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2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题
28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数
24y ax bx 的图象与x 轴交于点
2,0B ，点8,0C ，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数24y ax bx 的表达式；
（2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作//NM AC ，交AB 于点M ，当AMN 面积最大时，求N 点的坐标；
（3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与AC 的数量关系．解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y
ax bx ，得：
424064840a b a b ，1分
解得：1
4a ，3
2b ．
∴该二次函数的表达式为
21
3
442y x x ．3分
（2）设点N 的坐标为（n ，0）（
2＜n ＜8），则2BN n ，8CN n ．
∵B （-2，0）, C （8，0）,
∴BC =10.
令0x ，解得：4y ，
∴点A （0，4），OA=4，
∵MN ∥AC ，
二次函数与三角形面积的综合 寻找类 1、重点：中考压轴题的重点在于寻找分析问题，解决问题的思路和方法。能应对这部分题 的关键需要熟练几部分知识点：（1）二次函数与一次函数，反比例函数的解析式（2）勾股定理（3）四边形（4）相似三角形和三角形全等（5）锐角三角函数（6）轴对称和中心对称（7）求交点的方法（8）知识的综合运用 2、难点：寻找联系是这部分内容的一个关键所在，也是一个难点。尤其是遇到二次函数与 三角形面积的综合题的解题思路。运用面积求坐标等等的合理运用，以及运用的重要因素在哪里？ 3、易错点：面积中涉及求面积的方法，坐标漏找或错找，坐标与线段长度之间的联系，坐 标在不在二次函数的图像上。这些都是在考试中容易失分的地方。 4、切入点：例如：根据已有条件求坐标，首先要想到平面直角坐标系与锐角三角函数的联 系，尤其是正切的运用。这样直观的可以求出坐标（前提必须建立直角三角形），如果不是直角三角形可以想法构建直角三角形，这是求坐标的最好方法，此方法不通的情况下可以运用勾股定理进行求解，很少运用相似求。掌握了求解方法再做题的时候就知道如何下手了。而次部分求面积的时候要先找到点的坐标的具体位置以及如何通过面积求坐标。 5.求面积常用的方法 a.直接法b。简单的组合c。面积不变同底等高或等底等高的转换 d.相似 e.三角函数f。找面积的最大最小值利用二次函数的性质 （1）直接法若题已经给出或能由已知条件推出个边的长度并且通过坐标能找到对应的
的高，那么三角形的面积能直接用公式算出来。 此题中的三角形的面积就能直接求出。 （2）通过简单的重新组合就能求出面积。 第6题 （2009年贵州安顺市）27、（本题满分12分） 如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。
二次函数中三角形面积问题 教案 教学目标： 1. 掌握在平面直角坐标系中求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法，会用割补法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形； 2. 会把三角形面积问题转化为线段问题，把线段问题转化为点的坐标问题； 3. 提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，规范答题； 4. 体会数形结合、转化化归、函数建模等数学思想在解题中的应用。 教学重点：求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法及其应用。 教学难点：理解如何进行割补，并会进行有效的割（或补），把一般位置的三角形转化为特 殊位置的三角形，会表示所割（或补）三角形的底或高。 教学过程： 一、课前预习： 1、知识与方法回顾： 在平面直角坐标系中，求下列特殊位置三角形的面积: 高底三角形面积公式：??= ?2 1 ABC S 应用条件：有一条边在坐标轴上或者平行坐标轴（特殊位置三角形）。 解题方法：直接法，即以在坐标轴上或平行坐标轴的边为底边，过另一个顶点作高，然后用 三角形面积公式直接进行求解。 2、基础训练： 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴相交于点)0,1(),0,3(B A -，与y 轴相交于点)3,0(C ，过点C 作x CD //轴交抛物线于点D 。 （1）求该抛物线的解析式； A B C D y x 图1 O C B A y O x y O x B A C y O x B A C y O x B A C
（2）连接AC 、BC ，求ABC ?的面积； 注意事项：利用点的坐标求线段（底、高）长度时，要用大的减去小的，即在x 轴上或平行x 轴的线段长度等于右边点的横坐标减去左边点的横坐标，在y 轴上或平行y 轴的线段长度等于上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标。 （3）如图2，点E （-4，-5）是抛物线上一点，求CDE ?的面积。 解题基本思路：点（坐标）——线段（底、高）——面积 二、专题复习，能力提升： 1、知识归纳提升： 在平面直角坐标系中，求一般位置三角形的面积: =?ACP S ； =?ACP S ； =?ACP S ；=?ACP S ； 教师引导学生完成，展示学生成果。 归纳小结： ①应用条件：三角形的边都不在坐标轴上，也不平行坐标轴。 ②方法：割补法，即用割（或补）的方法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形（预 习中有边在坐标轴上或平行坐标轴的三角形），然后用直接法求两个（或几个）三角形面积之和（或差）。 ③ 关键：怎么割，如何补，才能把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形。 2、提升训练（应用）： （4）如图3，若点M 是抛物线的顶点，求ACM ?的面积。 A B C D y x 图2 F E O D A C P y x O A C P y x O D A C P y x O D A C P O y x
M N B C x A O y 求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编 28．（ 甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ． （1）求二次函数24y ax bx =++的表达式； （2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标； （3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系． 解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++， 得：4240 64840a b a b -+=??++=? ， 1分 解得：1 4 a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为 213 442 y x x =-++． 3分 （2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8）， 则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）, C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4，
∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ． 4分 ∵OA =4，BC =10， ∴1 14102022 ABC S BC OA =?=??=V ． 5分 11 22222 810ABN AMN ABN S BN OA n+n+S AM CN n , S AB CB = ?=?-===（）4=（）又V V V Q ∴2811 (8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+V V ． 6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大． 7 分 （3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.= 8分 ∵AB = AC ∴12AB AC,= 9分 ∴1 4 OM AC =． 10分 24（ 海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。 （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）该抛物线与直线3 35 y x = + 相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。
实际问题与二次函数 柘城县牛城一中李中凯 一、知识和能力 能够根据二次函数中不同图形的特点选择方法求图形面积 二、过程和方法 通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。 三、情感态度和价值观 由简单题入手逐渐提升，从而消除学生的畏难情绪，让学生有兴趣和积极性参与数学活动。 加强学生之间的合作交流，提高学生的归纳总结能力，培养学生不断反思的习惯。 四、教学重点和难点 重点：选择方法求图形面积 难点：如何割补图形求面积 教学方法 启发式、讨论式 教学用具： 多媒体课件 五、教学过程： 与二次函数有关的面积问题 小结方法 1、三角形的边在轴上或与轴平行 2、不规则图形或三角形三边均不与轴平行
教学活动 例题:已知：抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求（1）抛物线解析式 （2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C 学生完成后展示过程、交流 （3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE 思考：这几个图形求面积有何共同点？（三角形边特殊吗？） 小结： 教师活动追问：你能求四边形OCDB的面积吗？你有几种方法？ 你肯定行：△ADE的面积如何求呢？
小结：不规则图形或三边不具特殊性的三角形如何求面积 能力提升： （4）若点F（x,y)为抛物线上一动点，其 中-1≤x≤4，求当△AEF面积最大时点F的坐标及最大面积。 解决问题： （二次函数检测）17．已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线2(1) =-+与直线y kx y a x a x =的一个公共点为(4,8) A. （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.
二次函数综合题训练题型集合 1、如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴y上. （1）求m的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间 的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说 明理由. 2、如图2，已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 －9 －1 －1 A B 图2
P B A C O x y Q 图3 3、如图3，已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连结AB ，过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. （1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P 沿着线段0A 向A 点运动，点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t ＜4)，△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式； ② 当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA 的形状； ③ 是否存在这样的t 值，使得△PQA 是直角三角形?若存在，请直接写出此时P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由. 7、（07海南中考）如图7，直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式； （2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动， 当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x
二次函数中三角形面积问题 【典型例题】:如图，二次函数y=-x2+2x+3与y轴,x轴交于点A ,B，点C是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A ，B重合），求△ABC面积的最大值．【方法一】竖割法：过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交AB于点E， S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC)=1/2OB·CE 解：令x=0, y=3 点C的坐标为（0，3）； 令y=0, 则-x2+2x+3=0 ，解得：x1=-1 x2=3 点B的坐标为（3，0）， 设AB所在直线的解析式为y=kx+b. 求出直线AB所在直线的解析式为y=-x+3. 设点E的坐标为（m,-m+3) ,则点C的坐标为（m, -m2+2m+3) CE=y C-y E= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m S△ABC＝S△ACE ＋S△BCE ＝1/2CE·(xc--xA)+1/2CE·(xB-xC) =1/2OB·CE =1/2×3( -m2+3m) =--3m2/2+9m/2 S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8 【方法二】割补法：连接OC，S△ABC＝S△OAC ＋S△OBC－S△OAB 解：S△ABC＝S△OAC＋S△OBC－S△OAB ＝1/2×OA·X C+1/2×OB·Y C-1/2×OA×OB ＝1/2×3×m+1/2×3×(-m2+2m+3)-1/2×3×3 ＝-3m2/2+9m/2 S△ABC最大值＝4ac-b2/4a=27/8 【方法三】平移法:平移直线AB，当直线AB与抛物线只有一个交点时，此时三角形ABC的面积最大。 解：设和y=-x+3平行的动直线的解析式为y=-x+b,用y=-x+b和y=-x2+2x+3联立方程组得：-x+b=-x2+2x+3，整理得：x2－3x+b-3=0 当Δ＝0时，b=21/4,此时的点C的坐标为（3/2,9/2)。 SΔABC=(21/4-3)×3×1/2=27/8 【举一反三】 1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E 点的坐标．
