八年级（上）数学 分式的意义 专项训练
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，属于分式的为( ) A ．
3
b B ．13
C ．
3
x y
+ D ．
1
3
x - 2．若分式
21
x
x +有意义，则x 满足的条件是( ) A ．0x = B ．0x ≠ C ．1x =- D ．1x ≠-
3．若分式
21
1
x x -+的值等于0，则x 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．1- D ．
12
4．分式
1
3x
-可变形为( ) A ．
13
x - B ．13
x -
- C ．1
3x
-
+ D ．
13x
+ 5．下列四个分式中，最简分式是( ) A ．
2
312a B ．
23a
a a
-
C ．22
a b a b
++ D ．222
a a
b a b
-- 6．分式22
x y x y
--可化简为( )
A ．x y -
B ．
1
x y
- C ．x y + D ．
1
x y
+ 7．下列式子从左到右的变形一定正确的是( ) A ．33a a b b
+=+
B ．a ac b bc
=
C ．3
3a a b b
=
D ．
1
33
ab ab = 8．分式
2
13x ，512xy 的最简公分母是( )
A ．212x y
B ．312x y
C ．3x
D ．12xy
9．如果把分式
22a b
a b
-+中的a ，b 都扩大3倍，那么分式的值一定( ) A ．是原来的3倍 B ．是原来的5倍
C ．是原来的1
3
D ．不变
10．不改变分式 1.31
20.7x x y
--的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的
是( ) A ．
131
27x x y
--
B ．
1310
27x x y
--
C ．
1310
207x x y
--
D ．
131
207x x y
--
二．填空题（共8小题）
11．在有理式π-，252111
,,,,76
x ab x y x x +中，分式有 个．
12．使代数式
2x
x
-有意义的x 的范围是 ． 13．化简：
2
520xy
xy = ． 14．分式
234x -与5
42x
-的最简公分母是 ． 15．已知30a b -=，则分式
a b
b
+的值为 ． 16．分式222a a ab b -+，22b
a b -，2222b a ab b ++的最简公分母是 ．
17．若分式
3y
x y
-的值为5，则x 、y 扩大2倍后，这个分式的值为 ． 18．已知分式
22
2
x x ++的值是非负数，则x 的范围是 ． 三．解答题（共7小题） 19．约分： （1）
32
1218xy
x y ；
（2）
2
28
16
m m --． 20．若x 为整数，且
248
4
x x +-的值也为整数，则所有符合条件的x 的值之和． 21．已知4x =-时，分式
2x b x a -+无意义，2x =时，此分式的值为零，求分式3a b
a b
+-的值． 22．已知21
312x x x =-+，试求24
21x x x ++的值． 23．（1）完成填空
11()1()1()1()2242628210
++++====
++++ 44()4()4()42077147217()7()
++++====++++ （2）从上面的两个等式中找规律，若0a ≠．则
()()
a b b a +=+必然成立． 24．阅读理解题： ①0.510 5.5?= 0.510.5?=
两式相减得：0.5(101)5?-=
于是：50.59
=
②0.1610 1.6?= 0.1610016.6?=
两式相减得：0.16(10010)15?-=
于是：1510.16906
=
= 根据上述材料回答下列问题：
（1）将0.28化为最简分式：0.28= ； （2）计算：0.290.1920.370.526-++
25．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：
31122
=+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像12x x +-，22x x +，?，这样的分式是假分式；像12x -，21x
x -，?，这样的分式是
真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：
1(2)33
1222
x x x x x +-+==+
---； 2(2)(2)442222x x x x x x x +-+==-++++． 解决下列问题： （1）将分式
2
3
x x -+化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可） （2）如果分式223
x x
x ++的值为整数，求x 的整数值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，属于分式的为( ) A ．
3
b B ．13
C ．
3
x y
+ D ．
1
3
x - 解：A 、
3
b
的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式； B 、1
3的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；
C 、
3
x y
+分母中含有未知数，所以它是分式； D 、
1
3
x -的分母中不含有字母，因此它们是整式，而不是分式； 故选：C ． 2．若分式
21
x
x +有意义，则x 满足的条件是( ) A ．0x = B ．0x ≠ C ．1x =- D ．1x ≠-
解：分式
21
x
x +有意义， 10x ∴+≠，
解得：1x ≠-． 故选：D ． 3．若分式
21
1
x x -+的值等于0，则x 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．1- D ．
12
解：分式
21
1
x x -+的值等于0， 210x ∴-=且10x +≠，
解得：12
x =
． 故选：D ． 4．分式
1
3x
-可变形为( ) A ．
13
x - B ．13
x -
- C ．1
3x
-
+ D ．
13x
+ 解：
11
33
x x =-
--． 故选：B ．
5．下列四个分式中，最简分式是( ) A ．
2
3
12a B ．
23a
a a
-
C ．22
a b a b ++
D ．222
a a
b a b --
解：A 、
22
31
124a a =
，不是最简分式，不合题意； B 、
21
33
a a a a =
