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《七桥问题与一笔画》教案
广西玉林市陆川县万丈初中陈勇欢
所用教材
人教版七年级上册第三章P121-122
教学任务分析
教学流程安排
课前准备
教学过程
一、展示问题引入新课
18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？
二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A 、B 、C 、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？
● 点A 、B 表示
岛
点C 。D 表示岸 ▎线表示桥
通过故事的形式把问题引出来，一方面激发
学生的学习兴趣，另一方面也可以让学生感
受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千
百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。接着让学生通过对七座桥的观察，在图上试走
等活动，
留给学生一个悬念，为后面的探究活
动埋下伏笔，同时也把学生的求知欲望推上
了一个高潮。
欧
拉利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型，七年级数学开始讲点、线、面，这些几何概念
是从现实中抽象化和理想化而来，在欧拉的眼中，在地图上
一个城市是一个点。岛和陆地抽象成点，桥抽象成线，直线是笔直的，生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。
①有奇数条边相连的点叫奇点。如：
●●
●
②有偶数条边相连的点叫偶点。如：
●●
③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。
2、每条线都只能画一次而不能重复。
三、活动探究
下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪些可以一笔画出，请填
让学生充分
理解这三个
概念为下面
探究规律做
准备。
教师重点关注：①
学生能否理解一笔
画②能否勇于克服
数学活动中的困
难，有学好数学的
信心。
老师发给学生每人
一份探究的图形与
表格然后，学生动
手、填表，教师参
与学生活动，并在
投影仪上展示学生
的作品
对于图①②③④⑤
⑥⑨有什么共同的
特点？如果它们能
一笔画，必须从什
么样的点出发？你
得到了哪些结论
⑼
A
B
C
C
一定有一个“起点”，
一个“终点”，还有
一些“过路点”。有
一条线进入过路点，
必有一条线离开过
路点，即对于过路点
来说，“进”和“出”
的线段总是成对出
现的，也就是说，对
于过路点，和它们相
连的线段总是偶数
条。
②对于起点和终点
来说，如果它们不是
同一点，那么和它们
相连的线段就是奇
数条，这时奇点有2
个.如果起点和终点
是同一点，那么就没
有奇点，即奇点个数
为0.
因为奇点个数为4，
所以七桥问题不能
一笔画，也就是说，
不能不重复地走过
所有的七座桥，再回
到出发点。
四、知识的拓宽与深化
在七桥问题中，如果允许再架一座桥，能否不重复地一次走遍这八座桥？这座桥应架在哪里？请你试一试！
五、课堂练习
1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，
2、下图是一个公园的平面图，能不能
使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？
在任何两地之间架桥都可以，这时奇点数2个，偶点数也是2个。但只能不重复的走过，而不能回到出发点。
知识来源于生
活，通过学以致
用，把在探究活
动中学到的知
识又服务日常
生活之中。在此
设置三道练习
题，让学生分析
问题及解决问
题的能力在此
得到升华，同时
也增强数学的
趣味性。
C
3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
六、小结：
师生共同完成，主要围绕以下两方面：
①在探究七桥问题中，我们运用了哪些
数学思想和方法去研究问题？谈谈你
活动后的感受。
②在探究过程中，你遇到了哪些困惑，
是如何解决的？还有哪些问题没有解
决？
七．课后作业
请你观察生活，设计一个运用“一笔画”的数学知识来解决的实际问题。并与同伴交流。引导学生把本节课的内容进行升华、提炼，帮助学生归纳解决问题过程中的思路和方法，让学生反思自己在学习中的优点和不足，使双基进一步落实，数学思想得到提升，改进学生学习，感悟数学价值。
引导学生关心身边的数学，善于用数学的眼光来审视客观世界中丰富多彩的现象，不仅能使学生学习到数学知识，同时也能让学生感受到数学在生活及社会各领域中的广泛应用。
教学设计简要说明
《七桥问题与一笔画》是一个实验与探究的课题。这节课有两个重点：一是实验，二是探究。所以在刚开始展示题目时，就让学生反复实验，最终仍是不能一次不重复地走过七座桥。然后，引出欧拉对七桥问题的建模，把实际问题转化成“一笔画”的数学问题，并让学生体会到转化的数学思想以及从具体到抽象的思想。
接着是活动探究，这是本节课的首要重点。在充分理解教材的基础上，我创造性地将教学内容重新打造，，特意为学生设计了一个探究的图形与表格，为学生有效探究规律搭建了一个非常好的“手脚架”。学生在搜集、观察数据的同时，引发对数学问题的思考，培养学生的观察能力，用表格、语言表示规律，培养归纳猜想的能力。
其次，运用“一笔画”的规律解决七桥问题，并把七桥问题拓宽与深化。
最后，再次运用“一笔画”的规律解决生活中的实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中，真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点，让学生感受到数学的价值。
