1.3.1 二项式定理
学习目标：
1掌握二项式定理和二项式系数的性质。
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程： 一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈，
（2）1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表
中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n C 可以看成
以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点
（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．
直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2n n
C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项
12n n
C
-，12n n
C
+取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++++
+，
令1x =，则012
2n r
n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
二、讲解范例：
例1． 设()()()()2
3
1111n
x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x +++
+，
当012254n a a a a ++++=时，求n 的值
解：令1x =得：
23
0122222n
n a a a a +++
+=+++
+2(21)25421
n -==-，
∴2128,7n
n ==，
点评：对于1
01()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-+
+，令1,x a -=即1x a =+可得各项系
数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项
和的关系
例2．求证：123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=?．
证（法一）倒序相加：设S =123
23n
n n n n C C C nC ++++ ①
又∵S =12
21
(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+
++ ②
∵r n r n n C C -=，∴011
,,
n n n n n n C C C C -==，
由①+②得：(
)012
2n n n n n S n C C C C =+++
+，
∴11222
n n S n n -=
??=?，即123
1232n
n n
n n n C C C nC n -++++=?．
（法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --?-=?
==---，
∴ ()123
012
1
112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++
+=+++
+12
n n -=?． 例3．已知：2
23
(3)n
x x +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992． （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2n n
+=，
又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22
2992n
n -=，5n =．
（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223
22
6
335
()(3)90T C x x x ==，22232
23
33
45
()(3)270T C x x x ==， （2）设展开式中第1r +项系数最大，则2
1045233
15
5
()
(3)3r r
r
r r
r r T C x x C x
+-+==，
∴115511
55
33792233r r r r r r r r C C r C C --++?≥??≤≤?≥??，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，226424
3
3
55
()(3)405T C x x x
==．
例4．已知)(122
221
2211+---∈+?++++=N n C C C S n n n n n n n n ， 求证：当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64的多项式 ∵1122
122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++?+=+3n =，
∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*
k N ∈）， ∴14--n S n 2381k
k =--(81)81k k =+--
011
1888181k k k k k k C C C k --=++
++-- 011
228(88)8k k k k C C C -=++
+ （*） ，
当k =1时，410n S n --=显然能被64整除， 当2k ≥时，（*）式能被64整除，
所以，当n 为偶数时，14--n S n 能被64整除
三、课堂练习： 1
．
)
()
4
5
1
1x -展开式中4
x 的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式12233
()(1)(1)(1)(1)n
n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-+
+-（6n >）的展开式
中，6
x 的系数为 3．若二项式2
31(3)2n
x x
-
（n N *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％
B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间
D.在8％以上
5．在(1)n
x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n
x -等于（ ） A.0 B.pq C.2
2
p q + D.2
2
p q -
6．求和：
()23410123
11111111111n n
n
n n n n n a a a a a C C C C C a a a a
a
+------+-++------．
7．求证：当n N *
∈且2n ≥时，()1
32
2n n n ->+．
8．求()10
2x +的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：()(16n
f x x n =->3. B 4. C 5. D 6. ()
1
1n a a ---
7. (略) 8. 3
3115360T x +=
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：
1．已知2
(1)n
a +展开式中的各项系数的和等于5
216
5x ? ?的展开式的常数项，而2(1)n a + 展开式的系数的最大的项等于54，求a 的值(a R ∈
答案：a =2．设()()()()()5
9
14
13
011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++
求：① 0114a a a ++
+ ②1313a a a ++
+．
答案：①9
3
19683=； ②
()
9
53
32
+=
3．求值：0123456789
999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-．
答案：8
2=
4．设296
()(1)(21)f x x x x =+-+，试求()f x 的展开式中： （1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）6
3729=；
（2）所有偶次项的系数和为631
3642-=； 所有奇次项的系数和为631
2
+= 六、板书设计（略） 七、课后记：