--，不是最简分式，不合题意； C 、
22
a b
a b ++，是最简分式，符合题意；
D 、222()()()a ab a a b a
a b a b a b a b
--==
--++，不是最简分式，不合题意； 故选：C ．
6．分式22
x y x y
--可化简为( )
A ．x y -
B ．
1
x y
- C ．x y + D ．
1
x y
+
解：原式()()
x y x y x y x y
+-=
=+-．
故选：C ．
7．下列式子从左到右的变形一定正确的是( ) A ．33a a b b
+=+
B ．a ac b bc
=
C ．3
3a a b b
=
D ．
1
33
ab ab = 解：A 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A 错误； B 、0c =时，原式不成立，故B 错误；
C 、分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C 错误；
D 、分子分母都除以ab ，故D 正确；
故选：D ． 8．分式
2
13x ，512xy 的最简公分母是( ) A ．212x y B ．312x y
C ．3x
D ．12xy
解：分式
2
13x
，512xy 的最简公分母是212x y ． 故选：A ． 9．如果把分式
22a b
a b
-+中的a ，b 都扩大3倍，那么分式的值一定( ) A ．是原来的3倍 B ．是原来的5倍
C ．是原来的1
3
D ．不变
解：如果把分式
22a b
a b
-+中a ，b 都扩大3倍，得 363(2)2363(2)2a b a b a b
a b a b a b
---==+++，即分式的值不变．
故选：D ．
10．不改变分式 1.31
20.7x x y
--的值，把它的分子与分母中各项的系数化为整数，其结果正确的
是( ) A ．
131
27x x y
--
B ．
1310
27x x y
--
C ．
1310
207x x y
--
D ．
131
207x x y
--
解：原式1310
207x x y
-=
-，
故选：C ．
二．填空题（共8小题）
11．在有理式π-，252111
,,,,76
x ab x y x x +中，分式有 3 个．
解：分式有5x y +，22x x ，1
x ，共3个，
故答案为：3． 12．使代数式
2x
x
-有意义的x 的范围是 2x ≠ ． 解：由题意得：20x -≠， 解得：2x ≠， 故答案为：2x ≠． 13．化简：
2520xy xy 4y ． 解：原式554xy
xy y
=
14y
=
． 14．分式
234x -与5
42x
-的最简公分母是 2(2)(2)x x +- ． 解：分式
2
34x -与5
42x
-的分母分别是24(2)(2)x x x -=+-，422(2)x x -=--，故最简公
分母是2(2)(2)x x +-； 故答案为2(2)(2)x x +-．
15．已知30a b -=，则分式
a b b +的值为 3
． 解：30a b -=， 3b a ∴=， ∴
34
33
a b a a b a ++==． 故答案为：
4
3
． 16．分式222a a ab b -+，22b a b -，222
2b a ab b ++的最简公分母是 22
()()a b a b -+ ． 解：2222()a ab b a b -+=-，2222()a ab b a b ++=+，22()()a b a b a b -=+-
∴原式的最简公分母是22()()a b a b -+．
17．若分式
3y
x y
-的值为5，则x 、y 扩大2倍后，这个分式的值为 5 ． 解：根据题意，得 新的分式为
323522y y
x y x y
?==--．
故答案为：5． 18．已知分式
22
2
x x ++的值是非负数，则x 的范围是 2x - ． 解：222x +且分式
22
2
x x ++的值是非负数， 20x ∴+ 2x ∴-
故答案为：2x - 三．解答题（共7小题） 19．约分： （1）
321218xy
x y ；
（2）
2
28
16
m m --． 解：（1）原式22622
633xy xy x y x y
=
=；
（2）原式2(4)2
(4)(4)4
m m m m -=
=+-+．
20．若x 为整数，且
248
4
x x +-的值也为整数，则所有符合条件的x 的值之和． 解：
2
484(2)4
4(2)(2)2
x x x x x x ++==-+--， x 为整数，且
248
4
x x +-的值也为整数， 2x ∴-的值为4-，2-，1-，1，2或4．
x ∴的值为：2-，0，1，3，4或6，
经检验，当2x =-时，原式分母为0，不符合题意，故舍去． 0134614∴++++=．
∴所有符合条件的x 的值之和为14．
21．已知4x =-时，分式
2x b x a -+无意义，2x =时，此分式的值为零，求分式3a b
a b
+-的值． 解：分式无意义，
20x a ∴+=即当4x =-时，20x a +=．
解得8a = 分式的值为0，
0x b ∴-=，即当2x =时，0x b -=．
解得2b = ∴
82
53832
a b a b ++==--?． 22．已知21
312x x x =-+，试求24
21x x x ++的值． 解：由
2
1
312
x x x =-+，可得2510x x -+=， 0x ≠，
1
5x x
∴+
=， 22
1
23x x ∴+
=， 242
22
111
1123124
1x x x x x ===+++++． 23．（1）完成填空
11()1()1()1()
2242628210
++++====
++++ 44()4()4()42077147217()7()
++++====++++ （2）从上面的两个等式中找规律，若0a ≠．则
()()
a b b a +=+必然成立． 解：（1）完成填空
11(2)1(3)1(4)1(5)
2242628210
++++====
++++ 44(8)4(12)4(16)42077147217(28)7(35)
++++====++++
故答案为：2，3，4，5；8，12，16，28，35．
（2）从上面的两个等式中找规律，若0
a≠．则
()
()
a b nb
b a na
+
=
+
必然成立．
故答案为：nb，na．24．阅读理解题：
①0.510 5.5
?=
0.510.5
?=
两式相减得：0.5(101)5
?-=
于是：
5 0.5
9
=
②0.1610 1.6
?=
0.1610016.6
?=
两式相减得：0.16(10010)15
?-=
于是：
151 0.16
906
==
根据上述材料回答下列问题：
（1）将0.28化为最简分式：0.28