“一笔画问题——七桥问题的解决”教学设计 执教者：高馨教学内容：“一笔画问题——七桥问题的解决”。 教学目标： 1.让学生体会用“数学模型方法”解决问题。 2. 通过其中抽象出点、线的过程,使学生对点、线有进一步的认识。 3.通过探究"一笔画"的规律的活动,锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。 教学重点：数学模型方法的渗透，以及在活动中去寻找规律，发现问题，解决问题。 教学难点：让学生自己探究得出"一笔画"的规律。 教学准备：课件，学习活动单3张，红色水彩笔。 教学过程： 导语：同学们，平时生活中，我们要用智慧的双眼认真观察周边的事物。今天，老师要和大家上一节有趣的数学活动探究课。准备好了吗？好，上课！ 一、故事激趣导入新课： 1.小视频（简笔画导入）师：请大家认真观察，（老师边画边说） 师：老师画这些图案时都是怎样画成的？ 2.介绍数学史，建立数学模型：18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河,河的中间有两个小岛,河的两岸与两岛之间共建有七座桥(如图),当时小城的居民中流传着一道难题:一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥,再回到出发点? 这就是数学史上着名的七桥问题,你愿意试一试吗?好，动笔吧。结果怎样？ 3.介绍瑞士数学家欧拉。欧拉把一个实际的生活情景问题转化成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。你们对一笔画问题感兴趣吗？想了解吗？今天我们就来一起研究“一笔画问题”。（板书） 4.什么叫一笔画？什么样的图可以一笔画成？（下笔后笔尖不能离开纸B、每条线都只能画一次而不能重复。）
5.认识连通图。 6.要研究一笔画图案有什么规律，我们必须先来了解两个重要概念：奇点和偶点点：有奇数条边相连的点叫奇点。 ●●● ②偶点：有偶数条边相连的点叫偶点。 ●●● 二、小组合作实验探究 1、师：我们来动手画几幅简单美丽的图案，请大家亲自感受一下! 2、小组合作探究要求： ①小组合作分工完成8个图形的判断。 ②完成后一起交流讨论，哪些图形能一笔画完成。 ③观察表格，能一笔画完成的图形有什么规律？ ④能一笔画成的图形起点和终点有什么规律？ 时间：6分钟 小组合作完成学习活动单： 5、小组反馈，并把能一笔画完成的图案在纸上描一遍，亲身体验一笔画的乐趣！（音乐） 6、总结规律：奇点个数为0或2时，可以一笔画。（板书） 7、进一步探究该如何一笔画？起笔与落笔有什么规律？ A．奇数点个数为0个时，由任意一点出发均可，且会回到原出发点。
《七桥问题与一笔画》教案 广西玉林市陆川县万丈初中陈勇欢 所用教材 人教版七年级上册第三章P121-122 教学任务分析
教学流程安排 课前准备
教学过程 一、展示问题引入新课 18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？ 二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A 、B 、C 、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？ ● 点A 、B 表示 岛 点C 。D 表示岸 ▎线表示桥 通过故事的形式把问题引出来，一方面激发 学生的学习兴趣，另一方面也可以让学生感 受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千 百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。接着让学生通过对七座桥的观察，在图上试走 等活动， 留给学生一个悬念，为后面的探究活 动埋下伏笔，同时也把学生的求知欲望推上 了一个高潮。 欧 拉利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型，七年级数学开始讲点、线、面，这些几何概念 是从现实中抽象化和理想化而来，在欧拉的眼中，在地图上 一个城市是一个点。岛和陆地抽象成点，桥抽象成线，直线是笔直的，生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。 ①有奇数条边相连的点叫奇点。如： ●● ● ②有偶数条边相连的点叫偶点。如： ●● ③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。 三、活动探究 下列图形中。请找出每个图的奇点个数，偶点个数。试一试哪些可以一笔画出，请填 让学生充分 理解这三个 概念为下面 探究规律做 准备。 教师重点关注：① 学生能否理解一笔 画②能否勇于克服 数学活动中的困 难，有学好数学的 信心。 老师发给学生每人 一份探究的图形与 表格然后，学生动 手、填表，教师参 与学生活动，并在 投影仪上展示学生 的作品 对于图①②③④⑤ ⑥⑨有什么共同的 特点？如果它们能 一笔画，必须从什 么样的点出发？你 得到了哪些结论 ⑼ A B C C
七桥问题与一笔画 广西玉林市陆川县万丈初中陈勇欢 所用教材 人教版七年级上册第三章P121-122 教学任务分析
教学流程安排 课前准备
教学过程 一、展示问题引入新课 18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？ 二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A 、B 、C 、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？ A 岛 D 岸 B 岛 C 岸 ● 点A 、B 表示岛 点C 。D 表示岸 ▎线表示桥 通过故事的形式把问题引出来，一方面激发 学生的学习兴趣，另一方面也可以让学生感 受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千 百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。接着让学生通过对七座 桥的观察，在图上试走 等活动， 留给学生一个悬念，为后面的探究活动埋下伏笔，同时也把学生的求知欲望推上 了一个高潮。 欧 拉利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型，七年级数学开始讲点、线、面，这些几何概念 是从现实中抽象化和理想化而来，在欧拉的眼中，在地图上 一个城市是一个点。岛和陆地抽象成点，桥抽象成线，直线是笔直的，生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具
