC，故正确．∴面PAE C.
∴四个结论中不成立的是二填空题所垂直于圆OA、B的圆周上的任意一点，PA是异于是圆1．如图，ABO的直径，C．所成角的正弦值为PB＝5，则直线与平面PAC________AB4A，＝在的平面，AC3P＝，
414 答案[]41）））．
））））））
，A∴P⊥BC[解析]∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥平面PAC又BC⊥AC
所成的角．为直线PB与平面PAC∴∠BPC 41，∴PB，＝PAB中，A＝4，AB＝5在Rt△P 4，5，∴BC＝ABC中，AC＝3，AB＝Rt在△414BC.
＝sin∠BPC＝∴41PB，则＝PB＝PC，PDP在?ABCD所在平面外，且PA．2?ABCD的对角线交点为O，点________．与平面ABCD的位置关系是PO垂直[答案]. AC⊥AC的中点，∴POA＝PC，O是[解析]∵P，BD＝O⊥BD.∵AC∩同理可得PO.
ABCD∴PO⊥平面到对角线P1，则点ABCD，且PA＝，AB＝3，BC＝4PA⊥平面中，3．在矩形ABCD．的距离是________BD13 ][答案5⊥平面PABD，连接PE，∵BD＝5，过A作AE⊥＝[解析]因为AB3，BC＝4，所以BD，PA⊥ABCD，∴，PE⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴A∵P∩AE＝A121312??22＝＋PE在△ABD中，AE＝，所以1＝.
??5553的几何体的三视图，20cm如图中的三个直角三角形是一个体积(2010·湖南文，13)4．则h＝______ cm.
七年级数学《基本平面图形》知识点复习 北师大版 七年级数学《基本平面图形》知识点复习北师大版 1. 线段、射线、直线 1）线段 （1）概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点；有长度，有方向性； （2）表示法：一条线段可以用它的两个端点的大写字母表示，以A，B为端点的线段，可以记作“线段AB”或“线段BA”；用一个小写字母表示，如“线段a”. （3）线段基本性质：两点之间，线段最短. （4）两点间的距离：两点之间线段的长度 （5）线段大小的比较方法：叠合法、度量法 2）射线 概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点；可以向一端无限延伸，有方向性； 表示法：一个射线可以用它的端点和射线上的另一点表示，点是端点，点A是射线上异于端点的另一点，记作“射线A”； 3）直线 （1）概念：直线是直的，没有端点，可以向两边无限
延伸. （2）表示法：一条直线可以用一个小写字母表示，如“直线a”；也可以用在直线上的两个点表示，如“直线AB” . （3）性质：经过一点可以画无数条直线；经过两点有且只有一条直线 （4）点与直线关系：点在直线上，或者说直线经过这个点； 点在直线外，或者说直线不经过这个点； （5）直线与直线关系：平行，相交，垂直； 2.角 1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边. 2）从运动的观点看，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形. 3）平角和周角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角，终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角. 4）角的表示方法： （1）用三个大写字母表示，记作∠AB 或∠BA其中是角的顶点，写在中间；A，B分别是角的两条边上一点，写在两边，可以交换位置. （2）用大写的英字母表示，记作∠，用这种方法表示
平面图形知识点归纳 一、 图形分类 二、 1比直角大的是钝角三角形，与直角的两边重合的是 直角三角形，小于直角的是锐角三角形。 ⑷任意三角形：三条边都不相等的三角形，叫任意三角形也叫不 等边三角形。 ⑸等腰三角形：有两条边相等的三角形。 （相等的两条边叫做腰， 第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，底边上 的两个角叫做底角。等腰三角形的两个底角相 等。） （它的三 学过的图形
等边三角形是特殊的等腰三角形。 判断是（）边的三角形方法：用直尺量长度最接近的两条边，如 果相等是等腰三角形。如果三边都相近，都要用尺 量一量，看是不是等边三角形。 2、四边形：由四条线段围成的封闭图形。（按边的特点分成以下三类） ⑴任意四边形：两组对边都不平行的四边形。 ⑵平行四边形：两组对边分别平行的四边形。（对边平行且相等， 对角相等） 长方形和正方形是特殊的平行四边形。 ⑶梯形：只有一组对边平行的四边形。（互相平行的一组对边叫做 作梯形的底，通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下 ①两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 3 （三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。） 4、轴对称图形有：正方形、长方形、等腰梯形、等腰三角形、等边 三角形和圆。（平行四边形不是轴对称图形。） 5、三角形三边关系： ⑴任意两边之和大于第三边。（较短两边之和大于第三条边）； ⑵任意两边之差小于第三边。（最长边与最短边之差小于第三条
边） 6、图形的性质：三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。 三、数图形中的学问： 从同一个点引出n个基本角（三角形），那么图中所有角（三角形）的个数为n×（n＋1)÷2（也可以是从基本角的个数开始递减相加到1）
三年级数学下册《位置与方向》知识点位置与方向知识点 认识东、南、西、北与东北、东南、西北、西南八个方向。 【1】确定方向的方法： ①.早上太阳升起的方向是东方;②.傍晚太阳落下的地方是西方;③.指南针所指的方向是北方;④.北斗星所指的方向是北方;⑤.一般情况下，地图规定向上为北。 【2】根据确定一个方向后，按“上北下南、左西右东”“或南北相对，东西相对” 绘制“十字叉”，确定其它七个方向。 知道：南←→北，西←→东;西北←→东南，东北←→西南这些方向是相对的。 【3】绘制简单示意图的方法：先确定好观察点【观察点就是我们所站在的位置的地方】，把选好的观察点画在平面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制“十字叉”，用箭头“↑”标出北方。 【4】看懂地图。先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南;左西右东”的规律来确定目的地和周围事物所处的方向：谁在谁的什么方向等。 如①：“甲在乙的„„方”，是指：以乙为观
