六年级第三讲——立体几何
A卷
1. 圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米。(结果用π表示)
2. 如图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
3. 如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米?
4. 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?
5. 有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？
6. 有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
7. 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
8. 把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？
9.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？
10.一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数且都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
B卷
1. 用棱长是1厘米的立方块拼成如图11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?
2. 图中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?
3. 有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方体的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。问：会溢出多少立方厘米的水？
4. 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?
5. 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米?( 取3．14)
6. 长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？
7. 一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、5厘米和4厘米，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘米？
8. 用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，问：这个长方
体的表面积最小是多少?（第7届华杯赛初赛）
9. 把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？
10. 把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
C卷
1. 如图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?
2. 一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?
3. 某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米?
4. 有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的1
2
，乙的棱长是
丙的棱长的2
3
．如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用
一块，那么最少需要这3种木块一共多少块?
5.有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体．分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个?
6. 如图18，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞.已知正方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求图示立体的表面积和体积.(取π＝3.14)（第7届华杯赛复赛）
图18
7. 用455个棱长为1的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的小正方体，则尚余下371个小正方体，问所堆成的大长方体的棱长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体的表面积是多少？（第9届华杯赛决赛）
8. 一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图21所示，若用甲容器取水来注满乙容器, 问: 至少要注水多少次？（第10届华杯赛决赛）
9. 把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在
大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上红色的小正方体共
有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？
10. 如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的
正方体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1
2
厘米的小洞；第三个小洞的挖
法与前两个相同，边长为1
4
厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
答案A卷
1. 300
π
立方厘米或360
π
立方厘米
2. 16:1281:24
3
ππ=
3. 90立方厘米
4. 百分之八
5. 17
1
18
厘米
6. 体积63立方厘米，表面积96平方厘米
7. 552立方厘米
8. 3200平方厘米
9. 6种
10. 体积154立方厘米，表面积226平方厘米
B卷
1. 46平方厘米
2. 120平方厘米
3. 288立方厘米
4. 4.5倍
5. 32.97平方米
6. 30立方厘米
7. 268平方厘米
8. 650平方厘米
9. 90平方厘米
10. 1368平方厘米
C卷1. 24平方米
厘米
2. 6
17
7
3. 1.001立方米
4. 50块
5. 177个
6. 表面积785.12平方厘米，体积668.64立方厘米
7. 棱长分别为13，5，7.表面积是358
8. 8次。
9. 64个
10. 29.25平方厘米