45
；（2）计算：0.290.1920.370.526
-++
解：（1）0.2810 2.8
?=，
0.2810028.8
?=两式相减得：0.28(10010)26
?-=
2613
0.28
9045
∴==．
故答案为：13 45
；
（2）0.2910029.29
?=，
0.2910.29
?=，
两式相减得：0.29(1001)29
?-=，
29
0.29
99
∴=，
同理：
37 0.37
99
=，
0.1921000192.92
?=，
0.19210 1.92
?=，
两式相减得：0.192(100010)191
?-=，
191
0.192
990
∴=，
同理：
521 0.526
990
=，
0.290.1920.370.526∴-++ 2919137521 9999099990
=-++
2937191521 ()()
9999990990 =++-+
21
33
=+
1
=．
25．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：31
1
22
=+．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像12x x +-，22x x +，?，这样的分式是假分式；像12x -，21x
x -，?，这样的分式是
真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：
1(2)33
1222
x x x x x +-+==+
---； 2(2)(2)44
2222x x x x x x x +-+==-+
+++． 解决下列问题： （1）将分式
23x x -+化为整式与真分式的和的形式为： 13
x + ．（直接写出结果即可） （2）如果分式223x x
x ++的值为整数，求x 的整数值．
解：（1）
235
33
x x x x -+-=
++ 35
33x x x +=
-
++ 5
13
x =-
+ 故答案为：5
13
x -
+ （2）原式2233
3x x x +-+=+
(3)(1)3
3
x x x +-+=
+
313
x x =-+
+ 因为x 的值是整数，分式的值也是整数， 所以31x +=±或33x +=±， 所以4x =-、2-、0、6-．
所以分式的值为整数，x 的值可以是：4-、2-、0、6-．
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 15 ． 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式 子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与 分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？ 反思小结： 判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义． 展示点评： 教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论： 归纳分式有意义的条件． 反思小结： 对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式， 知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b 16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． 2D 34 （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。 5．解下列分式方程: 6 7．解下列关于x 的方程: （1）1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）． 8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？ 12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ， ， ． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战 14．解方程：31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 14．解：（1）方程两边同乘以x-2，得2x=x-2， 解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的解． （2）方程两边同乘以x （x+1），得（x+1）2+5x 2=6x （x+1），即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x ， 解得x=1 4．经检验，x=14 是原方程的解． （3）方程两边同乘以（x-2）（x-3）， 得x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2）， 解得x=1．经检验，x=1是原方程的解． 5．解：（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）2-4=x2-1，化简得2x-2=0，∴x=1． 6 ） ∴原方程的解为x=7． =1-b， 7．解：（1）移项：a - x a 去分母：a=（1-b）（x-a）， 去括号：a=（1-b）x-a（1-b）， 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法， 应用非常广泛， 运用转化思想能把复杂的问题转化为 简单问题， 把生疏的问题转化为熟悉问题， 本章很多地方都体现了转化思想， 如，分式除法、 分式乘法； 分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、 同分母的分式加减法；解分式 方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际 问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 “实际问题 ——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法， 从分数的基本性质、 约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、 约分、 通分及分式的运算法则， 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧， 无一不体现了类比思想的重要性， 分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则 【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b c b c a 0 a a a 2. 