跟踪指数稳健投资组合选择
报告要点：
1.本文提出的标准的线性规划模型可以用标准的优化软件来求解，
资产权重的灵活变化有利于求解。
2.投资组合股票数量Γ取20附近是最好的保守的设置。对于更多
股票的投资组合，当Γ取30附近将产生最好的效果。。
3.在一定时期的一年以上的投资的日跟踪误差。Γ取15附近的
投资组合是更保守的好的设置，这种组合将会超过或者非常
接近基准投资组合的效果。还显示了Γ取30附近也是较好的。
作者：徐清振
电话：0755-********
e-mail:
xqz1997@https://www.doczj.com/doc/0e463947.html,
报告编号：2011046
完成时间：2011-6-27 独立声明：本报告所采用的信息及数据均来源于公开可得到的资料。
博士后工作站专题报告
目录
摘要...........................................................................................................................I 1. 引言.. (1)
1.1文献综述 (1)
1.2论文贡献 (3)
1.3 本文构架 (4)
2. 投资组合选择模型 (4)
2.1模型变量 (4)
2.2决策变量 (4)
2.3模型 (5)
3. 稳健公式构想 (6)
3.1稳健问题模型构建 (6)
3.2稳健的信息管理系统模型 (7)
3.3解决子问题的精确算法 (7)
4. 实证结果 (8)
4.1计算因素 (9)
4.2模型数据 (10)
4.3执行标准 (10)
4.4模拟结果 (11)
5. 结论及建议 (12)
参考文献 (13)
摘要
在给定资产的子集中我们研发了一种稳健投资组合选择模型来跟踪一个市场指数。该模型是0-1整数程序目标是使选定的资产和目标指数资产之间相似性最大化。我们允许目标函数的不确定性，并且利用可计算的易处理的稳健框架来控制解的稳定性和收敛性。这种方法可以保证潜在误差和偏离度最坏情况不会出现。利用S&P100的非样本试验说明该稳健模型的优点。与利用名义模型建立的投资组合相比，适度传统的稳健投资组合研究表明具有低跟踪误差和低风险，能更好的接近目标指数。研究结果将对广大投资者具有一定的借鉴作用。
关键词：指数跟踪、被动基金管理、投资组合选择、稳健性最优化
1.引言
指数跟踪是被动式管理的一个典型类型，目的是复制一个基准资产组合。跟踪指数的最简单的办法就是持有该指数的所有资产并且数量也相同，该方法就是完全复制。具有小权重的资产组合将会成比例地产生高的交易费用，指数样本的频繁修正将会导致总体的交易增加。修正是涉及高易变性的一个特殊的问题。价格波动能引起很多资产加入指数和从指数中剔除。由于被动管理的最重要的一个优点是减少交易费用，他们希望持有比目标指数更少的资产。但是，这种方法导致跟踪指数并不能尽可能地完全复制指数。减轻这些问题的一种方法是使期望的跟踪误差最小化，但是这可能产生复杂的模型，需要潜在的次最优启发式算法来解决实践中的问题。其它的方法试图匹配指数的期货收益，直接利用Markowitz 建立的均值方差优化理论或者间接使用经济因素。我们用一个模型来使构建的跟踪组合资产和目标指数中的资产之间的相似程度最大化，这样可以避免前面所述方法的很多缺点。本文提出的模型仅仅考虑为了跟踪投资组合的初始选择以及后续的资产投资，这样我们不用面对重新调整投资组合资产组合的问题。这篇论文的主要目的是在一个时期设置内研究我们选股模型的稳健效果。重新调整投资组合和交易成本在多时期设置内结合稳健性可利用随机编程方法和稳健最优化方法的组合被解决。
1.1文献综述