问题的答案如何呢？让我们先来了解三 个新概念。 ①有奇数条边相连的点叫奇点。如： ●● ● ②有偶数条边相连的点叫偶点。如： ●● ③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开 纸。2、每条线都只能画一次而不能重复。 三、活动探究 下列图形中。请找出每个图的奇点个数， 偶点个数。试一试哪些可以一笔画出，请填 ● ● ● ● ● ● 让学生充分 理解这三个 概念为下面 探究规律做 准备。 教师重点关注：① 学生能否理解一笔 画②能否勇于克 服数学活动中的困 难，有学好数学的 信心。 老师发给学生每人 一份探究的图形与 表格然后，学生动 手、填表，教师参 与学生活动，并在 投影仪上展示学生 的作品 对于图 ①②③④⑤⑥ ⑨有什么共同的 ⑺⑻ ● ● A B C C C B O B C D F
七桥问题和一笔画 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。 图 1 图 2 七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。他把具体七桥布局化归为图2所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图2是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？请看下面的分析。 如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相
连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。 图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。 1736年，欧拉在圣彼得堡科学院作了一次学术报告。在报告中，他证明了上述结论。后来他又给出了鉴别任一图形能否一笔画出的准则，即欧拉定理。为了介绍这个定理，我们先来看下面的预备知识： 由有限条线组成的图形叫做网络，其中每条线都要求有两个不同的端点。这些线叫做网络的弧，弧的端点叫做网络的顶点。例如，图2是一个网络，a、b、c、d、e、f、g是它的7条弧，A、B、C、D是它的四个顶点。 网络中互相衔结的一串弧叫做一条路。如果网络中任意两个顶点都可以用一条路连结起来，那么就称这个网络为连通的；否则称为不连通的。例如，图2是连通的网络；图3是不连通的网络，其中有的顶点（例如A与D）之间没有路线连结。
七桥问题与一笔画的通解 （论文拟稿） 在柯尼斯堡的一个公园里，有七座桥将一条河上的两座岛和两岸相连接。当时有人提出了这么一个问题：如何一次性不重复不遗漏走完七座桥。后来，数学家欧拉将它变成了一个一笔画问题（如图）。 从欧拉的简化图来看，似乎我们无论如何，也不能一笔画完图形。但是，这是为什么呢? 在这个图中，有ABCD 4个点，有五条线汇聚到A点，三条线汇聚到B,C,D 点，我们可以把这种有奇数条线（3条及以上）汇聚的点称为奇点，作为对应，把有偶数条线（4条及以上）汇聚的点称为偶点。 那么，我们不难发现，在任意封闭图形中，奇点的个数一定是偶数。因为一条线定连接两个点（或重合），若存在奇数个奇点，则此图形定不符合封闭图形定义。 从一个奇点来看，若要一笔画成，则此奇点定是起笔点或停笔点。起笔点，停笔点只有两个，所以说，奇点为两个或没有奇点的封闭图形可以一笔画。 回来看七桥问题，图中有四个奇点，以任意两个作为起笔点和落笔点，则还有两个奇点无法连接。故七桥问题无解。 从上面总结出以下结论： ■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) 我们可以把得到的结论推广到所有一笔画解法存在问题，如汉字“田”，我们观察到，它有四个奇点，故不可以一笔画。而汉字“日”，只有两个奇点，则可以一笔画。 早在1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，就阐述了这种方法，也为后来的数学新分支--拓扑学的建立奠定了基础。 从这里我们可以看出，伟大的创造一开始可能并不像我们想象的那么高深莫测，仔细观察生活，我们也会有了不起的发现。
哥尼斯堡七桥问题体现的拓扑思想 摘要：七桥问题是1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交《哥尼斯堡的七 座桥》论文时提出的，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新进程。由哥尼斯堡七桥问题出发，分析其蕴含的思想、方法，并引出其中的拓扑思想。 关键词：七桥问题；拓扑；思想； 拓扑学（英语：topology），几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴.拓扑学起源于哥尼斯堡七桥问题，以及与此相关的一笔画问题。它所研究的是几何形体在连续形变，精确地说，双方一一而且双方连续的变换（称为同胚）之下保持不变的性质。理解得广泛些，拓扑学是研究数学中连续性现象的学科。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了，那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。 