第5章频域分析法
5.1 学习要点
1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法；
2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点；
3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点；
4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法；
5 对数频率特性三频段与系统性能的关系；
6 计算频域参数与性能指标；
5.2 思考与习题祥解
题5.1 判断下列概念的正确性
(1) 将频率为
ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同一
频率的。
(2) 对于典型二阶系统，谐振峰值
M仅与阻尼比ξ有关。
p
(3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。
(4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。
(5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。
(6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。
(8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。
(9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0 ，闭环系统才是稳定的。
(10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0 。
(11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。
(12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。
(13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。
(14) 某系统稳定的开环放大系数25
K<，这是一个条件稳定系统。
(15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。
(16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。
(17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。
(18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。
(19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值
M和频带宽B W的
p
信息。
(20) Bode 图能够用于最小相位以及非最小相位系统的稳定性分析。(T) (F)
答：(1) 正确 (2) 正确 (3) 正确 (4) 正确 (5) 正确 (6) 正确
(7) 正确 (8) 错误 (9) 正确 (10) 错误 (11) 正确 (12) 正确 (13) 正确 (14) 错误 (15) 正确 (16) 正确 (17) 正确 (18) 正确 (19) 正确 (20) 正确
题5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为1
10)(+=s s G ，求下列参考
输入下系统的稳态误差。
(1) )30sin()(1 +=t t r
(2) )452cos()(2 -=t t r
(3) )452cos()30sin()(3 --+=t t t r
解：根据单位负反馈系统稳态误差的定义，稳态误差传递函数
()1111()()
1()
11
11111e E s s s G s s R s G s s ++=
=
==?+++
系统稳态误差传递函数的频率特性为
11()111
11
e j G j j
ωωω
+=
?+
稳态误差传递函数的幅频特性
111|()||
|1111
1
11
e j G j j
ωωω+=?=
?+稳态误差传递函数的相频特性
()arctan arctan(
)
11
e G j ω
ωω∠=-
又根据频率特性的定义，系统的稳态误差频率特性
?
ωωωωj e e
j E j R j G j E |)(|)()()(==
其中
)
()()(|)(||)(||)()(||)(|ωωωωωωωωj R j G j E j R j G j R j G j E e e e ∠+∠=∠==
所以
(1) 当 )30sin()(1 +=t t r
系统稳态误差传递函数的频率特性为
1111()|1111
11e j G j j ωω=+=
?+
稳态误差传递函数的幅频特性
61
11
)11
1(
1111
1|1
1111111
1|
|)1(|2
2
2
2=
++?=
++?=j
j j G e
稳态误差传递函数的相频特性
81
.3919
.545)11
1arctan(
1arctan )1(=-=-=∠j G e
所以
1111|()|()||()|1()()()39.813069.81
e e E j G j R j E j G j R j ωωωωωω==
=
∠=∠+∠=+=
系统的稳态误差
)81.69sin(61
1)(1
+=
t t E
(2) 当 )1352sin()]452(90sin[)452cos()(2 +-=--=-=t t t t r
)452sin()]1352(180sin[)1352sin( +=--=--=t t t
系统稳态误差传递函数的频率特性为
2121()|2111
11
e j G j j ωω=+=
?+
稳态误差传递函数的幅频特性
1|(2)|11e G j =
=
稳态误差传递函数的相频特性
2(2)arctan 2arctan(
)63.410.353.1
11
e G j ∠=-=-=
所以
2222|()||()||()|1()()()53.14598.1
e e E j G j R j E j G j R j ωωωωωω==
=
∠=∠+∠=+=
系统的稳态误差
2()98.1)E t t =
+
(3) 当 )452cos()30sin()(3 --+=t t t r 线性系统满足叠加原理，系统的稳态误差
312()()()69.81)98.1)E t E t E t t t =-=
+-
+
题5.3 试绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。 （1）)2,1,10()(===-N K Ks s G N
（2）1
1.010)(±=
s s G
（3）)2,1,10()(===N K Ks s G N
（4）)11.0(10)(±=s s G （5）)
4(6)(+=s s s G
（6）)4)(1(6)(++=s s s G
（7）)
20()5()(++=s s s G （8）)
01.0(1.0)(++=s s s s G
（9）)707.0,4.0,
10,1(121
)(2
2
==++=
ξξT Ts s T s G
（10）1
2)12.0(40)(2
+++=s s s s G
解：（1）)2,1,
10()(===-N K Ks
s G N
dB
K 2010lg 20lg 20== 当1=N 时，s s G /10)(=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.1(a).
当2=N 时，2/10)(s s G =，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.1(b).
(
L ω(?ω对数频率特性
__
幅相频率特性
图5.1(a). 一个积分环节
(
Lω
(?ω
对数频率特性
_
_
幅相频率特性
图5.1(b) 两个积分环节
（2）
1
1.0
10
)
(
±
=
s
s
G
转折频率10
1.0
1
1
=
=
ω，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=。
当
1
1.0
10
)
(
+
=
s
s
G时，)
1.0
arctan(
)
(ω
ω
?-
=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.2(a).
当
1
1.0
10
)
(
-
=
s
s
G时，)
1.0
arctan(
180
)
(ω
ω
?+
-
= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.2(b).
对数频率特性
幅相频率特性
(Lω
(?ω
_
_
图5.2(a) 惯性环节
对数频率特性
幅相频率特性
(L ω(?ω___
图5.2(b) 不稳定的惯性环节
（3）)2,1,
10()(===N K Ks
s G N
dB
K 2010lg 20lg 20==
当1=N 时，s s G 10
)(=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.3(a).