在资本市场上，利用投资组合收益和指数收益区别的方差来测量跟踪误差。目标函数中使方差最小化产生一个二次规划，如参考文献[1]和[2]中所述。文献[3]中Gaivoronski等学者详细地讨论了不同方法的跟踪误差。一些研究学者试图解决利用启发式算法的次优解逼近目标指数而造成的模型的复杂性。例如，Beasley 等[4] 创建了一个进化优化算法来使一个潜在的非线性跟踪误差函数最小化，该算法涉及到交易成本和投资组合重新调整投资组合。Gilli和Kellezi[5] 利用临界值接受启发式算法来是带交易成本的跟踪误差最小化。根据Jasen和Dijk[2]的模型，Coleman等[6]专家利用渐进的非凸性算法，使目标函数中带关联的基数约束条件的二次跟踪误差最小化。这个算法首次发现不受约束的问题全球性最佳方案，随后逐渐地通过一系列局部优化解来达到资产所需的数量，最后产
生了一个近似最佳的最终解。另一个途径是利用一个线性定义来最小化跟踪误差，形成一个经得起检验的线性规划。Kono和wijayanayake[7]利用分支限界法来最小化均值绝对偏差，并且对均值跌势偏差提出一个可选择的模型。Rudolf [8]等也利用线性规划最小化跟踪误差，并且研究了四种不同的跟踪误差的线性方法。
一种不同的跟踪误差的方法是利用均值方差优化，并且定义与一个基准指标相关的跟踪误差的方差。Roll[9] 利用均值方差理论最小化二次跟踪误差，并在跟踪投资组合的β系数加上一些附加的约束条件。Rohweder[10]在目标函数中包括交易费用，并提出单因素模型产生的协方差矩阵比历史记录的组合更优越。Wang[11]也包括了交易费用，并且证明多指数可以被跟踪利用把问题转换成跟踪一个指数的标准问题。
还有很多著名的问题。执行均值方差优化，例如由于舍入误差协方差矩阵不是正定的，或者病态的相关矩阵导致不稳定的资产分配。另外更有意义的问题是与收益相关的母体参数是未知的，所以必须估计。尤其，平均收益的精确预测的困难是非常重要的。Jagannathan 和Ma[12] 建议收益样本均值的估计误差太大以至于无法使用，倡导利用最小方差替代。DeMiguel 和Nogales[13]也支持上述观点。他们利用协方差矩阵的稳健估计算子创建一个单步式非线性优化，来产生更稳定的最小方差组合。他们引用Merton[14]阐述了具有更频繁的收益样本的样本协方差的估计误差可以减少，然而样本均值的估计误差只能利用更长时期的时间序列来减少，也就是说合理的均值收益估计只能利用过分地长期时间序列来解决。
因素模型也被用来跟踪指数，通过目标指数的那些特征来匹配跟踪投资组合的特征。Rudd[15]针对投资组合选择提出一个启发式算法，并且利用最小化余值风险指数的整体β系数创建投资组合。Corielli 和Marcellino[16]也考虑了多因素，应用一个简单的选择启发式算法产生一个投资组合来避免能产生跟踪误差的长期因素。Erdogan[17] 等考虑了不同的因素，利用基于均值方差优化的模型，利用成比例交易成本和在β上加一个约束使夏普比率最大化。为了产生一个更精确的收益预测，他们使用资本资产定价模式。他们利用Ben-Tal和Nemirovski[18]
的稳健优化理论证明夏普比率的估计误差，产生了一种二阶锥(Second Order Cone, SOC)规划。Canakgoz和Beasley[19]用一个不同的办法，形成一个信息管理系统具有一个基于线性回归的目标函数。为了基本的指数跟踪他们解决了他们的模型通过三个阶段，首先是关于收益的插值回归的匹配，然后是回归斜率，最后是交易成本的估值方法的最小化。
也有主张基于协整的指数跟踪方法，利用价格的时间序列来预测长期趋势的方法。Alexander 和Dimitriu[20] 创建了一个方法来决定协整优化的权重，在一个指数跟踪投资组合中一组已经选择的股票的权重。他们与Roll[9]模型中做的那些组合进行比较协整优化，表明一个相似的非样本结果。用相似方法，Dunis 和Ho[21] 为了跟踪组合采用协整最优化权重，而不是选择的方法。他们认为基于相关系数的投资组合权重将需要更频繁的重新调整投资组合。Focardi和Fabozzi[22]提出了一个簇相似方法，基于距离函数的协整股票来比较资产价格的时间序列。他们建议这些簇可以简化投资组合选择的过程，允许用手工或者优化从一个簇里面选一个资产。