空间向量与立体几何（三）同步练习 巧用向量法处理平行、垂直问题同步练习 （答题时间：40分钟） 一、选择题 1. 已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（） A. （1，－1，1） B. （2，－1，1） C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1） 2. 设直线l1的方向向量为a＝（2，1，－2），直线l2的方向向量为b＝（2，2，m），若l1⊥l2，则m＝（） A. 1 B. －2 C. －3 D. 3 3. 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等。给出下列结论： ①A1M∥D1P； ②A1M∥B1Q； ③A1M∥平面DCC1D1； ④A1M∥平面D1PQB1。 这四个结论中正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 4. 已知直线l的方向向量为u＝（2，0，－1），平面α的一个法向量为v＝（－2，1，－4），则l与α的位置关系为________。 5. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos x，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]。若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________。 6. 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有AB＝（2，－1，－4），AD ＝（4，2，0），AP＝（－1，2，－1）。给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD。其中正确的是________。
三、解答题 7. 如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点。设Q是CC1上的点。当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO? 8. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD。
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（立体几何） 时间120分钟 满分150分 一．选择题（每题5分，共50分） 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ，直线m ?a ，则L 与的关系是（ ）。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ） A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（ ）。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（ ）。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中，上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为（ ）。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ）。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是（ ）。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中，底面边长为33，侧棱长为5，则它的高为是（ ）。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题（每题5分，共30分） 一、习题精选。 1、一堆小麦堆成圆锥形，底面周长是18. 84米，高1.8米，这堆小麦的体积是（）。 2、用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 3、一个圆柱体比和它等底等高的圆锥体体积大18立方厘米，那么圆柱体和圆锥体体积的和是（）。 4、一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加（）平方厘米或（）平方厘米。 5、一个长方形长15厘米，宽10厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱形，它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 6、一个用立方块搭成的立体图形，淘气从前面看到的图形是，从上面看是，那么搭成这样一个立体图形最少要（）个小立方块。 7、一个半圆的周长是12.56厘米，将这个半圆扩大2倍，它的面积是（）平方厘米。 8、把一个棱长是0.5米的正方体钢坯，锻成横截面面积是10平方分米的长方体钢材。锻成的钢材长度为（）。 9、把一个高为18厘米的圆锥形容器盛满水，将这些水全部倒入和这个圆锥形容器等底的圆柱形容器里，水的高度是（）厘米。 二、判断题 1、圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍。（） 2、一个圆柱体木料，把它加工成最大的圆锥体，削去的部分的体积和圆锥的体积比2：1. （） 3、一个圆柱和圆锥等底等高，体积相差21立方厘米，圆锥的体积是7立方厘米（） 4、正方体的棱长缩小一半后,体积比原来少一半。（） 5、一个长方体和一个圆柱，它们的体积和高都相等，那么，它们的底面积也相等。（） 三、选择题。 1、甲圆柱形容器底面半径是乙圆柱形容器底面半径的2倍(容器直立放置)。现以相同的流量同时向这两个容器内注入水，经过一定的时间，甲、乙两个容器内水面的高度的比是？(容器内的水都未加满) （） A.1∶2 B.2∶1 C.4∶1 D.1∶4 2、.如果一个长方体的长、宽、高都扩大3倍，则它的体积扩大( )倍。 A.3 B.9 C.27 3、一个长方体油箱，里面长60厘米，宽50厘米，高40厘米，这个油箱可以装油（） A.120升 B. 12升 C. 1.2升 立体几何同步练习 二是一个平面，则a 、b 在：?上的射影有可能是 ②两条互相垂直的直线 ④一条直线及其外一点 （写出所有正确结论的编号） 2?多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一 个顶点A 在 平面内，其余顶点在:-的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的 三个顶点到:-的距离分别 为1,2和4, P 是正方体的其余四个顶点中的一 个，则P 到平面的距离可能是： ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为 ____________ 。（写出所有正确结论的编号 ） 3.—个长方体的长、宽、高分别为 9cm 、6cm 、5cm ，先从这个长方体上尽可能 大地切下一 个正方体，再从剩下部分上尽可能大地切下一个正方体， 最后再从第二次剩下 部分上尽可能 大地切下一个正方体，那么，经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3 4?在正三棱柱 AB^A 1B 1C 1中，AB =d .若二面角C-AB-C^!的大小 为60 ',则点C 到平面ABC i 的距离为 ________________ . 5.正四面体 ABCD 的棱长为1,棱AB //平面a ，则正四面体上的所有点在平面 a 内的射 影构成的图形面积的取值范围是 ________ . 1已知a 、b 为不垂直的异面直线, ①两条平行直线 ③同一条直线 在上面结论中，正确结论的编号是 6有一个各棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以 折叠，那么包装纸的最小边长为____________________ . 积为V i ，若将同样的正方形纸片按照如图( 2)中虚线所示的方法 剪开后拼接成一正四棱锥，设其体积为 V 2，则V 1和V 2的大小关系 是( ) A . V 1 V 2B . V 1 : V 2C . y =V 2D . V 1 立体几何的解题思路 四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波 《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。 