异分母加减法则 : b d bc da bc da a 0, c 0 ; a c ac ac ac 3. 分式的乘法与除法 : b ? d bd , b c b ? d bd a c ac a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法 m a nm+n mnm －n ; a ● =a ; a ÷ a =a 6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n = a mn 负指数幂 : a -p = 1 p 7. a =1 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 分 式 ◆课前热身 1.若分式 2 1 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x>1 C ． x=1 D ．x<1 2.化简22a a a +的结果是样 3.分式 11 1(1) a a a + ++的计算结果是（ ） A ． 11 a + B ． 1 a a + C ． 1a D ． 1 a a + 4.计算2 2()ab a b -的结果是（ ） A ．a B ．b C ．1 D ．－b 【参考答案】1. A 2.2a + 3.C 解析：本题考查了分式的加减运算.解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式.a a a a a a a a a 1 )1(1)1(1)1(1=++=++++= 原式.故选C. 4.B 解析：本题考查积的乘方运算与分式的化简，() 2 22 22ab a b b a b a b -==，故选B ． ◆考点聚焦 分式 分式的有关概念 有理式 最简分式 分式 最简公分母 分式的基本性质 分式的运算 知识点: 分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算 大纲要求: 了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。 考查重点与常见题型: 1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ） A.-40 =1 B.(-2)-1= 12 C.(-3m-n )2=9m-n D.(a+b)-1=a -1+b -1 2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如： 化简并求值： x (x-y)2 . x 3-y 3 x 2+xy+y 2 +( 2x+2x-y –2),其中x=cos30°,y=sin90° ◆备考兵法 1.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件 分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点. 2.分式基本性质的灵活应用 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式. 3.会进行分式的四则运算 分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式. ◆考点链接 1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么 称 A B 为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分． 八年级分式单元测试题 一、填空题（每小题3分，共36分） 1、计算：()=??? ??+--10311 . 2、当x 时，分式3 13+-x x 有意义； 3、1纳米＝0.000000001米，则2纳米用科学记数法表示为 米． 4、分式422-x x ， 2 3-x x 的最简公分母是 。 5、计算32232)()2(b a c ab ---÷的结果是________． 6、填入适当的整式：()2a b ab a b += 7、化简：96922++-x x x =________． 8、计算：x x 1-÷??? ? ?-x 11＝ 。 9、如果分式1 21+-x x 的值为－1，则x 的值是 ； 10、在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式 是 ，把这个分式化简所得的结果是 . 11、已知31=b a ，分式b a b a 52-+的值为 ； 12、当x 时，分式2 1x x +的值为0； 二、选择题（每小题3分，共24分） 13. 在式子a 1，1-x ，m 3，3b ，b a c -，()y x +43，5 122++x x ，n m n m +-中，分式的个数是（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 14、若把分式x y xy +中的 ,x y 都扩大3倍,那么分式的值( ) A. 缩小3倍 B. 扩大3倍 C.不变 D .缩小9倍 15、下列计算错误的是（ ） A 、253--=?a a a B 、326a a a =÷ C 、333 23a a a -=- D 、()1210=+- 16、化简x y x x 1?÷的结果是（ ） A 1 B xy C x y D y x 17、下列公式中是最简分式的是（ ） A ．21227b a B ．22()a b b a -- C ．22x y x y ++ D ．22 x y x y -- 第十五章 分式 15．1 分 式 15．1.1 从分数到分式 1．以描述实际问题中的数量关系为背景抽象出分式的概念，建立数学模型，并理解分式的概念． 2．能够通过分式的定义理解和掌握分式有意义的条件． 重点 理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 难点 能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件． 一、复习引入 1．什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2．判断下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ ①8m ＋n 3；②1＋x ＋y 2；③a 2b ＋ab 23；④a ＋b 2；⑤2x 2＋2x ＋1 ；⑥3a 2＋b 2；⑦3x 2－42x . 