（1）数学精英解“集合题”与“函数题”
1．（07安徽理5）若22
{228
}{l og 1}
x
A x
B x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则A ∩(R B )的元
素个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解答】：C 由23
{222}x A x -=∈≤ 解2{log 1}B x x =∈>R 得22{log 1log 1}B x x x =∈><-R 或得 1{2}2 B x x x =∈>< 所以R B=? ?? ???≤≤≤∈0221x x x 或| R ，则A ∩(R B )={0，1}，故有两个元素. 【说明】 对于指数的考查利用单调性来脱去“底”从而比较“幂”的大小是常考的知识点， 在第二题中也要注意对数的定义域，不少的同学因忽视定义域而选择B. 2．（07山东理6）给出下列三个等式：()()()f xy f x f y =+，()()()f x y f x f y +=， ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -，下列函数中不．满足其中任何一个等式的是（ ） A ．()3x f x = B ．()sin f x x = C ．2()log f x x = D ．()tan f x x = 【分析】 解决本题的关键是正确熟练的记住这些运算性质，把选项中函数代入验证即可. 【解析】 B ()()()f xy f x f y =+是对数模型，()()()f x y f x f y +=是指数模型， ()() ()1()() f x f y f x y f x f y ++= -是正切的两角和公式的模型.故选B 3． (07天津文4)设12 log 3a =，0.2 13b ?? = ???，1 32c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c << 【解答】 解决的关键是选好关键值，如0，1等. A 由12 log 31a =<-，0.2 1013b ?? <=< ? ??，1 3 21c =>可得a b c <<. 4．（07湖北理15）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为 考场精彩 O 0.1 1 y （毫克） t （小时） 116t a y -??= ??? （a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题： （I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ； （II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 【分析】 本题以应用题的形式考查学生的阅读能力，识图能力，本题的关键是(0.1,1)这点，通过此点求两个函数关系式，即可迎刃而解. 【解答】：通过读题可以发现这是一个分段函数前段是正比例函数，后段是指数函数，所以 把(0.1,1)分别代入两个解析式可得：1 10110010111610t t t y t - ??? ????? =??????> ? ???? ???，，，≤≤；第二问通过0.25y =代入指数函数解析式可得求得0.6 【说明】：本题的题目简单但是要求审题细致，否则第二问很容易错填 23 40 . 5.（07江苏6）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时， ()31x f x =-，则有（ ） Ａ．132323f f f ??????<< ? ? ??????? Ｂ．231323f f f ??????<< ? ? ??????? Ｃ．213332f f f ??????<< ? ? ??? ?? ?? Ｄ．321233f f f ??????<< ? ? ??? ?? ?? 【解答】 B 由题当1x ≥时()31x f x =-是单调递增函数又它的图像关于直线1x =对称，所以当1x <时，函数()f x 是单调递减函数，且3111()(1)(1)()2222 f f f f =+=-=，因为 1121323<<<，所以112()()()323f f f >>即231()()()323 f f f << 【说明】 解决的关键是放到一个单调区间上比较.比较大小是考查指数函数的性质灵活运用的常见题型，利用单调性比较或是选择关键值进行比较是常用的方法. 6．（07重庆理13）若函数2 2()2 1x ax a f x --=-的定义域为R ，则α的取值范围为______． 【分析】 解题关键是正确转化题干的含义. 【解答】2 2()21x ax a f x --= -的定义域为R ，可知x R ∈，2 221x ax a --≥恒成立，即 220x ax a --≥恒成立，即2440a a ?=+≥得[]10a ∈-，. 7.（07上海理4）方程 96370x x -?-=的解是 ． 【解答】 令3x t =，0t >，则方程变为2 670t t --=，解得1(,7t t =-=舍去），故 337,log 7 x x == 【说明】 指数方程不等式在利用换元法解决问题时应特别注意换元后的新元的取值范围.指数与对数的相互转化是高考命题的一大热点. 8．(07天津理5) 函数2log (42)(0)y x x =++>的反函数是（ ） Ａ．142(2)x x y x +=-> Ｂ．142(1)x x y x +=-> Ｃ．242(2)x x y x +=-> Ｄ．242(1)x x y x +=-> 【解答】 C 由2log (42)(0)y x x =++>，解得2 42(0) y y x x +=-> 得242(2)x x y x +=->. 9.（07全国卷1理14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ． 【解答】 3()x x ∈R 函数3l o g ( 0)y x x =>关于直线y x =对称的函数就是 3log (0)y x x =>的反函数，故应填3()x x ∈R ，请注意定义域. 10.（07四川理2）函数f (x )=1+log 2x 与g(x )=2-x +1在同一直角坐标系下的图象大致是 【解答】C 通过特殊点来判断图像()f x 过点(1,1)，()g x 过点(0,2)可得选C. （3）数学精英解“数列”题 1．（广东卷第5题）已知数列｛n a ｝的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足５＜k a ＜８，则k = （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6 解答： B 此数列为等差数列，1210n n n a S S n -=-=-，由5<2k -10<8得到k =8. 2．（天津卷第8题）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ） Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8 解答： 由题意得，a n =（n +8）d ,a k k a a 212=, ∴（k +8）2d 2=9d (2k +8)d .∴k =4. 答案为B. 3．（湖北卷第6题）若数列{a n }满足 ∈=+，n p p a a n n 为正常数(221N*),则称{a n }为“等方比 数列”. 甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列.则 A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解答： p a a n n ±=+1 ，所以此数列{a n }并不是等比数列；若{a n }是等比数列，则2 2 121 21q a a a a n n n n =??? ? ??=+++，数列{a n }是等方比数列. 答案为B. 【说明】 1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列. 4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且 3 457++= n n B A n n ，则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 解答： 运用中值定理，n n a n S )12(12-=-. 