察点，也就是以乙所处的位置为中心，再根据“上北下南，左西右东”的规律绘制出“十字叉”，来确定甲的方向和周围事物所处的方向. 如②：“甲的„„方是„„”，是指：以甲为观察点，也就是以甲所处的位置为中心，再根据“上北下南，左西右东”的规律绘制出“十字叉”，来确定甲的什么方向的事物. 看简单的路线图描述行走路线。 【1】看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据“上北下南;左西右东”的规律绘制出“十字叉”来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 【2】描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来。有时还要说明路程有多远。 【3】综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 练习题 一、在括号里填上合适的数。 1平方米20平方分米=平方分米 450平方分米=平方米
第四章：基本平面图形知识点 一、寻找规律： (1) 2 n n - ◆ 数线段条数：线段上有n 个点（包括线段两个端点）时，共有(1) 2 n n -条线段 ◆ 数角的个数：以0为端点引n 条射线，当∠AOD<180°时， 则（如图）?小于平角的角个数为(1) 2 n n -． ◆ 数直线条数：过任三点不在同一直线上的n 点一共可画(1) 2 n n -条直线． ◆ 数交点个数：n 条直线最多有(1) 2 n n -个交点． ◆ 握手问题：数n 个人两两握手能握(1) 2 n n -次． 二、基本概念 1．线段、射线、直线 （1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段． 线段的特点：是直的，它有两个端点． （2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线． 射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸． （3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸． 2．线段的中点 把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点． 利用线段的中点定义，可以得到下面的结论： （1）因为AM=BM=12 AB ，所以M 是线段AB 的中点． （2）因为M 是线段AB 的中点，所以AM=BM=12 AB 或AB=2AM=2BM ． 3．角 由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边． 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角． 4．角平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 5．两点之间的距离 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 6．直线的性质 经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”． 7．线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短． 三、线段、角的表示方法 线段的记法： ①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 射线的记法： 用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 直线的记法： ①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 角的表示：①用三个大写字母表示，表示顶点的字母写在中间：∠AOB ； ②用一个大写字母表示：∠O ； ③用一个希腊字母表示：∠ａ； ④用一个阿拉伯数学表示：∠1。 四、线段、角的比较 度量法 叠合法 1.作一条线段等于已知线段 作法： O A 顶点 边 边 B ａ 1 O A 射线OA A B a 直线AB 直线a
基本平面图形知识点 一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的异同点 名称图形及表示法不同点联系共同点 延伸性端点数与实物联系 线段不能延伸2直尺线段向一 方延长就 成射线， 向两方延 长就成直 线都是直的 线 射线只能向一方 延伸1电筒发生的光 线 直线可向两方延 伸 无笔直的公路 （1）线段有两种表示方法：线段AB与线段BA，表示同一条线段。或用一个小写字母表示，线段a。 （2）射线的表示方法：端点在前，任意点在后。射线OP （3）直线也有两种表示方法：直线MN或直线NM，或用一个小写字母表示：直线a 3、基本事实：经过一点可以画_______条直线；经过两点有且只有一条直线，即_____确定一条直线。在直线上任取一点可得到_____条射线，在直线上任取_____点可得到一条线段，在射线上任取一点可得到一条________。 二、线段的性质： 1、基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。 2、两点之间的距离 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 3、比较线段长短的方法： 观察法、度量法、叠合法 4、线段中点的定义 在线段上，能够把这条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。 AM=BM=AB，AB=2AM=2BM。 5、用尺规作一条线段等于已知线段（P6） 三、角 1、角的定义 （从静止的角度看）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边。∠AOB中，点O是角的顶点，OA，OB是它的两边。 角的表示方法：3种