当2=N 时，210)(s s G =，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.3(b).
(L ω –(?ω对数频率特性
幅相频率特性
图5.3(a). 一个微分环节
(
Lω
–
(?ω
对数频率特性
–
幅相频率特性
图5.3(b) 两个微分环节
（4）)1
1.0(
10
)
(±
=s
s
G
转折频率10
1.0
1
1
=
=
ω，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=。
当)1
1.0(
10
)
(+
=s
s
G时，)
1.0
arctan(
)
(ω
ω
?=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.4(a).
当)1
1.0(
10
)
(-
=s
s
G时，)
1.0
arctan(
180
)
(ω
ω
?-
= ，对应的幅相频率特
性和对数频率特性如图5.4(b).
对数频率特性
幅相频率特性
(Lω
(?ω
图5.4(a) 一阶比例微分环节
对数频率特性
幅相频率特性
(
L ω(?ω
图5.4(b) 不稳定的一阶比例微分环节
（5）)
14
(5.1)
4(6)(+=+=
s s s s s G
转折频率41=ω，dB
K 5.35.1lg 20lg 20==。
)4/arctan(90)(ωω?--=
，
对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.5.
(L ω(?ω对数频率特性
__
幅相频率特性
_
图5.5 Ⅰ型二阶系统
（6）)14
)(
1(5.1)
4)(1(6)(++=
++=
s
s s s s G
转折频率11=ω，42
=ω，dB
K 5.35.1lg 20lg 20==。
)4/arctan(arctan )(ωωω?--=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.6.
(Lω
(?ω
对数频率特性
_
_
幅相频率特性
图5.6 二阶系统
（7）
)1
20
(
)1
5
(
25
.0
)
20
(
)5
(
)
(
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
G
转折频率5
1
=
ω，20
2
=
ω，dB
K12
25
.0
lg
20
lg
20-
=
=。
)
20
/
arctan(
)5/
arctan(
)
(ω
ω
ω
?-
=，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图
5.7.
(Lω
(?ω
对数频率特性
幅相频率特性
_
_
图
图5.7 具有零点的一阶系统
（8）
)1
01
.0
(
)1
1.0
(
10
)
01
.0
(
1.0
)
(
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
G
转折频率01
.0
1
=
ω，1.0
2
=
ω，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=。
)1.0/
arctan(
)
01
.0/
arctan(
90
)
(ω
ω
ω
?+
-
-
= ，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.8.
(Lω
(?ω
对数频率特性
幅相频率特性
_
_
图5.8 具有零点的二阶系统
（9）)
707
.0,4.0
,
10
,1
(
1
2
1
)
(
2
2
=
=
+
+
=ξ
ξ
T
Ts
s
T
s
G
当1
=
T，4.0
=
ξ时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.9(a).
当10
=
T，707
.0
=
ξ时，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.9(b).
幅相频率特性
对数频率特性
(Lω
(?ω
_
图5.9(a) 二阶振荡环节
(Lω
(?ω
_
幅相频率特性对数频率特性
图5.9(b) 二阶振荡环节
（10）
1
2
)1
2.0(
40
)
(
2+
+
+
=
s
s
s
s
G
转折频率1
1
=
ω，5
2
=
ω，dB
K32
40
lg
20
lg
20=
=。
)
1
2
arctan(
)
2.0
arctan(
)
(
2
ω
ω
ω
ω
?
-
-
=，
7.
78
90
3.
11
)
1
1
2
arctan(
)2.0
arctan(
)1(-
=
-
=
-
-
=
?
1.
112
1.
143
31
)
9
1
6
arctan(
)6.0
arctan(
)3(-
=
-
=
-
-
=
?
3.
112
3.
157
45
)
25
1
10
arctan(
)1
arctan(
)5(-
=
-
=
-
-
=
?
2.
105
6.
168
4.
63
)
100
1
20
arctan(
)2
arctan(
)
10
(-
=
-
=
-
-
=
?
4.
93
7.
177
3.
84
)
2500
1
100
arctan(
)
10
arctan(
)
50
(-
=
-
=
-
-
=
?
当ω由∞
→
0，)
(ω
?变化趋势由
90
180
90
0-
→
-
→
-
→，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.10.
()
Lω
(?ω
幅相频率特性对数频率特性
图5.10 具有零点的二阶系统
题5.4 试绘出下列系统的开环传递函数对应的幅相频率特性和对数频率特性。
（1）)0
(
,
)1
)(
1
(
)1
(
)
(
3
2
1
2
1
3>
>
>
+
+
+
=T
T
T
s
T
s
T
s
s
T
K
s
G
（2）
)
100
(
250
)
(
2+
+
=
s
s
s
s
G
（3）
1
)
(
2.0
+
=
-
s
e
s
G
解：
（1）)0
(
,
)1
)(
1
(
)1
(
)
(
3
2
1
2
1
3>
>
>
+
+
+
=T
T
T
s
T
s
T
s
s
T
K
s
G
当0
ω+
=时，∞
=
)
(ω
A，
90
)
(-
=
ω
?
当∞
=
ω时，0
)
(=
ω
A，
180
)
(-
=
ω
?
当ω由0+→∞，)
(ω
?变化趋势由
180
270
180
90-
→
-
→
-
→
-。
设10
=
K，dB
K20
10
lg
20
lg
20=
=，转折频率如图示，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.11.