考场精彩(3) ()()()()212121721451438212132271912 711 n n n n n n n a n a A n b n b B n n n n n ----++====--+++= =+++ 可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时，n n b a 为正整数. 答案为D. 5．（辽宁卷第4题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 解析1：设等差数列首项为a 1，公差为d ， 则? ??==??? ????=?+=?+.2, 1.362566,922331 11d a ?? d a d a 解得 ∴a 7+a 8+a 9=3a 8=3(a 1+7d )=33(1+732)=45. 解析2：由等差数列的性质知： S′3=S 6-S 3=36-9=27，d′=S′3-S 3=27-9=18. ∴S 〞3=S 3+2d′=9+2×18=45. 答案为B. 6．（福建卷第2题）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1)n a n n =+，则5S 等于（ ） A ．1 B ． 56 C ． 16 D ． 130 解答： 由)1(1+= n n a n ，得1 1 1+-=n n a n ， . 6 5 611514141313121211543215???a a a a a S =-=?? ? ??-+??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=++++= 答案为B. 7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． 解法一：将S 2=（1+q ）S 1,S 3=（1+q +q 2）S 1代入4.0332312=-+=q q ，S S S 得 注意到q ≠0,得公比q =.3 1 解法二：由题设得),(3)(4,34321121312a a a a a a S S S +++=++=即 化简得a 2=3a 3，故公比q = .3 123=a a 解法三：由4S 2=S 1+3S 3，得S 2-S 1=3（S 3-S 2）,即a 2=3a 3,故公比q = .3 123=a a 8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列{}n a 中12a =，1(21)(2)n n a a +=-+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，134 23 n n n b b b ++= +，1 23n =，，，…， 证明：432n n b a -<≤，1 23n =，，，…． 解答：（Ⅰ）解法1：由题设： 1(21)(2)n n a a +=-+ (21)(2)(21)(22)n a =--+-+ (21)(2)2n a =--+， 12(21)(2)n n a a +-=--． 所以，数列{} 2n a -是首项为22-，公比为21-的等比数列， 22(21)n n a -=-， 即n a 的通项公式为2(21)1n n a ??= -+??，123n =， ，，…． 解法2：设),)(12(1t a t a n n +-=++ 整理得.)22()12(1t a a n n -+-=+ 由已知)12(2)12(1-+-=+n n a a 比较系数得2-=t . ∴)2)(12(21--=-+n n a a . 即数列{} .12公比为,22221的等比数列是以首项为--=--a a n ∴n n a )12(22-+= ，（n ∈N +） （Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明． （ⅰ）当1n =时，因22<，112b a ==，所以 112b a <≤，结论成立． （ⅱ）假设当n k =时，结论成立，即432k k b a -<≤， 也即43023k k b a -<--≤． 当1n k =+时， 134 2223 k k k b b b ++-= -+ (322)(432) 23k k b b -+-= + (322)(2) 023 k k b b --= >+， 又 11 32223223 k b <=-++， 所以 1(322)( 2) 223 k k k b b b +---= + 2(322)(2)k b <-- 443(21)(2)k a ---≤ 412k a +=-． 也就是说，当1n k =+时，结论成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）知432n n b a -<≤，1 23n =，，，…． 解法2：由3 2) 2)(223(232432,324311+--= -++=-++=++n n n n n n n n b b b b b b b b 得 于是 ) 223(22 )223(2 ) 32)(223() 2)(223(322 121++-+= -++= --+= -+n n n n n n b b b b b b 令 ),223(2)223(,2 121+++==-+n n n n c c c b 得 有.42)223(4221??? ? ??++=+ +n n c c ∵4231422 14211+ =+-=+ b c ∴数列???? ??+42n c 是以首项为1+ 42 3，公比为（3+22）2的等比数列. ∴() 122 234 23442-?????? +?+=+n n c , .221 )12(2 221)223(22212412>+-+=+-+=+= --n n n n c b 又2)12(23434+-= --n n a , ∴要证明34-≤n n a b ， 只需证明() .2)12(11 2342 4≥-?? ??? ? -+--n n 而 ()( )( )[] , 22112)12(12)12(1 21 2) 12()12(112343 43 43424=-++≥--+=---++=-?? ????-+-----n n n n n 综上所得.234-≤ （4）数学精英解 “三角函数”题 1．（北京卷第1题）已知0tan cos <θ?θ，那么角θ是 A.第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 解答 ?<θ=θ θ ?θ?<θ?θ0sin cos sin cos 0tan cos θ是第三或第四象限角. 答案为C. 2．（山东卷第5题）函数sin 2cos 263y x x ππ????=+-+ ? ????? 的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 解答： x x x x x y 2cos 2 32sin 212cos 212cos 232sin =?-?+?+?= ∴T =π，y max =1 答案为A. 3．（江苏卷第1题）下列函数中，周期为π 2 的是（ ） Ａ．sin 2 x y = Ｂ．sin 2y x = Ｃ．cos 4 x y = Ｄ．cos 4y x = 解答： 逐一验证，42 2=ω?π =ωπ=T ，只有D. 答案为D. 4．（浙江卷第2题）若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2 ?π <）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126ω?π==， B ．123 ω?π==， C ．26ω?π==， D ．23 ω?π ==， 解答： .3 ,3sin 2)0(,2,2π=?=?==?π=?πf 答案为D. 5．（福建卷第5题）已知函数()sin (0)f x x ωωπ? ? =+ > ?3?? 的最小正周期为π，则该函数考场精彩(4) 的图象（ ） A ．关于点0π ?? ?3?? ，对称 B ．关于直线x π = 4对称 C ．关于点0π ?? ?4?? ，对称 D ．关于直线x π = 3 对称 解答： 由题意知ω=2，所以解析式为?? ? ? ?π+=32sin )(x x f ， 经验证可知它的一个对称中心为.0,3????? ? ??π 答案为A. 6．（江苏卷第5题）函数[]()sin 3cos (π0)f x x x x =-∈-，的单调递增区间是（ ） Ａ．5ππ6?? -- ???? ， Ｂ．