一、哥尼斯堡七桥问题简介 哥尼斯堡七桥问题是欧拉用抽象的方法探究并解决实际问题的一个典型实例，对开创图论与拓扑学的研究具有重大意义. 18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽的城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中心有一个小岛，河上有七座桥，如图(1)岛上有一座古老的大学，还有哲学家康德的墓地及塑像.当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步，渐渐地大家热衷于一个问题:一个人是否能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”，1735年，一群大学生写信将这个难题交给了著名的数学家欧拉 二、问题的解决
欧拉解决这个问题的第一步是把它尽量简化。他发现，对于这个问题，岛的大小、陆地的面积、桥的长短与宽窄等都不影响答案。因此，他用点表示岛与陆地，用线表示桥。把“七桥图”简化为一个几何图形如图（2）。这样，原题就转化为一个几何问题：能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点出发，只通过每条路线一次，而把所有的7条路都走完？或者说，能否从图（2），A、B、C、D四点中的某一点开始，不重复地一笔画出这个图？弧连接的顶点叫奇顶点。如果一个网络图只有偶顶点，那么它一定可以一笔画，并回到起点；如果一个网络图只有两个奇顶点，那么它可以从一个奇顶点出发，到另一个奇顶点结束，一笔画完；如果一个网络图只有一个奇顶点或者多于2个奇顶点，那么它一定不能一笔画。 最后，欧拉把上述结论用于图2，由于它的顶点都是奇顶点，所欲它一定不能一笔画。也就是说，“七桥问题”的答案是否定的。 欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。 一笔画的特征： ⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 ⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。) “七桥问题”的解决方案均是采用某种捆扎的概念（开集）使点集中的点与点之间发生关系。 “七桥问题”的解决归结为在七桥问题的图模型中寻找遍历每一条边恰好一次而回到原地的途径。欧拉解决这个问题开创了图论典型的思维方式和论证方式，反思欧拉解决“七桥问题”的思路有助于把握图论的本原思想，接受图论的思维方式和解题技巧。 三、体现的拓扑思想 欧拉为什么能抽象出图模型并据此解决七桥问题呢？是他利用特征抽象分析法与拓扑思考方式来考虑问题的结果。所谓特征抽象分析法就是把研究对象的本质特征抽取出来舍弃非本质特征的分析法。为了解决七桥问题，首先要给出问题的正确表征，尽量把问题简化，使得容易抓住问题的要点，对于七桥问题，陆地和岛的大小，桥的曲直长短是无关紧要的，只要关心点与点之间是否有线相连，故可用图来表征七桥问题的情景和结构。所谓拓扑思考方式就是只考虑图形中顶点和边线的个数而不考虑其大小和形状的思考方式。为了解决七桥问题，将图中顶点和边线的关联情况（顶点的度数）作为切入点，寻找有解的必要条件。在寻
七桥问题教学任务分析 教学流程安排
课前准备 教学过程 一、展示问题引入新课 18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？
这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？ 二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A 、B 、C 、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？ 问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。 ①有奇数条边相连的点叫奇点。如： A 岛 D 岸 B 岛 C 岸 ● 点A 、B 表示岛 点C 。D 表示岸 ▎线表示桥 通过故事的形式把问题引出来，一方面激发 学生的学习兴趣，另一方面也可以让学生感 受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千 百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。接着让学生通过对七座桥的观察，在图上试走等活动，留给学生一个 欧 拉利用了几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型，七年级数学开始讲点、线、面，这些几何概念 是从现实中抽象化和理想化而来，在欧拉的眼中，在地图上 一个城市是一个点。岛和陆地抽象成点，桥抽象成线，直线是笔直的，生活中没有完全精确的笔直线，这是理想化了，正因为数学的这种抽象，才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
●● ● ②有偶数条边相连的点叫偶点。如： ●● ③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。 三、活动探究 下列图形中。请找出每个图的奇点个数， 偶点个数。试一试哪些可以一笔画出，请填 让学生充分 理解这三个 概念为下面 探究规律做 准备。 教师重点关注：① 学生能否理解一笔 画②能否勇于克服 数学活动中的困 难，有学好数学的 信心。 老师发给学生每人 一份探究的图形与 表格然后，学生动 手、填表，教师参 与学生活动，并在 投影仪上展示学生 的作品 对于图①②③④⑤ ⑥⑨有什么共同的 特点？如果它们能 一笔画，必须从什 么样的点出发？你 得到了哪些结论 ⑼ A B C C