就我们知识所知，还没有任何稳健优化的应用于指数跟踪。然而，稳健优化已经被有效地应用在各种各样的其它金融领域。例如，Tutuncu和Koenig[23] 用自动组合代替点估计创建一个稳健模型用来资产配置以及收益和方差。Bertsimas 和Pachamanova 将稳健形式延伸至多时期的投资组合管理，这个问题可以用线性规划解决。Kawas 和Thiele[25] 开发了对数稳健的投资组合管理，提倡连续的混合收益率即不确定的潜在的收益驱动而不是积极的收益。Pinar和Tutuncu 介绍了与套利有关的稳健利润机会的概念。他们也提出了单时期和多时期模型来使稳健利润机会最大化。很多这些观点都在Cornuejols和Tutuncu[27]中也提到过。
1.2论文贡献
本文我们采用Cornuejols和Tutuncu[27]提出的一个整数规划。在一个时期为了跟踪投资组合我们选择一个给定的资产数量。该模型指定在跟踪投资组合内包括的资产数量，替代了明确的交易费用。该模型避免用二次跟踪误差的计算困难，用最大化跟踪投资组合的资产和他的目标指数两者之间的相似性作为替代。
利用标准的最优化软件可以找到精确解。而且，在模型中收益不必预测，在均值方差优化中存在的很多其他数据问题都可以避免。然而，模型中的目标函数的相似测量仍然需要估计，并且在时间上容易误设和偏离。该问题在协方差矩阵中的均值方差优化中也出现。所以，为了防御风险，我们应用Bertsimas和sim[28]提出的稳健离散优化理论，该理论允许指定目标系数的不确定范围代替具体的统计分布。这个理论防御目标函数中最差的案例，并且维持计算的易处理性，允许稳健投资组合选择模型来处理实践指数。我们研究了稳健理论的属性，即允许在解的收敛性上控制。S&P500的非样本测试表明在模型中结合稳健性可以产生更好的效果，尤其在更合理的保守的资产设置。
1.3 本文构架
第二部分提出了名义模型对投资组合进行选择资产。第三部分提出模型的稳健公式以及解决的方法。第四部分提出试验方法和结果。第五部分是结论及建议。
2.投资组合选择模型
Cornuejols和Tutuncu[27]所提出跟踪投资组合的股票选择的模型。自从该模型被解决之后，利用基于相似性的目标指数的资产市场价值，选择可以被权重化。资产之间相似性的测量方法有非常多。例如，协整和方差。像Cornuejols和Tutuncu，我们用收益相关性来进行试验，因为它是一个简单的有边界的方法，可以有最大化目标。
2.1模型变量
从一个有n资产目标指数假设我们构建一个q资产的投资组合，。令
代
ij
表资产i和资产j之间的相似性。
2.2决策变量
如果资产j是从该组合中选择的资产，令
y代表1或者0（1是，0不是）。
j
x代表是否资产j是股票i的一个代表。在投资组合中如果j是i最相似的资令
ij
产那么1ij x =，否则，0ij x =。
2.3模型
11m ax n n
ij ij i j Z x ρ===∑
∑ （1）
组合容量约束假设条件，
1n
j j y q ==∑
（2）
在投资组合中每个股票恰好有一个代表，
11,1,,n
ij j x
i n ===∑ （3）
股票必须在投资组合中是一个典型的，具有代表性，
,1,,;1,,ij j x y i n j n <== （4）
,{0,1}ij j x y ∈
求解该模型，利用每个选择的资产j 市场价值的和计算出
j w ，i v
指数中每个股票的权重，如下表示，
1n j i
ij i w v x ==∑
投资选择的每只股票的比例等于分投资组合内每只股票权重之和。由于大多
数指数都是以市场总值标记股票，所以市场价值经常被使用。例如，如果有人正在跟踪等权重的指数，那么市场价值根本不需要，并且i v 将从前面的方程中去掉。i v 代表目标指数中i 资产的市值，市场价值很明显地加入到该模型中，只有这样才可能的产生与市场价值最大的相似性。为了能在市场价值中包括不确定的信息，将需要决定收益风险的水平。
该模型的优点是不需要使用明确的期望收益估计，这样能避免收益估计误差