5ππ6 6?? - -????， Ｃ．π03?? -???? ， Ｄ．π06?? -???? ， 解答： ?? ? ?? π- =3s i n 2)(x x f . 0,6656,0), (6 5262),(22322符合题意由此可得得令得令??? ???π-π ≤ ≤π-=∈π +π≤≤π-π∈π +π≤π-≤π- πx k k k x k k k x k Z Z 答案为D. 7．（湖北卷第2题）将??? ??π+=63cos 2x y 的图象按向量a =?? ? ??-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-??? ??π+=x y B. 243cos 2+??? ??π-=x y C. 2123cos 2-??? ??π-=x y D. 2123cos 2+?? ? ??π+=x y 解答： 看向量a =?? ? ??-π- 2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁 相加”的口诀，立可否定B 、C 、D. 答案为A. 8．（全国卷Ⅱ第2题）函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ??- ?44?? ， B ．3ππ?? ?44?? ， C ．3π??π ?2?? ， D ．32π?? π ?2?? ， 解法一：∵函数y =|sin x |的一个单调递增区间为?? ????π2,0，又函数y =|sin x |是以π为周期的函数， ∴函数y =|sin x |的单调递增区间为?? ? ??? π+ ππ2,k k （k ∈Z ）. 当k =1时，函数y =|sin x |的一个单调增区间为?? ? ???ππ23, .故选C. 解法二：作出函数y =|sin x |的图象，由图易知y =|sin x |的一个单调增区间为?? ? ???ππ23,.故选C. 解法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A 、B 两个选择支的端点值相等，而选择支D 的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A 、B 、D ，故选C. 9.（全国卷Ⅰ第12题）函数2 2 ()cos 2cos 2 x f x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ?? ??? ， B ．62ππ?? ??? ， C ．03π?? ???， D ．66ππ??- ??? ， 解法一： ()()2cos 1cos f x x x =-+ 2 15cos 24x ? ?=-- ?? ? 以下将各选项中的两个数据依次代入估算，只有A 项是递增的，故选A. 解法二：由f ＇(x )= -2cos x 2sin x +4cos 0)cos 21(sin 2 1 2sin 2>-=???? ??x x x x ，得 ? ??<- ?>->.0cos 21, 0sin 0cos 210sin x x x x 或 当-π ? ??ππ???? ??π- ,30,3.故选A. 解法三：令cos x =t ，则f (t )=cos 2x -cos x -1=t 2-t +1. ∴f (t )在??? ??+∞,21上递增，在??? ??∞-21,上递减，而当x ∈?? ? ??ππ32,3时，cos x <21且t =cos x 递 减. ∴由复合函数的单调性可知，f (x )一个单调递增区间为?? ? ??ππ323，.故选A. (5) 数学精英解“平面向量”题 1.（湖北卷第2题）将??? ??π+=63cos 2x y 的图象按向量a =?? ? ??-π-2,4平移，则平移后所得图象的解析式为 A.243cos 2-??? ??π+=x y B. 243cos 2+??? ??π-=x y C. 2123cos 2-??? ??π-=x y D. 2123cos 2+?? ? ??π+=x y 解答：看向量a =?? ? ??-π- 2,4的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B 、C 、D.答案为A. 【说明】 口诀是经验的总结.直用口诀可不讲道理.沿向量a =(m,n)移动y=f(x)图象的结果是 y-n=f(x-m) (同旁相减) 或y=f(x-m)+n (异旁相加) 2.（北京卷第4题）已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且OC OB OA ++2=0，那么 A ．OD AO = B.OD AO 2= C.OD AO 3= D.OD AO =2 解答：.,2OD AO OD OC O B ==+因此 答案A. 3.（湖南卷第4题）设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )2(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 解答： f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a 2b ，故-a 2b=0?a ⊥b ，故选A. 4.（全国卷Ⅰ第3题）已知向量(56)=-， a ，(65)=， b ，则a 与b （ ） A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 解答：05665=?+?-，即a 2b =0. 答案为A. 考场精彩（5） 5.（浙江卷第7题）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ．22<+b a b 解答： +=a b b ,∴|a+b |2=|b |2,即(a+b )2=b 2,整理得a 2b =- 2 1|a |2. ∴（|a +2b |-|2b |）2=a 2+4a 2b =-|a |2<0,∴|a +2b |<|2b |. 答案为C. 6.（全国卷Ⅱ第5题）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 31 (C) -31 (D) -3 2 解答： 1222()33 AD DB CD CA CB CD CD CA CB =?-=-?=+ ，故选A 【说明】 本题在正常运算的情况下，基本不会出现错误，除非在马虎大意的情况下，将向 量“移项”过程中没有变号. 7．（全国卷Ⅱ第9题）把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2 (B) e x +3-2 (C) e x -2+3 (D) e x +2-3 解答： 按“左加右减，上加下减”法则和所给向量易知，答案为C. 【说明】 如果法则和向量平移问题连接不好，易选错为A 或B 或D. 8.（天津卷第10题）设两个向量2 2 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α??=+ ?? ? ，b ，其中 m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ ） Ａ．[-6,1] Ｂ．[48]， Ｃ．[-1,1] Ｄ．[-1,6] 解答： 由题意知λ+2=2m ， ① α+=α-λsin 2cos 22m , ② 由①得 .22m m -=λ 由①②得,3sin 2sin 4cos sin 294222-α+α-=-α+α=-m m ∴-6≤4m 2-9m ≤-2. ∴ 41 ≤m ≤2. ∴]1,6[2 2-∈-=λm m 答案为A. 【说明】 两个参数的比值转化为只含一个参数，再求其范围. 9.（重庆卷第10题）如题（10）图，在四边形ABCD 中， 4AB BD DC ++= ， 0,4||||||||=?=?=?+?DC BD BD AB DC BD BD AB ， 则AC DC AB ?+)(的值为（ ） Ａ．2 Ｂ．22 Ｃ．4 Ｄ．42 解答： 由,4|)||(|||,4|)||(|||=+?=++DC AB BD DC AB BD 以及 得.2||||||=+=DC AB BD ∴ . 42|)||(|2) ()()(222 2 22==+=+??+=+?+?+?+?+=++?+=?+DC AB DC DC AB AB DC BD DC AB DC DC AB BD AB AB DC BD AB DC AB AC DC AB 答案为C. 【说明】 向量积的简单运用. 10.