(Lω
(?ω
对数频率特性
_
_
幅相频率特性
_
图5.11 题5.4（1）用图
（2）
)1
100
1
100
1
(
5.2
)
100
(
250
)
(
2
2
+
+
=
+
+
=
s
s
s
s
s
s
s
G
转折频率
1
10
ω=，dB
K8
5.2
lg
20
lg
20=
=。
)
100
1
1
100
1
arctan(
90
)
(
2
ω
ω
ω
?
-
-
-
= ，
57
.
90
57
.0
90
)
100
1
1
100
1
arctan(
90
)1(-
=
-
-
=
-
-
-
=
?
180
90
90
)
1
1
10
1
arctan(
90
)
10
(-
=
-
-
=
-
-
-
=
?
42
.
269
42
.
179
90
)
100
1
1
arctan(
90
)
100
(-
=
-
-
=
-
-
-
=
?
当ω由0+→∞，)
(ω
?变化趋势由
270
180
90-
→
-
→
-，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图5.12.
(L ω(?ω对数频率特性
__
幅相频率特性
_
图5.12 题5.4（2）用图
（3）1
)(2
.0+=
-s e
s G
转折频率11=ω，dB K 01lg 20lg 20==。
ωωω?arctan 2.0)(--=，
(0)0?=
5.56455.111arctan 3.5712.0)1(-=--=-??-=?
3.1993.8411510arctan 3.57102.0)10(-=--=-??-=?
4
.12394.891150
100arctan 3.571002.0)100(-=--=-??-=?
当ω由∞→0，)(ω?变化趋势由-∞→ 0，对应的幅相频率特性和对数频率特性如图
5.13.
)
(L ω(?ω对数频率特性
_幅相频率特性_
图5.13 题5.4（3）用图
题5.5 设系统的开环幅相频率特性如图题5.5所示。试写出开环传递函数的形式，并判断闭环系统是否稳定。图中，P 为开环传递函数右半S 平面的极点数，N 为其0=s 的极点数。
(a)
(b)
(c)
(d)
0,1==N P
,1==N P (e)
(f)
(g) (h) 0
,2==N P 0,1==N P 0,2
P
N ==0,0
P N ==
题5.5图
解：解题思路提示：根据P 、N 和开环幅相频率特性的相位变化确定开环
传递函数形式。
(a) 为不稳定的惯性环节，开环传递函数的形式为1
)(-=
Ts K s G 。由图知，
当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为
2
02
1P =
-，故闭环系统稳定。
(b) 根据1P =、0N =和开环幅相频率特性的起始相位，可判断开环系统含有一不稳定惯性环节。开环传递函数的形式为
43212143,
)
1)(1()1)(1()(T T T T s T s T s T s T K s G >>>-+++=
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为2
210P ≠-
，故闭环系统不稳定。
(c) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为)1()(-=Ts K s G 。由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为
1022
P -
≠，故闭环系统不稳定。
(d) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为
4321322
41,
)
1)(1()1)(1()(T T T T s T s T s s T s T K s G >>>++++=
或
3
212
2
22
31,
)
12()1)(1()(T T T Ts s T s s T s T K s G >>++++=
ξ
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为2
00P =
-，故闭环系统稳定。
(e) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为
321321,
)
1)(1()1()(T T T s T s T s s T K s G >>+-+=
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为2
01P ≠
-，故闭环系统不稳定。
(f) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为)
1()(2
+=Ts s K s G
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为2
210P ≠-
，故闭环系统不稳定。
(g) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为
3
21321,
)
1)(1)(1()(T T T s T s T s T K
s G >>++-=
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为2
021
P =
-，故闭环系统稳定。
(h) 根据角度的变化，开环传递函数的形式为)
1)(1()(21--=s T s T K
s G ，
由图知，当ω由∞→0，开环幅相频率特性)(ωj G 在)1,(--∞区间正负穿越次数之差为2
00P ≠
-，故闭环系统不稳定。
题5.6 已知最小相位系统的开环对数频率特性如图5.68所示。试写出开环传递函数的形式，并绘制近似的对数相频特性。
(
L ω__
(a)
(L ω
(b)
(L ω(c)
(
L ω(d)
(L ω(e)
(L ω(f)
题5.6图
解：
(a) 开环传递函数的形式为
)
1500
1)(
1101)(
1()(+++=
s s s K s G
根据dB K 60lg 20=，100=K 。近似的对数相频特性如图5.14。
(
L ω0____(?ω__
图5.14 题5.6（a ）对数相频特性
(b) 开环传递函数的形式为
)
1100
1)(
1(100
)(++=
s s
s s G
近似的对数相频特性如图5.15。
(L ω_(?ω__
图5.15题5.6（b ）对数相频特性
(c) 开环传递函数的形式为
)
1100
1(
1.0)(+=
s s s G
近似的对数相频特性如图5.16.
