《二项式定理》教案（第1课时）
执教人：魏 征
【教学目标】
知识与技能：
1．理解、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式；
2．能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念； 3．能解决二项展开式有关的简单问题． 过程与方法：
1．能从特殊到一般理解二项式定理；
2．培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力． 情感、态度与价值观：
教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法．
【教材分析】
二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．
通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．
二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．
在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．
【授课类型】新授课 【课时安排】3课时 【重点难点】
重点：会用计数原理分析2
)(b a +，3
)(b a +的展开式，并归纳、猜想出二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，并归纳、猜想出二项式定理．
【教学过程】 模块一：自主学习
1．乘积))()((54321321321c c c c c b b b a a a ++++++++展开后，共有45项． 2．写出当321， ， =n 时，n
b a )(+的展开式．
＝1)(b a +b a +； ＝2)(b a +222b ab a ++； ＝3)(b a +322333b ab b a a +++．
①1
)(b a +展开式中项数为2，每项的次数为2；
②2)(b a +展开式中项数为3，每项的次数为3，
a 的次数规律是：按降幂排列，从第一项开始，次数由2逐项减1直到零；
b 的次数规律是：按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到2． ③3)(b a +展开式中项数为4，每项的次数为4，
a 的次数规律是：按降幂排列，从第一项开始，次数由3逐项减1直到零；
b 的次数规律是：按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到3． 自学教材第29页—第30页，并回答下列问题：
问题1：你能用学过的两个计数原理来分析、说明2
)(b a +、3
)(b a +的展开式中每一项的来历吗？
问题2：你能仿照上面的过程将4
)(b a +展开吗？
))()()(()(4b a b a b a b a b a ++++=+的各项都是4次式，
即展开式应有下面形式的各项：4a ，b a 3，22b a ，3ab ，4
b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，
每个都不取b 的情况有1种，即0
4C 种，4a 的系数是0
4C ； 恰有1个取b 的情况有1
4C 种，b a 3的系数是1
4C ； 恰有2个取b 的情况有24C 种，22b a 的系数是2
4C ；
恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是3
4C ； 有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是4
4C ．
∴4
4
43
3
42
2
2
41
31
44
44
)(b C ab C b a C b a C a C b a ++++=+．
模块二：问题探究
1．你能猜想出)()(*
∈+N n b a n
，
的展开式吗？ )()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n
n n k k n k n n n n n n
2．你能证明猜想的结果吗？
二项式定理：)()(1110*
--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n
（1）n
b a )(+的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：
n a ，n a b ，…，k k n b a -，…，n b ，
（2）展开式各项的系数：上面n 个括号中，
每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0
n C ； 恰有1个取b 的情况有1
n C
种，
n
a b 的系数是1
n C
；……；
恰有k 个取b 的情况有k
n C 种，k k
n b a
-的系数是k n C ；……；
有n 都取b 的情况有n
n C 种，n
b 的系数是n
n C ． ∴)()(1
110*
--∈+++++=+N n b C b a
C b a
C a C b a n
n n
k
k
n k n
n n
n
n
n
．
这个公式叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做n
b a )(+的展开式， 二项式定理()n
a b +的展开式共有1+n 项，
其中)210(n k C k n
，， ， ，
=叫做二项式系数， 式中k
k
n k
n
b a
C -叫做二项展开式的通项，用符号1+k T 表示，通项为展开式的第1+k 项，
即)3210(1n k b a C T k
k n k n k ，， ， ， ，
==-+． 小结：二项展开式形式上的特点
（1）它有1+n 项；
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n ； （3）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；
字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项增1直到n ；
（4）二项展开式中，系数)210(n k C k
n ，， ， ，
=叫做（第1+k ）二项式系数， 它们依次为n
n n n n n C C C C C ，，
，，， 3210， 这是一组仅与二项式的次数n 有关的1+n 个组合数，而与b a ，无关．
特别地：在二项式定理中，设x b a ==，1，则得到公式：
)()1(2210*∈++++++=+N n x C x C x C x C C x n
n n k k n n n n n ．
模块三：典例分析例题：求出6
)21(x -展开式．
补充：
（1）求出展开式中含3
x 的项；
（2）求出展开式中的第六项以及相应的系数； （3）求出展开式中的第六项的二项式系数．
小结：对有关二项式展开式中特殊项及其系数．．．．．．．
问题，一般都采用通项公式解决． 模块四：实战演练1．求7
3)2(x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数．
2．化简1)1(4)1(6)1(4)1(2
34+-+-+-+-x x x x ．
3．写出n x
x )21(33-
的展开式的第1+r 项．
【课堂小结】
（1）二项式定理的探索思路：观察——归纳——猜想——证明； （2）二项式定理及通项公式的特点．
【课后作业】
课本36P 习题1.3 A 组 2，3，4
【板书设计】