2、角的度量单位： 角的度量单位是：度、分、秒 10=60‘1’=60" 1″=′1′=° 3、平角和周角的定义 （动态定义）角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的，当始边和终边成一条直线时，所成的角是平角，当它的终边旋转到和始边重合时，所成的角是周角。 4、角的分类 按角的大小分为：锐角、直角、钝角、平角、周角。 1直角=90° ，1平角=180°，1周角=360°。 锐角<钝角，0°<锐角<90° 。 5、角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。（数量关系） 6、钟表中的度数：分针一分钟转6°，时针一小时转30°一分钟转0.5°。 7、用一副三角板所画的角的度数，都是15°的倍数。 四、多边形和圆的初步认识 1、多边形的定义： 三角形、四边形、五边形等都是多边形，它们都是由若干条不在同一直线上的线段首尾依次相连组成的封闭平面图形。 2、多边形的基本元素 顶点：如图，在多边形ABCDE中，点A,B,C,D,E是多边形的顶点； 边：线段AB,BC,CD,DE,EA是多边形的边； 内角：∠EAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEC是多边形的内角（可简称为多边形的角）。对角线：如图，AC,AD都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。 3、正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。例如：正方形是正四边形，它的各边都相等，各角都是90°；等边三角形即正三角形，它的各边都相等，各角都是60°。 4、n边形有n个顶点，n条边，n个内角，n边形从一个顶点出发有（n-3）条对角线，把n边形分成（n-2）三角形，共有_______条对角线。 4、圆的概念 （1）如图，平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点 形成的图形叫做圆。固定的端点O称为圆心；线段OA称为半径。 （2）相关概念 弧：圆上任意两点A，B之间的部分叫做圆弧，简称弧，记做，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
考点一、直线、射线和线段(3分) 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。 2、点、线、面、体 (1)几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 (2)点动成线，线动成面，面动成体。 3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。 4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。 5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。 6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示。
一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。 注意： (1)表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。 (2)直线和射线无长度，线段有长度。 (3)直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。 (4)点和直线的位置关系有线面两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 7、直线的性质 (1)直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。 (2)过一点的直线有无数条。 (3)直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 (4)直线上有无穷多个点。 (5)两条不同的直线至多有一个公共点。 8、线段的性质 (1)线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 (2)连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。 (3)线段的中点到两端点的距离相等。 (4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
位置与方向（一） 1. 记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向： （1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。（2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3. 地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平 面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。 5、看简单的路线图描述行走路线。 （1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 （2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做） （3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。
6. 可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7. 能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9. 生活中的方向常识： （1）面对北斗星的方向是北方 （2）燕子冬天从北方迁徙到南方 （3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方
4.1线段、射线、直线 1、线段、射线、直线 线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。 射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 3（1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（两点确定一条直线。） （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 4、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 ※课时达标 1.填写下表: 2.如图，共有条线段. 3.用两个钉子就可以把木条钉在墙上，其依据是_________ . 4.平面上有五条直线，则这五条直线最多有_____交点，最少有_____个交点． 5.平面上两条直线的位置关系只有两种，即__________和_________________. 6.平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有_______条． ※课后作业 ★基础巩固 1.下列各直线的表示法中，正确的是（ ）. A B C D