带来的问题。由于模型是整数规划，很容易添加线性和离散约束条件。而且，就匹配目标指数权重方法方面， 在选择权重前的行为允许很大的灵活性。一个缺
点就是ij ρ产生了一个与目标指数资产数量相关变量和约束条件的二次数。尽管如此，实践中存在的问题可以利用标准的线性优化软件来解决。减少这些问题的计算问题和方法在4.1节讨论。
3. 稳健公式构想
为了执行名义投资组合选择模型，相似测量必须使用历史数据来估计。但是，实际中的相似度将随着时间的变化而变化。所以，目标必须服从于不确定的未来实现和潜在的估计误差。由于这种原因，我们利用稳健最优化，该方法可以对一些边界不确定最坏案例的实现提供一个最优解。指导执行稳健最优化方法，我们建议Bertsimas 和 Thiele[29]的方法。
利用Bertsimas 和sim[28]的稳健最优化理论有特殊的优势。对于具有n 个决
策变量的0-1最优化，他们研究表明 稳健相似问题可以利用名义问题的n+1次引用来解决。该理论允许不确定性可以表示成一个范围，不需要明确的统计分布，避免了收集模型数据的问题。守恒性的程度可以被控制，如果只有一定数量的系数实现最低边界值可以产生最优化解， 。在第四节也就是最后一个特征将显示出实践意义。
3.1稳健问题模型构建
标准的稳健模型由Bertsimas 和Sim[28]提出，表示形式如下，
{|,||}min{max {}}
j j x X S S N S j S c x d x ∈?≤Γ∈'+∑ （6）
对于问题min x X c x ∈'是以一系列约束X 为条件的。在稳健公式中成本系数是
一个随机变量具有期望值c 和最大值c+d ，这里d 是非负的。解的守恒性利用任意值Γ来设定。Γ指定解中的系数，允许最坏可能的情况下采取最高的边界值。S 代表N 资产集中的一些子集，例如Γ是最大偏离。最差守恒的设置0Γ=稳健问题等同于名义问题。
通过修改名义目标函数方程（1）可以适用于投资组合选择模型。意味着成
本系数的期望值如相似度ij ρ，指定成本系数最小值是
ij ij d ρ-，这里ij d 是非负的。投资组合选择目标是最大化，所以标准工时的内部最大化变为内部最小化。稳健
投资组合选择公式是，
{|,||}11,m ax {m in {}}
n n
ij ij ij ij S S N S x X i j i j S z x d x ρ?≤Γ∈==∈=+-∑∑∑ （7）
这个最大化最小化方程保留了文献（6）中所提到标准稳健最优化框架所有
有关的特征。
对于投资组合选择模型我们指定所有资产组合的相似范围。因此，我们假设资产i 和j 的相似度有一个期望值ij ρ，并且ij ρ不小于ij ij d ρ-。这里d 是一特定的跌势差。Γ是所有选择的资产中最高的偏差将从目标值中减掉。
3.2稳健的信息管理系统模型
采用Bertsimas 和sim[28]的方法，我们采用决策变量θν和来解决方程(7)内
部最小化问题。与方程(7)等价相似信息管理系统稳健方程式如下，
11m ax {}n n
ij ij ij i j Z x v ρθ===--Γ∑
∑
服从条件如下，
,0,,{1,,}ij ij ij ij v d x i j n
v i j n θθ+≥?∈≥?∈
并且也服从方程（2）-（5）的名义约束问题。
3.3解决子问题的精确算法
下面的这个算法能产生精确解。他是为了达到最小化问题，对Bertsimas 和
sim[28]算法的简单应用。
算法A 。假设我们从大到小对所有n 个非零的跌势差进行排序，例如，
12n
d d d >>> ，并且定义10n d +=。在算法中为了符号方便，一个与偏差1d 相对应的决策变量l x 被用来替代ij x 。
1. 1,...,1l n =+ 解决n+1名义问题，
1m a x {()}l
l l x X k l k k G d x d d x ρ∈==-Γ+--∑
2. 令l x 是一个相关问题的最优解。
3. 令*1,,1