(
L ω(?ω
图5.16题5.6（c ）对数相频特性
(d) 开环传递函数的形式为
)
180
1(
)1(64)(2
++=
s s s s G
近似的对数相频特性如图5.17。
(
L ω0
(?ω__
图5.17题5.6（d ）对数相频特性
(e) 开环传递函数的形式为
2
2
2222
2111(21)()21
K T s T S G s T s T S ξξ++=
++
其中114
T =
，2160
T =
，10.2ξ=，20.1ξ=。近似的对数相频特性如图5.18。
(
L ω
(?ω__
图5.18 题5.6（e ）的对数相频特性
(f) 开环传递函数的形式为
2
12()(1)(1)
K S
G s T s T S =
++
由低频锻20lg 0Ks dB =的点得150.2
K =
=，同时1
20lg
120.2
dB ω=，解得
1
40.2
ω≈，10.8ω=；则11
1
1.25T ω=
=。
由高频锻2
20
40lg
12dB ω-=-，解得
220
2ω≈，210ω=；则22
1
0.1T ω=
=。近
似的对数相频特性如图5.19。
(?ω__(L ω
图5.19 题5.6（f ）的对数相频特性
题5.7 试用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。各系统的开环传递函数如下：
（1）)(,
)
1)(1()1()(213213T T T s T s T s s T K s G +>+++=
（2）)10)(1(20)(++=s s s s G
（3）)
2()100(10)(-+=s s s s G
解： （1）)(,
)
1)(1()1()(213213T T T s T s T s s T K s G +>+++=
这是一个I 型3阶最小相位系统，开环系统稳定。开环频率特性为
312(1)()(1)(1)K j T G j j j T j T ωωωωω+=
++
幅频特性为
()A ω=
相频特性为 312()90arctan arctan arctan
T T T ?ωωωω=-+--
首先绘制开环幅相频率特性，再应用奈氏稳定判据判断闭环系统的稳定性。
① 当0ω+
→时，有
2
)(π
ω
ω
ωj
e
K
j K j G -==
即∞=+)0(A ， 90)0(-=+?。
②当ω→∞时，()0A ∞=，()()90180n m ?∞=--?=- 。
③因为312T T T >+，所以开环幅相频率特性从第四到第三象限变化。开环幅相频率特性与负实轴无交点。开环幅相频率特性如图5.20，ω由0到0+的增补特性如图中虚线所示。
第5章频域分析法 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 思考与习题祥解 题判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
第五章 频域分析法 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不是一件容易的事。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。因为频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故其与时域分析法相比有较多的优点。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 5.1 频率特性 对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号 t U t u ωsin )(= (5—1) 则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即 ) t Y t y ?ω+=sin()( (5—2) u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。 不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式 ) () () () () ())(() ()()()(1 21s A s B p s s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n = +=+++== ∏=Λ (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量； A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)； n p p p ---,,,21Λ—传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。 由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表) ) )(()(22ωωω ωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4）
501 第五章 线性系统的频域分析法 5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为)(s Φ，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数)cos()(φω+=t A t r 时，系统的稳态输出为 )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 证明：根据三角定理，输入信号可表示为 )90sin()( ++=φωt A t r ， 根据频率特性的定义，有 ]90)(sin[|)(|)( +Φ∠++Φ=ωφωωj t j A t c ss ， 根据三角定理，得证： )](cos[|)(|)(ωφωωj t j A t c ss Φ∠++Φ=。 5-2 若系统的单位阶跃响应 t t e e t c 948.08.11)(--+-=， 试确定系统的频率特性。 解：s s s s C 1 361336)(2++= ，36 1336)(2++=s s s G ，)9)(4(36)(ωωωj j j G ++=； 2 /122/12) 81()16(36 |)(|ωωω++=j G ，9arctan 4arctan )(ωωω--=∠j G 。 或：)(2.7)()(94t t e e t c t g ---== ；36 1336 )]([)(2 ++==s s t g L s G ； 5-3 设系统如下图所示，试确定输入信号 )452cos()30sin()( --+=t t t r 作用下，系统的稳态误差)(t e ss 。 解：2 1)(++=Φs s s e ； )452sin()30sin()( +-+=t t t r 6325.0|)(|=Φj e ， 4.186.2645)(=-=Φ∠j ； 7906.0|)2(|=Φj e ， 4.18454.63)2(=-=Φ∠j ； 答案：)4.632sin(7906.0)4.48sin(6325.0)( +-+=t t t e ss 。 5-4 典型二阶系统的开环传递函数 ) 2()(2 n n s s s G ωζω+= ， 当取t t r sin 2)(=时，系统的稳态输出为 )45sin(2)( -=t t c ss ， 试确定系统参数n ω和ζ。 解：2 222)(n n n s s s ωζωω++=Φ； 1] 4)1[(2 2222=+-n n n ωζωω， 451 2arctan 2 -=--n n ωζω； 122 -=n n ωζω， 答案：414.12==n ω，3536.04/2==ζ。