A.直线A B.直线AB C直线ab D.直线Ab 2.下列说法不正确的是( ) . A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线AB与射线BA是同一条射线 C.线段AB与线段BA是同一条线段 D.线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点 3.下列说法正确的是（）. A.射线比直线短 B.两点确定一条直线 C.经过三点只能作一条直线 D.两条射线的长度的和等于直线的长度 4.下列说法正确的是( ). A.过一点P只能作一条直线 B.射线AB和射线BA表示同一条射线 C.直线AB和直线BA表示同一条直线 D.射线a比直线b短 5.下列说法正确的是（）. A.延长射线OA B.延长直线l C.延长线段CD D.反向延长直线l 6.平面内的三点可确定直线的条数是（）. A.3 B.1或3 C.0或1 D.0 7.已知C,D在直线AB上，那么直线AB上的射线共有（）. A.6条 B.7条 C.8条 D.9条 8.下列说法中，错误的有（）. ①射线是直线的一部分；②画一条射线，使它的长度为5厘米；③线段AB和线段BA是同一条线段；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤直线AB和直线BA是同一条直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.在一条笔直的校园大道两旁种树时，先定下两棵树的位置，然后其它树的位置也就确定下来了，这说明了直线的基本性质：________________________. 10.已知平面内的四个点A,B,C,D,过其中的两个点画直线： (1)若A,B,C,D四个点在同一条直线上，可以画出______条直线； (2)若A,B,C,D四个点有三个在同一条直线上，可以画出______条直线； (3)若A,B,C,D四个点中的任意三个都不在同一条直线上，可以画出_______条直线. 11.读下列语句，并画出相应图形. (1)经过点M,N画一条直线； (2)直线b a,相交于点P，点A在直线a上，但不在直线b上； (3)三条直线c ,两两相交于点A,B,C. b a, ☆能力提高 12.读句画图:
M O a 第六章：平面图形的认识 第一节：直线、射线、线段 知识点1：概念 线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。 线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．（2）以后我们说“连结 ”就是指画以A 、B 为端点的线段． 射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯 射出的光线等。 射线的画法：画射线 一要画出射线端点 ；二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况． 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨等。 直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。 知识点2：线段、直线、射线的表示方法： （1） 点的记法：用一个大写英文字母 （2） 线段的记法：①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 如图： 记作线段AB 或线段BA ， 记作线段a ， 与字母顺序无关 此时要在图中标出此小写字母 温馨提示：线段是直线（或射线）的一部分；2.线段不可向两方无限延伸，但可度量；3.延长线常化成虚线；4.延长线段AB 是指按A 到B 的方向延长，延长线段BA 是指按B 到A 的方向延长. （3） 射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 如图： 记作射线OM,但不能记作射线MO 温馨提示：1.射线是直线的一部分；2.射线是像一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小；3.射线可作反向延长线，不存在射线的延长线。 （4） 直线的记法：①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 如图： 记作直线AB 或直线BA ， 记作直线l 与字母顺序无关。 此时要在图中标出此小写字母 知识点3：线段、射线、直线的区别与联系： 联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到 直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。 区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别 见下表： B A l
三年级数学下册《位置与方向》知识点 位置与方向知识点 认识东、南、西、北与东北、东南、西北、西南八个方向。 【1】确定方向的方法： ①.早上太阳升起的方向是东方;②.傍晚太阳落下的地方是西方;③.指南针所指的方向是北方;④.北斗星所指的方向是北方;⑤.一般 情况下.地图规定向上为北。 【2】根据确定一个方向后.按“上北下南、左西右东”“或南北 相对.东西相对” 绘制“十字叉”.确定其它七个方向。 知道：南←→北.西←→东;西北←→东南.东北←→西南这些方 向是相对的。 【3】绘制简单示意图的方法：先确定好观察点【观察点就是我 们所站在的位置的地方】.把选好的观察点画在平面图的中心位置.再 确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北下南、左西右东”绘制“十字叉”.用箭头“↑”标出北方。 【4】看懂地图。先要确定好自己所处的位置.以自己所处的位置 为中心.再根据“上北下南;左西右东”的规律来确定目的地和周围事 物所处的方向：谁在谁的什么方向等。 如①：“甲在乙的„„方”.是指：以乙为观察点.也 就是以乙所处的位置为中心.再根据“上北下南.左西右东”的规律绘 制出“十字叉”.来确定甲的方向和周围事物所处的方向. 如②：“甲的„„方是„„”.是指：以 甲为观察点.也就是以甲所处的位置为中心.再根据“上北下南.左西 右东”的规律绘制出“十字叉”.来确定甲的什么方向的事物. 看简单的路线图描述行走路线。 【1】看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置.以自己 所处的位置为中心.再根据“上北下南;左西右东”的规律绘制出“十 字叉”来确定目的地和周围事物所处的方向.最后根据目的地的方向 和路程确定所要行走的路线。 【2】描述行走路线的方法：以出发点为基准.再看哪一条路通向
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