《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题， 许多人会想到正方形和二次函数。好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L 的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行 的四边形，叫做平行四边形。其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。好了，现在我们对矩形也有一个印象了。简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。而且我 们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。可知它的周长公式：L=2*(a + b)。有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s 有最大值。微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令 s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab， 所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有 一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。还有个推论：三角形两边之差小于第三边。不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。根据三边关系定理有：x 二次函数——面积问题 〖知识要点〗 一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解） 二．常见图形及公式 抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-） 抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ． 〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式； （2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标 （3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 二次函数与三角形 抛物线与三角形的结合是抛物线与平面几何结合生成综合性问题的一种重要形式，这类问题以抛物线为背景，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊图形，有以下常见的形式：（1）抛物线上的点能否构成特殊的线段； （2）抛物线上的点能否构成特殊的角； （3）抛物线上的点能否构成特殊三角形； （4）抛物线上的点能否构成全等三角形、相似三角形； 这类问题把抛物线性质和平面图形性质有机结合，需综合运用待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法。 1、如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标； （3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t 为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值． 2、如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（5，3），抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接 BD． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M、B、D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标； （3）点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→A→D匀速运动，当点P到达点B时，P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值． 3、已知函数2 3 2 2 y kx x =-+（k是常数） 二次函数与三角形最大面积 1、在坐标系中求三角形的面积有3种方法： （1）割法：（和、差）的相互转化 三角形的面积一般都是通过分割成几个三角形然后计算几个三角形的面积和，然后利用坐标来表示三角形的面积，这样三角形的面积即为一个二次函数，下面求解二次函数的最值即可。 公式法：? 2 1 铅垂高*水平宽 （2）补法：用大图形的面积–其他图形的面积（大三角形的面积–小三角形的积） 1、直线AB经过x轴上的一点A（2,0），且与抛物线y=ax2相交于B，C两点，已知点B坐标为（1，1）（1）求直线和抛物线的解析式； （2）如果D为抛物线上的一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求点D坐标． 2、如图：如图，直线x y 2 1 - =与抛物线6 4 1 2+ - =x y交于A、B两点， （1）求A、B两点的坐标。（2）点Q 在X轴上方的抛物线上，当Q点的坐标为多少时，△ABQ的面积最大？最大面积有为多少？ 3、、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0)、B(0，-4)、C(2,0)三点， （1）求抛物线的解析式， （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m, △AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。 （3）若点P为抛物线上的动点，点Q是直线y= - x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标 A B C M O x y X A B Y 4、（广安）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式； （2）设此抛物线与直线y=x相交于点A，B（点B在点A的侧），平行于y轴的直线x=m（0＜m＜5+1） 与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由 5、已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x2-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ， 一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？ （3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1 2 x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值； （3）点P（4，6）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得； （2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6， 设P（t，﹣1 2 t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由 S△PAB=S△PAN+S△PBN=1 2 PN?AG+ 1 2 PN?BM= 1 2 PN?OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数 的性质求解可得； （3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2）， 将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6， 解得：a=﹣1 2 ， 所以抛物线解析式为y=﹣1 2 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 2 x2+2x+6； （2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G， 二次函数与三角形周长，面积最值问题 知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题 【新授课】 考点1：线段、周长问题 例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1）， 如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。 