（辽宁卷第3题）若向量a 与b 不共线，a 2b ≠0，且b b a b a a c ?? ? ????-=，则向量a 与c 的夹角为（ ） A ．0 B ． 6π C ．3 π D ．2π 解答： 0=?-?=?? ? ?????-?=????? ???? ????-?=?a a a a b a a a b a a a b b a b a a a c a . 则a 与c 的夹角为2 π . 答案为D. 11.（辽宁卷第6题）若函数y=f(x)的图象按向量a 平移后，得到函数y=f(x+1)-2的图象，则向量a =( ) A ．（-1，-2） B ．（1，-2） C ．（-1，2） D ．（1，2） 解答： 由y=f(x+1)-2，得y+2=f(x+1)，可知它是由函数y=f(x)的图象向左平移一个单位，再向下平移两个单位得到的，所以向量a =（-1，-2）. 答案为A. D C A B 题（10）图 12.（福建卷第4题）对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a 2b=0，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若a 2b=a 2c ，则b =c 解答： 对于A ，可举反例：当a ⊥b 时，a ?b =0， 对于C ，a 2=b 2只能推得|a |=|b |，而不能推出a =±b . 对于D ，a ?b = a ?c 可以移项整理推得a ⊥(b - c ). 答案为B. (6) 数学精英解 “不等式”题 1.（北京卷第7题）如果正数a,b,c,d 满足a+b=cd=4,那么 A.ab ≤c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值唯一 B.ab ≥c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值唯一 C.ab ≤c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值不唯一 D.ab ≥c+d ，且等号成立时，a,b,c,d 的取值不唯一 解答： 由平均值不等式知. 答案A . 【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a ,b ,c ,d 取值唯一. 2．（湖南卷第2题）不等式 2 01 x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞-- ， ， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞ ，， D ．(1 2]-， 解答： 原不等式可化为()()21012,10 x x x x ?-+≤?-<≤? +≠? 故选D. 3.（山东卷第7题）命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是（ ） A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤ B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤ C ．存在x ∈R ，32 10x x -+> D ．对任意的x ∈R ，32 10x x -+> 解答： 全称命题的否定是存在性命题.答案为C. 【说明】 命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了. 4.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域 {}()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面区域{} ()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为（ ） Ａ．2 Ｂ．1 Ｃ． 12 Ｄ． 14 解答： 令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t ）|s ≤1,s+t ≥0,s-t ≥0}.画出可行域可得..1122 1 =??=?AOB S 答案为B. 5. （全国卷Ⅱ第6题）不等式: 4 1 2 --x x >0的解集为 考场精彩（6） (A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞) (C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞) 解答： 令0x =，原不等式成立，即可排除B 、D ，再令3x =，原不等式仍成立，故再排除A ，所以选C. 【说明】 本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A 或B. 6.（天津卷第9题）设a b c ，，均为正数，且122log a a =，12 1log 2b b ??= ? ??，21log 2c c ?? = ???．则（ ） Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b << Ｄ．b a c << 解答： ;2 1 0l o g 221< 121log 21221>?=?? ? ??< ??c c b b c b 故有a 7.（重庆卷第2题）命题“若2 1x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） Ａ．若2 1x ≥，则1x ≥或1x -≤ Ｂ．若11x -<<，则2 1x < Ｃ．若1x >或1x <-，则2 1x > Ｄ．若1x ≥或1x -≤，则2 1x ≥ 解答： A 是已知命题的否命题，B 是逆命题，比较C 、D 易知.答案为D. 8.（福建卷第7题）已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ?? < ??? 的实数x 的取值范围是（ ） A ．(11) -， B ．(01)， C ．(10)(01)- ，， D ．(1)(1)-∞-+∞ ， ， 解答： 因为f (x )为R 上的减函数. 所以11,11-<>x ??x 解得或11 >x ，即-1 9.（湖北卷第21题）已知m ，n 为正整数. （Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >-1时，(1+x )m ≥1+mx ； （Ⅱ）对于n ≥6，已知21311 n n m ?? ? ?? （Ⅲ）求出满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的所有正整数n . 【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论. 本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？ 解题实践证明：这个猜想是对的. 解答：（Ⅰ）略 （Ⅱ）∵6,n ≥且1,2,,m n = 知.m n ≤令1 ,3 x n '-=+则10x '- . ∴011x '+ ，即1 0113 n -+ （注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件） 根据（Ⅰ），() 111,11033m m m x mx n n ? ?''+≥+-≥- ? ++?? 即. 但.m n ≤时，仍有()10,13m n -∈+，111113322n mn mn m m n n ? ???????∴-≤- ? ? ? ?++???? ?? ?? . （注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的） （Ⅲ）当06n 时，直接验算： 显然n=2符合条件：()2 22 3423+=+ n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件. n=4时，左边=4444 3456+++，而右边=()3 3437+=. 注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件. n=5时，左边=55555 34567++++，而右边=()3 3538+=. 注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件. 