二、探究新知 1．分式的定义 (1)学生看教材的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v千米/时． 轮船顺流航行90千米所用的时间为 90 30＋v 小时，逆流航行60 千米所用时间为 60 30－v 小时，所以 90 30＋v ＝ 60 30－v . (2)学生完成教材第127页“思考”中的题． 观察：以上的式子 90 30＋v ， 60 30－v ， S a ， V s ，有什么共同点？它 们与分数有什么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是A B (即A÷B)的形式．分 数的分子A与分母B都是整数，而这些式子中的A，B都是整式，并且B中都含有字母． 归纳：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字 母，那么式子A B 叫做分式． 巩固练习：教材第129页练习第2题． 2．自学教材第128页思考：要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母 不能为0，即当B≠0时，分式A B 才有意义． 一、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母,那么式子 B A 叫做分式。 例1.下列各式a π,11x +，15 x ＋y ，22a b a b --，－3ｘ2，０?中,是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【Ｂ≠０】 分式没有意义的条件是分母等于零;【B=０】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠０且A=０ 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。(1)21 32 x x ++; (2)2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值,分式都有意义的是（ ）。 Ａ. 121x + Ｂ.21x x + C ．231 x x + D ．2 221x x + 例4．当x______时，分式21 34 x x +-无意义。当ｘ_＿__＿__时,分式2212x x x -+-的值为零。 例５.已知 1x -1 y =3,求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于０的整式,分式的值不变。 (0≠C ) 四、分式的通分和约分:关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式11 5101139 x y x y -+的各项系数化为整数,分子、分母应乘以(? ）。 例７.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是(? )。 例８．分式434y x a +,2411x x --,22x xy y x y -++,22 22a ab ab b +-中是最简分式的有( ）。 例９.约分：（1)22699x x x ++-； (２)22 32 m m m m -+- 例１0.通分:（1)26x ab ,29y a bc ; (2）2 1 21a a a -++，261 a - 例11.已知x 2+３x+１=0，求x 2+ 2 1 x 的值. 例１2.已知x+1 x =3,求2421x x x ++的值． 五、分式的运算： 分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减,先通分，变为同分母分式,然后再加减。 ,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 例13.当分式211x --21x +－1 1 x -的值等于零时，则x ＝_________。 例14.已知a+b=３，ab=1，则a b +b a 的值等于_____＿＿。 例１5.计算：222x x x +--21 44x x x --+。 例1６.计算:2 1 x x --x －1 例17.先化简,再求值: 3a a --263a a a +-+3a ，其中a=32 。 六、 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10 ≠=a a ； 当n 为正整数时,n n a a 1 = - ()0≠a 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.（m,n 是整数) (1)同底数的幂的乘法:n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(； (3）积的乘方：n n n b a ab =)(; bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷= (1) × ；(2) ÷ . (2)见课本 P 135 的问题 2：大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 ÷ ?倍． 3 5 3×5 7 9 7×9 3 5 3 4 3×4 7 9 7 2 7×2 b c a c 15．2 分式的运算 第 1 课时 分式的乘除(一) 教学目标 1．理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算． 2．经历探索分式的乘除运算法则的过程，并能结合具体情境说明其合理性． 教学重点 理解并掌握分式的乘除法则． 教学难点 运用法则，熟练地进行分式乘除运算． 教学设计一师一优课 一课一名师 (设计者： ) 教 学 过 程 设 计 一、创设情景，明确目标 1．计算，并叙述你应用的运算法则． 3 5 3 5 4 9 4 9 V V m 2．(1)见课本 P 135 的问题 1：长方体容器的高为ab ，水面的高度就为：ab ·n . ?a b ? ?m n ? 从上面的问题可知，讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算，如何进行相关运算呢， 这就是我们这节课学习的主要内容． 二、自主学习，指向目标 1．自学教材第 135 至 137 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． ●合作探究 达成目标 探究点一 分式的乘除法运算法则 活动一：阅读教材，思考问题：类比分数乘除法则，你能说出分式乘除法法则吗？ 