世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。 1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。 欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于下图中所画图形的一笔画问题了，这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。 经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连
通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。 但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如下图中的①、④为奇点，②、③为偶点。 1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如下图都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→① 2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如下图的线路是：①→②→③→①→④
七桥问题与一笔画 所用教材 人教版七年级上册第三章P121-122 教学任务分析 教学流程安排
课前准备 教学过程一、展示问题引
入新课 18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河,河的中间有两个小岛,河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图）,当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥,再回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题,你愿意试一试吗？ 二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A 、B 、C 、D 分别表示小岛和岸,用七条线段表示七座桥（如图）于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？ 问题的答案如 A 岛 D 岸 B 岛 C 岸 ● 点A 、B 表示岛 点C 。D 表示岸 ▎线表示桥 通过故事的形式把问题引出来,一方面激发 学生的学习兴趣,另一方面也可以让学生感 受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千 百人的问题,这样可以增进学生的求知欲。接着让学生通过对七座桥的观察,在图上试走 等活动 ,留给学生一个悬念,为后面的探究活动埋下伏笔,同时也把学生的求知欲望推上 了一个高潮。 欧 拉利用了几何的抽象化和理想化来观察生活,建立了准确的数学模型,七年级数学开始讲点、线、面,这些几何概念是 从现实中抽象化和理想化而来,在欧拉的眼中,在地图上一个城市是一个点。岛和陆地抽象成点,桥抽象成线,直线是笔直的,生活中没有完全精确的笔直线,这是理想化了,正因为数学的这种抽象,才使数学具有“应用的广泛性”这一特点。
何呢？让我们先来了解三个新概念。 ①有奇数条边相连的点叫奇点。如： ● ● ● ②有偶数条边相连的点叫偶点。如： ●● ③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。 2、每条线都只能画一次而不能重复。 三、活动探究 下列图形中。请找出每个图的奇点个数,偶点个数。试一试哪些可以一笔画出,请填表, 让学生充分 理解这三个 概念为下面 探究规律做 准备。 教师重点关注：① 学生能否理解一笔 画②能否勇于克服 数学活动中的困 难,有学好数学的 信心。 老师发给学生每人 一份探究的图形与 表格然后,学生动 手、填表,教师参与 学生活动,并在投 影仪上展示学生的 作品 对于图①②③④⑤ ⑥⑨有什么共同的 特点？如果它们能 一笔画,必须从什 么样的点出发？你 得到了哪些结论 ⑼ A B C C
七桥问题与一笔画 赤城四小 叶考良 【教学目标】 1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。 2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。 3、生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。 4、究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。 5、“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。 【重点】,运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。 【难点】,探究“一笔画”的规律 【教学过程】 一、展示问题引入新课 下面呢老师要给大家讲个故事： 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。（课件出示）如图所示：河中有两个小岛, 一个岛与河的左岸、右岸各有两座桥相连结，另一个岛与河的左岸、右岸各有一座桥相连结，两个岛屿之间也有一座桥相连结。人们经常在桥上走过，一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题的答案，但是谁也解决不了这个七桥问题。 同学们，你能解决这个问题吗？为什么？你是怎样想的。 二、分析并构建数学模型： 后来著名数学家欧拉是这样解决的：他把两个岛屿和陆地分别看成点A,B,C,D.所走的七桥路线用线条表示，这样就构成了一个简单图形，于是，七桥问题就变成了这样一个图形问题：也就是怎样才能从A 、B 、C 、D 中的某一点出发，一笔画出这个图形。这节课我们重温欧拉的研究之路，探寻什么样的图形可以一笔画。一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。2、每条线都只能画一次而不能重复。 A 岛 D 岸 B 岛 C ● 点A 、B 表示岛 点C 。D 表示岸 ▎线表示桥