故当06n 时，n=2或3. （注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意） 当n ≥6时，假定存在0,n 使得() ()0 000003423n n n n n n ++++=+ 成立，则有： 0033n n ??+ ?+??()00 000241 133n n n n n ???? +++= ? ?++???? 但是：0 033n n ??+ ?+??0 0002433n n n n n ???? +++ ? ?++???? =00013n n n ??-+ ?+??00 000111133n n n n n ???? --++- ? ?++???? . 根据（Ⅱ），右式012n ??+ ??? ()0 01 11111 2222n n -?? ++=- ??? （1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的正整数. （注：当06n 时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n ≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.） 综上，适合该等式的所有正整数只有2与3. 高中高考数学公式大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考基础知识（公式） 一、集合 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ? ?≠? 子集：一般地，,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集：一般地，A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ?=?=? 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ?=?= 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有 21n -个；即真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 充要条件：1、p q ?，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ?），q 是p 的必要条件； 2、p q ?，且q p ?，则p 是q 的充要条件； 3、p q ?，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q ，且q p ?，则p 是q 的必要不充分条件； 5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条 件。 二、指数与对数 指数性质：(1)1、1 p p a a -= ； （2）、01a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ；(5)、n a =（0,,a m n N *>∈， 1n >）(6)、m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >） (7)当n a =； 当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则 2011年山东省高考数学试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1、（2011?山东）设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（） A、[1，2） B、[1，2] C、（2，3] D、[2，3] 考点：交集及其运算。 专题：计算题。 分析：根据已知条件我们分别计算出集合M，N，并写出其区间表示的形式，然后根据交集运算的定义易得到A∩B的值． 解答：解：∵M={x|（x+3）（x﹣2）＜0}=（﹣3，2） N={x|1≤x≤3}=[1，3]， ∴M∩N=[1，2） 故选A 点评：本题考查的知识点是交集及其运算，其中根据已知条件求出集合M，N，并用区间表示是解答本题的关键． 2、（2011?山东）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念。 专题：数形结合。 分析：把所给的复数先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到最简形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限． 解答：解：∵z==﹣i， ∴复数在复平面对应的点的坐标是（） ∴它对应的点在第四象限， 故选D 点评：判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果． 3、（2011?山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（） A、0 B、 C、1 D、 考点：指数函数的图像与性质。 专题：计算题。 分析：先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答． 解答：解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9， 解得a=2． ∴=． 故选D． 点评：对于基本初等函数的考查，历年来多数以选择填空的形式出现．在解答这些知识点时，多数要结合着图象，利用数形结合的方式研究，一般的问题往往都可以迎刃而解． 4、（2011?山东）曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（） A、﹣9 B、﹣3 C、9 D、15 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。 专题：计算题。 分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，最后令x=0解得的y即为曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标． 解答：解：∵y=x3+11∴y'=3x2 则y'|x=1=3x2|x=1=3 ∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线方程为y﹣12=3（x﹣1）即3x﹣y+9=0 令x=0解得y=9 ∴曲线y=x3+11在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是9 故选C 点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及直线与坐标轴的交点坐标等有关问题，属于基础题． 5、（2011?山东）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（） A、若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B、若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3 C、若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D、若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3 考点：四种命题。 专题：综合题。 分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，我们易根据否命题的定义给出答案． 解答：解：根据四种命题的定义， 命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是 “若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3” 故选A 点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键． 6、（2011?山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间 上单调递减，则ω=（） 2017年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1．