第5章频域分析法 5.1 学习要点 1 频率特性的概念，常用数学描述与图形表示方法； 2 典型环节的幅相频率特性与对数频率特性表示及特点； 3 系统开环幅相频率特性与对数频率特性的图示要点； 4 应用乃奎斯特判据判断控制系统的稳定性方法； 5 对数频率特性三频段与系统性能的关系； 6 计算频域参数与性能指标； 5.2 思考与习题祥解 题5.1 判断下列概念的正确性 ω的正弦信号加入线性系统，这个系统的稳态输出也将是同 (1) 将频率为 一频率的。 M仅与阻尼比ξ有关。 (2) 对于典型二阶系统，谐振峰值 p (3) 在开环传递函数中增加零点总是增加闭环系统的带宽。 (4) 在开环传递函数中增加极点通常将减少闭环系统的带宽并同时降低稳定性。 (5) 对于最小相位系统，如果相位裕量是负值，闭环系统总是不稳定的。 (6) 对于最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (7) 对于最小相位系统，如果幅值裕量是负分贝值，闭环系统总是不稳定的。 (8) 对于非最小相位系统，如果幅值裕量大于1，闭环系统总是稳定的。 (9) 对于非最小相位系统，须幅值裕量大于1且相位裕量大于0，闭环系统才是稳定的。 (10) 相位穿越频率是在这一频率处的相位为0。 (11) 幅值穿越频率是在这一频率处的幅值为0dB。 (12) 幅值裕量在相位穿越频率处测量。 (13) 相位裕量在幅值穿越频率处测量。 (14) 某系统稳定的开环放大系数25 K<，这是一个条件稳定系统。 (15) 对于（-2/ -1/ -2)特性的对称最佳系统，具有最大相位裕量。 (16) 对于（-2/ -1/ -3)特性的系统，存在一个对应最大相位裕量的开环放大系数值。 (17) 开环中具有纯时滞的闭环系统通常比没有时滞的系统稳定性低些。 (18) 开环对数幅频特性过0分贝线的渐近线斜率通常表明了闭环系统的相对稳定性。 M和频带宽BW (19) Nichols图可以用于找到一个闭环系统的谐振峰值 p 的信息。
自动控制理论 上 机 实 验 报 告 学院：机电工程学院 班级：13级电信一班
： 学号： 实验三 线性系统的频域分析 一、实验目的 1．掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2．掌握控制系统的频域分析方法。 二、基础知识及MATLAB 函数 频域分析法是应用频域特性研究控制系统的一种经典方法。它是通过研究系统对正弦信号下的稳态和动态响应特性来分析系统的。采用这种方法可直观的表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念明确。 1．频率曲线主要包括三种:Nyquist 图、Bode 图和Nichols 图。 1）Nyquist 图的绘制与分析 MATLAB 中绘制系统Nyquist 图的函数调用格式为: nyquist(num,den) 频率响应w 的围由软件自动设定 nyquist(num,den,w) 频率响应w 的围由人工设定 [Re,Im]= nyquist(num,den) 返回奈氏曲线的实部和虚部向量， 不作图 例4-1:已知系统的开环传递函数为2 526 2)(2 3++++=s s s s s G ，试绘制Nyquist 图，并判断系统的稳定性。
num=[2 6]; den=[1 2 5 2]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); p nyquist(num,den) 极点的显示结果及绘制的Nyquist 图如图4-1所示。由于系统的开环右根数P=0，系统的Nyquist 曲线没有逆时针包围（-1，j0）点，所以闭环系统稳定。 p = -0.7666 + 1.9227i -0.7666 - 1.9227i -0.4668 若上例要求绘制)10,10(32-∈ω间的Nyquist 图，则对应的MATLAB 语句为: num=[2 6]; den=[1 2 5 2]; w=logspace(-1,1,100); 即在10-1和101之间，产生100个等距 离的点 nyquist(num,den,w) 2）Bode 图的绘制与分析 系统的Bode 图又称为系统频率特性的对数坐标图。Bode 图有两图，分别绘制开环频率特性的幅值和相位与角频率ω的关系曲线，称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。 MATLAB 中绘制系统Bode 图的函数调用格式为: bode(num,den) 频率响应w 的围由软件自动设定 bode(num,den,w) 频率响应w 的围由人工设定 图4-1 开环极点的显示结果及Nyquist 图
线性系统的频域分析 1．实验目的 1. 掌握用MATLAB语句绘制各种各样频域曲线。 2. 掌握控制系统的频域分析方法。 二．练习： 1．典型二阶系统 绘制出，，0.3，0.5，0.8，2的bode图，记录并分析对系统bode图的影响。 解：MATLAB编程如下： >> num=[0 0 36];den1=[1 1.2 36];den2=[1 3.6 36]; >> den3=[1 6 36];den4=[1 9.6 36];den5=[1 24 36]; >> w=logspace(-2,3,100); >> bode(num,den1,w) >> grid >> hold Current plot held >> bode(num,den2,w) >> bode(num,den3,w) >> bode(num,den4,w) >> bode(num,den5,w)
（2）系统的开环传递函数为 绘制系统的Nyquist曲线Bode图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 解：（1）MATLAB如下 >> num1=[0,0,10];den1=conv([1,0],conv([1,0],conv([5,-1],[1,5]))); >> w=logspace(-1,1,100); >> nyquist(num1,den1,w)
（2）MATLAB编程如下： >> num2=[8,8];den2=conv([1,0],conv([1,0],conv([1,15],[1,6,10]))); >> w=logspace(-1,1,100); >> nyquist(num2,den2)
实验二用MATLAB实现线性系统的频域分析 [实验目的] 1．掌握MATLAB平台下绘制典型环节及系统开环传递函数的Bode图和Nyquist图（极坐标图）绘制方法； 2．掌握利用Bode图和Nyquist图对系统性能进行分析的理论和方法。 [实验指导] 一、绘制Bode图和Nyquist图 1．Bode图绘制 采用bode()函数，调用格式： ①bode(sys)；bode(num,den)； 系统自动地选择一个合适的频率范围。 ②bode(sys，w)； 其中w(即ω)是需要人工给出频率范围，一般由语句w=logspace(a,b,n)给出。logspace(a,b,n)：表示在10a到10b之间的 n个点,得到对数等分的w值。 ③bode(sys,{wmin,wmax})； 其中{wmin,wmax}是在命令中直接给定的频率w的区间。 以上这两种格式可直接画出规范化的图形。 ④[mag,phase,ω]=bode(sys)或[m,p]=bode(sys) 这种格式只计算Bode图的幅值向量和相位向量，不画出图形。 m为频率特性G(jω )的幅值向量; p为频率特性G(jω )的幅角向量，单位为角度（°）。 w为频率向量，单位为[弧度]/秒。 在此基础上再画图，可用： subplot(211);semilogx(w,20*log10(m) %对数幅频曲线 subplot(212);semilogx(w,p) %对数相频曲线 ⑤bode(sys1,sys2,…,sysN) ; ⑥bode((sys1,sys2,…,sysN，w); 这两种格式可在一个图形窗口同时绘多个系统的bode图。 2. Nyquist曲线的绘制