初中几何图形知识点归纳 1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 7. 高线、中线、角平分线的意义和做法 8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半 10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。 11. 三角形外角的性质 （1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和； （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角； （4）三角形的外角和是360°。 四边形（含多边形）知识点、概念总结 一、平行四边形的定义、性质及判定 1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。 2. 性质： （1）平行四边形的对边相等且平行 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补 （3）平行四边形的对角线互相平分 3. 判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形 二、矩形的定义、性质及判定 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 3. 判定： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形 （3）两条对角线相等的平行四边形是矩形 4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。
平面图形知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
平面图形知识点归纳 一、 图形分类 二、 1、三角形：由三条线段围成的封闭图形。 ⑴锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 ⑵直角三角形：有一个角是直角的三角形。 ⑶钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 判断是（ ）角的三角形方法：用一个直角与三角形的最大内角 比，比直角大的是钝角三角形，与直角的两边重合 的是直角三角形，小于直角的是锐角三角形。 ⑷任意三角形：三条边都不相等的三角形，叫任意三角形也叫不 等边三角形。 ⑸等腰三角形：有两条边相等的三角形。（相等的两条边叫做 腰，第三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，底 边上的两个角叫做底角。等腰三角形的两个底角 相等。） 学过的图形 一个三角形中至少有两个锐角。
三个角也相等，都是60度。） 等边三角形是特殊的等腰三角形。 判断是（）边的三角形方法：用直尺量长度最接近的两条边，如果相等是等腰三角形。如果三边都相近，都要用尺 量一量，看是不是等边三角形。 2、四边形：由四条线段围成的封闭图形。（按边的特点分成以下三 类） ⑴任意四边形：两组对边都不平行的四边形。 ⑵平行四边形：两组对边分别平行的四边形。（对边平行且相 等，对角相等） 长方形和正方形是特殊的平行四边形。 ⑶梯形：只有一组对边平行的四边形。（互相平行的一组对边叫 做作梯形的底，通常把较短的底叫作上底，较长的底叫 ①两腰相等的梯形叫作等腰梯形。
等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形。 3、三角形的内角：三角形内每两条边组成的角。 （三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。） 4、轴对称图形有：正方形、长方形、等腰梯形、等腰三角形、等边 三角形和圆。（平行四边形不是轴对称图形。） 5、三角形三边关系： ⑴任意两边之和大于第三边。（较短两边之和大于第三条边）； ⑵任意两边之差小于第三边。（最长边与最短边之差小于第三 条边） 6、图形的性质：三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。 三、数图形中的学问： 从同一个点引出n个基本角（三角形），那么图中所有角（三角形）的个数为n×（n＋1)÷2（也可以是从基本角的个数开始递减相加到1）
【知识要点】 1. 记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向： （1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。 （2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3. 地图通常是按“上北下南左西右东”绘制的。（书：练习一第3、4题；） 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平 面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北 下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。（书：习二第2题。） 5、看简单的路线图描述行走路线。 （1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 （2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做）（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 6. 可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7. 并能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9. 生活中的方向常识： （1）面对北斗星的方向是北方 （2）燕子冬天从北方迁徙到南方 （3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方 【巩固练习】 一、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定B．不一定C．不会 2．与北极星相对的方向是( ) 。 A．东 B.南 C.西 3．小明座位的西南方向是张强的座位，那么小明在张强的( )方向。 A．东南 B.西北C．东北 4．三(1)班教室的黑板在教室的西面，那么老师讲．课时面向( )面。 A．东B．南C．西 D.北 5．张丽面向南站立，当她向后转之后，她的左面是( )，右面是( )。 A．东B．西 C.北 2、说一说3路公共汽车的行车路线。（5分） 汽车站广场水利局