七桥问题与一笔画教学设计 【教学内容】 新人教版数学下册整理与复习数学思考第104页，“你知道吗”【教学目标】 1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。 2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。 3、生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。 4、研究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。 5、“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。 【重点】,运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。 【难点】,探究“一笔画”的规律 【教学过程】 一、展示问题引入新课 同学们，今天老师要给大家讲个故事： 18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。（课件出示）如图所示：河中有两个小岛, 一个岛与河的左岸、右岸各有两座桥相连结，另一个岛与河的左岸、右岸各有一座桥相连结，两个岛屿之间也有一座桥相连结。人们经常在桥上走过，一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７
座桥，而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题的答案，但是谁也解决不了这个七桥问题。同学们，你能解决这个问题吗？为什么？你是怎样想的。 二、分析并构建数学模型： 后来著名数学家欧拉是这样解决的：他把两个岛屿和陆地分别看成点A,B,C,D.所走的七桥路线用线条表示，这样就构成了一个简单图形，于是，七桥问题就变成了这样一个图形问题：也就是怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个图形。这节课我们重温欧拉的研究之路，探寻什么样的图形可以一笔画。一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。2、每条线都只能画一次而不能重复。
Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The K¨o nigsberg Bridge Problem An Historical Project Janet Heine Barnett Colorado State University-Pueblo Pueblo,CO81001-4901 janet.barnett@https://www.doczj.com/doc/0015195598.html, 8December2005 In a1670letter to Christian Huygens(1629-1695),the celebrated philosopher and mathematician Gottfried W.Leibniz(1646-1716)wrote as follows: I am not content with algebra,in that it yields neither the shortest proofs nor the most beautiful constructions of geometry.Consequently,in view of this,I consider that we need yet another kind of analysis,geometric or linear,which deals directly with position,as algebra deals with magnitude.[1,p.30] Known today as the?eld of‘topology’,Leibniz’s study of position was slow to develop as a mathematical?eld.As C.F.Gauss noted in1833, Of the geometry of position,which Leibniz initiated and to which only two geome- ters,Euler and Vandermonde,have given a feeble glance,we know and possess, after a century and a half,very little more than nothing.[1,p.30] The‘feeble glance’which Leonhard Euler(1707-1783)directed towards the geometry of position consists of a single paper now considered to be the starting point of modern graph theory in the West.Within the history of mathematics,the eighteenth century itself is 1