****arg m ax ;;l l n l l l G Z G x x =+===
这个算法通过分解成几个相关的子问题来求解3.2节提出的稳健的管理信息系统。尤其，针对θ，MIP 被分割成n+1类值的范围，因此，在第n+1子问题中，缺少变量θ。在这些子问题中，我们可以看出具有最高相关值的子问题将有与稳健系统最优解相同的解，如定义1中所示。
算法A 的最优解的简单证明如下。对于MIP 的一个最优解
***(,,)v x θ，根据MIP 的第一个约束条件知
***min(,0)ij ij ij v d x θ=-。因为x 是一个0-1决策变量，当***min(,0)ij ij ij v d x θ=-，x 是1. 决策变量v 可以在MIP 中采用迭代。算法A 通过
分割θ可能的值分成n 个区间121[0,],[,],,[]n n n d d d d d -- 来划分子问题。由于目
标是一个θ的线性函数，那么θ就每个区间的两个极值得其中一个，于是出现了l G 的定义。对于算法A 的完整的优化证明过程已经被Bertsimas 和sim[28]证明。
对Γ
的所有值产生的投资组合，这个算法是特别有用，因为不管Γ如何取值，l G 内部最大化的值是一样的。因此， Γ的一个值的解可以用来获得任何Γ值得解。对于投资组合选择模型，明显非零偏差的最大数量是q 资产中的唯一一对最大数量。于是，子问题的最大数量可以被解决，如下，
222q q q ??-= ???
这里每个子问题是一个名义投资组合选择问题。
4. 实证结果
标普100指数被用来作为目标指数进行投资组合跟踪。标普100是一个股票
市场指数，一系列股票构成了标普指数。这个指数由美国公开上市公司前100名组成。标普100的股票是基于很多因素选择的，包括市值和所有主要经济领域的平衡代表股票。同样，股票可以由于很多原因被清除标普指数，例如，兼并，收购，或者失去财务能力。根据需要指数可以添加或者清除某些股票。指数值主
要与动态调整的市值之和成比例变动，是所有成分股或公开交易股票市值。
从2002年1月2号到2006年1月3号的日投资收益数据被用作该稳健模型的数据。试验跟踪了从投资日起至2007年1月2日的非样本业绩，假设所有资产初始投资后没有重新调整过。2005年底的市值用来计算跟踪投资组合资产的初始权重。所有数据均从美国指数数据库CRSP获得。
4.1计算因素
利用CPLEX 软件9版本的默认设置来解决3.2节中提出的算法A的子问题。该试验针对每个名义问题产生10100个决策变量和10101个约束变量。利用所有投资组合拥有相同的指定的资产数量，为了产生Γ从0到100的101个跟踪投资组合，4951个名义子问题在算法A中解决了。使用双核2.13GHz、随机内存2G 的计算机，101个投资组合中的每一个计算时间都小于1.5小时。
在名义方程中，与q指数的资产数量相关的决策变量的数量成平方级别扩展。Cornuejols和Tutuncu[27]提出一个拉格朗日松弛来改善分枝界限法的时间，他们利用标普500作为目标指数来解决名义问题，其中包含500个股票。他们也提出一个简单的启发式算法来产生可行解和一个最优解的更低的边界。在算法A 中求解过程中名义子问题的数量与q有关，潜在的以平方级别扩展。用3.2节中显示的上边界，跟踪健壮标普500可以潜在的需要124750个子问题，一个名义子问题平均需要小于1秒完成，整个算法可以在一天内完成。然而，如果有具有唯一的值更少的偏差，子问题的数量可以减少。因此，如果我们围绕偏差值近似成3个有意义的数字，又因为相关系数取值在-1和1之间，则就可以只有几百个子问题需要解决了。这是一个非常合理的限定，因为目标函数的影响将是最小的，偏差也不可能有更高的精度。我们得到结论，用算法A和论文中提出的名义问题，一个有500资产的指数在一定可行数量的时间内便可以跟踪完成。
对于更大问题产生全方位稳定解可能是不现实的，因此3.3节提出的MIP 可以用Γ具体值替代求解。但是，Bertsimas和sim[28]建议他们稳健的MIP模型对成比例的大问题可能不行。为了解决这个问题，对0-1强健MIP 学者Atmaturk[30]提出了一个可选择强大公式。这些公式有更紧的线性规划松弛系数，该方法可以改善分枝界限法的求解时间。