（5分）设函数y=的定义域为A，函数y=ln（1﹣x）的定义域为B，则A∩B=（） A．（1，2） B．（1，2]C．（﹣2，1）D．[﹣2，1） 2．（5分）已知a∈R，i是虚数单位，若z=a+i，z?=4，则a=（） A．1或﹣1 B．或﹣C．﹣D． 3．（5分）已知命题p：?x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（） A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q 4．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（） A．0 B．2 C．5 D．6 5．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之 间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+，已知x i=22.5，y i=160， =4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A．160 B．163 C．166 D．170 6．（5分）执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x值为7，第二次输入的x值为9，则第一次，第二次输出的a值分别为（） A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0 7．（5分）若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 8．（5分）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A．B．C．D． 9．（5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（）A．a=2b B．b=2a C．A=2B D．B=2A 10．（5分）已知当x∈[0，1]时，函数y=（mx﹣1）2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（） A．（0，1]∪[2，+∞）B．（0，1]∪[3，+∞）C．（0，）∪[2，+∞）D．（0，]∪[3，+∞） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 精心整理2010年山东省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）（2010?山东）已知全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，则C M=（） U A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|x＜﹣1，或x＞3} D．{x|x≤﹣1，或x≥3} 【考点】补集及其运算． 【专题】集合． 【分析】由题意全集U=R，集合M={x||x﹣1|≤2}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． ∴C U 故选C． 2．（5，其中 A．﹣ 故选B． 3．（5 A B C D 平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误． 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误． 故选D． 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．4．（5分）（2010?山东）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【考点】奇函数． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】首先由奇函数性质f（0）=0求出f（x）的解析式，然后利用定义f（﹣x）=﹣f（x）求f（﹣1）的值． 【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（0）=20+2×0+b=0， 解得b=﹣1， 所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1， 又因为f（x）为定义在R上的奇函数， 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3， 故选A． 【点评】本题考查奇函数的定义f（﹣x）=﹣f（x）与基本性质f（0）=0（函数有意义时）．5．（5分）（2010?山东）已知随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），若P（ξ＞2）=0.023，则P A． 而P 则P 故P 故选：C 6．（5 1 A． 可． 解：由题意知（ 故选：D 数、方差公式是解答好本题的关键． 7．（5分）（2010?山东）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（） A．B．C．D． 【考点】定积分在求面积中的应用． 【专题】函数的性质及应用． 1（x2﹣x3）【分析】要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫ dx即可． 【解答】解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1] 1（x2﹣x3）dx═， 所求封闭图形的面积为∫ 高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多，同学们复习的时候不方便查阅，下面是我给大家带来的高考必背数学公式，希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积 1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为： an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为： Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为： an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项： 1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V=1 3 Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P （B）。 第I卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA ）B为 A {1,2,4} B {2,3,4} C {0,2,4} D {0,2,3,4} 3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= a3在R上是减函数”，是“函数g(x)=(2-a) 3x在R上是增函数”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 （4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为 （A）7 （B）9 （C）10 （D）15 （5）的约束条件 2x y4 4x-y-1 + ? ? ? ≤ ≥ ，则目标函数z=3x-y的取值范围是 （A ） （B） 3 ,1 2 ??--???? 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， ④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M N M a a a log log log -=， 高中数学常用公式及常用结论大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 2．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 3.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 4.