观察下列运算： 2 4 2×4 5 2 5×2 2 4 2 5 2×5 5 2 5 9 5×9 × ＝ ； × ＝ ， ÷ ＝ × ＝ ， ÷ ＝ × ＝ . 【小组讨论】 a d b d 1. × ＝？ ÷ ＝？ 如何进行运算？ 2．其运算方法和分数的乘除法有何联系？ 第十六章分式练习题 一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（ ） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（ ） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（ ） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（ ） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（ ） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 人教版八年级数学上册新授导学案（ ）学生姓名： 课题：16.1.1从分数到分式 学习目标： （一）知识与技能 1.理解分式的定义。 2.掌握分式在什么情况下有意义。分式在什么情况下值为零。 (二)过程与方法 .通过从分数到分式的转化，体会从特殊到一般的思想方法。 过程与方法 （三）情感态度与价值观 1.积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲。 2.养成实事求是的态度及独立思考的习惯。 二、课堂引入 学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为_________小时，逆流航行60千米所用时间______小时，所以_____________. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和 不同点？ 可以发现，这些式子都像分数一样都是 （即A ÷B ）的形式.分数的分子A 与分母B 都是整数，而这些式子中的A 、B 都是整式，并且B 中都含有字母. [思考]引发学生思考分式的分母应满足什么条件，分式才有意义？由分数的分母不能为零，用类比的方法归纳出：分式的分母也不能为零.注意只有满足了分式的分母不能 为零这个条件，分式才有意义.即当B ≠0时，分式 B A 才有意义. 四、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义.. 例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 五、达标检测 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 20 9y +, 54-m , 238y y -，9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 六、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 3. 当x 为何值时，分式 的值为0？ 小结，这节课你学到了什么? 作业，预习分式的基本性质 学（教）后反思： 1 -m m 32+-m m 1 12+-m m 4 522 --x x x x 235-+2 3+x x x 57+x x 3217-x x x --221 x x x --2 1 2312 -+x x 人教版八年级数学分式知识 点及典型例题 本页仅作为文档页封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、2 1 、 212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12+x ≠0） 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133 +x x D.25x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 八年级数学（上）分式单元测试 一、选择题 1. 下列各式：()222 1451, , , 532x x y x x x π---其中分式共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.下列计算正确的是（ ） A.m m m x x x 2=+ B.22=-n n x x C.3332x x x =? D.264x x x -÷= 3. 下列约分正确的是（ ） A ． 313m m m +=+ B ．2 12y x y x -=-+ C ． 1 23369+= +a b a b D ．()()y x a b y b a x =-- 4.若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A.y x 23 B.223y x C.y x 232 D.2 3 23y x 5.计算 x x -+ +11 11的正确结果是（ ） A.0 B.212x x - C.212x - D.1 2 2-x 6. 在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V 1千米，下坡时的速度为每小时V 2千米， 则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A ． 2 2 1v v +千米 B ．2121v v v v +千米 C ．21212v v v v +千米 D ．无法确定 7. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前 5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为（ ） A ．x +48720 ─548720= B ．x +=+48720548720 C ． 572048720=-x D ．-48720x +48720＝5 8. 若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 1 1（ ） A ． xy 1 B ．x y - C ．1 D ．－1 9. 已知 xy x y +＝1，yz y z +＝2，zx z x +＝3，则x 的值是（ ）(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx
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