练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，求线段DE长度的最大值； 练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2 二次函数试题 论：①抛物线y lx21 是由抛物线y-x2怎样移动得到的22 ②抛物线y2(x 2 1）是由抛物线y 1 x2 2 :怎样移动得到的 ③抛物线y[(x1)21是由抛物线y 1 2 x21怎样移动得到的 22 ④抛物线 y ](x1)21是由抛物线 y 1 2 （x 1）2怎样移动得到22 ⑤抛物线y2(x1)21是由抛物线y 1 2 -x2怎样移动得到的 22 选择题：1、y=（m-2）x m2- m是关于x的二次函数，贝U m=（） A -1 B 2 C -1 或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）模型的是（） 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 我国人中自然增长率为1%这样我国总人口数随年份变化的关系 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2,则抛物线的解析式是（ A y= —( x-2 ) 2+2 B y= —(x+2 )2+2 C y= (x+2 ) 2+2 D y= —( x-2 1 2 5、抛物线y= x -6x+24 2 的顶点坐标是（ A (—6,—6) B(—6, 6) C(6,6) D (6，—6) 6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有 ①abc〈0 ②a+ c〈 b ③ a+b+c > 7、函数y=ax2-bx+c (a丰 0) 的图象过点（ A -1 B 1 C - 的值是 b 1 ）个 -1 , 填空题: 13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+ 2mx+ m上的点的坐标是------------ 。 16、若抛物线y=ax2+bx+c（0）的对称轴为直线x =2,最小值为—2,则关于方程ax2+bx+c =-2的根为一 17、抛物线y= （k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k= ---------------- 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y==x2+bx+c，其图象对称轴为直线x=1，且经过点 4 （1）求此二次函数的解析式. （2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点并求出最大面积. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A B两点（A在B的左侧），与y轴 9 交于点C （0，4），顶点为（1，2）? （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D,试在对称轴上找出点卩，使厶CDP为等腰三角形，请直接写岀满足条件的所有点P的坐标. （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A B不重合），分另U连接AC BC过点E作EF // AC交线段BC于点F，连接CE记厶CEF的面积为S S是否存在最大值若存在，求出 存在，请说明理由. 4 2 3、如图，一次函数y=—4x—4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y= + bx+ c的图象经过A C两点，且与x轴交于点B （1）求抛物线的函数表达式；己，使厶EBC的面积最大, （第2题图） S的最大值及此时E点的坐标；若不 二次函数与三角形的面积问题 1.运用2 铅垂高 水平宽?= s ； 2.运用y ； 3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。 类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行 例1.已知：抛物线的顶点为D （1，-4），并经过点E （4，5），求: （1）抛物线解析式； （2）抛物线与x 轴的交点A 、B ，与y 轴交点C ； （3）求下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 解题思路：求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：AO________；BO________；AB________；OC_________。求出下列图形的面积△ABD 、△ABC 、△ABE 、△OCD 、△OCE 。 一般地，这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适 方法求出图形的面积。 训练1.如图所示，已知抛物线()02 ≠++=a c bx ax y 与x 轴相交于两点A ()0,1x ， B ()0,2x ()21x x <， 与y 轴负半轴相交于点C ，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A 、 B 两点间的距离为4，且△ABC 的面积为6。 （1）求点A 和B 的坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）求四边形ACPB 的面积。 类型二：三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀） 关于2 铅垂高 水平宽?= ?S 的知识点：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的 三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2 1 =?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？ 例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ?；(3)是否存在一点P ，使S △P AB = 8 9S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 解题思路：求出直线AB 的解析式是为了求出D ．点的纵坐标．．．．．D y ； x A B O C y P B C 铅垂高 水平宽 h a 图1 图-2 x C O y A B D 1 1 ? 难度：★★ ? 特点：已知高（作为一个限制弦的条件），求弦长的最大值 ? 来源：07陕西高考 已知椭圆C :2222b y a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2 3，求△AOB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ， 依题意c a a ?=???=? 1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=. （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，.（1）当AB x ⊥ 轴时，AB =.（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+. =，得223(1)4 m k =+.把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631 km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+.2 2221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ??-=+-??++?? 222222222 12(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k =+=+≠+=++?+++≤. 当且仅当2219k k =， 即k =时等号成立.当0k = 时，AB =综上所述max 2AB =. ∴当AB 最大时，AOB △ 面积取最大值max 12S AB =?=. ? 难度：★★ ? 特点：椭圆已知，直线过定点（由椭圆定），求三角形面积的最大值 ? 来源： 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4. (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.2020二次函数中的面积问题
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