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 5.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 6.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. (2)1 m n m n a a - =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. 7．根式的性质（1 ）n a =；（2）当n a =； 当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. 2018年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 2．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位． A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5） 6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（） A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣ 10．（5分）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（） A．[，1]B．[0，1]C．[，+∞）D．[1，+∞） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．（5分）观察下列各式： C=40； C+C=41； C+C+C=42； C+C+C+C=43； … 照此规律，当n∈N*时， C+C+C+…+C= ． 12．（5分）若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为． 13．（5分）执行右边的程序框图，输出的T的值为． 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的. 1.(5分)设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则A∩B=（） A.(1，2) B.(1，2] C.(-2，1) D.[-2，1) 2.(5分)已知，i是虚数单位，若，，则（） A.1或-1 B.或 C.D. 3.(5分)已知命题p：；命题q：若，则，下列命题为真命题的是（） A.p∧q B.p∧￢q C.￢p∧q D.￢p∧￢q 4.(5分)已知满足约束条件，则的最大值是（） A.0 B.2 C.5 D.6 5.(5分)为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A.160 B.163 C.166 D.170 6.(5分)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第二次输入的值为9，则第一次，第二次输出的值分别为（） A.0，0 B.1，1 C.0，1 D.1，0 7.(5分)若，且，则下列不等式成立的是（） 8.分从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取次，每次抽取张，则抽到的张卡片上的数奇偶性不同的概率是（） A.B.C.D. 9.(5分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，若△ABC为锐角三角形，且满足 sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A.B.C.A=2B D.B=2A 10.(5分)已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（） A.B. C.D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.(5分)已知的展开式中含有的系数是54，则n=__________． 12.(5分)已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为60°，则实数λ的值是 __________． 13.(5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为__________． 14.(5分)在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线 交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为__________． 15.(5分)若函数（e≈2.71828…是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为__________． ①②③④． 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.(12分)设函数，其中0＜ω＜3，已知． 2011年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2011?山东）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3] 2．（3分）（2011?山东）复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（3分）（2011?山东）若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0 B．C．1 D． 4．（3分）（2011?山东）不等式|x﹣5|+|x+3|≥10的解集是（） A．[﹣5，7]B．[﹣4，6]C．（﹣∞，﹣5]∪[7，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）5．（3分）（2011?山东）对于函数y=f（x），x∈R，“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y=f （x）是奇函数”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（3分）（2011?山东）若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（） A．8 B．2 C．D． x与销售额y的统计数据如下表 根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 （） A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 8．（3分）（2011?山东）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．B．=1 C．=1 D．=1 高考基础知识（公式） 一、集合 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 子集：一般地，,A A A ???,若,A B B C ??则A C ? 真子集：一般地，A ??,若,A B B C ?? 则A C ? 交集：一般地，A A A =,A B B A =,A A ?=?=? 并集：一般地，A A A =,A B B A =,A A A ?=?= 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有21n -个；即 真子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 充要条件：1、p q ?，则p 是q 的充分条件；反之（若q p ?），q 是p 的必要条件； 2、p q ?，且q p ?，则p 是q 的充要条件； 3、p q ?，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q ，且q p ?，则p 是q 的必要不充分条件； 5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条件。 