4.2模型数据
两资产的日收益之间的相关关系被用来相似性的有效测量，Cornuejols 和
Tutuncu[27]。这篇论文中使用的相关系数一般使用乘积矩相关系数，一对资产的日收益协方差被分解成给定时间日收益的个体方差。用协方差代替相关系数将带来困难，因为协方差最大化也增加高变花股票的选择。，尤其带有对角元素。此外，相关系数有一个边界范围，可以简化每对相似性缩放跌势差的过程。
Elton 等[31]表明 多时期的相关系数的简单移动平均是一个未来相关系数
的有效预测。他们建议通过分组股票和各种各样的多种因素例如行业和资本规模可能在预测方面更能改善。然而，这不适合我们的模型，因为该模型最大化单个相关系数。因此，每个相关系数应该被区别。例如，对2004至2005年中8个季度每一对相关系数都可以被计算出来，这八个季度的平均用于期望相似。每对资产的偏差值被设定与八个季度内之间一对相关系数的样本标准偏差相同。这将导致一个合理的，但不是非常保守的现实中可能范围的估计值。每时期相关系数的86%在相应的最低边界值之上。稳健最优化做了一个内在的保守假设通过用最差案例值，所以一个不确定的大范围包含一个极度不大可能的事件和一个无意义的稳健最优化。
4.3执行标准
本节，我们定义了标准矩阵用来跟踪投资组合的非样本效果。标普100的收
益用来比较投资组合的效果。非样本期间指数组成的改变将会产生一些跟踪误差。
投资时间内每个跟踪投资组合的每个资产的相对β值计算如下，
cov (,)
var ()a i i ariance r r iance r β=
这里a r 资产的每日收益，i r 是目标指数的日收益从2004年到2006。跟踪投
资组合的β值是他们股票β值的市值加权平均。因此，目标指数的β值是1，这就是一个跟踪投资组合所期望的β值。
4.4模拟结果
图1 最保守的投资组合的期望相关系数图2 非稳健投资组合的非样本跟踪误差图1横坐标是投资组合的股票数量。纵坐标是一对相关系数的期望平均。随着投资组合股票数量的增加相关系数的期望平均也增加，最后接近于1. 从图2中可以看出，跟踪误差随着投资组合样本数量的增加逐渐减少，当等于目标指数的样本数时，误差几乎为0.
图3 不同Γ和持有资产数量的投资组合的β系数
在图3中说明了每一个跟踪投资组合的目标指数的β系数。随着Γ从0到100的值的增加，增加股票β系数将会减少投资组合的β系数。与名义投资组合相比，稳健的投资组合表现出更好的β值，尤其当Γ取10到30之间时。图4中表示投资一年后的市场效率。所有投资组合的市场效率都超过了目标指数的效率。Γ取20附近是更好更保守的设置。对于更多股票的投资组合，当Γ取30附近将产生最好的效果。
图4 不同Γ和持有资产数量的投资组合的市场效率
图5表明在一定时期的一年以上的投资的日跟踪误差。Γ取15附近的投资组合是更保守的好的设置，这种组合将会超过或者非常接近基准投资组合的效果。图5中还显示了Γ取30附近也是较好的。
5. 结论及建议
本文提出投资组合选择模型来最大化相似性，并且该模型针对一个潜在的不确定相似估计的组合是稳健的。该模型有很多出色的特征，例如一个标准的线性规划模型可以用标准的优化软件来求解，还有资产权重的灵活变化。我们避免了预测平均收益，有利于更好的预测期望相似度。稳健的最优化可以用来减少估计误差和其它的变化。
我们根据实际问题通过跟踪标普100,给出了一个模型案例。简单且有效预测一对相关系数用来测量股票间的相似度。我们非样本实验结果表明了该稳健投资组合的优点。尤其，该更适中的保守的稳健投资组合产生具有良好的效果，主要体现在β系数、市场效率，和跟踪误差。所有这些效果都来至于名义目标的最低
成本；稳健投资组合的期望相似度接近最优化的。该文对投资组合的选择具有重
要的意义。
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