教学过程 导入】 [ 引入] 我想大家对“签名”这个词一定都不陌生，拿起笔，刷刷几下，一个突显个性的签名就产生了。现在请大家看这样一个图形, 据说 穆罕默德他不识字，于是就以这个图形作为他的签名。现在 请你拿 出笔试试看，你会模仿他的签名吗（巡视一圈，请两位同学上黑 板 模仿）模仿得像不像呢我想穆罕默德看到了一定能辨出真假，因为他这 个签名是一笔画成的，你用几笔画成，连接处可能会有空隙， 而且这个感觉根一笔画出来的肯定是不一样。 穆罕默德应该是伊斯兰教的，跟中国的回族有 点联系，所以看了这个进口的问题之后，使我很自然地联想到我 们国产的一个游戏，请大家看这个图形，有点像“回”字，你能不能从某一点出发，不重复地一笔把它画出来这就是中国民间古老的一笔画游戏，而这个图形实际上也是来源于生活。大家知不知道古代量米用的“斗”上下都是四方的，底小口大，从上往下看就是这样的图形。我记得我小学时候就玩过这个游戏，但是试了很久也没有成功，大家动笔试试看。好像有点难度吧。 这类“一笔画”问题中最著名的当属“哥尼斯堡七桥问题”了 [ 七桥问题] 故事发生在十八世纪的东普鲁士，哥尼斯堡是一座风景秀丽的城市，普莱格尔河从这里流过，它有两条支流，一条称新河，另一条叫旧河，两河在城中心汇合成一条主流，叫做大河。汇合处有两座小岛，河上有7 座桥，岛上有古老的哥尼
欧拉想到，小岛无非是桥梁的连接地点， 两岸陆地也是如此，那么可以把这四处地点用 A,B,C,D 四个点来表示，同时将七座桥表示成 连结其中两点的七条线，就得到这样一张 图．于是，欧拉建立了一个数学模型，一个人 不重复地走遍所有的七座桥，就相当于从图中某一点出发，不重复地一笔画出图来．这样，“七桥问题”就转化为“一笔画”问题 欧拉注意到，如果一个图能一笔画成，那么一定有一个 起点开始画，也有一个终点。图上其它的点是“过路点”— —画的时候要经过它。 这些点有什么特征呢我们先来看看“过路 点”，它应该是“有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一 条边出这点，不可能是有进无出，如果有进无出，它就是终点，也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在“过路点” 进出的边总数应该是偶数。 如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出” 的点，因此必须连着偶数条边，这样图上所有点都连偶数条边。 如果起点和终点不是同一点，那么这两点连有奇数条边，这也是图中仅有的连着奇数条边的点。 现在对照七桥问题的图，A点连有3条边，B点连有5 条边，C点D 点各连3 条边，所以欧拉得出的结论是这个图肯定不能一笔画成，也就是说要想不重复的走遍这七座桥是不可能的。
第二节哥尼斯堡七桥问题 教学目标 1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来 2.理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法 3.掌握一笔画问题的步骤 教学重点 掌握一笔画问题的技巧 教学过程 一、导入 哥尼斯堡七桥问题的由来 哥尼斯堡曾是东普鲁士的首府，现称加里宁格勒，在俄罗斯境内。在第二次是世界大战时，的军警哲理入侵波兰。后来，苏军也是从此地打进德国的。所以哥尼斯堡是一座历史名城。同时，在这里诞生和培养过许多伟大人物。如著名唯心主义哲学家康德，终生没有离开此城。在哥尼斯堡城中有一条布勒格尔河，横贯城中。河有两条支流，一条称新河，一条叫旧河，在城中心汇合成一条主流，在合流的地方中间有一座河心岛，这是城中繁华的商业中心。由于布勒格尔河的流过，使全城分成为四个地区： 岛区、北区、东区和南区。在布勒格尔河上，架了七座桥，其中五座将河 岛与河岸连接起来，另有两座架在二支流上。这一别致的桥群，吸引了众 多的哥尼斯堡居民和游人来此河边散步或去岛上买东西。 早在18世纪，就有人提出这样的问题：“能否在一次散步中每座桥都走一次，
而且只能走一次，最后又回到原来的出发点？”这个问题吸引了不少人去思考 实验。事实上，要走遍这七座桥的所有走法共有7！=5040种，要想一一验过，谈 何容易。是否在这5040中走法中存在着一条走遍七座桥而又不重复的路线呢？谁 也回答不了。因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。 二、新授 哥尼斯堡七桥问题的解决 1735年，有几名大学生写信给当时正在俄国彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决。欧拉并未轻视生活小题，他似乎看到其中隐藏着某种新的数学方法。 经过一年的研究，29岁的欧拉于1736年向彼得堡科学院递交了一份题为《哥尼斯堡 的七座桥》的论文，圆满地解决了这一问题，同时开创了数学的一个新分支——图论。 问题的抽象——数学化 欧拉是如何将这生活的趣味问题转化为数学问题的呢？又是如何证明要想一次走 过这七座桥是不可能的呢？欧拉的方法十分巧妙：他用点A、B、C、D表示哥尼斯堡 城的四个地区B（岛区）、C（北区）、A（东区）、D（南区）；七座桥看成这四个点的连线，用f，d，a，c，b，e，g七个数字表示,如图3-1。 这样“七桥问题”就转化为是否能用一笔不重复地画出过此七点的图形。假设可以画出来，则图形中必有一个起点和一个终点，如果这两个点不重合，则与起点或终点 相交的线都必是奇数条（称奇点），如果起点与终点重合，则与之相交的线必是偶数
“哥尼斯堡七桥问题”教学实录 一、 创设情境，激趣引思 1. 故事引入 师：这节课，我们先来听一个数学小故事吧。（课件播放，如图1，教师相机板书课题） 师：这个问题困扰了当地居民很长时[司，大家纷纷来到小岛上试图找到答案，但都无功而返。因为根据计算，每次都走完七座桥的所有走法共有5040种，这么多怎么走得完呢?后来有人写信向当时公认的“天才数学家”欧拉请教。欧拉亲自来到小岛上实地考察，也未找到答案。但他是一个不向困难低头的人，经过—年的研究，终于解决了这个问题。原来他将七桥问题题转化为一笔画问题，才顺利找到答案的。 (教师板书：一笔画) 2．释疑。 师：谁能根据你的理解，来说一说什么是一笔画？ (教师请一个学生上台画图说明) 师：（利用课件动态演示）像长方形、正方形、三角形等都能够一笔画出。（并结合长方形介绍：两条线相交的点，叫做交点。如图2） 师：哥尼斯堡七桥问题，大家可能觉得有点复杂。我 们先从简单的图形人手，来探究一笔画中的学问。 二、自主探究，合作交流 (—)探究活动一。1．探究。 师：下面请二人小组合作，共同完成探究记录单，首先请看活动要求。(课件出示记录单和活动要求) 图2 交点交点