理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。 一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变. 例1．（1）已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ 解：经过点P 作直线m//a, n//b, 则直线n m ,所成角为o 60或 120, 点P 作直线n m ,的两条角平分线，其中有一条与n m ,所成角均为o 60，另一条与n m ,所成角均为 30，把这条角平分线沿着点P 旋转可以得到两条直线与n m ,所成角均为o 60，从而与a 、b 所成角均为o 60的直线有三条. 问题的推广：已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、 b 所成角均为θ，这样的直线l 有四条，则角θ应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有 零条呢？ 答案：有四条时，o o 9060<<θ；有两条时，o o 6030<<θ；有一条时，o o 90,30=θ;有零条时， 300<<θ. 变式：（1）已知直线a 与平面α所成角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与直线a 和平面α所成角均为o 45，则这样的直线l 有几条？ （2）已知平面α与平面β所成锐二面角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与平面α和平面β所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？ (3)正三棱锥P —ABC 中，CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： ①二面角B —PA —C 大小的取值范围是（ 3 π ，π）； 六年级第三讲——立体几何 A卷 1. 圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米。(结果用π表示) 2. 如图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少? 3. 如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的体积是多少立方厘米? 4. 如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几? 5. 有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？ 6. 有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？ 7. 把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？ 8. 把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？ 9.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？ 10.一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数且都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？ 2011年高考第二轮专题复习（教学案）：立体几何 第1课时 直线、平面、空间几何体 考纲指要： 立体几何在高考中占据重要的地位，考察的重点及难点是直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定，而查空间线面的位置关系问题，又常以空间几何体为依托，因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式。 考点扫描： 1．空间两条直线的位置关系：（1）相交直线；（2）平行直线；（3）异面直线。 2．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线和平面相交；（3）直线和平面平行。 3．两个平面的位置关系有两种：（1）两平面相交；（2）两平面平行。 4．多面体的面积和体积公式，旋转体的面积和体积公式。 考题先知： 例1．在平面几何中，我们学习了这样一个命题：过三角形的内心作一直线，将三角形分成的两部分的周长比等于其面积比。请你类比写出在立体几何中，有关四面体的相似性质，并证之。 解：通过类比，得命题：过四面体的内切球的球心作一截面，将四 面体分成的两部分的表面积比等于其体积比。 证明：如图，设四面体P-ABC 的内切球的球心为O ，过O 作截面DEF 交三条棱于点E 、D 、F ，记内切圆半径为r,则r 也表示点O 到各面的距 离，利用体积的“割补法”知： PDF O PEF O PDE O DEF P V V V V ----++== r S r S r S PDF PEF PDE ?+?+?3 1 3131 BCFD O DEF O ACFE O ABC O ABDE O ABC DEF V V V V V V ------++++= =r S r S r S r S r S BCFD DEF ACFE ABC ABDE ?+?+?+?+?31 31313131，从而2 1表表S S V V ABC DEF DEF P =--。 例2．（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？ （2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC 中，2,6== AC AB ， 13-=BC ，以∠BAC 为例。 解：（1）记Rt △ABC ，∠BAC=900 ，,,b AC c AB ==记直角顶点A 在平面上的正投影为A 1，，且AA 1=h ，则因为0)()()(2 2 2 2 2 2 2 2 12 1<+--+-=-+b c h b h c BC C A B A ，所以∠ 平面的基本性质 一、高考要求： 理解平面的基本性质. 二、知识要点： 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符 号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地 说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; ; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ . 3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题： 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P $ ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内. 立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角． 不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD . 立体几何同步训练14 多面体及欧拉公式 班级_______ 姓名___________ 一、选择题 1、关于正多面体的概念，下列叙述正确的是（） (A)每个面都是正多边形的多面体 (B)每个面都是有相同边数正多边形的多面体 (C)每个面都是相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的多面体 (D)每个面都是具有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 2、一个凸n面体共有8条棱，5个顶点，则n等于（） (A) 4 (B) 5 (C)6 (D) 7 3、一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形内角和为（） (A)54000 (B)64800 (C)72000 (D)79200 4、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是（） (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 5、一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差为（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 6、已知一个简单多面体的每个面均是五边形，且它共有30条棱，则此多面体的面数F 和顶点数V分别等于（） (A) F=6 V=26 (B) F=20 V=12 (C) F=12 V=26 (D) F=12 V=20 二、填空题 7、一个简单多面体每个顶点处都有3条棱，则它的顶点数V和面数F的关系是___________。 8、每个面都是三角形的正多面体有_________个。 9、正四面体的外接球的球心到底面的距离与此正四面体高的比为_________。 10、命题（1）底面是正多边形，且侧棱章与底面边长相等的棱锥为正多面体。 （2）正多面体的面不是三角形就是正方形。（3）若长方体的各个侧面都是正方形时，这就是正多面体。（4）正三棱锥就是正四面体。其中正确的序号是_________。 高三二轮复习-立体几何 题型一三视图与直观图 考查形式：选填题 【例1】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A . 20 n B. 24 n C. 28 n D. 32 n 例2】将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ) 【过关练习】 1. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( ) 2. 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 题型二几何体的表面积与体积 考查形式：选填题 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧. 【例1】（1）三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） 1 1 1 A.6 B.3 C.2 D - 1 【例2】如图，在棱长为6的正方体ABCD —A1B1C1D1中，点E, F分别在C1D1与C1B1上，且GE= 4, C1F =3，连接EF , FB , DE , BD，则几何体EFC1 —DBC的体积为（） 【过关练习】 1. _____________________________________________________ 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_________________________________________________________ 题型三多面体与球 考查形式：选填题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置， 确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正 方体的棱长等于球的直径?球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直 径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心 （或 “切点”“接点”）作出截面图. 【例1】已知三棱锥S—ABC的所有顶点都在球0的球面上，SA丄平面ABC, SA= 2.3, AB = 1, AC= 2, / BAC 2014年六年级数学思维训练：立体几何 一、兴趣篇 1．一个长方体的长、宽、高分别为3厘米、2厘米、1厘米．若它的棱长总和等于另一个正方体的棱长总和，则长方体与正方体的表面积之比是多少？长方体体积比正方体体积少多少立方厘米？ 2．如图，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？如果四角去掉边长为3 厘米的正方形呢？ 3．用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？ 4．（1）如图1，将一个棱长为6的正方体从某个角切掉一个长、宽、高分别为4、3、5的长方体，剩余部分的表面积是多少？ （2）如图2，将一个棱长为5的正方体，从左上方切去一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，它的表面积减少了百分之几？ 5．（2013?北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一 个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 6．（2012?北京模拟）（1）如图，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？ （2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图所示，将其切成两个长方体，这两部分的表面积总和是多少？如果在此基础上再切4刀，将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是多少？ 7．这里有一个圆柱和一个圆锥（如图），它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？ 8．如图，一块三层蛋糕，由三个高都为1分米，底面半径分别为1.5分米、1分米和0.5分米的圆柱体组成．请问： （1）这个蛋糕的表面积是多少平方分米？（л取3.14） （2）如果沿经过中轴线AB的平面切一刀，将该蛋糕分成完全相同的两部分，那表面积之和又是多少？ 9．有大、中、小三个立方体水池，它们的内部棱长分别是6米、3米、2米，三个池子都装了半池水．现将两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面会升高多少厘米？（结果精确到小数点后两位） 10．有一个高24厘米，底面半径为10厘米的圆柱形容器，里面装了一半水，现有一根长30厘米，底面半径为2厘米的圆柱体木棒．将木棒竖直放入容器中，使棒的底面与容器的底面接触，这时水面升高了多少厘米？ 二、拓展篇 立体几何综合习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长 方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B 1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、 立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F （1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 立体几何初步时直线与平面垂直同步练习必修 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 第11课时 直线与平面垂直 分层训练 1.