武汉工程大学实验报告 专业 电气自动化03班 班号 1104150318 组别 指导教师 陈艳菲 姓名 彭雪君 同组者 个人 实验名称 实验四 线性系统的频域分析 实验日期 2014-04-16 第 4 次实验 一、 实验目的 1. 掌握用MATLAB 语句绘制各种频域曲线。 2. 掌握控制系统的控制方法。 二、 实验内容 1. 典型二阶系统 2222)(n n n s s s G ωζωω++= 绘制出6=n ω，1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2的bode 图，记录并分析ζ对系统bode 图的影响。 2.系统的开环传递函数为 )5)(15(10)(2+-= s s s s G )106)(15()1(8)(22++++=s s s s s s G )11.0)(105.0)(102.0()13/(4)(++++=s s s s s s G 绘制系统的Nyquist 曲线、Bode 图和Nichols 图，说明系统的稳定性，并通过绘制阶跃响应曲线验证。 3.已知系统的开环传递函数为) 11.0(1)(2++=s s s s G 。求系统的开环截止频率、穿越频率、幅值裕度和相位裕度。应用频率稳定判据判定系统的稳定性。
三、实验结果分析 1．6=n ω，ζ分别取1.0=ζ，0.3，0.5，0.8，2时，系统的bode 图绘制： 源程序代码及图形： >> num=[0 0 36]; >> den1=[1 1.2 36];>> den2=[1 3.6 36]; >> den3=[1 6 36];>> den4=[1 9.6 36]; >> den5=[1 24 36]; >> bode(num,den1) >> grid >> text(4.2,-15,'Zeta=0.1'); >> hold >> bode(num,den2) >> text(3,-22,'0.3');>> bode(num,den3) >> text(2,-32,'0.5');>> bode(num,den4) >> text(3,-45,'0.8');>> bode(num,den5) >> text(1.8,-50,'2'); 结果分析：从图中可看出ζ越小，中频段振荡越剧烈。该二阶系统是典型的振荡环节，谐 振频率)220(21222≤<*-*=ζζωωn r ，谐振峰值)220(121222≤<-**=ζζζr M ，当2 202<<ζ时，r ω,r M 均为ζ的减函数，ζ越小，r M ，r ω越大，振荡幅度越大，超调量越大，过程越不平 稳且系统响应速度越慢，当 12 22 <<ζ时。)(ωA 单调减小，此时无谐振峰值和谐振频率，过程较平稳。
第5章 控制系统的频域分析 时域分析法具有直观、准确的优点，主要用于分析线性系统的过渡过程。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且，按照给定的时域指标设计高阶系统也不容易实现。 本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。频域法是通过分析不同谐波的输入时系统的稳态响应，故又称为频率响应法。利用此方法，将传递函数从复域引到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性。 频率分析的优点较多。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去确定系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求，并且可以同时确定系统工作的频率范围。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，采用频率特性可以较方便地解决此类问题。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。 控制系统的时域分析法和频域分析法，作为经典控制理论的两个重要组成部分，既相互渗透，又相互补充，在控制理论中占有重要地位。频率特性具有较强的直观性和明确的物理意义，可用实验的方法测量系统的频率响应，因此，频率特性分析的方法在控制工程中广泛应用。 频率特性的定义是以输入信号为谐波信号给出的。当输入信号为周期信号时，可将其分解为叠加的频谱离散的谐波信号；当输入信号为非周期信号时，可将非周期信号看成周期为无穷大的周期信号，因此，非周期信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号。这样一来，就可用关于系统对不同频率的谐波信号的响应特性研究，取代关于系统对任何信号的响应特性的研究。 5.1频率特性概述 5.1.1频率特性的基本概念 1频率响应：线性定常控制系统或元件对正弦输入信号（或谐波信号）的稳态正弦输出响应称为频率响应。 为了说明频率响应，先看一个RC 电路，如图5-1（R-C 电路）所示。设电路的输入、输出电压分别为()r u t 和()c u t ，电路的传递函数为 ()1 ()()1 c r U s G s U s Ts = =+ 式中，RC T =为电路的时间常数。 若给电路输人一个振幅为X 、频率为ω的正弦信号 C ) t (u r ) t (u c 图5-1 R-C 电路
第五章 连续系统的复频域分析习题解答 5-1. 画出下列各序列的图形： 。 )2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30 ,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f k k -==+=???<+=++=+=- εε 5-2 写出图示各序列的表达式。 解： ) 6()3(2)()( )d ( )1() 1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41 321---+-=--=---=----=-k k k k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε 5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周 期。)(sin )( )3( )( ) 2( )8 73cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f k j εωπππ==-=- 解：; 14 , , 3 14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ (a) (b)