活动要求： （1）)试一试，在空白处画一画，判断图形能否一笔画出，并在相应的口里打“√”。 （2）对于能够一笔画出的图形，请沿不同交点出发，探索它有几种不同的画法。 (学生探究，教师巡视指导) 2．交流。 师：很多小组都已经有答案了，谁来汇报一下你们探究的结果？ 生1：1号图是不能一笔画出的，因为它们是分开的。 师：谁听懂了他的意思？ 生2：他是说1号图中的三个“口”没有连通起来。 师：是啊，像1号图这样，各个部分没有连通起来，就不可能一笔画出。这说明要能够一笔画出，它各个部分之间必须是连通的。 画出。 (板书：必须是连通图)接下来，谁继续汇报? 生3：2号图是可以一笔画出的。 师：是吗？你能到黑板上画一下吗?(学生上台画图， 教师提示他在起点处标上字母“A ”，如图3) 图3 师：很好！他刚才是从A 点出发，一笔画出了这个平行四边形。那么，只能从A 点出发吗？ 生4：从其他交点出发也可以。 (大家纷纷赞同) 师：你们都实验过吗？的确，这个平行四边形无论从哪个交点出发，都可以一笔画出来。那么3号图可以一笔画出来吗? 生5：可以的。 (教师请生5上台画图，教师给生5画的图各交点标上字母，如图4) 师：真厉害，他的确是一笔画出的。我发现他是从E 点出发画的。 那么这幅图还能从其他交点出发画出来吗？ 生6：我还可以从F 点出发，也可以一笔画出。 师：还有其他画法吗? 生7：我还可以从A 点出发。 (教师请生7上台画，生7尝试了多种路径，均未成功) 师：(摸着生7的头)我很佩服他，虽然他最后没有成功，但是他这种执着探索的勇气还是可嘉的。从A 点出发不可以，还有哪些点也会出现这样的状况呢? 生8：我认为，从B 、C 、D 点出发也是不能一笔画成的，因为它们和A 点所处的位置是相似的。 师：很好，你真是善于观察！那你们有没有想过，虽然2号图和3号图都能一笔画成，但是2号图可以从任意一点出发，而3号图只能从E 点和F 点出发B F
七桥问题 目录 七桥问题 故事背景 推断方法 最终成果 展开 编辑本段七桥问题 1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。也由此展开了数学史上的新进程。问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。 编辑本段故事背景 七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。 有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2. 编辑本段推断方法 当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。 Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。 后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地(或点)时，他(或她)同时也由另一座桥离开此
一、哥尼斯堡七桥问题 18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。 图1 这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。 图2 图3 于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子. 二、四色猜想 近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。11年后，即1890年，数学家赫伍德
精品文档 精品文档小学四年级数学导学案年月日第周星期 课题一笔画课型特色课主备教师教学内容 学习目标1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。 2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。 3、生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。 4、究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。 5、“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。 重难点运用“一笔画”的规律，快速正确地解决问题。 教学 流程 教学内容 （学习内容、知识点分析、预设问题、规律提升等） 预设及措施 （实施策略、学法指导等） 活动一：展示问题引入新课 下面老师要给大家讲个故事：18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。（课件出示）如图所示：河中有两个小岛，一个岛与河的左岸、右岸各有两座桥相连结，另一个岛与河的左岸、右岸各有一座桥相连结，两个岛屿之间也有一座桥相连结。人们经常在桥上走过，一天又一天，７座桥上走过了无数的行人。不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题的答案，但是谁也解决不了这个七桥问题。 同学们，你能解决这个问题吗？想不想来学习如何解决? 活动二:分析并构建数学模型： 后来著名数学家欧拉是这样解决的：他把两个岛屿和陆地分别看成点A,B,C,D.所走的七桥路线用线条表示，这样就构成了一个简单图形，于是，七桥问题就变成了这样一个图形问题：也就是怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个图形。这节课我们重温欧拉的研