第四章：基本平面图形 知识梳理 一、线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的定义 （1）线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。线段可以量出长度。 （2）射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。射线无法量出长度。 （3）直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。直线无法量出长度。 ： 联系：射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分。 2、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 3、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。简称两点确定一条直线。 （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 4、线段的比较 （1）叠合比较法（用圆规截取线段）；（2）度量比较法（用刻度尺度量）。 5、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。 若C 是线段AB 的中点，则：AC=BC= 2 1 AB 或AB=2AC=2BC 。 二、角 1、角的概念： （1）角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。两条射线叫角的边，共同的端点叫角的顶点。 （2）角还可以看成是一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。 2、角的表示方法： 角用“∠”符号表示，角的表示方法有以下四种： ①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。 ②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。 ③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B ，∠C 等。 C
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平面图形知识点归纳 一、 图形分类 二、 1角形，小于直角的是锐角三角形。 ⑷任意三角形：三条边都不相等的三角形，叫任意三角形也叫不等边 三角形。 ⑸等腰三角形：有两条边相等的三角形。（相等的两条边叫做腰，第 三条边叫做底。两腰的夹角叫做顶角，底边上的两个 角叫做底角。等腰三角形的两个底角相等。） 学过的图形
判断是（）边的三角形方法：用直尺量长度最接近的两条边，如 果相等是等腰三角形。如果三边都相近，都要用尺量一 量，看是不是等边三角形。 2、四边形：由四条线段围成的封闭图形。（按边的特点分成以下三类） ⑴任意四边形：两组对边都不平行的四边形。 ⑵平行四边形：两组对边分别平行的四边形。（对边平行且相等，对 角相等） 长方形和正方形是特殊的平行四边形。 ⑶梯形：只有一组对边平行的四边形。（互相平行的一组对边叫做作梯 形的底，通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底。不 ①两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 3 （三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°。） 4、轴对称图形有：正方形、长方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角 形和圆。（平行四边形不是轴对称图形。） 5、三角形三边关系： ⑴任意两边之和大于第三边。（较短两边之和大于第三条边）； ⑵任意两边之差小于第三边。（最长边与最短边之差小于第三条边） 6、图形的性质：三角形具有稳定性，平行四边形具有不稳定性。
三、数图形中的学问： 从同一个点引出n个基本角（三角形），那么图中所有角（三角形）的个数为n×（n＋1)÷2（也可以是从基本角的个数开始递减相加到1）
第一章基本平面图形 一、知识点总结 （一）线段、射线、直线 1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。 2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。 3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。 4、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。 一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。 一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。 一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。 5、点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。 ②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
6、直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（或者说两点确定一条直线。） （2）过一点的直线有无数条。 （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）直线上有无穷多个点。 （5）两条不同的直线至多有一个公共点。 7、线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。 （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 （3）线段的中点到两端点的距离相等。 （4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。 8、线段的中点： 点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点。 9、线段的比较： 方法一：观察法 方法二：度量法：用刻度尺量出它们的长度，再进行比较。 方法三：叠合法：把其中一条线段移到另一条线段上去，将其中的一个端点重合在一起加以比较。