二、指数与对数 指数性质：(1)1、1p p a a -= ； （2）、0 1a =（0a ≠） ； (3)、()mn m n a a = (4)、(0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ；(5) 、n a =（0,,a m n N *>∈，1n >） (6) 、m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >） (7)当n a =； 当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-≠>>∈且2n ≥则 (1)、log ()log log a a a MN M N =+; (2)、 log log log a a a M M N N =- (3)、log log ()n a a M n M n R =∈; (4) 、log log m n a a n N N m = (5)、 log 10a = (6)、 log a b a b = (7)、 log 1a a = （8）、换底：l o g l o g l o g m a m N N a = (0,1,0,1,0a a m m N >≠>≠> (9)、推论：l o g l o g 1a b b a ?= ; 2 2l o g l o g a a N N == 指数与对数的关系: l o g b a N b a N =?= (0,1,0)a a N >≠> 2020年山东高考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 A ．62% B ．56% C ．46% D ．42% 6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ?的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4- D ．()4,6- 8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。 9．已知曲线22:1C mx ny +=. A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 10．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= 2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 参考公式： 柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的体积公式V=34 3 V R π= , 其中R 是球的半径. 球的表面积公式：2 4S R π=,其中R 是球的半径. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 21 ???,n i i i n i i x y nx y b a y bx x nx ==-?==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 （1）设集合{}{} 260,13M x x x N x x =+-<=≤≤,则M N = （A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3] （2）复数22i z i -= +(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点(),9a 在函数3x y =的图象上，则tan 6 a π 的值为 （A ）0 （B ） 3 3 （C ）1 （D ）3 (4)不等式5310x x -++≥的解集是 （A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数(),y f x x R =∈，“( )y f x =的图像关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (0ω>)在区间0, 3π??????上单调递增，在区间,32ππ?? ???? 上单调递减，则ω= （A ）3 （B ）2 （C ） 32 （D ）2 3 高中数学常用公式及结论 1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 2 集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集 有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式： (1) 一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2) 顶点式2 ()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时， 设为此式） （4）切线式：02 ()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的 横坐标为0x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 5 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件； （2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件； 4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。 6 函数单调性: 增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。 减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。 （2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的 1212 ,,x x D x x ∈<且，都有 12()() f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。 单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数； (3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数； 注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。 2015年山东省高考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 2．（5分）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（） A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 3．（5分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位． A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 4．（5分）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（） A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 5．（5分）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，1）C．（1，4） D．（1，5） 6．（5分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（） A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3 7．（5分）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π 8．（5分）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 9．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）高中高考数学公式大全
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