. , )( )3(; , 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ 5-4. 解：)]1()1()([1)(1100 ---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。 5-5. 列写图示系统的差分方程， 指出其阶次。 解：)1()()2()1( )(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。 5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为 ，每月利息不取出，试用 差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k ) 10元， 0.0018，y (0) 20元，求y (k )，若k 12，则y (12)为多少。 解：)()1()1()( )1()1()()(k x k y k y k y k x k y =-+-?-++=αα 元63.1415.5555)0018.1(5 .5575)12(5.5555)0018.1(5.5575)(5.55755.5555205.5555)0018.1()(5.5555)(5 .55510 100018.110 , 10)( ),0018.1()(0018.1 00018.1 10)1(0018.1)(121 11 00010=-=?-=?=?-=?-=?-=?-=?=?-===?=-?=-- y k y C C C k y k y A A A A k y C k y k y k y k k d d k λλ 5-7. 设x (0)，f (k )和y (k )分别表示离散时间系统的初始状态、输入序列入和输 出序列，试判断以下各系统是否为线性时不变系统。 ) (8)0(6)( )4( )(8)0(6)( )3()()( )2( )672sin()()( )1(2 k f x k y k f k x k y i f k y k k f k y k i +=+==+=∑-∞ =ππ 解：(1)满足齐次性和可加性，为线性系统，但显然不是时不变系统； (2)累加和满足齐次性、可加性和时不变性，为线性时不变性系统； (3)不满足齐次性、可加性和时不变性，不是线性时不变性系统； (4)虽满足时不变性，但不满足齐次性、可加性，不是线性时不变性系统； )
第五章线性系统的频域分析法 5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？ 答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。 图5-1 问5-1图 称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为 系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。 稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。 5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。 证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。证明如下。 假设系统传递函数为： 输入时， 经拉氏反变换，有： 稳态后，则有： 其中：
将与写成指数形式： 则： 与输入比较得： 幅频特性相频特性 所以是频率特性函数。 5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。 答频率特性的几何表示一般有3种方法。 ⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。它以频率为参变量，以复平面上 的矢量来表示的一种方法。由于与对称于实轴，所以一般仅画 出的频率特性即可。 ⑵对数频率特性曲线（伯德图）。此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的 频率特性。横坐标为，但常用对数分度。对数幅频特性的纵坐标为 ，单位为dB。对数相频特性的纵坐标为，单位为“。”（度）。 和都是线性分度。横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用 可给作图带来很大方便。 ⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。这种方法以为参变量，为横坐标， 为纵坐标。 5-4 什么是典型环节？ 答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为 典型环节。①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节； ⑤一阶微分环节
第五章 线性系统的频域分析法 思考题 5-1 已知系统如图5-1 ])2)(1(/[1,221K s s s G s G +++=+= 试用奈氏判据确定使系统稳定的K 值范围。 讨论题 5-1 单位反馈系统开环幅相特性如图5-2所示， 当输入2t 2 1t 51)t (r ++=时，系统稳态误差 125.0e ss -=，试确定系统临界稳定时的K 值。 5-2 已知系统结构如图5-3所示，试用奈氏判 据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 图5-2 图5-3 作业题 5-1 设系统结构图如图5-4所示，试确定输入信号 ｒ（ｔ）＝ｓｉｎ（ｔ＋３０°）－ｃｏｓ（２ｔ－４５°） 作用下，系统的稳态误差ｅss(ｔ)。 图 5-4 控制系统结构图 1G 2G r c -5 -3 -1 -2 ω j 0 ) a s 2s (s )1s (52-++ R(s) c(s)
5-2 典型二阶系统的开环传递函数为 )2s (s )s (G n 2n ζω+ω= 当取r(t)=2sint 时，系统的稳态输出为ｃss(t)＝２sin(t-45°) 试确定系统参数ωｎ、ζ。 5-3已知系统开环传递函数 ;)1Ts (s )1s (K )s (H )s (G 2++τ= （Ｋ、τ、Ｔ＞０） 试分析并绘制τ＞Ｔ和T ＞τ情况下的概略开环幅相曲线。 5-4 已知系统开环传递函数为 )1s T (s )1s T (K )s (G 12++-=;（Ｋ、Ｔ1、Ｔ2＞０） 当取ω＝１时， o 180)j (G -=ω∠,|Ｇ(ｊω)|＝０.５。当输入为单位速度信号时，系统 的稳态误差为0.1，试写出系统开环频率特性表达式G(ｊω)。 5-5 已知系统开环传递函数为 ) 1s 5.0s )(1s 2(s 10)s (H )s (G 2+++= 试分别计算ω＝０.５和ω＝２时，开环频率特性的幅值A(ω)和相位φ（ω）。 5-6 绘制下列传递函数的对数幅频渐近特性曲线： (1) ) 1s 8)(1s 2(2)s (G ++= （2）)12s )(1s s (s )11.0s ( 8)s (G 2++++= 5-7 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性曲线如图5-5所示，试确定系统的开环传递函数。