小学数学总复习——平面图形 一、线和角 1、线 ?直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 ?射线：射线只有一个端点；长度无限。 ?线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 ?平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 ?垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直 线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 2、角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 ?锐角：小于90°的角叫做锐角。 ?直角：等于90°的角叫做直角。 ?钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 ?平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 ?周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 二、平面图形 1、长方形 （1）特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式： c=2(a+b) s=ab 2、正方形 （1）特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式： c=4a s=a2 3、三角形 （1）特征：由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。（2）计算公式： s=ah/2 （3）分类 按角分： ?锐角三角形：三个角都是锐角。 ?直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 ?钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分： ?不等边三角形：三条边长度不相等。
第六章：平面图形的认识 第一节：直线、射线、线段 知识点1：概念 线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。 线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．（2）以后我们说“连结”就是指画以A 、B 为端点的线段．射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯射出的光线等。 射线的画法：画射线一要画出射线端点；二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况．直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨等。 直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。 知识点2：线段、直线、射线的表示方法： （1）点的记法：用一个大写英文字母 （2）线段的记法：①用两个端点的字母来表示②用一个小写英文字母表示 如图： 记作线段AB或线段BA，记作线段a， 与字母顺序无关此时要在图中标出此小写字母 温馨提示：线段是直线（或射线）的一部分；2.线段不可向两方无限延伸，但可度量；3.延长线常化成虚线；4.延长线段AB是指按A到B的方向延长，延长线段BA 是指按B到A的方向延长. （3）射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 如图： 记作射线OM,但不能记作射线MO 温馨提示：1.射线是直线的一部分；2.射线是像一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小；3.射线可作反向延长线，不存在射线的延长线。 （4）直线的记法：①用直线上两个点来表示②用一个小写字母来表示 如图： 记作直线AB或直线BA，记作直线l 与字母顺序无关。此时要在图中标出此小写字母知识点3：线段、射线、直线的区别与联系： 联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。 区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别见下表：
位置与方向： 【知识要点】 1.记忆方向的儿歌：早上起来，面对太阳；前面是东，后面是西；左面是北，右面是南；东西南北，认清方向。 2.根据一个方向确定其它七个方向： （1）南与北相对，西与东相对；西北与东南相对，东北与西南相对。 （2）东、南、西、北按顺时针方向排列。 3.地图通常是按“绘制的。（书：练习一第3、4题；） 4.了解绘制简单示意图的方法：先确定好观察点，把选好的观察点画在平 面图的中心位置，再确定好各物体相对于观察点的方向。在纸上按“上北 下南、左西右东”绘制，用箭头“↑”标出北方。（书：习二第2题。） 5、看简单的路线图描述行走路线。 （1）看简单路线图的方法：先要确定好自己所处的位置，以自己所处的位置为中心，再根据上北下南，左西右东的规律来确定目的地和周围事物所处的方向，最后根据目的地的方向和路程确定所要行走的路线。 （2）描述行走路线的方法：以出发点为基准，再看哪一条路通向目的地，最后把行走路线描述出来（先向哪走，再向哪走）。有时还要说明路程有多远。（书：p5和p9的做一做）（3）综合性题目：给出路线图，说出去某地的走法，并根据信息求出所用时间、应该按什么速度行驶、或几时能到达、付多少钱买车票等等。 6.可以借助太阳等身边事物辨别方向，也可以借助指南针等工具辨别方向。 7.并能看懂地图。（p4例2：知道建筑或地点在整个地图的什么方向，地图上两个地点之间的位置关系：谁在谁的什么方向等） 8. 我国的“五岳”分别是：中岳嵩山、东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山。 9.生活中的方向常识： （1）面对北斗星的方向是北方 （2）燕子冬天从北方迁徙到南方 （3）西北风是指从西北方向刮过来的风，它吹向东南方 一、填一填。 1、早上，当你面向太阳时，你的前面是（），后面是（），左面是（），右面是（）。 2、晚上，当你面对北极星时，你的前面是（），后面是（），左面是（），右面是（）。 3、地图通常是按上（）、下（）、左（）、右（）。黄昏，当你面向太阳时，你的后面是（），左面是（），右面是（）。 5、我的家乡在山东省的（）部。 6．把手表平放在桌面上，用数字12 正对着北方。正对着南方的是数字( )；数字3 正对着( )方。 7．小铃面向西站立，向右转动两周半，面向( )；向左转动l周半，面向( )。 二、选择。 1．太阳( )是东升西落。 A．一定B．不一定C．不会 三、解决问题。 1、三个小朋友都从家出发去看电影，请你根据下图填一填。