已知a ⊥平面α, b α, 则a 与b 的位置关系是 ( ) A. a a ⊥b C. a 与b 垂直相交 D. a 与b 垂直且异面 2.下列命题中正确的是(其中a 、b 、c 为不相重合的直线, α为平面) ( ) ①若b ① ② ③ ④ B. ① ④ C. ① D. ④ 3.已知直线l ⊥平面α，直线 m 平面β，有下列四个命题 (1)若α(2)和(4) D(1)和(3) 3.已知直线a 4.在四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 是矩形, PA ⊥平面ABCD, 则这个多面体面是直角三角形的为______________ . 5.如图, 在正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 则BD 1与AC 的位置关系 ___________ . BD 1与B 1C 的位置关系___________ . 进而可得BD 1与平 面ACB 1的关系___________ . 6.如图。一点P 不在ΔABC 所在的平面内，O 是ΔABC 的外心，若PA=PB=PC. 求证：PO ⊥平面ABC. A B C A 1 选修延伸 1.证明: 过一点和已知平面垂直的直线只有一条. 2．已知直线a 接ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ ∵Ｏ为重心 ∴ＡＤ⊥ＢＣ 而ＰＯ平面ＡＢＣ ∴ＢＣ⊥ＰＡ 7.(1) ∵ＰＡ⊥平面ABCD 而BC ⊥AB,CD ⊥AD ∴BC ⊥PB,CD ⊥PD ∴PBC, PDC 是Ｒt 。PAB ，PAD 也是Ｒ t （２）∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成 角，易求tan ∠ PCA= 2 拓展延伸 7．证明∵ＳＡ⊥平面ABCD O A B P C D C B A F E A B C A 1 O B 1 C 1 1 2015届高三二轮复习立体几何专题训练 1．如图所示的多面体中， ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ,3 BAD π ∠= ． （1）求证：平面//BCF 面AED ； （2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积． 2．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E （不同于点D ），延长AE 交BC 于F ， 将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示. （1）若M 是FC 的中点，求证：直线DM //平面1A EF ； （2）求证：BD ⊥1A F ； （3）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由. 3．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面M ABCD ,和N 分别是AD 和BC 的中点。 （1）求证：MN PM ⊥； （2）求证：平面PMN ⊥平面PBC ； （3）在PA 上是否存在点Q ，使得平面//QMN 平面PCD ？若在求出Q 点位置，并证明；若不存在，请说明理由。 4．如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN \是矩形，平面⊥MADN 平面ABCD ，F E ,分别为DC MA ,的中点，求证： （1）//EF 平面MNCB ； （2）平面MAC ⊥平面BND ． 5．如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=?,//CD AB ,1 22 AD CD AB == =, 点E 为AC 中点.将ADC ?沿AC 折起, 使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. （1）在CD 上找一点F ,使//AD 平面EFB ; （2）求点C 到平面ABD 的距离. 6．如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面0 90,=∠BCA ABC ，BC AC AA ==1. （1）求证：1AC ⊥平面BC A 1; （2）若21=AA ，求三棱锥AB A C 1-的高的大小． 7．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）//1O C 面11AB D ； （2）1A C ⊥面11AB D ． （3）平面//11D AB 平面BD C 1 A B C D 图2 E B A C D 图1 E 1 图 中职升高职数学真题汇编—立体几何 李远敬整理 一．选择题 1.XXXX08、若平面α∥平面β，直线 ?平面α，直线 ?平面β，那么直线，的位置关系是（ ） 平行 异面 平行或异面 相交 2.XXXX10、下列命题中正确的是（ ） ∥平面，直线∥平面则∥ ⊥直线，直线⊥直线则∥ ⊥平面，直线⊥平面则∥ ⊥平面，平面⊥平面则∥ 3.XXXX10在正方形ABCD 中，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，则P 到直线BD 的距离是（ ） A B 2 C D 3 4.XXXX08 正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与直线11D B 所成的角（ ） A ο90 B ο60 C ο45 D ο30 5.XXXX08、下列说法： ①γβαγβγα⊥?=?⊥⊥l l ,, ②b a b b ⊥?αα,//,// ③b a b a ⊥?⊥αα,//, ④b a b a ⊥?⊥⊥αα,, ⑤ββαα//,,a a ?⊥⊥ 说法正确的有（ ） A 、①②③ B 、③④⑤ C 、②③④ D 、①③⑤ 二．填空题 6.XXXX19．若直线m ⊥平面α，直线n ⊥平面α，则直线m 与n 的位置关系是 7.XXXX18、直二面角βα--l 内一点S ，S 到两个平面的距离分别为5和4，则S 到 l 的距离为 . 8.XXXX19 正方体1111D C B A ABCD 中，平面11D ABC 与平面ABCD 所成二面角的大小是_______________。 9.XXXX18、在长方体 － 中， ＝3， ＝４， ，则对角线 所成的角是 10.XXXX18、在空间，通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条. 三．解答题 11.XXXX26证明（10分） 已知：如题26图，是正方形所在平面外一点，是正方形对角线与 的 交点， 底面 ，为中点，为中点。 ⑴ 求证：直线∥平面 ； ⑵ 若正方形 边长为4， ，求：直线 与平面 的所成角的大 小. 12.XXXX26证明（10分） 如题26图，是二面角 内一点， 是垂足。 求证：。 O E P D C B A F L B C A 题26图 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图中职数学试卷：立体几何
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