五．线性系统的频域分析法 5-1 频率特性 1． 频率特性的基本概念 理论依据 定理：设稳定线性定常系统)(s G 的输入信号是正弦信号t X t x ωsin )(=，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率ω的函数，表示为 )](sin[)()(ωφωω+=t Y t c 。 幅频特性：|)(|ωj G ，输出信号与输入信号幅度的比值。描述幅度增益与频率的关系； 相频特性：)(ωj G ∠，输出信号的相角与输入信号相角的差值。描述相移角与频率的关系； 频率特性：)(ωj G ，幅频特性和相频特性的统称。 传递函数)(s G ? 频率特性)(ωj G ?? ?∠) (|)(|ωωj G j G 。 1. 幅频特性 A(ω) G(j ω) 相频特性 ψ(ω) G(j ω) 指数表达式G(j ω)= A(ω)e j φ(ω) 频率特性的物理意义是： 当一频率为ω的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。 2.频率特性的几何表示法(图形表示方法) 图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。 a) 幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、奈氏曲线等。横轴为实轴，纵轴为虚轴，当频率ω从零变到无穷大时，)(ωj G 点在复平面上留下频率曲线。曲线上的箭头表示频率增大的方向； 极坐标形式： 直角坐标： 实轴正方向为相角零度线，逆时针方向为角度的正角度，顺时针为负角 度。 幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。
b) 对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又称伯德)(Bode 图。伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上下对应的两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，|)(|log 20 j G ， 单位是分贝db ，均匀刻度；相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用弧度)，均匀刻度。 对数幅频特性图 对数相频特性图 采用对数分度优越性：1把串联环节的幅值由相乘变为和的形式。 2。可以展宽低频率段，压缩高频率段。 对数幅相曲线 对数幅相曲线又称尼科尔斯图。将幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝db ，均匀刻度；横轴为相移轴，单位是度，均匀刻度。 5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制 反馈控制系统的开环传递函数通常易于分解成若干典型环节串联，了解典型环节的频率特
第五章 幅度调制系统 5-1以占空比为1:1、峰 — 峰值为2m A 的方波为调制信号，对幅度为A 的正弦载波进行标准幅度调制，试 ① 写出已调波()AM S t 的表示式，并画出已调信号的波形图； ② 求出已调波的频谱()AM S ω, 并画图说明。 解：① 令方波信号为2 ()(1)2 m m T A nT t nT f t T A nT t n T ? + <<+??=??- +<<+?? 0,1,2,...n = ± ± ，则 000 ()cos 2 ()[()]cos ()cos (1)2 m AM m T A A t nT t nT s t A f t t T A A t nT t n T ωωω? + ≤<+??=+=??- +≤<+?? 其中0,1,2,...n = ± ± 。 ② 取方波信号一个周期的截断信号02 ()0 2 m T m T A t f t T A t ? + <
第五章 频率特性法 5-1．已知某些部件的对数幅频特性曲线如图5-51所示，试写出它们的传递函数)(s G ，并计算出各环节参数值。 解：()a .1 ()1 K G s s ω= +，由20lg 20K =，10K =，110ω=，则10 ()0.11 G s s = + ()b .1 ()10.11s G s s ω=+=+ ()c .1 0.1()0.0511 Ks s G s s s ω= =++ ()d .2 2 50 ()(0.011) (1)K G s s s s s ω = = ++ ()e .1 2 100 ()(1001)(0.011)( 1)(1) K G s s s s s s s ωω= =++++ ()f .1 2 100 ()(1)(0.11) ( 1)( 1) K G s s s s s ωω= =++++
()g .2 2 2222 31.6644()2189644n n n K G s s s s s ωξωω?==++++ 其中n ω，ξ 由r ωω= r M = 得0.147ξ=，644n ω= ()h .2 2 222210 3.55()20.852 3.55n n n K G s s s s s ωξωω?==++++ 0.12ξ= 3.55n ω= ()i 2 2 222210050()(2)(3050) n n n K G s s s s s s s ωξωω?==++++由20lg 2 4.85ξ-=， r ωω=得n ω，ξ 0.298 0.3ξ=≈，50n ω=。 5-2．概略画出下列传递函数的幅相频率特性曲线 (1) ) 1()(+=Ts s K s G (2) ) 1()(2+= Ts s K s G (3) ) 1()(3+= Ts s K s G 解 (1)()()(1)K G s G j s Ts ω= ?= +， 1()90G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()90G j ω∠=- ω=∞时，()0G j ω=，()180G j ω∠=- (2) 2()()(1)K G s G j s Ts ω= ?=+，1 ()180G j tg T ωω-∠=-- 取特殊点： 0ω=时，()G j ω=∞，()180G j ω∠=-
实验3 线性系统的频域分析方法 1、主要内容：自动控制系统频域分析上机实验 2、目的与要求 熟悉 MATLAB 软件在频域分析中的基本应用 熟悉 MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线 由 MATLAB 软件绘制的 Bode 图判别闭环系统的稳定性 3、重点与难点： MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线及稳定性判断 MATLAB 软件绘制 Bode 图、Nyquist 曲线 一、实验目的 1、利用 MATLAB 绘制系统的频率特性图； 2、根据 Nyquist 图判断系统的稳定性； 3、根据 Bode 图计算系统的稳定裕度。 二、实验任务 利用 MATLAB 绘制系统的频率特性图，是指绘制 Nyquist 图、Bode 图，所用到的函数主要是 nyquist 、ngrid 、bode 和 margin 等。 1、Nyquist 图的绘制及稳定性判断 nyquist 函数可以计算连续线性定常系统的频率响应，当命令中不包含左端变量时，仅产生 Nyquist 图。 命令 nyquist(num,den)将画出下列传递函数的 Nyquist 图： 1110 1 110()m m m m n n n n b s b s b s b GH s a s a s a s a ----++++=++++ 其中，1 10110[],[]m m n n num b b bb den a a a a --==。 （1） 已知某控制系统的开环传递函数为 50 ()(5)(2) G s s s = +- 用matlab 绘制系统的奈氏图，并判断系统的稳定性。 当K=1时：图取下半部分，由图有Z=P-2N=1-1=0，系统稳定。